Сумма кубических корней как решать
Перейти к содержимому

Сумма кубических корней как решать

  • автор:

Кубический корень

Кубический корень из a, обозначающийся как или как a 1/3 — решение уравнения x 3 = a (обычно подразумеваются вещественные решения).

Кубический корень — нечётная функция. В отличие от квадратного корня, кубический корень может быть извлечён и из отрицательных чисел.

Калькулятор кубического корня

Онлайн калькулятор для расчета кубического корня для положительных и отрицательных чисел.

Алгоритм извлечения кубического корня

Перед началом необходимо разделить число на тройки (целую часть — справа налево, дробную — слева направо). Когда Вы достигли десятичной запятой, в конце результата необходимо поставить десятичную запятую.

  1. Найдите число, куб которого меньше первой группы цифр, но при её увеличении на 1 она становиться больше. Выпишите найденное число справа от данного числа. Под ним запишите число 3.
  2. Запишите куб найденного числа под первой группой цифр и произведите вычитание. Результат после вычитания запишите под вычитаемым. Далее снесите следующую группу цифр.
  3. Далее найденный промежуточный ответ заменим буквой a. Вычислите по формуле 300× a 2 × x+30× a × x 2 +x 3 такое число x, что его результат меньше нижнего числа, но при увеличении на 1 становится больше. Запишите найденное x справа от ответа. Если достигнута необходимая точность, прекратите вычисления.
  4. Запишите под нижним числом результат вычисления по формуле 300 × a 2 × x+30 × a × x 2 +x 3 и произведите вычитание. Перейдите к пункту 3.

Упростить сумму кубических корней.

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Найти сумму корней (многочлены)
Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, с задачей: Если x1, x2, x3 — корни многочлена f(x)=3×3+2x-45.

Найдите сумму корней уравнения
Помогите, пожалуйста, с задачкой. У меня получилось x=\log 2 (2/4031), но чую, что ответ неверный.

Найти сумму корней уравнения
Сумма корней (или корень, если он единственный) уравнения равны. x^2 sqrt = (6x-5).

Как вычислить кубический корень вручную

Соавтор(ы): Grace Imson, MA. Грейс Имсон — преподаватель математики с более чем 40 годами опыта. В настоящее время преподает математику в Городском колледже Сан-Франциско, ранее работала на кафедре математики в Сент-Луисском университете. Преподавала математику на уровне начальной, средней и старшей школы, а также колледжа. Имеет магистерскую степень по педагогике со специализацией на руководстве и контроле, полученную в Сент-Луисском университете.

Количество просмотров этой статьи: 164 121.

В этой статье:

Если под рукой есть калькулятор, извлечь кубический корень из любого числа не составит никаких проблем. Но если калькулятора нет или вы просто хотите произвести впечатление на окружающих, извлеките кубический корень вручную. Большинству людей описываемый здесь процесс покажется довольно сложным, но с практикой извлекать кубические корни станет намного легче. Перед тем как приступить к чтению данной статьи, вспомните основные математические операции и вычисления с числами в кубе.

Часть 1 из 3:

Извлечение кубического корня на простом примере

Step 1 Запишите задачу.

  • Запишите число, из которого нужно извлечь кубический корень. Число разбейте на группы по три цифры, причем отсчет начните с десятичной запятой. Например, нужно извлечь кубический корень из 10. Напишите это число так: 10, 000 000. Дополнительные нули призваны повысить точность результата.
  • Возле и над числом нарисуйте знак корня. Представьте, что это горизонтальная и вертикальная линии, которые вы рисуете при делении в столбик. Единственное отличие – это форма двух знаков.
  • Над горизонтальной линией поставьте десятичную запятую. Сделайте это непосредственно над десятичной запятой исходного числа.

Step 2 Запомните результаты возведения в куб целых чисел.

  • 1 3 = 1 ∗ 1 ∗ 1 = 1 =1*1*1=1>
  • 2 3 = 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8 =2*2*2=8>
  • 3 3 = 3 ∗ 3 ∗ 3 = 27 =3*3*3=27>
  • 4 3 = 4 ∗ 4 ∗ 4 = 64 =4*4*4=64>
  • 5 3 = 5 ∗ 5 ∗ 5 = 125 =5*5*5=125>
  • 6 3 = 6 ∗ 6 ∗ 6 = 216 =6*6*6=216>
  • 7 3 = 7 ∗ 7 ∗ 7 = 343 =7*7*7=343>
  • 8 3 = 8 ∗ 8 ∗ 8 = 512 =8*8*8=512>
  • 9 3 = 9 ∗ 9 ∗ 9 = 729 =9*9*9=729>
  • 10 3 = 10 ∗ 10 ∗ 10 = 1000 =10*10*10=1000>

Step 3 Найдите первую цифру ответа.

  • В нашем примере первая группа из трех цифр – это число 10. Найдите наибольший куб, который меньше 10. Таким кубом является 8, а кубический корень из 8 равен 2.
  • Над горизонтальной линией над цифрой 10 напишите цифру 2. Затем запишите значение операции 2 3 > = 8 под 10. Проведите черту и вычтите 8 из 10 (как при обычном делении в столбик). В результате получится 2 (это первый остаток).
  • Таким образом, вы нашли первую цифру ответа. Подумайте, является ли данный результат достаточно точным. В большинстве случаев это будет очень приблизительный ответ. Возведите результат в куб, чтобы выяснить, насколько он близок к исходному числу. В нашем примере: 2 3 > = 8, что не очень близко к 10, поэтому вычисления нужно продолжить.

Step 4 Найдите следующую цифру ответа.

  • Слева от вертикальной линии вы напишите три числа, сумма которых равна некоему первому множителю. Оставьте пустые пространства для этих чисел, а между ними поставьте знаки «плюс».

Step 5 Найдите первое слагаемое (из трех).

Найдите первое слагаемое (из трех). В первом пустом пространстве запишите результат умножения числа 300 на квадрат первой цифры ответа (она записана над знаком корня). В нашем примере первой цифрой ответа является 2, поэтому 300*(2^2) = 300*4 = 1200. Напишите 1200 в первом пустом пространстве. Первым слагаемым является число 1200 (плюс еще два числа, которые нужно найти). [4] X Источник информации

Step 6 Найдите вторую цифру ответа.

Найдите вторую цифру ответа. Выясните, на какое число нужно умножить 1200, чтобы результат был близок, но не превышал 2000. Таким числом может быть только 1, так как 2*1200 = 2400, что больше 2000. Напишите 1 (вторая цифра ответа) после 2 и десятичной запятой над знаком корня. [5] X Источник информации

Step 7 Найдите второе и третье слагаемые (из трех).

  • Умножьте 3 на 10 и на каждую цифру ответа (они записаны над знаком корня). В нашем примере: 3*10*2*1 = 60. Прибавьте этот результат к 1200 и получите 1260.
  • Наконец, возведите в квадрат последнюю цифру ответа. В нашем примере последней цифрой ответа является 1, поэтому 1^2 = 1. Таким образом, первый множитель равен сумме следующих чисел: 1200 + 60 + 1 = 1261. Запишите это число слева от вертикальной черты.

Step 8 Умножьте и вычтите.

Умножьте и вычтите. Умножьте последнюю цифру ответа (в нашем примере это 1) на найденный множитель (1261): 1*1261 = 1261. Запишите это число под 2000 и вычтите его из 2000. Вы получите 739 (это второй остаток).

Step 9 Подумайте, является ли полученный ответ достаточно точным.

  • Чтобы проверить точность ответа, возведите его в куб: 2,1*2,1*2,1 = 9,261.
  • Если вы считаете, что ответ достаточно точный, вычисления можно не продолжать; в противном случае проделайте еще одно вычитание.

Step 10 Найдите второй множитель.

  • Ко второму остатку (739) припишите третью группу из трех цифр (000). Вы получите число 739000.
  • Умножьте 300 на квадрат числа, которое записано над знаком корня (21): 300 ∗ 21 2 > = 132300.
  • Найдите третью цифру ответа. Выясните, на какое число нужно умножить 132300, чтобы результат был близок, но не превышал 739000. Таким числом является 5: 5*132200 = 661500. Напишите 5 (третья цифра ответа) после 1 над знаком корня.
  • Умножьте 3 на 10 на 21 и на последнюю цифру ответа (они записаны над знаком корня). В нашем примере: 3 ∗ 21 ∗ 5 ∗ 10 = 3150 .
  • Наконец, возведите в квадрат последнюю цифру ответа. В нашем примере последней цифрой ответа является 5, поэтому 5 2 = 25. =25.>
  • Таким образом, второй множитель равен: 132300 + 3150 + 25 = 135475.

Step 11 Умножьте последнюю цифру ответа на второй множитель.

  • Умножьте последнюю цифру ответа на найденный множитель: 135475*5 = 677375.
  • Вычтите: 739000-677375 = 61625.
  • Подумайте, является ли полученный ответ достаточно точным. Для этого возведите его в куб: 2 , 15 ∗ 2 , 15 ∗ 2 , 15 = 9 , 94 .

Step 12 Запишите ответ.

Запишите ответ. Результат, записанный над знаком корня, является ответом с точностью до двух цифр после запятой. В нашем примере кубический корень из 10 равен 2,15. Проверьте ответ, возведя его в куб: 2,15^3 = 9,94, что приблизительно равно 10. Если вам нужна большая точность, продолжите вычисления (как описано выше).

Часть 2 из 3:

Извлечение кубического корня методом оценок

Step 1 Используйте кубы чисел, чтобы определить верхний и нижний пределы.

  • Например, нужно извлечь кубический корень из 600. Так как 8 3 = 512 =512> и 9 3 = 729 =729> , то значение кубического корня из 600 лежит между 8 и 9. Поэтому используйте числа 512 и 729 в качестве верхнего и нижнего пределов ответа.

Step 2 Оцените второе число.

  • В нашем примере число 600 находится между числами 512 и 729. Например, к первому найденному числу (8) припишите цифру 5. Получится число 8,5.

Step 3 Оцените полученное число, возведя его в куб.

  • В нашем примере: 8 , 5 ∗ 8 , 5 ∗ 8 , 5 = 614 , 1.

Step 4 Если нужно, оцените другое число.

  • В нашем примере: 8 , 5 3 > > 600. Таким образом, оцените меньшее число 8,4. Возведите это число в куб и сравните его с исходным числом: 8 , 4 ∗ 8 , 4 ∗ 8 , 4 = 592 , 7 . Этот результат меньше исходного числа. Таким образом, значение кубического корня из 600 лежит между 8,4 и 8,5.

Step 5 Оцените следующее число, чтобы повысить точность ответа.

  • В нашем примере: 8 , 4 3 = 592 , 7 =592,7> и 8 , 5 3 = 614 , 1 =614,1> . Исходное число 600 ближе к 592, чем к 614. Поэтому к последнему числу, которое вы оценили, припишите цифру, которая ближе к 0, чем к 9. Например, таким числом является 4. Поэтому возведите в куб число 8,44.

Step 6 Если нужно, оцените другое число.

  • В нашем примере 8 , 44 ∗ 8 , 44 ∗ 8 , 44 = 601 , 2 . Это чуть больше исходного числа, поэтому оцените другое (меньшее) число, например, 8,43: 8 , 43 ∗ 8 , 43 ∗ 8 , 43 = 599 , 07 . Таким образом, значение кубического корня из 600 лежит между 8,43 и 8,44.

Step 7 Выполняйте описанный процесс.

  • В нашем примере куб числа 8,43 меньше исходного числа менее чем на 1. Если нужна большая точность, возведите в куб число 8,434 и получите, что 8 , 434 3 = 599 , 93 =599,93> , то есть результат меньше исходного числа менее чем на 0,1.

Часть 3 из 3:

Объяснение описанного процесса вычисления

Step 1 Вспомните биноминальный ряд.

  • Здесь член 10 A представляет собой разряд десятков, то есть если A – это любое однозначное число, то 10 A – это уже соответствующее двузначное число. Например, если A = 2, а B = 6, то ( 10 A + B ) = 26, то есть вы получили двузначное число 26. [10] X Источник информации

Step 2 Возведите двучлен в куб.

  • Подробное объяснение можно найти здесь.

Step 3 Уясните алгоритм деления в столбик.

Уясните алгоритм деления в столбик. Обратите внимание, что описанный здесь метод извлечения кубического корня очень напоминает деление в столбик. При делении в столбик нужно найти число (частное), при умножении которого на делитель получится делимое. В описанном методе в качестве частного выступает результат извлечения кубического корня (он записывается над знаком корня). То есть результат извлечения кубического корня можно представить как бином (10A + B). Точные значения А и В на данном этапе не важны: просто запомните, что результат можно записать в виде двучлена. [12] X Источник информации

Step 4 Посмотрите на биноминальный ряд.

  • Множителем первого члена является число 1000. Чтобы вычислить первую цифру ответа, сначала вы находите куб целого числа, который ближе всего, но меньше некоторого числа (а именно первой группы из трех цифр). Это определяет член 1000A^3 биноминального ряда.
  • Множителем второго члена биноминального ряда является число 300 ( 3 ∗ 10 2 > = 300). Напомним, что на каждом этапе извлечения кубического корня соответствующая цифра(ы) ответа умножалась на 300.
  • Второе слагаемое на каждом этапе извлечения корня определяется третьим членом биномиального ряда, который равен 30AB^2.
  • Третье слагаемое на каждом этапе извлечения корня определяется четвертым членом биномиального ряда, который равен B^3.

Step 5 Обратите внимание на увеличение точности ответа.

Обратите внимание на увеличение точности ответа. Чем больше этапов извлечения корня вы пройдете, тем точнее будет ответ. Например, в этой статье нужно было извлечь кубический корень из 10. На первом этапе ответ равен 2, так как 2 3 > = 8, что близко, но меньше 10. На втором этапе ответ равен 2,1, потому что 2 , 1 3 = 9 , 261 =9,261> , что гораздо ближе к 10. На третьем этапе ответ равен 2,15, так как 2 , 15 3 = 9 , 94 =9,94> . Можно продолжить вычисления, используя группы из трех цифр, чтобы повысить точность ответа. [14] X Источник информации

Извлечение кубического корня в уме

Мы продолжаем (см. [1]) знакомить читателей с приемами, позволяющими проводить в уме достаточно сложные вычисления.

В этой статье мы расскажем, как извлекать в уме кубический корень из четырех-, пяти- и даже шестизначных (!) чисел 7 .

Для этого прежде всего нужно выучить кубы чисел от 1 до 10:

При изучении этой таблицы обнаруживается, что все цифры, на которые оканчиваются кубы, различны, причем во всех случаях, за исключением 2 и 3, а также 7 и 8, последняя цифра куба совпадает с числом, возводимым в куб. В исключительных же случаях (для чисел 2, 3, 7 и 8) последняя цифра куба равна разности между 10 и числом, возводимым в куб.

Эти обстоятельства и используются для быстрого извлечения кубического корня. Пусть зритель получил, например, 250?047. Последняя цифра этого числа 7, из чего немедленно следует, что последней цифрой кубического корня должна быть 3. Первую цифру кубического корня находим следующим образом. Зачеркнем последние три цифры куба (независимо от количества его цифр) и рассмотрим цифры, стоящие впереди,?— в нашем случае это 250. Число 250 располагается в таблице кубов между кубами шестерки и семерки. Меньшая из этих цифр?— в нашем случае 6?— и будет первой цифрой кубического корня. Поэтому правильным ответом будет 63.

Чтобы лучше уяснить суть дела, приведем еще один пример. Пусть названо число 19?683. Его последняя цифра 3 указывает, что последней цифрой кубического корня будет 7. Зачеркивая последние три цифры, получаем число 19, которое лежит между кубом двойки и кубом тройки. Меньшим из этих чисел будет 2, поэтому искомым кубическим корнем будет 27.

Применяя описанные правила нахождения цифр кубического корня, можно быстро определить, что, например,

В заключение заметим, что, как, очевидно, вы уже поняли, описанная методика применима только к случаям, когда искомый корень — целое число или, иначе, когда заданное число есть, как говорят, “точный куб”.

Задание для самостоятельной работы

Определите (в уме!) значения кубического корня из следующих чисел:

343, 512, 4096, 8000, 15?625, 39?304, 132?651, 551?368.

Постарайтесь получить решения, не смотря на приведенную в статье таблицу, а выучив ее.

1. Возведение двузначных чисел в квадрат. / “В мир информатики” № 50 (“Информатика” № 3/2005).

7 Наверняка аналогичными приемами пользовался Роман Семенович Арраго, которому посвящена статья в данном выпуске.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *