Почему 1 в степени бесконечность это неопределенность
Перейти к содержимому

Почему 1 в степени бесконечность это неопределенность

  • автор:

Число в степени бесконечность

Если при нахождении предела получаем число в степени бесконечность, то для отличных от нуля и единицы значений такое выражение не является неопределенностью и вычисляется непосредственно. Поскольку показательная функция

при а>1 возрастает, то для таких а

Соответственно, применение второго замечательного предела здесь не требуется. Используем следующее свойство пределов:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} {\left[ {f(x)} \right]^{g(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {\left[ {f(x)} \right]^{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x)}}\]

при условии, что эти пределы существуют.

Рассмотрим примеры, в которых нужно найти число в степени бесконечность.

Найти пределы функций:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(\frac{{2x - 3}}{{5x + 1}})^{4x + 8}} = {\left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right]^\infty } = ?\]

Получили неопределенность бесконечность на бесконечность в степени бесконечность.

Найдем пределы основания и показателя степени. (Как находить предел бесконечность на бесконечность, уже рассматривали ранее. Делим и числитель, и знаменатель на старшую степень икса, в данном случае — на x.)

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2x - 3}}{{5x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x}}}{{5 + \frac{1}{x}}} = \frac{2}{5},\]

Таким образом, приходим к выводу, что

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(\frac{{2x - 3}}{{5x + 1}})^{4x + 8}} = {\left[ {\frac{2}{5}} \right]^\infty } = 0.\]

2) Вычислить предел функции:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(\frac{{3{x^2} - 7}}{{2{x^2} + 5}})^{4{x^2} - 1}} = {\left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right]^\infty } = ?\]

Рассуждаем аналогично. При нахождении предела основания степени делим многочлены в числителе и знаменателе на старшую степень икса, то есть на x²:

1 в степени бесконечность

1 ∞ — это один из примеров математической неопределённости.

Парадокс [ ]

Парадокс заключается в том, что любая степень единицы равна самой единице: 1 a = 1 . Следовательно, и 1 ∞ = 1 . Таким образом, это не должно быть неопределённостью. Дополнить парадокс автора философской фразой можно так, «ква! хрю!кря!», это и есть та самая определенность .

и даже то, что некоторые трактуют это тем, что неизвестно-чистая единица или с хвостом, все равно в многозначной степени 1 есть 1: 1,00000000000000000000000000000000000005654600000654046540000^461654365313516546541354 есть единица. Алсо, многие считают, что парадокс — нифига не парадокс, а фигня какая-то

Так почему же это является неопределённостью? [ ]

По правилу Лопиталя (правило Лопиталя применяется для неопределенностей вида ноль/ноль, бесконечность/бесконечность. А здесь надо логарифимировать предел и переходить к произведению в степени.) lim x → ∞ 1 x = lim x → ∞ x ⋅ 1 x − 1 =\lim_>> . Но поскольку x = ∞ (по условию), то одним из множителей второго предела является ∞ , что уже говорит о том, что вычислить этот предел невозможно. Таким образом, 1 ∞ является неопределённостью, и это доказано.

1 в степени бесконечность

1 ∞ > — это один из примеров математической неопределённости.

Парадокс [ править ]

Парадокс заключается в том, что любая степень единицы равна самой единице: 1 a = 1 . Следственно, и 1 ∞ = 1 =1> . Таким образом, это не должно быть неопределённостью.

Так почему же это является неопределённостью? [ править ]

1 ∞ > — это неформальная запись предела lim ( x ; y ) → ( 1 ; + ∞ ) x y >> . Если сначала устремить x к 1 , а потом уже y к + ∞ , то получится действительно 1 . Но если сначала устремить y к + ∞ , а потом x к 1 сверху, то получится + ∞ . А если сначала устремить y к + ∞ , а потом x к 1 снизу, то получится 0 . Сам же предел lim ( x ; y ) → ( 1 ; + ∞ ) x y >> может принимать любые значения от 0 до + ∞ , например, lim x → + ∞ ( 1 + 1 / x ) x = e = 2 , 71. <(1+1/x)^>=e=2,71. >

  • Парадоксы
  • Оригинальные материалы
  • Математические парадоксы
  • Математика

Один в степени бесконечность

Рассмотрим, как раскрывается неопределенность один в степени бесконечность в другой форме записи 2 замечательного предела. В этом случае фактически имеем неопределенность один в степени один на ноль.

Второй замечательный предел иначе можно записать так:

а если α=f(x), при условии f(x)→0, при x→0, имеем:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + f(x))^{\frac{1}{{f(x)}}}} = e.\]

Рассмотрим на примерах, как раскрыть неопределенность один в степени бесконечность в этом случае.

\[1)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + 3x)^{\frac{1}{{5x}}}} = \left[ {{1^{\frac{1}{0}}}} \right] = ?\]

Получили неопределенность один в степени один на ноль. Поскольку

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{C}{x} = \infty ,C = const, \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + 3x)^{\frac{1}{{5x}}}} = \left[ {{1^{\frac{1}{0}}}} \right] = \left[ {{1^\infty }} \right] = ?\]

Чтобы воспользоваться модификацией второго замечательного предела и раскрыть неопределенность один в степени бесконечность, рассуждаем так:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left[ {(1 + f(x))} \right]^{g(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left\{ {{{\left[ {(1 + f(x))} \right]}^{\frac{1}{{f(x)}}}}} \right\}^{f(x) \cdot g(x)}} = \]

(не забываем о требовании f(x)→0, при x→0).

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + 3x)^{\frac{1}{{5x}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left\{ {{{\left[ {1 + 3x} \right]}^{\frac{1}{{3x}}}}} \right\}^{3x \cdot \frac{1}{{5x}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left\{ {{{\left[ {1 + 3x} \right]}^{\frac{1}{{3x}}}}} \right\}^{\frac{3}{5}}} = {e^{\frac{3}{5}}}.\]

\[2)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 - 2{x^2} + 3x)^{\frac{3}{{7{x^2}}}}} = \left[ {{1^{\frac{3}{0}}}} \right] = \left[ {{1^\infty }} \right] = \]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left\{ {{{\left[ {1 + ( - 2{x^2} + 3x)} \right]}^{\frac{1}{{ - 2{x^2} + 3x}}}}} \right\}^{( - 2{x^2} + 3x) \cdot \frac{3}{{7{x^2}}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 6{x^2} + 9x}}{{7{x^2}}}}} = \]

Чтобы избавиться от неопределенности ноль на ноль в показателе степени, в числителе выносим за скобки общий множитель x и сокращаем дробь на x:

\[ = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x( - 6x + 9)}}{{7{x^2}}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 6x + 9}}{{7x}}}} = \left[ {{e^{\frac{9}{0}}}} \right] = {e^\infty } = \infty .\]

Будьте внимательны! Если в примере нет неопределенности, предел вычисляем непосредственно:

\[3)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 - 2{x^2} + 3x)^{\frac{3}{{7{x^2} + 1}}}} = {1^3} = 1.\]

\[4)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + \sin 3x)^{\frac{1}{{2x}}}} = \left[ {{1^\infty }} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left[ {{{(1 + \sin 3x)}^{\frac{1}{{\sin 3x}}}}} \right]^{\frac{{\sin 3x}}{{2x}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 3x}}{{2x}}}} = \]

Неопределенность вида ноль на ноль в показателе степени — первый замечательный предел:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *