Нечетное шестизначное число все цифры которого различны
Перейти к содержимому

Нечетное шестизначное число все цифры которого различны

  • автор:

Нечетное шестизначное число все цифры которого различны

На этом занятии все числа — целые; слово «делится» означает «делится нацело». 1. а) Придумайте три различных числа, сумма которых делится на каждое из них. б) Придумайте три числа, сумма которых делится на число, на которое не делится ни одно из них.

Ответ. а) Например, 1 + 2 + 3 = 6, и 6 делится на 1, 2 и 3.
б) Годятся любые три натуральных числа.

Решение. б) Сумма любых трёх натуральных чисел будет делиться сама на себя. Но эта сумма больше каждого из слагаемых, поэтому ни одно из них не делится на эту сумму.

2. Верно ли, что если число одновременно делится на 4 и на 6, то оно делится и на 24?

Решение. Например, число 12 делится и на 4, и на 6, но не делится на 24. Однако если число делится и на 4, и на 6, то оно делится и на 12 = НОК(4, 6).

3. Робинзон Крузо каждый второй день пополняет запасы питьевой воды из источника, каждый третий день собирает фрукты и каждый пятый день ходит на охоту. Сегодня у Робинзона тяжёлый день: он должен делать все эти три дела. Когда у Робинзона будет следующий тяжёлый день?

Ответ. Через 30 дней.

Решение. Поскольку Робинзон Крузо каждый второй день пополняет запасы питьевой воды из источника, каждый третий день собирает фрукты и каждый пятый день ходит на охоту, промежуток между двумя тяжёлыми днями должен состоять из числа дней, кратного 2, 3 и 5. Нас интересует следующий тяжёлый день, поэтому нужно выбрать наименьшее из таких чисел. Это число 30 = 2·3·5 = НОК(2, 3, 5) (убедитесь в этом самостоятельно).

4. Не вычисляя произведения 2013 · 15 · 77, определите, делится ли оно на 2, 3, 9, 35, 55, 80, 6039.
Ответ. На 2 и 80 не делится, на остальные — делится.

Поскольку 2013, 15 и 77 — нечётные числа, их произведение тоже нечётно (вспомните предыдущее занятие!), то есть не делится на 2. Поскольку 80 делится на 2, все числа, делящиеся на 80, должны быть чётными. Значит, число 2013 · 15 · 77 не делится также и на 80.

Число 15 делится на 3, поэтому и всё произведение делится на 3. На 9 ни один из сомножителей не делится, зато два из них (15 и 2013) делятся на 3, поэтому всё произведение делится на 9 (ведь 9 = 3·3). Аналогично, поскольку 15 делится на 5, а 77 делится на 7, произведение делится на 35 = 5·7; поскольку 15 делится на 5, а 77 делится на 11, произведение делится на 55 = 5·11; поскольку 2013 делится на 2013, а 3 делится на 3, произведение делится на 6039 = 2013·3.

Натуральное число, большее единицы, называется простым, если делится нацело только на единицу и на само себя. Например, числа 2, 3, 5, 7, 11 — простые. 5. В магическом квадрате суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и на обеих диагоналях равны. Можно ли составить магический квадрат 5×5 из первых 25 простых чисел?

Подсказка. Вспомните тему предыдущего занятия!

Сначала заметим, что среди всех простых чисел только одно чётное — это число 2. Действительно, любое другое чётное натуральное число делится, кроме единицы и самого себя, ещё и на 2, и потому не является простым.

Теперь предположим, что магический квадрат удалось составить из первых 25 простых чисел. Среди них есть двойка, а остальные 24 числа — нечётные. В той строке, где окажется двойка, сумма всех чисел будет чётной, ведь там одно чётное число и четыре нечётных. Во всех остальных строках все числа будут нечётными, а сумма пяти нечётных слагаемых также нечётна. Поэтому сумма чисел во всех строках не может оказаться одинаковой. Полученное противоречие доказывает, что магический квадрат невозможно составить из первх 25 простых чисел.

6. Делится ли число (111 999 − 1) на 2? А на 10?
Подсказка. Какая последняя цифра у этого числа?
Ответ. Да, делится и на 2, и на 10.

Сначала заметим, что последняя цифра произведения нескольких чисел равна последней цифре произведения их последних цифр (это следует, например, из правила умножения в столбик). Теперь найдём последнюю цифру числа 111 999 . Так как это произведение 999 сомножителей, каждый из которых равен 111 (и имеет последнюю цифру 1), его последняя цифра равна последней цифре произведения 999 единиц, то есть тоже 1. А если от этого числа отнять единицу, то у разности последняя цифра будет 0. Значит, это число делится на 10 (а заодно и на 2).

Замечание. Ответ на первый вопрос задачи можно было получить проще. Число 111 нечётное, поэтому при возведении в степень (то есть при умножении само на себя несколько раз) тоже будет давать нечётное число. Число 1 также нечётно. А разность двух нечётных чисел чётна, то есть делится на 2.

7. Найдите последнюю цифру числа: а) 3 100 ; б) 2011 2012 + 2012 2013 .

а) Начнём последовательно выписывать последние цифры степеней тройки. Для нахождения последней цифры очередной степени тройки достаточно брать последнюю цифру предыдущей степени, умножать её на 3 и брать последнюю цифру результата. Получим следующую цепочку: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1. (проверьте!). Видно, что на каждом четвёртом месте в этой последовательности стоит единица. Поскольку 100 делится на 4, на сотом месте тоже будет стоять единица. То есть последняя цифра числа 3 100 равна 1.

Последняя цифра числа 2011 2012 равна 1 (вспомните, например, решение задачи 6). Найдём последнюю цифру числа 2012 2013 . Как мы уже отмечали при решении задачи 6, последняя цифра произведения нескольких чисел равна последней цифре произведения их последних цифр. Поэтому последняя цифра этого числа совпадает с последней цифрой числа 2 2013 . А она равна 2 (получите это самостоятельно по аналогии с пунктом а). Теперь ясно, что последняя цифра числа 2011 2012 + 2012 2013 равна сумме последних цифр каждого из слагаемых, то есть 1 + 2 = 3.

8. Допишите к числу 523. три цифры так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 7, 8 и 9. Сколько всего таких чисел существует?

Ответ. Таких чисел два: 523152 и 523656.

Решение. Чтобы число одновременно делилось на 7, 8 и 9, необходимо, чтобы оно делилось на НОК(7, 8, 9) = 504 (вспомните задачу 3). Теперь выясним, какие из шестизначных чисел вида 523. делятся на 504. Сначала поделим 523000 на 504 с остатком: 523000 = 504 · 1037 + 352. Чтобы получить ближайшее к 523000 число, делящееся на 504, нужно взять число 504 · 1038 = 523152. Это одно из интересующих нас чисел. Следующее за ним число, делящееся на 504, равно 523152 + 504 = 523656. Следующее число, кратное 504, уже будет больше 524000. Таким образом, мы нашли все интересующие нас числа.

9. В магазине было 6 ящиков яблок, массы которых равны соответственно 15, 16, 18, 19, 20 и 31 кг. Две фирмы приобрели 5 ящиков, причем одна из них взяла в два раза больше яблок (по массе), чем другая. Какой ящик остался в магазине?

Ответ. Ящик массой 20 кг.

Решение. Поскольку одна фирма купила вдвое больше яблок, чем другая, общая масса купленных яблок должна делиться на 3 (тогда две трети купит первая компания и ещё треть — вторая). Общая масса всех яблок в магазине равна 15 + 16 + 18 + 19 + 20 + 31 = 119 кг. Осталось определить, какое из чисел 15, 16, 18, 19, 20 и 31 нужно отнять от 119, чтобы получилось число, кратное трём. Нетрудно убедиться, что это может быть только число 20.

10. Вершины тысячеугольника занумерованы по порядку от 1 до 1000. Сан Саныч отмечает каждую пятнадцатую вершину, начиная с первой (то есть вершины с номерами 1, 16, 31, 46 и т.д.). Так он делает до тех пор, пока не дойдёт до уже отмеченной вершины. Сколько вершин тысячеугольника останутся неотмеченными?

Решение. Будем выписывать номера отмеченных вершин. Первые несколько из них делятся на 15 с остатком 1: это 1, 16, 31, . 991. Дальше будет 6 и другие номера, делящиеся на 15 с остатком 6: 21, 36, . 996. Дальше будет 11 и другие номера, делящиеся на 15 с остатком 11: 26, 41, . 986. А потом — снова 1, и больше никакие вершины отмечены не будут. Если аккуратно посчитать (проделайте это!), отмеченных вершин получится 200 штук, а неотмеченных — 800.

11. Если в выражение n 2 + n + 41 подставлять n = 1, 2, 3, 4, 5, получатся простые числа 43, 47, 53, 61, 71. Верно ли, что при подстановке в это выражение любого натурального числа n получится простое число?

Решение. Если подставить в это выражение n = 41, получим сумму 41 2 + 41 + 41. Каждое слагаемое в этой сумме делится на 41, поэтому и вся сумма делится на 41. Кроме того, эта сумма, очевидно, не равна 41. А значит, она не является простым числом.

  • ЗАДАЧИ
  • 6 класс
  • Письменная работа
  • Задачи для знакомства
  • Ацнок с зиланА
  • Чётность
  • Делимость
  • В триодиннадцатом королевстве
  • Алгоритмы
  • Математические игры
  • Движение и работа
  • Геометрия
  • Комбинаторика
  • Комбинаторика — 2
  • Задачи на повторение
  • Математическая абака
  • География и путешествия
  • Признаки делимости
  • Последовательности
  • От противного
  • Графы
  • Шахматы
  • Раскраски
  • Последняя цифра
  • Оценка плюс пример
  • Лингвистика
  • История математики
  • ЗАДАЧИ ДОП. НАБОРОВ
  • Доп. набор 1
  • Доп. набор 2

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!


Нечетное шестизначное число все цифры которого различны

Най­ди­те ше­сти­знач­ное число, про­из­ве­де­ния ко­то­ро­го на n дают в про­из­воль­ном по­ряд­ке числа, по­лу­ча­е­мые из ис­ко­мо­го по прин­ци­пу кру­го­вой за­ме­ны.

Пусть N — ис­ко­мое число, где ше­сти­знач­ное число. Тогда пер­вая цифра еди­ни­ца, то есть где x — пя­ти­знач­ное. При кру­го­вой за­ме­не, как и при умно­же­нии на одно из зна­че­ний долж­но по­лу­чить­ся число, окан­чи­ва­ю­ще­е­ся еди­ни­цей Тогда

Сле­до­ва­тель­но, n — не­чет­ное, зна­чит, Сле­до­ва­тель­но,

Нечетное шестизначное число все цифры которого различны

При решении задач этого занятия вам пригодятся следующие признаки делимости:

Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда его сумма цифр делится на 3.
Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда его сумма цифр делится на 9.
Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра чётна.
Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0 или 5.
Натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, образованное его двумя последними цифрами (в том же порядке), делится на 4.
Натуральное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное его тремя последними цифрами (в том же порядке), делится на 8.

1. Вовочка написал в тетради число 65349*0712 в качестве примера числа, которое делится: а) на 9; б) на 3. (На месте звёздочки когда-то была написана цифра, а теперь там пятно от сладкого чая.) Помогите Вовочке восстановить пропущенную цифру. Укажите все возможные варианты!

Ответ. а) 8; б) 2, 5 или 8.

Сумма известных цифр числа равна 37.

a) Чтобы число делилось на 9, нужно, чтобы его сумма цифр делилась на 9. Это возможно, только если на месте звёздочки стоит цифра 8.

б) Чтобы число делилось на 3, нужно, чтобы его сумма цифр делилась на 3. Это возможно, только если на месте звездочки стоит одна из цифр 2, 5, 8.

2. Запишем подряд цифры от 1 до 9, получим число 123456789. Простое оно или составное? Изменится ли ответ в задаче, если каким-то образом поменять порядок цифр в этом числе?

Ответ. Составное; не изменится.

Решение. Легко проверить, что сумма цифр этого числа равна 45 и делится на 9. Значит, в силу признака делимости на 9 и само число делится на 9 и потому составное. При любой перестановке цифр числа сумма этих цифр не изменяется, поэтому число будет по-прежнему делиться на 9 (а значит, будет составным).

3. Делится ли число 32561698 на 12? Решите эту задачу: а) с помощью признака делимости на 4; б) с помощью признака делимости на 3.

Ответ. Не делится.

а) Число оканчивается на 98, а 98 не делится на 4. Поэтому по признаку делимости на 4 число на делится на 4. Но любое число, делящееся на 12, должно делиться и на 4.

б) Сумма цифр числа равна 40, а 40 не делится на 3. Поэтому по признаку делимости на 3 число на делится на 3. Но любое число, делящееся на 12, должно делиться и на 3.

4. Даша и Таня по очереди выписывают на доску цифры шестизначного числа. Сначала Даша выписывает первую цифру, затем Таня — вторую, и так далее. Таня хочет, чтобы полученное в результате число делилось на три, а Даша хочет ей помешать. Кто из них может добиться желаемого результата независимо от ходов соперника?

У Тани есть следующая выигрышная стратегия: после очередного хода Даши она должна дописать к числу такую цифру, чтобы в результате сумма цифр числа делилась на 3. Это всегда можно сделать (более того, для этого Тане достаточно использовать цифры 0, 1 и 2). Тогда после каждого хода Тани (в том числе после последнего) написанное на доске число будет делиться на 3, и Таня выиграет.

Упражнение. Попробуйте доказать, что Тане для выигрыша достаточно правильно сделать последний ход (независимо от её предыдущих ходов).

5. В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, составленное из цифр — названий этих городов, делится на 3. Можно ли добраться из города 1 в город 9?

Решение. Город 9 соединён авиалиниями только с городами 3 и 6, а города 3 и 6 соединены только между собой и с городом 9. (Это можно проверить непосредственно, а можно упростить проверку, пользуясь признаком делимости на 3.) Поэтому от города 9 нельзя добраться до города 1. Стало быть, невозможно добраться и из города 1 в город 9.

6. Чтобы открыть сейф, нужно ввести код — семизначное число, состоящее из двоек и троек. Сейф откроется, если двоек в коде больше, чем троек, а сам код делится и на 3, и на 4. Какой код может открывать сейф?

В силу признака делимости на 4 код может оканчиваться только цифрами 32 (другие двузначные числа, составленные из цифр 2 и 3, не делятся на 4).

Двоек в коде больше, чем троек; значит, двоек не меньше четырёх, а троек не больше трёх. Если в коде четыре двойки и три тройки, то сумма цифр кода равна 2 · 4 + 3 · 3 = 17 и не делится на 3, поэтому и сам код не делится на 3. По аналогичной причине код не может состоять из пяти двоек и двух троек (тогда сумма цифр была бы равна 2 · 5 + 3 · 2 = 16). Значит, код может состоять только из одной тройки и шести двоек (тогда сумма цифр равна 2 · 6 + 3 · 1 = 15 и код делится на 3).

Положение единственной тройки в коде мы уже определили, а остальные цифры · двойки. Значит, подходит только код 2222232.

7. Замените звездочки в записи числа 72*4* цифрами так, чтобы это число делилось на 45. Укажите все возможные варианты!

Ответ. 72540, 72045, 72945.

Число делится на 45 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 9 (докажите это с помощью основной теоремы арифметики). Чтобы число делилось на 5, последняя цифра должна быть равна 0 или 5.

Пусть последняя цифра числа равна 0, тогда сумма известных нам цифр числа равна 7 + 2 + 4 + 0 = 13. Чтобы число делилось также и на 9, нужно дополнить сумму цифр до числа, кратного 9. Это удастся сделать, только если взять в качестве третьей цифры числа цифру 5. Этот случай даёт нам число 72540.

Пусть теперь последняя цифра числа равна 5, тогда сумма известных нам цифр числа равна 7 + 2 + 4 + 5 = 18 и уже делится на 9. Чтобы число делилось также и на 9, нужно, чтобы после дописывания ещё одной цифры сумма цифр числа по-прежнему была кратна 9. Это условие будет выполнено, только если взять в качестве третьей цифры числа цифру 0 или цифру 9. Таким образом, этот случай даёт нам ещё два числа: 72045 и 72945.

8. а) Докажите, что произведение двух последовательных чётных чисел всегда делится на 8. б) Может ли произведение четырех последовательных натуральных чисел оканчиваться на 116?

Ответ. б) Не может.

а) Из двух последовательных чётных чисел одно к тому же обязательно делится на 4 (докажите это аккуратно, пользуясь признаком делимости на 4), поэтому их произведение делится на 8.

б) Среди четырёх последовательных натуральных чисел всегда будут два последовательных чётных числа, так что их произведение должно делиться на 8 по пункту а. А число 116 не делится на 8. Значит, оно не может быть образовано тремя последними цифрами числа, делящегося на 8.

9. Докажите, что из любых семи различных цифр можно составить число, которое делится на четыре.

Достаточно доказать, что среди любых 7 различных цифр найдутся две, из которых можно составить число, кратное 4. Тогда это число можно будет поставить в конец числа, а остальные цифры расставить в произвольном порядке перед ними. Полученное число будет делиться на 4 в силу признака делимости на 4.

Среди 7 различных цифр обязательно найдутся по крайней мере две чётных (иначе среди них было бы по крайней мере 6 нечётных цифр, а нечётных цифр всего 5). Числа, кратные 4, можно составить из «хороших» пар чётных цифр (0, 2), (0, 4), (0, 6), (0, 8), (2, 4), (2, 8), (4, 6), (4, 8) и (6, 8). Остаётся ещё «плохая» пара (2, 6). Если других чётных цифр в наборе нет, то в нём должны содержаться все нечётные цифры (в том числе 1). Тогда, используя имеющиеся в наборе в этом случае цифры 1 и 6, можно составить число 16, кратное 4. Если же в наборе есть другие чётные цифры, то есть по крайней мере одна из «хороших» пар чётных цифр, а этот случай рассмотрен выше.

10. Может ли произведение числа и суммы его цифр равняться 4704?

Если число делится на 3, то в силу признака делимости и его сумма цифр делится на 3. Тогда произведение числа и суммы его цифр делится на 9. Если же число не делится на 3, то и сумма его цифр не делится на 3, значит, и произведение числа и суммы его цифр не делится на 3.

Таким образом, произведение числа на сумму его цифр либо делится на 9, либо не делится на 3. А число 4704 делится на 3, но не делится на 9.

Упражнение. В условии задачи не сказано, что число должно быть целым. Проверьте, что ответ останется тем же и для дробных чисел, записанных при помощи конечных десятичных дробей.

11. Может ли натуральное число, записываемое с помощью 10 нулей, 10 единиц и 10 двоек, быть квадратом некоторого другого натурального числа?

Сумма цифр числа, составленного из таких цифр, равна 10 · 0 + 10 · 1 + 10 · 2 = 30. Значит, в силу признаков делимости это число делится на 3, но не делится на 9.

Предположим, что искомое число m является квадратом числа n , то есть m = n 2 = n · n . Если m кратно 3, то и n кратно 3, а тогда m = n · n должно быть кратно 9.

12. Натуральное число В обладает следующим свойством: для любого числа A, которое делится на В, на В также делятся и все числа, полученные из А перестановкой цифр. Докажите, что В может быть равно только 1, 3 или 9.

Решение. Пусть число В — k -значное. Тогда среди чисел от 10 k +1 до 10 k +1 +B ровно одно число делится на B. Пусть это число имеет вид 10 mkmk -1. m 1 (в этом решении такая запись означает не произведение нескольких чисел, а одно число, состоящее из цифр 1, 0, mk, mk -1, . m 1). Раз делимость на В не зависит от порядка цифр числа, то на В делятся также числа mkmk -1. m 110 и mkmk -1. m 101. Значит, и разность этих двух чисел, равная 9, должна делиться на В. А это возможно только при В = 1, В = 3 или В = 9.

  • ЗАДАЧИ
  • 6 класс
  • Письменная работа
  • Задачи для знакомства
  • Ацнок с зиланА
  • Чётность
  • Делимость
  • В триодиннадцатом королевстве
  • Алгоритмы
  • Математические игры
  • Движение и работа
  • Геометрия
  • Комбинаторика
  • Комбинаторика — 2
  • Задачи на повторение
  • Математическая абака
  • География и путешествия
  • Признаки делимости
  • Последовательности
  • От противного
  • Графы
  • Шахматы
  • Раскраски
  • Последняя цифра
  • Оценка плюс пример
  • Лингвистика
  • История математики
  • ЗАДАЧИ ДОП. НАБОРОВ
  • Доп. набор 1
  • Доп. набор 2

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!


Нечетное шестизначное число все цифры которого различны

Задача 24:

Докажите, что любое натуральное число сравнимо со своей последней цифрой по модулю а) 10; б) 2; в) 5.

Задача 25:

Задача 26:

Сформулируйте и докажите признаки делимости на 2 n и 5 n .

Задача 27:

Последняя цифра квадрата натурального числа равна 6. Докажите, что его предпоследняя цифра нечетна.

Задача 28:

Предпоследняя цифра квадрата натурального числа – нечетная. Докажите, что его последняя цифра 6.

Задача 29:

Докажите, что степень двойки не может оканчиваться четырьмя одинаковыми цифрами.

Задача 30:

Найдите 100-значное число без нулевых цифр, которое делится на сумму своих цифр.

Задача 31:

Докажите, что любое натуральное число сравнимо с суммой своих цифр по модулю а) 3; б) 9.

Задача 32:

Можно ли записать точный квадрат, использовав по 10 раз цифры а) 2, 3, 6; б) 1, 2, 3 ?

Задача 33:

У числа 2¹ºº нашли сумму цифр, у результата снова нашли сумму цифр и т.д. В конце концов получилось однозначное число. Найдите его.

Задача 34:

Докажите, что если записать в обратном порядке цифры любого натурального числа, то разность исходного и нового числа будет делиться на 9.

Задача 35:

К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

Задача 36:

Сколько имеется четырехзначных чисел, которые делятся на 45, а две средние цифры у них – 97?

Задача 37:

Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого встречаются все 10 цифр.

Задача 38:

Докажите, что произведение последней цифры числа 2 n и суммы всех цифр этого числа, кроме последней, делится на 3.

Задача 39:

Может ли сумма цифр точного квадрата равняться 1970?

Задача 40:

Из трехзначного числа вычли сумму его цифр. С полученным числом проделали то же самое и так далее, 100 раз. Докажите, что в результате получится нуль.

Задача 41:

Пусть A – сумма цифр числа 4444 4444 , а B – сумма цифр числа A. Найдите сумму цифр числа B.

Задача 42:

Задача 43:

Докажите, что число 111 … 11 (2n единиц) – составное.

Задача 44:

Докажите, что число – составное.

Задача 45:

Пусть a, b, c, d – различные цифры. Докажите, что не делится на .

Задача 46:

A – шестизначное число, в записи которого по одному разу встречаются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Докажите, что A не делится на 11.

Задача 47:

Докажите, что разность числа, имеющего нечетное количество цифр, и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 99.

Задача 48:

Можно ли составить из цифр 2, 3, 4, 9 (каждую цифру можно использовать сколько угодно раз) два числа, одно из которых в 19 раз больше другого?

Задача 49:

Сумма двух цифр a и b делится на 7. Докажите, что число также делится на 7.

Задача 50:

Сумма цифр трехзначного числа равна 7. Докажите, что это число делится на 7 тогда и только тогда, когда две его последние цифры равны.

Задача 51:

а) Дано шестизначное число , причем делится на 7. Докажите, что и само число делится на 7.

б) Сформулируйте и докажите признак делимости на 7.

в) Сформулируйте и докажите признак делимости на 13.

Задача 52:

а) Дано шестизначное число , причем делится на 37. Докажите, что и само число делится на 37.

б) Сформулируйте и докажите признак делимости на 37.

Задача 53:

Существует ли такое трехзначное число , что является квадратом натурального числа?

Задача 54:

Найдите наименьшее число, записываемое одними единицами, делящееся на 333 … 33 (в записи 100 троек).

Задача 55:

Может ли сумма нескольких первых натуральных чисел оканчиваться на 1989?

Задача 56:

Найдите все натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между цифрой единиц и цифрой десятков вставить ноль.

Задача 57:

Между цифрами двузначного числа, кратного трем, вставили нуль, и к полученному трехзначному числу прибавили удвоенную цифру его сотен. Получилось число, в 9 раз большее первоначального. Найдите исходное число.

Задача 58:

Найдите четырехзначное число, являющееся точным квадратом, первые две цифры которого равны между собой и последние две цифры которого также равны между собой.

Задача 59:

Найдите все трехзначные числа, каждая натуральная степень которых оканчивается на три цифры, составляющие первоначальное число.

Задача 60:

К числу справа приписывают тройки. Докажите, что когда-нибудь получится составное число.

Задача 61:

Докажите, что все числа ряда 10001,100010001,1000100010001, … являются составными.

Задачная база >> Разное >> Математический кружок. 2-й год >> Делимость-2 >> Десятичная запись и признаки делимости Показать решения

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *