Корень четной кратности как определить
Перейти к содержимому

Корень четной кратности как определить

  • автор:

Научный форум dxdy

$x^4-5x^2-2011=0$

Доброго времени суток. Помогите утвердиться в мысли. Имеет ли уравнение четные или нечетные корни?

Понимаю так, что речь идет о целых корнях? Перепишем:

$x^2(x^2-5)=2011$. Очевидно $x^2$и $x^2-5$имеют разную четность, поэтому их произведение не может быть нечетным числом, т.е ни четных или ни нечетных и, соответственно, целых решений у этого уравнения нет? Верно?

Re: Четность и нечетность
18.02.2019, 13:53

Последний раз редактировалось wrest 18.02.2019, 13:54, всего редактировалось 1 раз.

$2011$

Stensen
— простое число, ващета (это так, на будущее) 🙂

Возможно, имелись в виду корни четной и\или нечетной кратности ?

Четная/нечетная кратность корня — этого когда имеется четное/нечетное количество равных (одинаковых) корней. Например $(x-1)^3=0$, тут $x=1$корень кратности '$, то есть нечетной кратности.

Корень четной кратности как определить

Скачай курс
в приложении

Перейти в приложение
Открыть мобильную версию сайта

© 2013 — 2024. Stepik

Наши условия использования и конфиденциальности

Get it on Google Play

Public user contributions licensed under cc-wiki license with attribution required

что такое корни четной кратности?

А Если рг ( 1 г. те) — корень кратности ( л,
( 1 ( лг п) уравнения / ( р) 0, то число рг
называется кратностью
характеристического корня. [ 1 ]
Существует п линейно независимых
собственных векторов, причем каждому
корню кратности k уравнения периодов
(9.2.1) соответствует k таких векторов. [ 2 ]
Его производная порядка ( п — 1) имеет
эти же корни первой кратности [ I, 186 ],
и, следовательно, внеинтегральный член
в написанном уравнении равен нулю. [ 3 ]
F ( х) — срт ( ж) , кроме корня кратности т
— 1 в начале и одного простого корня,
меньшего чем, должна иметь еще по
крайней мере один корень нечетного
порядка ( где она еще раз меняет знак) ,
что невозможно. [ 4 ]
Число 1 не есть корень
характеристического уравнения, а 3 есть
его корень первой кратности . [ 5 ]
Первое слагаемое обращается в нуль, ибо
( х2 — 1) в точках 1 имеет корень
кратности п, а каждое
дифференцирование снижает кратность
корня на единицу. [ 6 ]
Идея метода интервалов заключается в
том, что многочлен Р ( х) при переходе
через свой корень нечетной кратности
меняет знак, а при переходе через корень
четной кратности сохраняет знак. [ 7 ]
Доказать, что ограничение полинома Р на
любую прямую, проходящую через точку
А, имеет в точке А корень кратности не
меньше k, причем кратность корня
больше k лишь для конечного числа
прямых. [ 8 ]
Поскольку полином ф ( t) положителен в
промежутке [ т, М ], внутри этого
промежутка он не может иметь корней
нечетной кратности, кроме того, так как
при переходе через корень нечетной
кратности знак полинома меняется, а
знак ф ( t) для достаточно больших t
совпадает со знаком старшего
коэффициента сп, то в случае с О число
корней нечетной кратности,
превосходящих или равных М, будет
четным, а если с 0, — нечетным. [ 9 ]
Если при этом од и о связаны равенством
Т ( од 0о) О гДе Т ( а 0) определяется в
(4.6), то имеем корень кратности
три. [ 10 ]
С математической точки зрения тот факт,
что частное решение уравнения ( 32)
имеет вид ctcost — где с-постоянная,
объясняется тем, что число ku i ( см.
пример 3) есть корень кратности 1
характеристического уравнения. [ 11 ]
Поскольку полином ф ( t) положителен в
промежутке [ т, М ], внутри этого
промежутка он не может иметь корней
нечетной кратности, кроме того, так как
при переходе через корень нечетной
кратности знак полинома меняется, а
знак ф ( t) для достаточно больших t
совпадает со знаком старшего
коэффициента сп, то в случае с О число
корней нечетной кратности,
превосходящих или равных М, будет
четным, а если с 0, — нечетным. [ 12 ]
Положим далее, что все определители
упомянутой таблицы порядка ( я — 2)
имеют X а корнем кратности k %, но не
выше, и так дальше, и, наконец, все
определители порядка ( п — т) имеют
упомянутый корень кратности km, а
хоть один из определителей порядка ( п —
т — 1) уже вовсе не обращается в нуль при
Х а. То же самое будет, очевидно, иметь
место и для определителей более низкого
порядка. [ 13 ]
Поскольку полином ф ( t) положителен в
промежутке [ т, М ], внутри этого
промежутка он не может иметь корней
нечетной кратности, кроме того, так как
при переходе через корень нечетной
кратности знак полинома меняется, а
знак ф ( t) для достаточно больших t
совпадает со знаком старшего
коэффициента сп, то в случае с О число
корней нечетной кратности ,
превосходящих или равных М, будет
четным, а если с 0, — нечетным. [ 14 ]
В таких случаях целесообразно ввести
понятие кратности корня. Корни
кратности единица называются
простыми корнями многочлена. Таким
образом, многочлен Pt ( x) в
вышеприведенном примере ( 5) имеет
один корень х кратности два.

А Если рг ( 1 г. те) — корень кратности ( л,
( 1 ( лг п) уравнения / ( р) 0, то число рг
называется кратностью
характеристического корня. [ 1 ]
Существует п линейно независимых
собственных векторов, причем каждому
корню кратности k уравнения периодов
(9.2.1) соответствует k таких векторов. [ 2 ]
Его производная порядка ( п — 1) имеет
эти же корни первой кратности [ I, 186 ],
и, следовательно, внеинтегральный член
в написанном уравнении равен нулю. [ 3 ]
F ( х) — срт ( ж) , кроме корня кратности т
— 1 в начале и одного простого корня,
меньшего чем, должна иметь еще по
крайней мере один корень нечетного
порядка ( где она еще раз меняет знак) ,
что невозможно. [ 4 ]
Число 1 не есть корень
характеристического уравнения, а 3 есть
его корень первой кратности . [ 5 ]
Первое слагаемое обращается в нуль, ибо
( х2 — 1) в точках 1 имеет корень
кратности п, а каждое
дифференцирование снижает кратность
корня на единицу. [ 6 ]
Идея метода интервалов заключается в
том, что многочлен Р ( х) при переходе
через свой корень нечетной кратности
меняет знак, а при переходе через корень
четной кратности сохраняет знак. [ 7 ]
Доказать, что ограничение полинома Р на
любую прямую, проходящую через точку
А, имеет в точке А корень кратности не
меньше k, причем кратность корня
больше k лишь для конечного числа
прямых. [ 8 ]
Поскольку полином ф ( t) положителен в
промежутке [ т, М ], внутри этого
промежутка он не может иметь корней
нечетной кратности, кроме того, так как
при переходе через корень нечетной
кратности знак полинома меняется, а
знак ф ( t) для достаточно больших t
совпадает со знаком старшего
коэффициента сп, то в случае с О число
корней нечетной кратности,
превосходящих или равных М, будет
четным, а если с 0, — нечетным. [ 9 ]
Если при этом од и о связаны равенством
Т ( од 0о) О гДе Т ( а 0) определяется в
(4.6), то имеем корень кратности
три. [ 10 ]
С математической точки зрения тот факт,
что частное решение уравнения ( 32)
имеет вид ctcost — где с-постоянная,
объясняется тем, что число ku i ( см.
пример 3) есть корень кратности 1
характеристического уравнения. [ 11 ]
Поскольку полином ф ( t) положителен в
промежутке [ т, М ], внутри этого
промежутка он не может иметь корней
нечетной кратности, кроме того, так как
при переходе через корень нечетной
кратности знак полинома меняется, а
знак ф ( t) для достаточно больших t
совпадает со знаком старшего
коэффициента сп, то в случае с О число
корней нечетной кратности,
превосходящих или равных М, будет
четным, а если с 0, — нечетным. [ 12 ]
Положим далее, что все определители
упомянутой таблицы порядка ( я — 2)
имеют X а корнем кратности k %, но не
выше, и так дальше, и, наконец, все
определители порядка ( п — т) имеют
упомянутый корень кратности km, а
хоть один из определителей порядка ( п —
т — 1) уже вовсе не обращается в нуль при
Х а. То же самое будет, очевидно, иметь
место и для определителей более низкого
порядка. [ 13 ]
Поскольку полином ф ( t) положителен в
промежутке [ т, М ], внутри этого
промежутка он не может иметь корней
нечетной кратности, кроме того, так как
при переходе через корень нечетной
кратности знак полинома меняется, а
знак ф ( t) для достаточно больших t
совпадает со знаком старшего
коэффициента сп, то в случае с О число
корней нечетной кратности ,
превосходящих или равных М, будет
четным, а если с 0, — нечетным. [ 14 ]
В таких случаях целесообразно ввести
понятие кратности корня. Корни
кратности единица называются
простыми корнями многочлена. Таким
образом, многочлен Pt ( x) в
вышеприведенном примере ( 5) имеет
один корень х кратности два.

Похожие вопросы

Корень четной кратности как определить

Подписаться

Неравенства

  • БАЗОВАЯ МАТЕМАТИКА
  • ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
  • ПЛАНИМЕТРИЯ
  • СТЕРЕОМЕТРИЯ
  • Равносильные системы
  • Системы уравнений
  • Метод рационализации
  • Отбор корней
  • Уравнения с модулем
  • Показательная функция
  • Иррациональные уравнения
  • Тригонометрические уравнения II
  • Формулы тригонометрии
  • Простейшие тригонометрические уравнения
  • Тригонометрический круг
  • Логарифмические уравнения
  • Первообразная
  • Смысл производной
  • Правила дифференцирования
  • Графики функций
  • Степени и корни
  • Разложение на множители. Формулы сокращённого умножения
  • Рациональные уравнения

Неравенства

Неравенства используются для сравнения чисел и выражений. Можно сравнивать числа и делать вывод об их расположении на числовой прямой. Неравенство означает, что 7 лежит правее на координатной оси.

Так же можно сравнивать самые разные выражения, например, или В таком случае говорят о множестве решений неравенства, то есть о всех значениях переменной, для которой данное неравенство выполняется (в некоторых случаях это множество может состоять из одной точки или вообще быть пустым).

Неравенства можно обозначать четырьмя способами:

Если неравенство строгое, то граничная точка в решение не входит (поэтому ее «выкалывают» на координатной оси). У нестрого неравенства граничная точка в решение входит.

Правила преобразований неравенств

1. Любое слагаемое в неравенстве можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный:

2. Можно умножать и делить левую и правую части уравнения на одно и то же положительное число:

3. Можно умножать и делить левую и правую части уравнения на одно и то же отрицательное число, заменяя при этом знак неравенства на противоположный:

4. Как и в уравнениях можно раскрывать скобки и упрощать выражения в обеих частях или, наоборот, раскладывать на множители.

Решение линейных неравенств

1. С помощью разрешенных преобразований преобразуем неравенства так, чтобы с одной стороны было только выражение, содержащее переменную, а с другой только число:

2. Делим на коэффициент перед переменной, при необходимости меняя знак на противоположный:

Ответ:

Решение рациональных неравенств других степеней

Для решения таких неравенств применяется метод интервалов. Рассмотрим его алгоритм.

1. Переносим все слагаемые влево.

2. Раскладываем левую часть на множители.

3. Отмечаем на координатной оси нули числителя и знаменателя. Нули знаменателя всегда «выколотые» точки.

4. Определяем знак неравенства в крайнем правом промежутке (можно подставить пробную точку из каждого промежутка в преобразованное неравенство).

5. Определяем знаки в остальных промежутках, двигаясь влево. Если корень имеет нечетную кратность (то есть встречается нечетное число раз), то при переходе через него знак неравенства меняется. В случае четной кратности (корень встречается четное число раз), знак неравенства остается тем же.

6. Выбираем нужные промежутки и записываем ответ.

На практике решение выглядит следующим образом:

3. Так как пункты 1 и 2 алгоритма уже выполнены, сразу переходим к пункту 3.

Нули числителя:

Нули знаменателя: .

4. Отмечаем полученные точки на координатной прямой.

5. В крайнем правом промежутке можно рассмотреть точку . После подстановки получаем, что выражение больше 0.

6. Определяем знаки в оставшихся промежутках. Так как корни встречаются один раз, то при переходе через них знак неравенства меняется. Корень имеет кратность два, поэтому знак неравенства сохранится.

7. Так как необходимо определить, когда выражение меньше или равно нуля, то решением является множество . Обратите внимание, что точка 0 является решением, так как неравенство нестрогое.

Ответ:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *