Какое наибольшее число корней может иметь биквадратное уравнение
Перейти к содержимому

Какое наибольшее число корней может иметь биквадратное уравнение

  • автор:

Онлайн калькулятор. Решение биквадратных уравнений

Используя этот онлайн калькулятор для решения биквадратных уравнений, вы сможете очень просто и быстро найти корни биквадратных уравнения.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для решения биквадратных уравнений, вы получите детальное решение вашего примера, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденный на уроках материал.

Калькулятор биквадратных уравнений

1 2 3 ÷
x 2 x 4 4 5 6 × С
= 7 8 9
. 0 +

Ввод данных в калькулятор биквадратных уравнений

  • введите ваше биквадратное уравнение в калькулятор;
  • нажмите кнопку  для выполнения вычислений.

Дополнительные возможности калькулятора биквадратных уравнений

  • С — полностью очистить поле ввода.
  •  — удалить один символ.
  •   для перемещения между полями калькулятора.

Теория. Решение биквадратных уравнений.

Биквадратное уравнение
— это уравнение вида
a x 4 + b x 2 + c = 0,
где a не равно 0.

Решить биквадратных уравнение означает найти все значения xi , при которых будет выполняться равенство

a xi 4 + b xi 2 + c = 0.
Методика решения биквадратных уравнений

Для решения биквадратного уравнения необходимо выполнить замену y = x 2 , тогда решение биквадратного уравнения сведется к решению квадратного уравнения

a y 2 + b y + c = 0.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Присоединяйтесь
© 2011-2024 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Биквадратное уравнение

Биквадратным уравнением – называется уравнение вида ax 4 + bx 2 + c = 0.

Метод решения

Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению при помощи подстановки .

Новое квадратное уравнение относительно переменной :

Решая это уравнение, мы получаем корни квадратного уравнения и . Решая эти два уравнения ( и ) относительно переменной , мы получаем корни данного биквадратного уравнения.

  1. Ввести новую переменную
  2. Подставить данную переменную в исходное уравнение
  3. Решить квадратное уравнение относительно новой переменной
  4. После нахождения корней () подставить их в нашу переменную и найти исходные корни биквадратного уравнения
Пример решения

Решим биквадратное уравнение . Сначала приводим это уравнение к квадратному. Для этого введем вспомогательное неизвестное такое, что . Тогда . Теперь данное биквадратное уравнение приводится к виду:

Решая это квадратное уравнение, мы получим , . Так как , то данное биквадратное уравнение эквивалентно системе двух уравнений:

Решим каждое из этих уравнений и найдем объединение множеств их решений.

  • Арифметика
      • Свойства арифметических действий
        • Формулы сокращенного умножения
        • Геометрическая прогрессия
        • Корни и степени. Свойства корней n-ой степени. Таблица корней
        • Арифметическая прогрессия. Формула суммы арифметической прогрессии
        • Модуль числа, его определение и геометрический смысл. Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль числа
        • Логарифм и его свойства. Примеры решения логарифмов
        • Показательные уравнения: примеры и решения
        • Квадратное уравнение и решение полных и неполных квадратных управнений
        • Биквадратное уравнение и методы и примеры его решения
          • Экономико-математические методы и модели анализа
            • Метод наименьших квадратов
              • Тригонометрический круг
              • Тригонометрические формулы и тригонометрические функции
              • Решения простейших тригонометрических уравнений
              • Решение уравнений cosx= 0, 1, -1.
                • N-мерные матрицы. Умножение и сложение N-мерных матриц
                • Решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса
                • Система линейных уравнений и её виды. Матричная форма записи системы линейных уравнений
                • Линейная зависимость векторов. Базис системы векторов
                • Обратная матрица. Решение матричных уравнений. Алгоритм нахождения обратной матрицы
                • Определитель матрицы. Метод Крамера
                • Математические модели задач линейного программирования
                • Симплексный метод решения задач линейного программирования
                • Транспортная задача. Математическая модель [ч.1]
                • Транспортная задача. Опорное решение [ч.2]. Метод северо-западного угла
                • Множество и операции над множествами
                • Производная функции. Правила дифференцирования и таблица производных

                Биквадратные уравнения

                Биквадратное уравнение — уравнение, которое можно привести к виду:

                ax 4 + bx 2 + c = 0,

                Для решения биквадратных уравнений x 2 заменяется на любую другую букву, например, на y, то есть:

                если x 2 = y, то ax 4 + bx 2 + c = ay 2 + by + c = 0.

                Следовательно, относительно y, уравнение является квадратным и решается по формуле корней квадратного уравнения, а затем вычисляются корни биквадратного уравнения, если они есть.

                Пример. Решить уравнение:

                x 4 — 10x 2 + 9 = 0.

                Решение: Заменяем x 2 на y, чтобы получить квадратное уравнение:

                y 2 — 10y + 9 = 0.

                D = b 2 — 4ac = (-10) 2 — 4 · 1 · 9 = 100 — 36 = 64, D > 0.

                как решать биквадратное уравнение

                y1 = (10 + 8) : 2 = 9,

                y2 = (10 — 8) : 2 = 1.

                Теперь надо решить уравнения:

                x 2 = 9 и x 2 = 1.

                1) x 2 = 9; x1 = 3, x2 = -3;

                2) x 2 = 1; x3 = 1, x4 = -1.

                Ответ: 3, -3, 1, -1.

                Биквадратное уравнение

                Биквадратные уравнения решают введением новой переменной x²=t. Так как x²≥0, можем сразу ввести условие на t: t≥0.

                По следствию из теоремы Безу, многочлен степени n имеет не больше n разных корней. Следовательно, биквадратное уравнение может иметь 4, 3, 2 корня, 1 корень либо не иметь корней.

                Рассмотрим решение биквадратных уравнений на конкретных примерах.

                \[1)4{x^4} - 5{x^2} + 1 = 0\]

                \[D = {( - 5)^2} - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 9\]

                \[{t_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{5 \pm \sqrt 9 }}{{2 \cdot 4}} = \frac{{5 \pm 3}}{8}\]

                \[{t_1} = \frac{{5 + 3}}{8} = 1;{t_2} = \frac{{5 - 3}}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\]

                Оба корня удовлетворяют условию t≥0.

                Возвращаемся к исходной переменной:

                \[{x_1} = 1;{x_2} = - 1;{x_3} = \frac{1}{2};{x_4} = - \frac{1}{2}.\]

                Так как b= -2 — чётное число, дискриминант можно найти по формуле дискриминанта, делённого на 4:

                \[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{ - 2}}{2})^2} - 1 \cdot ( - 8) = 9\]

                \[{t_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{{ - 2}}{2} \pm \sqrt 9 }}{1} = 1 \pm 3\]

                Второй корень не удовлетворяет условию t≥0. От корня t=4 возвращаемся к исходной переменной

                \[3){x^4} - 10{x^2} + 9 = 0\]

                Корни приведённого квадратного уравнения можно найти по теореме, обратной теореме Виета:

                Оба корня удовлетворяют условию t≥0. Возвращаемся к исходной переменной:

                \[{x_1} = 3;{x_2} = - 3;{x_3} = 1;{x_4} = - 1.\]

                В некоторых случаях вывод о том, что биквадратное уравнение не имеет корней, можно сделать, не решая уравнения.

                \[4){x^4} + 11{x^2} + 10 = 0\]

                \[{x^4} \ge 0;11{x^2} \ge 0;10 ></p>
<p> 0,\]» width=»189″ height=»21″ /></p>
<p><img decoding=

                (Сумма неположительных чисел и отрицательного числа не может равняться нулю).

                Если левая часть биквадратного уравнения представляет собой квадрат разности, удобнее свернуть её по формуле и приравнять эту разность к нулю.

                \[6)9{x^4} - 6{x^2} + 1 = 0\]

                Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель дроби на квадратный корень из трёх:

                Биквадратные уравнения — первый вид уравнений, решаемых заменой переменной. В дальнейшем этот метод применяется очень часто при решении уравнений из самых разных разделов алгебры.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *