Как записать предел на языке эпсилон дельта
Перейти к содержимому

Как записать предел на языке эпсилон дельта

  • автор:

Как такой предел записать на языке эпсилон дельта

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Доказать на языке эпсилон-дельта
Что же, никакие конспекты не помогли мне понять этот язык. В частности из-за того что не было.

Сформулировать утверждения на «языке эпсилон — дельта»
Сформулировать следующие утверждения на "языке \epsilon — \delta",привести соответствующие примеры.

1595 / 1045 / 278
Регистрация: 05.10.2014
Сообщений: 5,138

Лучший ответ

Сообщение было отмечено free_qwe как решение

Решение

для всякого эпсилона найдется дельта, что f от x меньше дельты больше эпсилона.
Если справа просто бесконечность, то модуль f.

87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь

Пределы по определению , эпсилон дельта
Доказать через эпсилон дельту (найти дельта зависящую от эпсилон) предел: .

Доказательство предела через эпсилон/дельта
Ну вот элементарный пример: ^\rightarrow 4,\, (x\rightarrow 2) Ясно, что .

В таблице требуется записать дельта от x1 и дельта от x2
Делаю лабу по физике, пошел в лабораторную, сделал измерения , записал в таблицу x1,x2 (повторил 3.

Как можно посчитать такой предел?
Привет всем. Как можно посчитать такой предел? \lim_ zsin(\frac) Изначально задание.

Или воспользуйтесь поиском по форуму:

Предел ФУНКЦИИ по КОШИ (определение). Язык «эпсилон — дельта»

Иконка канала Учебник Ремонта

Задания: Сформултруйте на языке «ε-δ»(эпсилон — дельта) утверждение: f(x) → (стремится) к 2, при x → 3 Сформултруйте на языке «ε-δ»(эпсилон — дельта) утверждение: f(x) → (стремится) к 2, при x → бесконечности Сформултруйте на языке «ε-δ»(эпсилон — дельта) утверждение: f(x) → (стремится) к минус бесконечности, при x → 2 Сформултруйте на языке «ε-δ»(эпсилон — дельта) утверждение: f(x) → (стремится) к бесконечности, при x → 2 Сформултруйте на языке «ε-δ»(эпсилон — дельта) утверждение: f(x) → (стремится) к 2, при x → минус бесконечности

Показать больше

Войдите , чтобы оставлять комментарии

Как записать предел на языке эпсилон дельта

ishyfaq.ru

Запись предела на языке эпсилон дельта – это один из основных методов математического анализа, который используется для доказательства сходимости последовательностей и функций. Он позволяет формально определить, какое значение будет иметь функция или последовательность в пределе, когда аргумент достигает бесконечности или какого-либо другого значения. Этот метод основывается на использовании двух величин: эпсилон и дельта.

Эпсилон – это сколь угодно малое положительное число. Оно выбирается таким образом, чтобы для любого эпсилон можно было найти такое значение аргумента (дельта), при котором значение функции будет находиться в пределах эпсилон окрестности. Другими словами, для любого эпсилон найдется такое дельта, что если аргумент находится в пределах дельта окрестности, то значение функции будет находиться в пределах эпсилон окрестности.

Для более ясного понимания рассмотрим пример. Пусть нам нужно доказать сходимость последовательности \(a_n = \frac\) к нулю. Нам нужно найти такое число \(N\), что для всех \(n > N\) значение последовательности будет находиться в пределах некоторой эпсилон окрестности вокруг нуля.

Для любого эпсилон > 0 найдется такое натуральное число \(N\), что для всех \(n > N\) выполняется неравенство \(\left| \frac

ight| 0 мы должны найти такое натуральное число \(N\), что для всех \(n > N\) выполняется неравенство \(\left| \frac

ight| 2 — 1″ при «x→2» равен «3«, что записывается следующим образом:

Это означает, что при приближении «x» к «2«, значение функции «f(x)» будет стремиться к «3«.

Метод эпсилон-дельта: подробное объяснение

Метод эпсилон-дельта — это один из способов формального определения предела функции. Он учитывает близость значений функции к предельному значению и позволяет установить границы точности, с которой можно оценить предел. Этот метод использует эпсилон и дельта, две положительные числа, и выполняет следующие шаги:

  1. Формулировка предела: Ставится задача найти предел функции f(x) при x стремящемся к определенной точке a. Формально это записывается как lim(x->a) f(x) = L , где L — предельное значение.
  2. Выбор эпсилон и дельта: Выбираются два положительных числа: эпсилон (ε) и дельта (δ). Эпсилон представляет собой произвольно малое положительное число, которое определяет точность, с которой мы хотим приблизиться к предельному значению. Дельта — это произвольно малое положительное число, которое определяет окрестность точки a, в которой значения функции будут находиться при заданных ограничениях.
  3. Установление ограничений: Ограничения задаются в виде неравенств, которые должны выполняться для всех x в окрестности точки a, за исключением самой точки a. Неравенство выглядит следующим образом: 0 <|x - a|<δ =>|f(x) — L|
  4. Доказательство ограничений: Для доказательства ограничений используются математические операции и алгоритмы. Этот этап является наиболее сложным и требует аккуратных выкладок и логического рассуждения.

Метод эпсилон-дельта позволяет определить предел функции формально и строго. Он используется в математическом анализе для работы с пределами и доказательства теорем. Примеры применения этого метода можно найти в различных разделах математики, таких как дифференциальное и интегральное исчисление.

Вопрос-ответ

Что такое лимит функции?

Лимит функции — это значение, к которому приближается функция, когда ее аргумент приближается к определенной точке. Если функция имеет предел в данной точке, то она будет стремиться к нему, когда аргумент будет стремиться к этой точке. Лимит функции определяет поведение функции вблизи данной точки.

Что такое эпсилон-дельта определение предела?

Эпсилон-дельта определение предела — это математический способ формального определения предела функции в терминах эпсилон и дельта. Оно формализует идею, что при достаточно малых изменениях аргумента значения функции будут оставаться близкими к определенному пределу.

Как записать эпсилон-дельта определение предела?

Эпсилон-дельта определение предела записывается следующим образом: Лимит функции f(x), когда x стремится к a, равен L, если для любого положительного числа эпсилон существует положительное число дельта такое, что для всех значений x, отличных от a, удовлетворяющих условию 0

Предел функции: примеры решений

Рассмотрим понятие и определение предела, разберем основные решения пределов.

Разбор записи предела на математическом языке

Любой предел состоит из трех частей:

  1. Знак «lim», который, собственно, и определяет существование предела.
  2. Записи под знаком «lim», которая может приобретать вид \(x\rightarrow a,\) \(x\rightarrow0\) и \(x\rightarrow\infty\) . Такая запись читается «икс стремится к а (может принимать любое число)/нулю/бесконечности». На практике, переменная «х» может быть записана и другой буквой.
  3. Функции f(x) под знаком предела.

Для наилучшего понимания рассмотрим конкретный пример \(\lim_\frac\) .

Данная запись читается так: «предел функции \(\lim_\frac\) при икс стремящемся к единице». Что же значит выражение «икс стремится к единице»?

Понятие предела, в отличие от большинства известных математических понятий, динамическое, то есть нет какого-то статичного, неменяющегося числа или тождества в качестве его определения. Построим последовательность:

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»? Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность:

x=1,1, x=1,01, x=1,001, . x=1,00000001, .

Все данные значения x и разница между ними настолько малы и близки к одной точке (в данном случае к единице), что можно сказать, что «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают. Это и означает «икс стремится к единице».

Предел последовательности: определение и свойства

Предел последовательности, как и предел функции, является одним из основных понятий математического анализа. По сути, каждое вещественное число может быть представлено в виде последовательности максимально приближенных к нему чисел.

Вещественные (действительные) числа обозначаются как ε (эпсилон) и принадлежат множеству R, которое включает в себя все натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа.

Числа

Теперь обратимся к определению предела последовательности и разберем, что же оно означает.

Постоянное число называется пределом последовательности n>, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения xn, у которых n>N, удовлетворяют неравенству |xn — a| < ε.

То есть, основываясь на знании определения последовательности (пронумерованный и строгий набор каких-либо объектов, в математике — числе, которые можно записать в виде \(x_\;x_\;x_\;x_4\;. \;x_n\) ), мы утверждаем, что существует какая-то окрестность, все точки которой имеют такое значение, что при вычитании предела a из xn , модуль результата будет меньше заданного ε.

Для лучшего восприятия понятия «окрестность» рассмотрим следующее изображение:

Окрестность

Окрестностью в данном случае являются интервалы слева и справа от x0, причем окрестность может быть проколотой (третий случай), то есть сама точка x0 не входит в заданный интервал.

На математическом языке данное определение записывается следующим образом:

Это выражение равносильно двойному неравенству a — ε < xn < a + ε, которое означает, что точки x n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-ε , a+ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а.

Свойства

1. Постоянный множитель c можно выносить за знак предела. На математическом языке данное утверждение выглядит так:

\(\lim_\;(c\times x_n)=cA=c\;\lim_\;x_n\) В данном случае n стремится к бесконечности, то есть мы имеем неопределенно большое количество значений x0 . Теперь докажем это свойство. Примем \(\lim_\;x_n\) за A, тогда переменную \(x_n\) мы можем представить в виде:

где \(a_n\) — бесконечно малая величина. Очевидно, что:

\(c\times x_n=c(A+a_n)=cA+ca_n\) . Так как \(ca_n\) является бесконечно малой величиной, то \(сA\) — предел последовательности \(\left\\) . Свойство доказано.

2. Если существуют конечные пределы последовательностей \(x_n\) и \(y_n\) , то

Докажем теперь и это свойство. Пусть \(\underset<><\lim(>x_n)=A\) и \(\underset<><\lim(>y_n)=B\) . В таком случае \(x_n\) и \(y_n\) мы можем представить в виде:

где \(\alpha_n\) и \(\beta_n\) — некоторые бесконечно малые величины.

Тогда \(x_n\pm y_n=(A\pm B)+(\alpha_n\pm\beta_n)\)

Учитывая, что \((\alpha_n\pm\beta_n)\) — бесконечно малая величина, получаем:

\(\lim_<>(x_n\pm y_n)=(A\pm B)=\lim_<>(x_n)\pm\lim_<>(y_n) \) Аналогично:

\(x_n\times y_n=(A\pm\alpha_n)(B\pm\beta_n)=AB+(B\alpha_n+A\beta_n+\alpha_n\beta_n)\)

Осталось распознать в выражении \( (B\alpha_n+A\beta_n+\alpha_n\beta_n)\) бесконечно малую величину, что влечет за собой:

\(\lim_<>(x_n\times y_n)=AB=\lim_<>x_n\times\lim_<>y_n\\\\ \)

Далее покажем, что отношение \(\frac\) можно представить в виде:

Что и требовалось доказать.

3. Если существуют конечные пределы последовательностей \(\left\ и \left\\) , то \(\underset<><\lim\;>y_n^p=<(\underset<><\lim\;>y_n)>^p\) .

Определенного доказательства данного свойства нет, однако интуитивно мы можем провести следующие умозаключения.

Пусть \(\underset<><\lim\;>y_n=A,\) тогда:

\(y_n=A+\alpha_n\)

где \( \alpha_n\) – некоторая бесконечно малая величина.

Что и требовалось доказать.

Предел функции

Обратимся сразу к определению.

Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x→a, если, задав некоторое произвольное, как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ >0 (зависящее от ε), что для всех x, лежащих в ε-окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству 0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε.

Данное определение называют «определением по Коши». В предыдущих пунктах было рассмотрено «определение по Гейне», которое, по сути, тоже является определением предела функций, но на языке последовательностей. Зачем же нужны два различных по формулировке, но идентичных по смыслу определения? Это необходимо для того, чтобы в будущем, при решении задач или доказательстве каких-либо утверждений, опираться на более удобную для обоснования формулировку, ведь компоненты в них все-таки отличаются друг от друга.

Непрерывность функции

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х = а, если существует предел функции в этой точке.

Записать данное определение на математическом языке можно следующим образом:

Для того, чтобы функция являлась непрерывной, обязательно должны выполнятся 3 условия:

  1. Функция y = f(x) определена в точке х=а (существует f(a)).
  2. Существует предел \(\lim_\;f(x)\) функции в точке х=а.
  3. Предел функции в точке х=а равен значению функции в этой точке \((\lim_f(x)=f(a))\) .

Существуют и другие определения, которые, как и в случае с определением пределов по Коши и по Гейне, различаются по формулировке для наиболее удобного использования.

Функция y = f(x) непрерывна в точке х=а, если для любого числа ε>0 существует такое число δ>0, что для всех х, удовлетворяющих условию \(\vert x–a\vert , выполняется неравенство \(\vert f(x)–f(a)\vert .

Если функция y=f(x) непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то её называют непрерывной на данном промежутке.

Также можно дать определение непрерывности справа или слева от точки.

Функция f(x) называется непрерывной справа/слева в точке x0, если она определена на некоторой правосторонней/левосторонней окрестности \(U(x_0+0)/U(x_0-0)\) этой точки, и если правый/левый предел в точке x0 равен значению функции в x0.

То есть, \(f(x_0+0)\equiv\lim_f(x)=f(x_0)\) или \(f(x_0-0)\equiv\lim_f(x)=f(x_0)\) .

Вычисление пределов

Рассмотрим примеры вычисления пределов.

Простейшие пределы

Для начала обратимся к простейшему пределу, который был рассмотрен в самом начале: \(\lim_\frac\)

В данном случае можно попробовать просто подставить единицу (так как предел стремится к единице) в выражение. Тогда:

Да, это работает только с простейшими пределами, которые, на самом деле, на практике встречаются не редко, так что попробовать просто подставить икс в выражение — одно из возможных решений.

Теперь попробуем сделать то же самое с пределом, который стремится к бесконечности.

Икс стремится к бесконечности \((x\rightarrow\infty)\) означает, что икс неограниченно возрастает (например, х=10, х=100, х=1000, х=10000 и так далее).

Рассмотрим предел \(\lim_(1-x)\) и подставим в функцию (1-x) бесконечность. Получается, что функция стремится к минус бесконечности. В данном случае метод «подстановки» тоже работает.

Даже если числитель функции в пределе, стремящимся к бесконечности, кажется очень большим — миллион, миллиард и т. п., весь предел все равно будет равен нулю, так как знаменатель, зависящий от бесконечности, в какой-то момент начнет принимать значения, гораздо большие, чем числитель. То есть:

Итак, когда мы видим простейший предел, сначала нужно попробовать подставить в функцию «х».

Выражения для самостоятельного решения:

Пределы с неопределенностью вида \(\frac\infty\infty\)

Неопределенность вида \(\frac\infty\infty\) появляется, когда мы пытаемся подставить «х» в предел стремящийся к бесконечности и имеющий дробную функцию:

Кажется, что \(\frac\infty\infty=\infty\) , однако это не так. Чтобы получить верный ответ, нужно провести некоторые вычисления. Их и рассмотрим далее.

Для начала находим и в числителе, и в знаменателе старшую степень икса, а затем выбираем наибольшую из них. В данном случае старшие степени числителя и знаменателя равны, однако это частный случай.

Теперь мы должны и числитель, и знаменатель разделить на х в старшей степени:

Затем анализируем дроби с иксом, мысленно подставляя вместо х бесконечность. Получается, что все эти дроби стремятся к нулю, соответственно, их можно принять за ноль. Значит:

Однако, ответом при решении предела, стремящегося к бесконечности, может быть как любое число — в том числе и ноль, — так и сама бесконечность.

Рассмотрим еще 2 примера, чтобы в этом убедиться.

Поделив числитель и знаменатель на \(x^4\) и подставив бесконечность в получившиеся дроби (для закрепления материала лучше высчитать это самостоятельно), получаем:

2. Проведем аналогичные вычисления над \(\lim_\frac.\) В итоге мы получаем \(\frac20\) , однако нужно понимать, что делим мы не на ноль, а на бесконечно малое число, соответственно, ответом будет бесконечность.

Пределы с неопределенностью вида \(\frac00\)

Сразу же возникает логичный вопрос: почему мы делим на ноль, если каждый школьник знает, что на ноль делить нельзя? Если обратиться к определению предела, все встанет на свои места: дело в том, что мы работаем не с самим нулем, а с бесконечно малыми числами и функциями, однако для удобства записываем «0».

Решение пределов данного вида похоже на ранее рассмотренное решение пределов с неопределенностью вида \(\frac\infty\infty\) . Различие лишь в том, что икс теперь стремится к конкретному конечному числу.

Рассмотрим конкретные примеры и научимся решать подобные пределы.

Как мы уже знаем, сначала нужно попробовать подставить -1 в выражение:

Отсюда мы и получаем неопределенность вида \(\frac00\) .

Теперь запомним правило:

Если в числителе и знаменателе функции предела находятся многочлены, и имеется неопределенности вида \(\frac00\) , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Почти всегда для этого необходимо решить квадратное уравнение и/или использовать ФСУ (формулы сокращенного умножения).

В знаменателе мы имеем x+1, это уже простейшая функция, так что знаменатель мы не трогаем.

Применяя стандартные операции для решения квадратного уравнения, раскладываем числитель и получаем (x+1)(5x-7).

Два важных момента, на которые стоит обратить внимание при вычислении дискриминанта:

  1. Если дискриминант большой, можно использовать калькулятор. В математическом анализе это допускается.
  2. В случае, если корень не извлекается нацело, либо допущена ошибка в вычислениях, либо опечатка в самом задании.

Очевидно, что (х+1) в числителе и знаменателе можно сократить.

Очень важно при разложении на множители замечать формулы сокращенного умножения! Они могут быть видны не сразу, а после проведения одного или нескольких шагов, например, вынесения числа за скобку.

Чтобы облегчить процесс решения, всегда сразу выносите число за скобку, если это условие это позволяет. Кроме того, часто целесообразно выносить такие числа и за знаки предела, так как они не будут мешаться во время вычислений. Однако нужно быть крайне внимательным, чтобы не потерять в какой-то момент число или знак.

2) Теперь рассмотрим предел все с той же неопределенностью вида \(\frac00\) , но в функции которого появляются коренные выражения.

И снова, не придумывая ничего нового, сначала подставляем 3 в выражение, чтобы, собственно, и получить ту самую неопределенность \(\frac00\) .

Теперь, для того, чтобы упростить выражение, нужно избавиться от корней. Вообще, в математике стараются избавляться от иррациональности в любом случае, когда это возможно, — так гораздо проще жить.

А избавимся от иррациональности мы с помощью метода умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение . Этот метод работает не только при разности корней, но и при вычитании какого-либо числа из корня.

Что же это за метод? А основан он на всей известной формуле разности квадратов:

В числителе уже есть один из множителей \(\sqrt-\sqrt\) , соответственно, сопряженный множитель, на который мы умножаем и числитель, и знаменатель, это \(\sqrt+\sqrt\) .

Теперь, учитывая формулу в числителе дроби, проводим ряд преобразований и получаем:

Да, избавившись от иррациональности в числителе, мы обрели ее в знаменателе, однако оперировать суммой корней, которую мы получили, гораздо легче. И, вообще, можно сразу подставить в корни тройку и вынести полученное число за знак предела, как упоминалось об это ранее.

А теперь просто раскладываем дробь на множители и получаем конечный ответ:

Примеры для самостоятельного решения:

Мы рассмотрели основное понятие пределов функции и последовательности и разобрали классические варианты решения пределов.

Если же быстро разобраться в этой сложной теме не получается, а сдача важной работы не за горами, вы всегда можете обратиться к авторам ФениксХелп, которые помогут с решением.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *