Как найти внешний угол треугольника при вершине
Перейти к содержимому

Как найти внешний угол треугольника при вершине

  • автор:

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника — это угол, смежный с любым из внутренних углов треугольника.

Внешний угол треугольника

При каждой вершине треугольника может быть построено по два равных внешних угла. Например, если продолжить все стороны треугольника ABC, то при каждой его вершине получится по два внешних угла, которые равны между собой, как вертикальные углы:

Внешние углы треугольника

Из данного примера можно сделать вывод, что внешние углы, построенные при одной вершине, будут равны.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Так как внешний угол (∠1) дополняет внутренний угол (∠4) до развёрнутого угла, то их сумма равна 180°:

Сумма внутренних углов углов любого треугольника тоже равна 180°, значит:

Из этого следует, что

Сократив обе части полученного равенства на одно и тоже число (∠4), получим:

Из этого можно сделать вывод, что внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Сумма внешних углов

Сумма трёх внешних углов треугольника, построенных при разных вершинах, равна 360°

Рассмотрим треугольник ABC:

Каждая пара углов (внутренний и смежный с ним внешний) в сумме равны 180°. Все шесть углов (3 внутренних и 3 внешних) вместе равны 540°:

(∠1 + ∠4) + (∠2 + ∠5) + (∠3 + ∠6) = 180° + 180° + 180° = 540°.

Значит чтобы найти сумму внешних углов, надо из общей суммы вычесть сумму внутренних углов:

∠1 + ∠2 + ∠3 = 540° — (∠4 + ∠5 + ∠6) = 540° — 180° = 360°.

Список литературы | contact@izamorfix.ru
2018 − 2024 © izamorfix.ru

Что такое внешний угол треугольника

Углы, смежные с углами треугольника, называются внешними.

Например, для $\angle A$, внешними будут углы $\angle 1$ и $\angle 2$ (см. рис.)

Свойства внешних углов треугольника

  1. Сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^$.
  2. Сумма внешнего и внутреннего угла при одной вершине равна $180^$.
  3. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. $$\angle 1=\angle B+\angle C$$

Примеры решения задач

Задание. В треугольнике $\Delta M N K$, внешний угол $\angle M$ равен $120^$, а угол $\angle N=65^$. Найти угол $\angle K$.

Решение. По теореме о внешнем угле $\angle M=\angle N+\angle K$. Подставляя в это равенство исходные данные, получим

Выразим $\angle K : \angle K=120^-65^ \Rightarrow \angle K=55^$

Ответ. $\angle K=55^$

Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 457 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Задание. Внешние углы при двух вершинах треугольник равны $70^$ и $150^$. Найти внутренний угол при третьей вершине.

Решение. Обозначим внешние углы $\angle 1, \angle 2, \angle 3$, а соответствующие им внутренние — $\alpha, \beta, \gamma$.

По условию $\angle 1=150^$ и $\angle 2=70^$. По свойству внешних углов, их сумма, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^$. То есть

$$\angle 1+\angle 2+\angle 3=360^$$

Выразим из этого равенства неизвестный угол $\angle 3$

$$\angle 3=360^-\angle 1-\angle 2$$

Тогда искомый внутренний угол можно найти из условия, что сумма внутреннего и внешнего углов равна $180^$, то есть $\gamma+\angle 3=180^$, тогда:

Ответ. $\gamma=40^$

Как найти угол по внешнему углу, без синусов и косинусов пожалуйста.

В геометрии треугольника доказана теорема о свойстве его т. н. «внешнего» угла. По определеню внешним называется угол между стороной треугольника и продолжением соседней стороны за вершину треугольника. В сумме два угла — внешний и соседний с ним внутренний составляют, согласно этой теоремы, ровно 180 градусов. В простых случаях бывает известен один из этих углов, либо внешний, либо внутренний, а другой угол надо найти. Тогда достаточно из 180 градусов вычесть градусную меру данного в условии угла и получится искомая величина неизвестного угла. Например внешний угол треугольника при вершине А равен 115 градусам. Найдите внутренний угол при вершине А. Решение: 180 — 115 = 65 градусов. Или другой пример. Известен угол треугольника при вершине В и он равен 72 градусам. Требуется найти внешний угол при вершине В. Решение: 180 — 72 = 108 градусов. Хотя бывают задачи и с более сложным решение. Бывает что требуется найти внешний угол при вершине А, но даны углы треугольника при вершинах В и С. Тогда пользуемся теоремой о том, что внешний угол равен сумме двух внутренних углов несмежных с ним. Вот пусть даны углы В = 34, С = 28. Тогда внешний угол А = 34 + 28 = 62 градусам. Вот такие мысли. Я не очень многословен? Целую петицию напечатал.

Внешний угол равнобедренного треугольника

Чему равен внешний угол равнобедренного треугольника? Какие у него свойства?

Как и для всякого треугольника, внешний угол при любой вершине равнобедренного треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Помимо этого, внешние углы равнобедренного треугольника имеют свои свойства.

Внешний угол при вершине равнобедренного треугольника в два раза больше внутреннего угла при его основании.

Дано: ∆ ABC, AC=BC,

∠BCF — внешний угол при вершине C.

Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то

Поскольку ∠A=∠B (как углы при основании равнобедренного треугольника), то

Что и требовалось доказать.

Внешний угол при основании равнобедренного треугольника на 90º больше половины внутреннего угла при его вершине.

Дано: ∆ ABC, AC=BC,

∠NBC — внешний угол при вершине B.

Доказать: ∠NBC=1/2 ∠C +90º.

1) ∠A=∠ABC (как углы при основании равнобедренного треугольника).

Отсюда ∠NBC=180º-∠ABC=180º-(90º-1/2 ∠C)=90º+ 1/2 ∠C.

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *