Как найти угол между диагоналями четырехугольника
Перейти к содержимому

Как найти угол между диагоналями четырехугольника

  • автор:

Как найти угол между диагоналями четырехугольника

В выпуклом четырёхугольнике ABCD : ∠ ВАС = 20°, ∠ ВСА = 35°, ∠ ВDС = 40°, ∠ ВDА = 70°.
Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.

Решение

Докажем, что точка D – центр описанной окружности треугольника ABC . Это можно сделать различными способами.

Первый способ. Опишем окружность около треугольника ABC и продолжим отрезок BD до пересечения с этой окружностью в точке K (рис. а). Так как ∠ ВKС = ∠ ВАС = 20°, то ∠ KCD = ∠ ВDС – ∠ DKС = 20° (угол ВDС – внешний для треугольника KDC ). Следовательно, DC = DK .
Аналогично, так как ∠ ВKА = ∠ ВСА = 35°, а ∠ ВDА = 70°, то ∠ KАD = 35°, то есть DK = DA .

Второй способ. На луче AD отметим точку М так, что отрезок DM = DB (рис. б). Тогда ∠ DВM = ∠ BMD = ½ ∠ ВDА = 35° = ∠ ВСА , следовательно, точки A, B, C и M лежат на одной окружности.
Аналогично, отметив на луче CD точку Р так, что DP = DB , получим, что точка P лежит на той же окружности. Точка D равноудалена от точек В, М и Р , поэтому она является центром полученной окружности.

Третий способ. Центр описанной окружности тупоугольного треугольника ABC лежит в той же полуплоскости относительно прямой АС , что и точка D (рис. а, б). Он является пересечением двух ГМТ: из которых отрезок BC виден под углом α = 2∠ ВАС = 40° и из которых отрезок AB виден под углом
β = 2∠ ВСА = 70°.
В указанной полуплоскости эти ГМТ являются дугами окружностей, которые имеют единственную общую точку. По условию, из точки D эти же отрезки видны под такими же углами, поэтому точка D совпадает с центром описанной окружности треугольника ABC .

Пусть T – точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD . ∠ DBA = ½ (180° – ∠ BDA ) = 55°, угол BTC – внешний для треугольника BTА , значит, ∠ ВTC = ∠ TАВ + ∠ АВТ = 75°.

Ответ

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2010/11
Класс
1
Класс 9
задача
Номер 9.4.2

Найти углы между диагоналями четырехугольника

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте!
Пытаюсь решить вот эту задачу:
В выпуклом четырехугольнике ABCD, угол BCA равен 20⁰, угол BAC равен 35⁰, BDC равен 70⁰, BDA равен 40⁰. Найти углы между диагоналями этого четырехугольника.
Никак не могу дотукать, или что дорисовать надо где, или еще что, но не знаю что можно сделать(
Кто может, помогите пожалуйста.

Лучшие ответы ( 1 )
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Найти величину угла между диагоналями четырехугольника
В выпуклом четырехугольнике ABCD: BAC=25∘, BCA=50∘, BDC=50∘, BDA=100∘. Найдите величину угла (в.

Доказать, что углы между диагоналями равны углам параллелограмма
Диагонали параллелограмма пропорциональны его непараллельным сторонам. Доказать,что углы между.

Найти угол между диагоналями параллелограмма
Найти угол между диагоналями параллелограмма,построенного на векторах а(-1;-1;0),b(1;-1;2)

Найти углы между векторами в шестиугольнике
Ребята, очень срочно нужно решить задачу __ __ ABCDEF-.

135 / 112 / 13
Регистрация: 03.06.2013
Сообщений: 270
Опишите окружность вокруг ADC, постройте биссектрисы углов 40 и 70 гр., дальше попробуйте сами.
154 / 154 / 81
Регистрация: 16.06.2012
Сообщений: 314

Спасибо большое, пытаюсь

Добавлено через 27 минут
Вроде решил, получилось что углы между диагоналями 125 и 55. Так как думаю, что Вы решили, хотел спросить, это верно ?)

135 / 112 / 13
Регистрация: 03.06.2013
Сообщений: 270

Там, наверное, можно по-разному, у меня, скажем, получилось доказать, что ВСDD1-ромб, где D1- пересечение с окр-ю биссектрисы угла 70гр.. Это следует из того, что ВС лежит на диаметре (сложите дуги окр-ти),а т-ки D и D1 симметричны относ. этого диаметра (из равенства соотвест. углов).

Хочу в Исландию
1041 / 840 / 119
Регистрация: 10.11.2010
Сообщений: 1,630

Лучший ответ

Сообщение было отмечено igor_kz как решение

Решение

Описываем вокруг треугольника ACD окружность.
Диагональ DB продлеваем до пересечения с окружностью (точка X).
Углы CDX и CAX равны потому что опираются на одну и ту же хорду CX => CAX=70°. Угол AXC тоже 70° =>
треугольник AXC равнобедренный =>
CY — биссектриса и всё остальное =>
треугольники ABY и XBY равны =>
угол MXA=35° =>
AMX=75°.

Научный форум dxdy

Задан выпуклый четырехугольник с известными сторонами $a, b, c, f$и известной площадью $S$.
Найти угол между диагоналями данного четырехугольника.

Re: Угол между диагоналями четырехугольника
21.01.2017, 00:35

Заслуженный участник

Пусть точка пересечения диагоналей делит их на отрезки длины $x,y,z,u$, угол между диагоналями равен $\varphi$.
По теореме косинусов имеем
$a^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cos \varphi$,
и еще три таких же.
Тогда $a^2 - b^2 + c^2 - f^2 =-2\cos \varphi \cdot (xy +yz +zu+ ux)$.
Но https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/c/b6c220eb49e0e0fc072c143f5eda4fbe82.pngS = \sin \varphi \cdot (x+z)(y+u)$.
Поделив одно на другое, получим

формулу, которая мне почему то не была известна

$\ctg \varphi =\frac<f^2 - c^2 + b^2 - a^2></p><div class='code-block code-block-8' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 8theinternet -->
<script src=

$» />

Re: Угол между диагоналями четырехугольника
21.01.2017, 09:40

Интересно, почему четвертая сторона не $d$, а $f$?

Re: Угол между диагоналями четырехугольника
21.01.2017, 10:40

Заслуженный участник

$d$

для диагоналей

Re: Угол между диагоналями четырехугольника
21.01.2017, 10:45

Доказывал почти так же. Только вводил величины $x, y, (d_1-x), (d_2-y)$. Буква $d$была задействована, поэтому четвертую сторону обозначил $f$.
Еще одно примечание, стороны $a$и $c$, соответственно $b$и $f$, не имеют общих точек.

Re: Угол между диагоналями четырехугольника
21.01.2017, 11:52

Все таки, что-то в этом вопросе недосказано)
Если я хочу найти наибольшую площадь для четырехугольника с заданными сторонами, то какой угол должен взять между диагоналями?

Re: Угол между диагоналями четырехугольника
21.01.2017, 12:46
mihailm в сообщении #1186302 писал(а):

Все таки, что-то в этом вопросе недосказано)
Если я хочу найти наибольшую площадь для четырехугольника с заданными сторонами, то какой угол должен взять между диагоналями?

Площадь четырехугольника с заданными сторонами максимальна, когда он вписан в окружность:

$S^2=(p-a)(p-b)(p-c)(p-f)-abcf \cdot \cos^2\left( \dfrac<A+C></p><div class='code-block code-block-12' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 12theinternet -->
<script src=

\right)$» />

Re: Угол между диагоналями четырехугольника
21.01.2017, 15:16

Заслуженный участник

Sergic Primazon в сообщении #1186312 писал(а):
Площадь четырехугольника с заданными сторонами максимальна, когда он вписан в окружность:

Где-то видел «геометрическое» доказательство:
присобачим к каждой стороне вписанного чет-ка соответствующий сегмент описанного круга.
Считая чет-к шарнирным, деформируем его — вместе с прибамбасами. Полученная фигура имеет тот же периметр, что и круг, так что площадь ее меньше площади круга. Но ихние площади составлены из площадей сегментов (сохранились) и площадей чет-ков. Значит, площадь чет-ка уменьшилась.

Осталось только решить изопериметрическую задачу — и дело в шляпе!
Re: Угол между диагоналями четырехугольника
21.01.2017, 18:45

Получается (согласно Sergic Primazon ), что в четырехугольнике со сторонами $a,b,c,d$угол между диагоналями, ближайший к 90 градусам, равен $\arctg \frac <4(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)>>$» />. <br />Что довольно прикольно)</p><div class='code-block code-block-14' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 14theinternet -->
<script src=

Re: Угол между диагоналями четырехугольника
21.01.2017, 20:40

Заслуженный участник

mihailm
Что-то у Вас не ладно с размерностью дроби.
Ну да ладно — ясно, что корень — не там. Просто — диагонали то не постоянны — при фиксированных сторонах, так что насчет ближайшести — не факт. Пример: я возьму чет-к с ортогональными диагоналями, но — не вписанный. И будет — облом.

Re: Угол между диагоналями четырехугольника
21.01.2017, 22:30

$\arctg \frac <4\sqrt<(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)></p><div class='code-block code-block-15' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 15theinternet -->
<script src=

DeBill , согласен с первым замечанием.
>$» />.
Но четырехугольник с ортогональными диагоналями ничего не опровергнет — справа бесконечность, угол 90 градусов

Re: Угол между диагоналями четырехугольника
22.01.2017, 06:04

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось gris 22.01.2017, 06:33, всего редактировалось 2 раз(а).

При выводе формулы $\ctg \varphi =\frac<f^2 - c^2 + b^2 - a^2>$» /> предполагалось, что четырёхугольник с параметрами <img decoding=существует и выпукл.
А далее формула может жить своей жизнью.
Например, если мы рассмотрим выпуклый четырёхугольник со сторонами $(1,1,1,2)$, то его площадь будет ограничена площадью соответствующей равнобедренной трапеции(сверху,включая) и равнобедренного треугольника (снизу, не включая). И, подставляя допустимое значение площади $S$в формулу, мы получим верное значение угла между диагоналями.
Но если мы попытаемся подставить в эту формулу, скажем, $S=3$, то формула выдаст результат $\ctg \varphi =\frac<2^2 - 1^2 + 1^2 - 1^2>=\frac14\Longrightarrow \varphi\approx 76^$» /> и не заругается, хотя четырёхугольника с такими параметрами не существует. А большинство формул так себя не ведут. Они показывают или значение синуса, большее единицы, или минус под квадратным корнем, или ещё какую бяку. <br />То есть, если мы эту формулу станем применять для исследования без учёта ограничений, то можем вылезти за пределы реальности. Вот.</p>
<p><b>Re: Угол между диагоналями четырехугольника</b><br />
22.01.2017, 10:59</p>
<p>Последний раз редактировалось mihailm 22.01.2017, 11:21, всего редактировалось 1 раз.</p>
<p>С максимальным <img decoding=все вроде ясно (хотя выписанную мной формулу еще никто не подтвердил). Но, как понятно, еще есть минимальное $\varphi$(и что интересно минимальная $S$), вот его как найти?

$\arccos \frac<\sqrt <6></p>
<p>В примере gris , четырехугольник со сторонами 1,1,1,2. Максимальный угол между диагоналями (60 градусов) получаем по формуле. <br />Исправлено . А вот минимальный угол (если четырехугольник выпуклый) в этом равен >$» /> <br />В случае невыпуклого несамопересекающегося четырехугольника угол будет 30 градусов. <br />Хотя если брать самопересекающиеся четырехугольники (с ориентированной площадью), то вроде все хорошо — и угол ноль и площадь ноль.</p>
<p><b>Re: Угол между диагоналями четырехугольника</b><br />
22.01.2017, 14:28</p>
<table cellspacing= Заслуженный участник

Последний раз редактировалось gris 22.01.2017, 14:30, всего редактировалось 1 раз.

Ситуация аналогична формуле площади описанного многоугольника: $S=pr$. То есть при единичном радиусе площадь численно равна полупериметру. И можно безбоязненно подставить в формулу сколь угодно большое значение полупериметра, хоть триллион, чтобы отыскался треугольник такого полупериметра и численно равной площади. Но упаси Основатель искать по формуле $S=p$площадь треугольника с полупериметром $p=4$. Слишком мало. Нельзя построить. Четырёхугольник такой есть, квадрат. А если $p=3$? Конечно нет, ведь рассмотренные для любых описанных около единичной окружности многоугольников площадь и полупериметр ограничены снизу $\pi$.
Но геометрический смысл решения уравнения даже при полупериметре равном единичке существует. Надо только рассматривать незамкнутые ломаные из кусков касательных. Ну ясно, как их замкнуть в центре окружности. Можно просто взять отрезок на касательной длиной в два.
Вот и в случае с диагоналями четырёхугольника мне привиделся геометрический смысл подстановки запрещённых значений.

Re: Угол между диагоналями четырехугольника
22.01.2017, 18:06

Заслуженный участник

mihailm
Ну да, вроде, все получится.
Единственное ограничение на существование чет-ка: наибольшая сторона меньше суммы трех других (и тогда под корнем все положительно). Шарнирно деформируя, можем добиться вписанности — и, значит, мах достигается.

Как найти угол между диагоналями четырехугольника?

Для произвольного четырёхугольника даже данность 2-х диагоналей будет недостаточно для однозначности этого четырёхугольника.Пусть в 4-нике АВСД диагонали пересекаются в т.О.Пусть АО=d1,BO=d2,CO=d3,DO=d4.И даже тогда 4-ник не будет определен однозначно.Нужен или угол между диагоналями,или еще какая-нибудь сторона.Пусть известна АВ.Тогда в тр-ке АВО по теореме синусов и косинусов можно определить внутренние углы тр-ка АВО,в том числе и между диагоналями.Задачу желательно конкретизировать.

модератор выбрал этот ответ лучшим

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *