Как найти точки касания параболы и окружности
Перейти к содержимому

Как найти точки касания параболы и окружности

  • автор:

Научный форум dxdy

Парабола и окружность, параметр, кол-во решений

На страницу 1 , 2 След.

Парабола и окружность, параметр, кол-во решений
02.09.2012, 23:40

Последний раз редактировалось ole-ole-ole 02.09.2012, 23:41, всего редактировалось 1 раз.

$\left\<\begin</p>
<p>(x+a+2)^2+y^2=1\\ y^2=2ax\\ \end\right.$» /></p>
<p><img decoding=

Найти все значение параметра , при котором:

а) Не будет решений системы
б) Будет 1 решения системы
в) Будет 2 решения системы
г) Будет 3 решения системы
д) Будет 4 решения системы

Изображение

Вот такая картинка. Я так понял, что окружность в зависимости от параметра будет ездить вдоль оси икс, а парабола будет расширяться и сужаться.

$a></p>
<p>При 0$» /> ветви вправо</p>
<p><img decoding=

При ветви влево.

Полезно заметить, что вершина параболы будет в любом случае в начале координат.

a) При $a=0$— точно нет решений. Я так понял, что при $|a>>2$» /> — нет решений.</p>
<p>б) Одно решение будет при <img decoding=, так как, если $(x,y)$является решением, то и $(x,-y)$— тоже. Из этого следует, что решение единственно, когда $x=y=0$, а это достигается при $a=-3$

в) Два решения будет — до положения «касания»

г) Три решения должны быть — когда парабола «касается» окружности. Но как найти эти 2 точки касания и соответствующие этим значениям параметра? Я подумал, что угловые коэффициенты касательных прямых должны совпасть, значит производные соответствующих функций должны совпасть.

$x'(y)=\dfrac</p>
<p>>=\dfrac$» /></p>
<p><img decoding=

А как дальше? Верно ли?

д) Вот бы г сначала сделать) Там 4 решения должно быть после «положения касания»

простите, комп тормозит, не хотел трижды писать одно и тоже.

уравнение параболы, касающейся окружности

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Определить уравнение параболы вида y=x 2 + ax + b касающейся окружности x 2 + y 2 = 2 в точке M(1,1).

94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Составьте уравнение окружности, касающейся осей x и y и прямой y=6
Составьте уравнение окружности, касающейся осей x и y и прямой y=6 Рассуждения: Данная окружность.

Написать уравнение сферы, касающейся данной.
Дано уравнение сферы x^2 + y^2 + z^2 -6x +4y -2z= 11. Необходимо написать уравнение сферы радиусом.

Составьте уравнение сферы, с центром в точке О(3; –1; 2), касающейся плоскости х – 2у + 2z – 6 = 0
Составьте уравнение сферы, с центром в точке О(3; –1; 2), касающейся плоскости х – 2у + 2z – 6 = 0.

1891 / 1472 / 173
Регистрация: 16.06.2012
Сообщений: 3,342

1) Выразите из уравнения параболы и подставьте в уравнение окружности. Получите квадратное уравнение, которое имеет единственное решение тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю.
2) Подставьте координаты точки касания в уравнение параболы, получите уравнение относительно .
Итак, имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными.

Регистрация: 20.12.2010
Сообщений: 70

А можно перед тем, как составить систему подставить т.М в уравнение параболы? Там просто получается a=-b, и так легче систему решать??

Эксперт по математике/физике

4217 / 3412 / 396
Регистрация: 15.06.2009
Сообщений: 5,818

ЦитатаСообщение от Ellipsoid Посмотреть сообщение

Выразите Y из уравнения параболы и подставьте в уравнение окружности. Получите квадратное уравнение

Разве там не уравнение 4-й степени получится?

В общей точке касания кривых должны быть равны касательные. Решение будет простым.
Иллюстрация

Регистрация: 03.05.2013
Сообщений: 106

Как N@stusha писала, первым делом преобразуем уравнение к виду y=x^2+ax-a.
Затем, как предложил Том Ардер, необходимо заметить, что точка через точку (1;1) каксательная к окружности проходит с тангенсом -1 (нарисйте рисунок и буедт все ясно).
Таким образом и производная к параболе в точке х=1 будет равна -1.
То-есть, получем, y'(x)=2x+a;
y'(1)=2*1+a=-1;
a=1.

Искомое уравнение y=x^2+x-1

Эксперт по математике/физике

4217 / 3412 / 396
Регистрация: 15.06.2009
Сообщений: 5,818

ЦитатаСообщение от Shuklin Sergey Посмотреть сообщение

Всё верно, кроме результата: отсюда a = -3, парабола y = x 2 -3x+3
Регистрация: 03.05.2013
Сообщений: 106
Ой!) и то правда)))) бывает)
1891 / 1472 / 173
Регистрация: 16.06.2012
Сообщений: 3,342

ЦитатаСообщение от Том Ардер Посмотреть сообщение

Разве там не уравнение 4-й степени получится?
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если уравнение ее директрисы x = -5
Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если уравнение ее директрисы x = -5 .

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если уравнение ее директрисы x = -5
66.Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если уравнение ее директрисы x = -5

Составьте уравнение параболы, если её директриса имеет уравнение х – 4 = 0, а фокус F(–4; 0)
Составьте уравнение параболы, если её директриса имеет уравнение х – 4 = 0, а фокус F(–4; 0).

Составить уравнение параболы, зная уравнение ее директрисы.
Привет всем, люди добрые! Помогите с решением пожалуйста: Известно уравнение директриссы параболы.

Или воспользуйтесь поиском по форуму:

Подскажите, пожалуйста, как найти точку касания параболы и окружности?

У меня даны уравнение переходы у=х^2-4х+3
И окружность (х-2)^2+(у-а) ^2=1 Т. е центр (2;а) и радиус 1. Если подставить х^2-4х+3 в окружность, получается четвертая степень, как быть?

Дополнен 6 лет назад
Т9!! УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛЫ*
Лучший ответ

Окружность вне зависимости от параметра а может быть только в любом положении х = 2. С другой стороны вершина параболы х = 2. Построй на графике и ты поймешь, что точка касания может быть лишь при х = 2. Тогда y = -1. Если еще и параметр а нужно найти подставь в уравнение окружности эту точку

Алексей Романов Ученик (85) 6 лет назад
При х=2 помимо касания есть еще два пересечения
Алексей Романов Ученик (85) 6 лет назад
Там на графике чуть выше вроде появляется еще касание (с двух сторон), однако не знаю, как найти

Олег Нагорянский Мастер (2279) В том то и суть, что касание есть только одно и в одной точке x = 2, y = -1, иначе будут не касания, а пересечения.

Остальные ответы

А это не эллипс? Держись щас что-нибудь придумаем! полуоси у тебя будут корень кВ из (Х-2)^2 одна и вторая корень кВ из (у-а) ^2!может быть ты здесь ошибаешься? Если Т 9, то корень из Т будет три Добавляй тройку в знаменатель и получишь (Х-2)/3 +(у-а) /3=1. Попробуй отсюда. Первая у тебя парабола. вот теперь и ищи точки пересечения параболы и эллипса. Реши эти уравнения совместно. Что непонятно, напиши. А зачем ТЫ ИСКАЛ ЦЕНТР ЭЛЛИПСА?

Задачи на нахождение касательной (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Если к функции \(y=f(x)\) в точке \(x_o\) проведена касательная, то уравнение касательной имеет вид \[<\Large>\] Таким образом, угловой коэффициент касательной \(k=f'(x_o)\) .

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы определить, при каких \(k\) и \(b\) прямая \(y_k=kx+b\) является касательной к функции \(y=f(x)\) , необходимо решить одну из двух систем: \[ <\Large<\begink=f'(x_o)\\ b=f(x_o)-f'(x_o)\cdot x_o\end>> \quad \text < или >\quad <\Large<\begink=f'(x_o)\\ f(x_o)=y_k(x_o)\end>>\]

Задание 8 #3070
Уровень задания: Равен ЕГЭ

При каких значениях \(a\) уравнение \[|x^2-2x-3|-2a=|x-a|\]

имеет ровно 2 корня?

(Задача от подписчиков)

Рассмотрим функции \(f(x)=|x^2-2x-3|\) и \(g(x)=|x-a|+2a\) . Тогда уравнение примет вид: \[f(x)=g(x)\] Следовательно, нужно найти значения параметра, при которых графики функций \(f\) и \(g\) будут иметь ровно 2 точки пересечения.

1) Заметим, что графиком \(g\) при каждом фиксированном \(a\) является уголок, вершина которого находится на прямой \(y=2x\) .
Найдем \(a\) , при котором левая ветка уголка будет касаться графика \(f\) в точке \(A\) . Тогда при всех \(a\) , больших найденного значения, графики будут иметь ровно 2 точки пересечения.

Левая ветка уголка задается уравнением \(y_l=-x+a+2a=-x+3a\) , \(x\leqslant a\) . Касаться она будет графика функции \(f_1=-x^2+2x+3\) .
\(f_1’=-2x+2\) . Если \(A(x_0;y_0)\) – точка касания, то \[\begin -2x_0+2=-1\\ y_0=-x_0^2+2x_0+3 \end \quad\Leftrightarrow\quad \begin x_0=\dfrac32\\[1ex] y_0=\dfrac4 \end\] Так как \(A\in y_l\) , то отсюда можно найти \(a\) : \[\dfrac4=-\dfrac32+3a\quad\Leftrightarrow\quad a=\dfrac74\] Следовательно, \(a\in \left(\frac74;+\infty\right)\) .

2) Найдем значения \(a\) , когда \(g\) проходит через точку \(B(-1;0)\) (положение \(I\) ) и через точку \(C(3;0)\) (положение \(II\) ).

Заметим, что если \(g\) находится между положениями \(I\) и \(II\) , то она имеет с \(f\) также ровно 2 точки пересечения.
Для положения \(I\) (левая ветка уголка проходит через \(B\) ): \[0=1+3a \quad\Leftrightarrow\quad a=-\dfrac13\] Для положения \(II\) (правая ветка уголка \(y_p=x+a\) проходит через \(C\) ): \[0=3+a \quad\Leftrightarrow\quad a=-3.\] Следовательно, \(a\in \left(-3;-\frac13\right)\) .

Задание 9 #3156
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при которых система \[\begin x^2+(y-3)^2<4\\ y=2ax^2 \end\]

имеет хотя бы одно решение.

Неравенство системы задает круг без границы с центром в точке \((0;3)\) и радиусом \(2\) .
Обозначим \(2a=b\) .
Заметим, что при \(b\leqslant 0\) система не имеет решений (ветви параболы направлены вниз или \(y=0\) ). Следовательно, \(b>0\) .

Для того, чтобы система имела хотя бы одно решение, нужно, чтобы парабола пересекала данный круг (без границы).
Найдем граничные случаи: когда парабола касается окружности \(x^2+(y-3)^2=4\) .
Пусть \(x_0\) – точка касания. Тогда в этой точке парабола и окружность имеют общую касательную \(y=kx+b\) .
Заметим, что рисунок симметричен относительно оси ординат, следовательно, рассмотрим только правую часть рисунка (где \(x>0\) ).
Пусть \(B(x_0;y_0)\) – точка касания, \(A\) – точка пересечения касательной с осью ординат, \(Q\) – точка пересечения касательной с осью абсцисс, \(O\) – радиус окружности, \(D\) – начало координат.
Тогда уравнение касательной выглядит так: \(y_k=2bx_0\cdot x-bx_0^2\) . Тогда \(A(0;-bx_0^2), \ B(x_0;bx_0^2), \ Q\left(\frac2; 0\right)\) .
Тогда \(OB\perp AB\) как радиус, проведенный в точку касания. Следовательно, \(\triangle ADQ\sim \triangle ABO\) : \[\dfrac=\dfrac \quad (*)\] \(DQ=\frac2\) , \(OB=2\) , \(AO=3+bx_0^2\) . Найдем \(AQ\) по теореме Пифагора: \[AQ=\dfrac>2x_0\] Теперь подставим все значения в \((*)\) и получим уравнение: \[4(4b^2x_0^2+1)=(3+bx_0^2)^2 \quad (1)\] Так как точка \(B\) также принадлежит окружности, то можно составить второе уравнение: \[x_0^2+(bx_0^2-3)^2=4\quad (2)\] Решая систему из двух полученных уравнений \((1)\) и \((2)\) относительно \(b\) и \(x_0\) , находим, что \[b=\dfrac<3\pm \sqrt5>8>0\] Так как в нашем случае при \(x>0\) существует ровно одна точка касания окружности и параболы, то одно из двух значений, найденных для \(b\) , не подойдет (не будет существовать \(x_0>0\) ). Проверим \(b=\frac8\) . Подставим его в уравнение \((2)\) : \[(7+3\sqrt5)x_0^4-8(5+3\sqrt5)x_0^2+5\cdot 32=0\] Если рассматривать это уравнение как квадратное относительно \(x_0^2\) , то дискриминант уравнения равен \[D=64(5+3\sqrt5)^2-4\cdot 32\cdot 5(7+3\sqrt5)=0\] Следовательно, единственный корень \[x_0^2=\dfrac=6\sqrt5-10>0\] Таким образом, при данном \(b\) существует \(x_0=\sqrt\) .

Следовательно, \(b=\frac8\) не подойдет (можно убедиться в этом, сделав аналогичную проверку).
Так как рисунок, как замечалось ранее, симметричен относительно оси ординат, то касание в точке \(C\) будет возможно также при \(b=\frac8\) . Следовательно, значения для \(b\) , при которых система будет иметь решения, это \[b\in \left(\dfrac8; +\infty\right) \quad \Rightarrow\quad a\in \left(\dfrac;+\infty\right)\]

Скобки круглые, потому что круг без границы.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *