Как найти тангенциальное ускорение точки
Перейти к содержимому

Как найти тангенциальное ускорение точки

  • автор:

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ. ЕСТЕСТВЕННЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ.

Часто в задачах по теоретической механике закон движения точки задается так называемым естественным способом: уравнением S=f(t) по заданной траектории. В этом случае главными параметрами, характеризующими движение точки по заданной траектории, являются: S – расстояние от заданного начального положения и t – время.

Величина, характеризующая в каждый данный момент времени направление и быстроту движения точки, называется скоростью. Вектор скорости всегда направлен вдоль касательной в ту сторону, куда движется точка. Числовое значение скорости в любой момент времени выражается производной от расстояния по времени:

Ускорения a точки в каждый данный момент времени характеризует быстроту изменения скорости. При этом нужно отчетливо понимать, что скорость – вектор, и, следовательно, изменение скорости может происходить по двум признакам: по числовой величине (по модулю) и по направлению.

Быстрота изменения модуля скорости характеризуется касательным (тангенциальным) ускорением at – составляющей полного ускорения a, направленной по касательной к траектории. Таким образом, вектора тангенциального ускорения at и скорости V всегда коллинеарны (сонаправлены или направлены в противоположные стороны).

Числовое значение касательного ускорения в общем случае определяется по формуле
at = dV/dt или at = f»(t).

Быстрота изменения направления скорости характеризуется центростремительным (нормальным ускорением) an – составляющей полного ускорения a, направленного по нормали к траектории в сторону центра кривизны.

Числовое значение нормального ускорения определяется в общем случае по формуле
an = V 2 /R,
где V – модуль скорости точки в данный момент;
R – радиус кривизны траектории в месте, где находится точка в данный момент.

После того как определены касательное и нормальное ускорения, легко определить и ускорение a (полное ускорение точки).

Так как касательная и нормаль взаимно перпендикулярны, то числовое значение ускорения а можно определить при помощи теоремы Пифагора.

Направление вектора a можно определить, исходя из тригонометрических соотношений, по одной из следующих формул:

Но можно сначала определить направление полного ускорения a, использовав формулу

Касательное и нормальное ускорения точки являются главными кинематическими величинами, определяющими вид и особенности движения точки.

Наличие касательного ускорения (at≠0) или его отсутствие (at=0) определяют соответственно неравномерность или равномерность движения точки.

Наличие нормального ускорения (an≠0) или его отсутствие (an=0) определяют криволинейность или прямолинейность движения точки.

Движение точки можно классифицировать так:

а) равномерное прямолинейное (at = 0 и an = 0);
б) равномерное криволинейное (at = 0 и an ≠ 0);
в) неравномерное прямолинейное (at ≠ 0 и an = 0);
г) неравномерное криволинейное (at ≠ 0 и an ≠ 0).

Таким образом, движение точки классифицируется по двум признакам: по степени неравномерности движения и по виду траектории.

Степень неравномерности движения точки задана уравнением s = f(t), а вид траектории задается непосредственно. Напоминаем, что речь идет о естественном способе задания движения точки.

Если у Вас есть вопросы по решению данной задачи (или другой), пишите на наш e-mail botva-project@yandex.ru, мы всегда готовы помочь.

С уважением, Botva-Project

Расчет нормального, касательного и полного ускорений точки

Пример решения задачи по определению нормального, касательного и модуля полного ускорения точки, а также, угла с вектором скорости, точки, движущейся по окружности заданного радиуса и известному закону заданному уравнением.

Задача

Точка движется по окружности радиуса R=4 м, закон ее движения определяется уравнением s=4,5t 3 (s в метрах, t в секундах).

Траектория - окружность

Рисунок 1.6

Определить модуль полного ускорения и угол φ его с вектором скорости в тот момент t1, когда скорость будет равна 6 м/с (рисунок 1.6).

Решение

Дифференцируя s по времени, находим модуль вектора скорости точки

Модуль вектора скорости точки

Вектор скорости по касательной

Скорость точки направлена по касательной к траектории (окружности), т.е. перпендикулярно линии радиуса.

Подставляя в предыдущее выражение значение скорости, получим 6=13,5t1 2 , откуда находим

Касательное ускорение для любого момента времени равно

Касательное ускорение для момента времени

Так как для окружности радиус кривизны ρ=R, то нормальное ускорение для любого момента времени равно

Модуль вектора полного ускорения точки равен


Направление нормального, касательного и полного ускорений точки
Карта ускорений точки

Угол между вектором полного ускорения и вектором скорости определим следующим образом:

Определить тангенциальное ускорение точки в момент t=0.5 c

Точка движется по окружности радиусом r=0.48 м согласно уравнению s=0.5 rt^4, где в s- в м, а t- в с Определить касательное ( тангенциальное) ускорение точки в момент t=0.5 с.
Пожалуйста помогите, завтра зачет по технической механике

Голосование за лучший ответ

v=0.5r*4*t^3, at=0.5r*12*t^2 .

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Как найти тангенциальное ускорение точки

§ 44. Тангенциальное, нормальное и полное ускорение точки

1. Если точка движется по какой-либо криволинейной траектории неравномерно или неравномерно движется по окружности, то ускорение точки не направлено перпендикулярно скорости, но образует с вектором скорости некоторый острый или тупой угол. Модуль и направление полного ускорения в этом случае удобнее находить, если ввести два вспомогательных ускорения: касательное (тангенциальное) и нормальное.

Для нахождения вектора отложим векторы скорости из одной точки.

Разложим вектор на 2 вектора и .

Вектор направлен по касательной к траектории, вектор , т.е. направлен по нормали к траектории.

По правилу параллелограмма: .

Поделим это равенство на время .

Возьмём предел от обеих частей равенства при .

По определению ускорения (см. § 19) каждый из пределов есть ускорение.

— направлено по касательной к траектории

— направлено по нормали внутрь вогнутости траектории

Модуль касательного ускорения находится с помощью производной от модуля скорости по времени:

Если касательное ускорение по модулю остаётся постоянным, т.е. точка движется по криволинейной траектории равноускоренно или равнозамедленно, то модуль можно найти так:

Модуль нормального ускорения находится по известной нам формуле:

, где r — радиус кривизны траектории в данной точке.

Модуль полного ускорения: .

2. Если точка движется по траектории ускоренно, т.е. модуль скорости возрастает, то касательное ускорение направлено в сторону скорости, при замедленном — противоположно скорости.

Если движение равноускоренное или равнозамедленное по криволинейной траектории, то модуль остаётся постоянным. В этом случае для криволинейного движения можно пользоваться формулами равноускоренного или равнозамедленного движения, но в эти формулы надо ставить модуль касательного ускорения.

для равноускоренного движения

для равнозамедленного движения

3. Движение брошенных тел происходит по параболам. При этом ускорение является полным ускорением, и его можно раскладывать на касательное ускорение и нормальное ускорение (кроме наивысшей точки траектории).

В наивысшей точке траектории , т.е. является в этой точке нормальным ускорением.

Никакую часть этого материала ни в каких целях, включая образовательные и научные, нельзя без письменного разрешения владельца авторских прав дублировать в сети Интернет и воспроизводить в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то электронные или механические, включая запись на магнитный или электронный носитель, вывод на печать, фотокопирование.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *