Как найти тангенциальное ускорение через угловое ускорение
Перейти к содержимому

Как найти тангенциальное ускорение через угловое ускорение

  • автор:

11. Связь тангенциального и углового ускорения.

При вращении за время угловая скорость получит приращение, тогда (8) примет вид:

(14)

Разделим обе части на , получим:

(15)

(16)

(17)

Вектор тангенциального ускорения совпадает по направлению с векторным произведением . Векторное произведение всегда связано справилом правого винта: вращая головку винта по направлению вектора , стоящего на первом месте в (13), к вектору, стоящему на втором месте, определяем по поступательному движению винта направление третьего вектора.

12. Мгновенное угловое ускорение.

При получим мгновенное угловое ускорение:

, (18)

т.е. мгновенное угловое ускорение численно равно первой производной угловой скорости по времени или – второй производной углового перемещения по времени.

Приложение 1.

Движение тела, брошенного вертикально вниз

При

При

Движение тела, брошенного вертикально вверх

При

Движение тела, брошенного горизонтально

;

;

;

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Движение тела по окружности

Тангенциальное и нормальное ускорение.

При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и ее направление, поэтому вектор ускорения представляют в виде двух составляющих: тангенциального () и нормального ().

Тангенциальное (касательное) ускорение – составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке. (Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю;

Направление вектора совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему).

Нормальное ускорение– составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории в данной точке. (Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Векторнаправлен по радиусу кривизны траектории).

Модуль полного ускорения при этом определяется соотношением:

.

Направление полного ускоренияопределяют правилом сложения векторов:

.

Основная литература.

1. Трофимова, Т. И. Курс физики: учеб. пособие для вузов / Т. И. Трофимова. – М. : Издательский центр «Академия», 2006. – 560 с.

Дополнительная литература.

1. Савельев, И. В. Курс общей физики / И. В. Савельев. – М. : Наука, 2005. Т.1-5.

2. Курс общей физики / С. Э. Фриш, А. В. Тиморева. – СПб., М., Краснодар : «Лань», 2006. Т.1-3.

3. Сивухин, Д. В. Общий курс физики / Д. В. Сивухин. — М. : Физматлит, 2005. Т.1-5.

Угловая скорость и угловое ускорение

Рассмотрим понятия угловой скорости и углового ускорения при вращении твердого тела в теории и на примерах решения задач.

Угловая скорость

называют скорость вращения тела, определяющуюся приращением угла поворота тела за некоторый промежуток (единицу) времени.

Данный параметр показывает, на какой угол (например, в радианах) поворачивается тело за единицу времени (например, за 1 секунду).

Обозначение угловой скорости: ω (омега).

Единицы измерения: [рад/с], [c -1 ].

Рассмотрим некоторое твердое тело, вращающееся относительно неподвижной оси.

Угловая скорость вращающегося тела

С этим телом свяжем воображаемую плоскость П, которая совершает вращение вместе с заданным телом.

Закон вращательного движения

Вращательное движение определяется двугранным углом φ между двумя плоскостями, проходящими через ось вращения. Изменение этого угла с течением времени есть закон вращательного движения:

Положительным считается угол, откладываемый против хода часовой стрелки, если смотреть навстречу выбранному направлению оси вращения Oz. Угол измеряется в радианах.

Быстрота изменения угла

Быстрота изменения угла φ (перемещения плоскости П из положения П1 в положение П2) – это и есть угловая скорость:

Вектор угловой скорости

Приняв вектор k как единичный орт положительного направления оси, получим:

Вектор угловой скорости – скользящий вектор: он может быть приложен к любой точке оси вращения и всегда направлен вдоль оси, при положительном значении угловой скорости направления ω и k совпадают, при отрицательном – противоположны.

Формулы угловой скорости

Формула для расчета угловой скорости в зависимости от заданных параметров вращения может иметь вид:

  1. если задан угол поворота φ (радиан) за единицу времени (секунду):
  2. если известна окружная скорость точки тела v [м/с] и расстояние от оси вращения до этой точки r [м]:
  3. если известно количество оборотов n за единицу времени t (частота вращения):

Дополнительные размерности угловой скорости:

  • Угол поворота в градусах в секунду [град/с], или радиан в минуту [мин -1 ].
  • частота вращения: количество оборотов в минуту [об/мин].

Перевод частоты вращения в угловую скорость

В технике, частота вращения часто задается в оборотах в минуту n [об/мин]. Один оборот равен радиан.

Формула перевода частоты вращения в угловую скорость

Для перевода частоты вращения об/мин в угловую скорость рад/с (c -1 ) используется следующая формула:

Например, тело, совершающее 1,5 оборота за одну секунду, имеет угловую скорость:

ω = 1,5 об/с = 90 об/мин = 9,42 рад/с.

Определение угловой скорости

Пример: Диск вращается относительно своего центра.

Угловая скорость вращения диска

Известна скорость v некоторой точки A, расположенной на расстоянии r от центра вращения диска.

Расчет угловой скорости диска

Определить величину и направление угловой скорости диска ω, если v = 5 м/с, r = 70 см.

Таким образом, угловая скорость диска составляет 7,14 оборотов в секунду. Направление угловой скорости можно определить по направлению скоростей её точек.

Вектор скорости точки A стремится повернуть диск относительно центра вращения против хода часовой стрелки, следовательно, направление угловой скорости вращения диска имеет такое же направление.

Угловое ускорение

Зависимость углового ускорения от угловой скорости

характеризует величину изменения угловой скорости при вращении твердого тела.

Параметр показывает, на какую величину изменяется угловая скорость тела в единицу времени.

Обозначение: ε (эпсилон)

Единицы измерения углового ускорения: [рад/с 2 ], [с -2 ]

Вектор углового ускорения так же направлен по оси вращения. При ускоренном вращении их направления совпадают, при замедленном — противоположны.

Другими словами, при положительном ускорении угловая скорость нарастает (вращение ускоряется), а при отрицательном — уменьшается (вращение замедляется).

Для некоторых частных случаев вращательного движения твердого тела могут быть использованы формулы:

  • равномерное вращение (ω=const)
    Формула равномерного вращения
  • равнопеременное вращение (ε=const)
    Формула равнопеременного вращения

Расчет углового ускорения

Пример расчета углового ускорения колеса

Пример: По заданному значению касательной составляющей полного ускорения a τ точки B, расположенной на расстоянии r от центра вращения колеса.

требуется определить величину и направление углового ускорения колеса ε, если касательное ускорение точки a τ = 10 м/с 2 , расстояние от точки до центра вращения колеса r = 50 см.

Вычисление углового ускорения

Угловое ускорение колеса в заданный момент времени составляет 20 радиан в секунду за секунду. Направление углового ускорения определяется по направлению тангенциального ускорения точки.

Здесь, угловое ускорение направлено противоположно направлению угловой скорости вращения колеса. Это означает, что вращение колеса замедляется.

  • Примеры расчета угловой скорости и ускорения
  • Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Угловое ускорение

Система понятий кинематики включает в себя также такую величину как угловое ускорение тела. Дадим ей определение, рассмотрим основные аспекты с использованием примеров.

Основные понятия

Основные понятия

Выведем формульно закон равнопеременного вращения. Пусть в начальный момент времени t 0 угол вращения равен ϕ = ϕ 0 ; угловая скорость — ω = ω 0 (т.е. ω 0 является начальной угловой скоростью).

Выражение ε = d ω d t = ω ˙ = φ ¨ дает нам возможность сделать запись: d ω = ε d t . Проинтегрируем левую часть крайней записи в пределах от ω 0 до ω , а правую – в пределах от 0 до t , тогда:

ω = ω 0 + ε t , d φ = ω 0 d t + ε t d t .

Проинтегрируем вторично и получим формулу, выражающую закон равнопеременного вращения:

Практические примеры

Пример 2

Пусть задана некоторая материальная точка, совершающая движение по окружности с радиусом R . При этом выражение ϕ = α t 3 отражает зависимость угла поворота от времени. Необходимо найти полное ускорение заданной точки как функцию времени.

Решение

Запишем выражения для угловой скорости и углового ускорения заданной точки:

ω = d φ d t = 3 α t 2 ; ε = 6 α t .

Полное ускорение запишем как:

a = a r 2 + a n 2 = R ε 2 + ω 4 = R 36 a 2 t 2 + 81 a 4 t 8 = 3 a t R 4 + 9 a 2 t 6 .

Виды движения по окружности

формулки.ру

Угловое движение можно условно разделить на два вида:

  1. Когда изменяется только направление вектора линейной скорости, а его длина не изменяется.
  2. Или, когда изменяются обе характеристики вектора линейной скорости.

Во втором случае, для описания движения будем применять более сложные формулы кинематики. Так как появится еще один вид ускорения.

Центростремительное (нормальное) ускорение есть всегда, когда есть движение по окружности, при этом не важно, меняется ли скорость тела по модулю, или не меняется.

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

Пусть тело движется по окружности, но при этом длина вектора линейной скорости не меняется (рис. 1).

\[\left|\vec \right| = const\]

Рис. 1. Вектор центростремительного ускорения направлен по радиусу к центру окружности, он изменяет направление вектора скорости, но модуль вектора скорости остается неизменным

На рисунке 1 указаны: а) – вид сбоку, б) вид сверху, вектор угловой скорости направлен к нам перпендикулярно рисунку.

Скорость будет меняться только по направлению от точки к точке, потому, что на тело действует центростремительная сила \(\displaystyle \vec>>\) , тело обладает центростремительным \(\displaystyle \vec>>\) (нормальным) ускорением.

Кроме линейной, тело обладает угловой скоростью. Если линейная скорость не изменяется по модулю, то длина вектора угловой скорости не меняется.

На рисунке 1а изображен вектор угловой скорости \(\displaystyle \vec<\omega>\), на рисунке 1б вектор угловой скорости направлен к нам перпендикулярно плоскости рисунка. Направление, в котором тело движется по окружности, указано синей стрелкой.

Тангенциальное ускорение – когда модуль скорости меняется

Тело может увеличивать или уменьшать свою скорость, когда движется по окружности.

В таком случае, дополнительно к нормальному ускорению возникает тангенциальное \(\displaystyle \vec>\) ускорение.

Тангенциальное ускорение играет роль линейного ускорения при прямолинейном движении тела. Вектор \(\displaystyle \vec>\) направлен параллельно вектору \(\displaystyle \vec\) скорости.

Подобно движению по прямой, вектор ускорения – это первая производная скорости по времени, или вторая производная перемещения по времени.

Когда векторы скорости \(\vec\) и ускорения \(\vec>\) сонаправлены (рис. 2), линейная и угловая скорости возрастают.

Рис. 2. Когда тангенциальное ускорение сонаправлено с вектором линейной скорости, эта скорость возрастает

А когда ускорение \(\vec>\) направлено противоположно (рис. 3) вектору скорости \(\vec\), угловая и линейная скорости уменьшаются.

Рис. 3. Когда тангенциальное ускорение направлено противоположно вектору линейной скорости, эта скорость убывает

С линейной скоростью \(\vec\) связана угловая \(\vec<\omega>\) скорость.

Из рисунков 2, 3 следует: когда появляется тангенциальное ускорение, меняется и угловая скорость. Значит, тангенциальное ускорение \(\vec>\) появляется совместно с угловым \(\vec\) ускорением и между ними есть связь.

Связь между тангенциальным и угловым ускорением выглядит аналогично связи между линейной и угловой скоростью.

В векторном виде

В скалярном виде

\[ \large \boxed < a_= \beta \cdot R >\]

\(\displaystyle \vec \left( \frac>>\right)\) – угловое ускорение;

\(\displaystyle \vec< a_> \left( \frac>>\right)\) – тангенциальное ускорение;

\(R \left( \text\right)\) – радиус окружности.

Равноускоренное движение по окружности

Угловая скорость увеличивается (рис. 2), когда угловое ускорение сонаправлено с вектором угловой скорости. Когда движение происходит с постоянным ускорением, его называют равноускоренным.

Для решения задач на равноускоренное движение по окружности, поступаем аналогично равноускоренному движению по прямой. Применяем систему из двух уравнений:

\[ \large \boxed < \begin\omega = \omega _ + \beta \cdot t \\ \displaystyle \varphi = \omega_ \cdot t + \beta \cdot \frac \end > \]

Первое уравнение системы – это связь между начальной \(\omega_ \) и конечной \(\omega \) скоростью. Второе уравнение – это уравнение движения.

Равнозамедленное движение по окружности

Когда векторы \(\vec\) и \(\vec<\omega>\) направлены в противоположные стороны, угловая скорость \(\vec<\omega>\) уменьшается (рис. 3).

Для решения задач кинематики, в которых угловая скорость уменьшается и, движение равнозамедленное, используем систему, состоящую из таких уравнений:

\[ \large \boxed < \begin\omega = \omega _ — \beta \cdot t \\ \displaystyle \varphi = \omega_ \cdot t — \beta \cdot \frac \end > \]

Общее ускорение при движении по окружности

Пусть точка движется по окружности и линейная \(\vec\) скорость ее изменяется по модулю. При этом, точка обладает двумя видами ускорения — нормальным и тангенциальным. Эти виды ускорения обозначают символом \(\vec\).

Примечание: Любое ускорение, обозначаемое символом «a», измеряется в метрах, деленных на секунду в квадрате.

Рис. 4. Складывая геометрически векторы нормального и тангенциального ускорения, получаем общее ускорение точки, движущейся по окружности

Направление вектора общего ускорения указано на рисунке 4а, а для равнозамедленного – на рисунке 4б.

Так как векторы \(\vec>\) и \(\vec>\) всегда перпендикулярны, длину вектора общего ускорения \(\vec\) можно найти из теоремы Пифагора:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *