Как найти работу газа за цикл
Перейти к содержимому

Как найти работу газа за цикл

  • автор:

Работа газа в термодинамике

Методические рекомендации по изучению темы, 10-й класс

При изучении работы газа в термодинамике учащиеся неизбежно сталкиваются с трудностями, обусловленными слабыми навыками вычисления работы переменной силы. Поэтому к восприятию этой темы необходимо готовиться, начиная уже с изучения работы в механике и решая с этой целью задачи на работу переменной силы путём суммирования элементарных работ на всём пути с помощью интегрирования.

Например, при вычислениях работы силы Архимеда, силы упругости, силы всемирного тяготения и т.п. надо учиться суммировать элементарные величины с помощью простейших дифференциальных соотношений типа dA = Fds. Опыт показывает, что старшеклассники легко справляются с этой задачей, – дугу траектории, на которой сила увеличивается или уменьшается, нужно разбить на такие промежутки ds, на которых силу F можно считать постоянной величиной, а затем, зная зависимость F = F(s), подставить её под знак интеграла. Например,

Работа этих сил вычисляется с помощью простейшего табличного интеграла

Такая методика облегчает адаптацию будущих студентов к восприятию курса физики в вузе и устраняет методические сложности, связанные с умением находить работу переменной силы в термодинамике и др.

После того как учащиеся усвоили, что такое внутренняя энергия и как найти её изменение, целесообразно дать обобщающую схему:

Усвоив, что работа – это один из способов изменения внутренней энергии, десятиклассники легко рассчитывают работу газа в изобарном процессе. На данном этапе необходимо подчеркнуть, что сила давления газа на всём пути не меняется, и по третьему закону Ньютона |F2| = |F1|, знак работы находим из формулы A = Fs cos. Если = 0°, то A > 0, если = 180°, то A < 0. На графике зависимости р(V) работа численно равна площади под графиком.

Пусть газ расширяется или сжимается изотермически. Например, газ сжимается под поршнем, давление изменяется, и в любой момент времени

При бесконечно малом перемещении поршня на dl мы получим бесконечно малое изменение объёма dV, а давление р можно считать постоянным. По аналогии с нахождением механической работы переменной силы, составим простейшее дифференциальное соотношение dA = pdV, тогда и, зная зависимость р (V), запишем Это табличный интеграл типа Работа газа в этом случае отрицательна, т.к. = 180°:

Полученную формулу можно переписать, используя соотношение

Для закрепления решим задачи.

1. Газ переходит из состояния 1 (объём V1, давление р1) в состояние 2 (объём V2, давление р2) в процессе, при котором его давление зависит от объёма линейно. Найдите работу газа.

Решение. Построим примерный график зависимости p от V. Работа равна площади под графиком, т.е. площади трапеции:

2. Один моль воздуха, находящийся при нормальных условиях, расширяется от объёма V0 до 2V0 двумя способами – изотермически и изобарно. Сравните работу, совершённую воздухом в этих процессах.

При изобарном процессе Ap = р0V, но р0 = RT0/V0, V = V0, следовательно, Ap = RT0.

При изотермическом процессе:

Изучив первый закон термодинамики и его применение к изопроцессам и закрепив решением задач тему о работе в термодинамике, учащиеся подготовились к восприятию наиболее сложной части термодинамики «Работа циклов и КПД тепловых машин». Этот материал я излагаю в следующей последовательности: работа циклов – цикл Карно – КПД тепловых машин – круговые процессы.

Круговым процессом (или циклом) называется термодинамический процесс, в результате которого тело, пройдя ряд состояний, возвращается в исходное состояние. Если все процессы в цикле равновесные, то цикл считается равновесным. Его можно изобразить графически в виде замкнутой кривой.

На рисунке показан график зависимости давления p от объёма V (диаграмма p, V) для некоторого цикла 1–2–3–4–1. На участках 1–2 и 4–1 газ расширяется и совершает положительную работу А1, численно равную площади фигуры V1412V2. На участке 2–3–4 газ сжимается и совершает работу А2, модуль которой равен площади фигуры V2234V1. Полная работа газ за цикл А = А1 + А2, т.е. положительна и равна площади фигуры 12341.

Если равновесный цикл изображается замкнутой кривой на р, V-диаграмме, которая обходится по часовой стрелке, то работа тела положительна, а цикл накзывается прямым. Если замкнутая кривая на р, V-диаграмме обходится против часовой стрелки, то газ совершает отрицательную работу за цикл, а цикл называется обратным. В любом случае модуль работы газа за цикл равен площади фигуры, ограниченной графиком цикла на р, V-диаграмме.

В круговом процессе рабочее тело возвращается в исходное состояние, т.е. в состояние с первоначальной внутренней энергией. Это значит, что изменение внутренней энергии за цикл равно нулю: U = 0. Так как, по первому закону термодинамики, для всего цикла Q = U + A, то Q = A. Итак, алгебраическая сумма всех количеств теплоты, полученных за цикл, равна работе тела за цикл: Aц = Qн + Qх = Qн – |Qх|.

Рассмотрим один из круговых процессов – цикл Карно. Он состоит из двух изотермических и двух адиабатических процессов. Пусть рабочим телом является идеальный газ. Тогда на участке 1–2 изотермического расширения, согласно первому закону термодинамики, всё получаемое газом тепло идёт на совершение положительной работы: Q12 = A12. То есть нет никаких потерь тепла в окружающее пространство и никакого изменения внутренней энергии: U = 0, т.к. T12 = const (потому что газ – идеальный).

На участке 2–3 адиабатного расширения газ совершает положительную работу за счёт изменения внутренней энергии, т.к. Qад = 0 = U23 + Aг23 Aг23 = – U23. Здесь также нет потерь тепла, по определению адиабатного процесса.

На участке 3–4 над газом совершается положительная работа внешней силой, но он не нагревается (изотермический процесс). Благодаря достаточно медленно протекающему процессу и хорошему контакту с холодильником газ успевает отдавать получаемую за счёт работы энергию в виде тепла холодильнику. Сам же газ совершает при этом отрицательную работу: Q34 = Aг34 < 0.

На участке 4–1 газ адиабатно (без теплообмена) сжимается до исходного состояния. При этом он совершает отрицательную работу, а внешние силы – положительную: 0 = U41 + Aг41 Aг41 = – U41.

Таким образом, за цикл газ получает тепло только на участке 1–2, изотермически расширяясь:

Холодильнику тепло отдаётся только при изотермическом сжатии газа на участке 3–4:

Согласно первому закону термодинамики

КПД машины, работающей по циклу Карно, найдём по формуле

Согласно закону Бойля–Мариотта для процессов 1–2 и 3–4, а также уравнению Пуассона для процессов 2–3 и 4–1, легко доказать, что

(Хорошо бы увидеть, как автор это делает: ведь уравнение Пуассона для диабаты идеального газа надо ещё получить. – Ред.)

После сокращений получим формулу КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно:

Работу тепловых машин, работающих по обратному циклу, методически правильно, как показывает опыт, изучать на примере работы обратного цикла Карно, т.к. он обратим и его можно провести в обратном направлении: расширять газ при понижении температуры от Tн до Tx (процесс 1–4) и при низкой температуре Tx (процесс 4–3), а затем сжимать (процессы 3–2 и 2–1). Теперь двигатель совершает работу, чтобы привести в действие холодильную машину. Рабочее тело отнимает количество теплоты Qx у продуктов внутри при низкой температуре Tх, а отдаёт количество теплоты Qн окружающим телам, за пределами холодильника, при более высокой температуре Tн. Таким образом, машина, работающая по обратному циклу Карно, уже не тепловая, а идеальная холодильная. Роль нагревателя (отдающего тепло) выполняет тело с более низкой температурой. Но, сохранив названия элементов, как в тепловой машине, работающей по прямому циклу, мы можем представить блок-схему холодильника в следующем виде:

Обратим внимание, что тепло от холодного тела переходит в холодильной машине к телу с более высокой температурой не самопроизвольно, а за счёт работы внешней силы.

Важнейшей характеристикой холодильника является холодильный коэффициент , определяющий эффективность работы холодильника и равный отношению количества теплоты, отнятого от холодильной камеры Qх к затраченной энергии внешнего источника

За один обратный цикл рабочее тело получает от холодильника количество теплоты Qх и отдаёт в окружающее пространство количество теплоты Qн, что больше Qх на работу Aдв, совершаемую электродвигателем над газом за цикл: |Qн| = |Qх| + Адв.

Энергия, затраченная двигателем (электроэнергия в случае компрессорных электрических холодильников), идёт на полезную работу над газом, а также на потери при нагревании обмоток двигателя электрическим током QR и на трение в схеме Атр.

Если пренебречь потерями на трение и джоулево тепло в обмотках двигателя, то холодильный коэффициент

Учитывая, что в прямом цикле

после несложных преобразований получим:

Последнее соотношение между холодильным коэффициентом и КПД тепловой машины, которая может работать и по обратному циклу, показывает, что холодильный коэффициент может быть больше единицы. В этом случае тепла отнимается от холодильной камеры и возвращается в комнату больше, чем для этого используется энергии двигателем.

В случае идеальной тепловой машины, работающей по обратному циклу Карно (идеального холодильника), холодильный коэффициент имеет максимальное значение:

В реальных холодильниках т.к. не вся получаемая двигателем энергия идёт на работу над рабочим телом, о чём написано выше.

• Оцените стоимость изготовления 1 кг льда в домашнем холодильнике, если температура испарения фреона –tх °С, температура радиатора tн °С. Стоимость одного киловатт-часа электроэнергии равна Ц. Температура в комнате t.

m, c, t, tн, tх, , Ц.
____________
Д – ?

Стоимость Д изготовления льда равна произведению работы электродвигателя на тариф Ц: Д = ЦА.

Для превращения воды в лёд с температурой 0 °С необходимо отвести от неё количество теплоты Q = m(ct + ). Считаем приближённо, что над фреоном совершается обратный цикл Карно с изотермами при температурах Tн и Tх. Используем формулы для холодильного коэффициента: по определению, = Q/A и для идеального холодильника ид = Tх/(TнTх). Из условия следует, что ид.

Решаем совместно три последних уравнения:

Разбирая с учащимися эту задачу, необходимо обратить внимание на то, что основная работа холодильного устройства идёт не на охлаждение продуктов, а на поддержание температуры внутри холодильного шкафа путём периодической откачки тепла, проникающего сквозь стенки холодильника.

Для закрепления темы можно решить задачу:

• КПД тепловой машины, работающей по циклу, состоящему из изотермического процесса 1–2, изохорического 2–3 и адиабатического 3–1, равен , а разность максимальной и минимальной температур газа в цикле равна T. Найдите работу, совершённую моль одноатомного идеального газа в изотермическом процессе.

При решении задач, в которых фигурирует КПД цикла, полезно предварительно проанализировать все участки цикла, используя первый закон термодинамики, и выявить участки, где тело получает и отдаёт тепло. Проведём мысленно ряд изотерм на р, V-диаграмме. Тогда станет ясно, что максимальная температура в цикле на изотерме, а минимальная – в т. 3. Обозначим их через T1 и T3 соответственно.

На участке 1–2 изменение внутренней энергии идеального газа U2U1 = 0. По первому закону термодинамики, Q12 = (U2U1) + А12. Так как на участке 1–2 газ расширялся, то работа газа А12 > 0. Значит, и подведённое к газу количество теплоты на этом участке Q12 > 0, причём Q12 = А12.

Воспользовавшись выражениями U2= cVT1 и тем, что T1T3 = T, получим Q23 = –cV T < 0. Это означает, что на участке 2–3 газ получает отрицательное количество теплоты, т.е. отдаёт тепло.

На участке 3–1 теплообмена нет, т.е. Q31 = 0 и, по первому закону термодинамики, 0 = (U1U3) + A31. Тогда работа газа
A31 = U3U1 = cV(T3T1) = –cV T.

Итак, за цикл газ совершил работу A12 + А31 = А12cV T и получил тепло только на участке 1–2. КПД цикла

Так как то работа газа на изотерме равна

Геннадий Антонович Белуха – заслуженный учитель РФ, педагогический стаж 20 лет, ежегодно его ученики занимают призовые места на различных этапах всероссийской олимпиады по физике. Хобби – компьютерная техника.

Как определить работу газа за цикл?

Идеальный одноатомный газ количеством 3 моля совершает показанный цикл. (График зависимости Р от Т). Температуры газа в соответствующих точках равны т1=400К, т2=800К, Т4=1200К. Определите работу газа за цикл

Дополнен 14 лет назад

Лучший ответ

JELAYU USPEXOV .
Vladimir Shchookin.

Остальные ответы

Работа — площадь ограниченная графиком, начерченным в осях p,V.

Валентина . Гений (71105) 14 лет назад

Метод площадей срабатывает только в осях РV

Я старый больной человек и ни черта не вижу.

График перестроить в осях РV и найти площадь фигуры внутри цикла.

Existence НебесныйМастер (1836) 14 лет назад

А точнее? Известна только температура и количество молей.

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Каталог статей

На рисунке показан циклический процесс, происходящий с идеальным газом, при этом р2 = 2,3 р1. Работа газа на участке 2-3 равна 680 Дж. Определите работу газа за цикл.

Работа газа за цикл может быть найдена графически как площадь фигуры, в данном случае – прямоугольного треугольника.

Процесс 2-3 изобарный, потому работа газа на данном участке равна A 2-3 = p 2 ( V 2 V 1 ). Значит, работа за цикл равна

И деальный газ в количестве 2,72 моль совершает циклический процесс. Известно, что Т1 = 290 К, р2 / р1 = 4,53, Т4 / Т1 = 2,38. Определите работу газа за цикл .

Для решения задачи проще изобразить данный циклический процесс в координатах р V .

Графически работа газа равна площади фигуры, т.е. прямоугольника: A = ( p 2 p 1 )( V 4 V 1 ). Так как процесс 4-1 изобарный, то

A = (4,53 p 1 p 1 )(2,38 V 1 V 1 ) = 4,8714 p 1 V 1 .

Из уравнения Клайперона-Менделеева p 1 V 1 = ν RT 1 . Отсюда

А = 4,8714 ν RT 1

A = 4,8714 ∙ 2,72 ∙ 8,31 ∙290 ≈ 31900 Дж = 31 , 9 кДж.

Физика. 10 класс

Геометрическое толкование работы. Работу газа можно определить графически. Изобразим график зависимости давления газа от его объёма при р = const (рис. 68). Если процесс перехода газа из начального состояния в конечное является изобарным (АВ — изобара), то работа силы давления газа численно равна площади прямоугольника V1АВV2.

Если процесс перехода газа из начального состояния в конечное не является изобарным (рис. 69), то работа силы давления газа при изменении объёма от V1 до V2 численно равна площади фигуры, ограниченной графиком процесса (кривая 12), осью ОV и прямыми, соответствующими значениям объёмов V1 и V2.

Рис.

Процесс, при котором термодинамическая система, прошедшая некоторую последовательность состояний, возвращается в исходное состояние, называют циклическим процессом или циклом ( рис. 69.1 ). Работа, совершаемая системой при циклическом процессе, или работа цикла, численно равна площади фигуры, ограниченной линиями, которые изображают цикл в координатах р, V:

Рис.

Если «кривая расширения» (изобара 1 2) ( рис. 69.1 , а) расположена выше «кривой сжатия» (изотерма 3 1), то полная работа, совершённая системой за цикл (работа цикла), положительна. Если же, как изображено на рисунке 69.1, б, «кривая сжатия» (изобара 3 1) расположена выше «кривой расширения» (изотерма 1 2), то работа цикла отрицательна.

Работу газа определяют не только начальное и конечное состояния системы, но и вид процесса. Например, газ из состояния 1 можно перевести в состояние 3 либо в результате изотермического расширения (рис. 70), либо сначала изохорно понизив его давление до значения р2 , а затем изобарно увеличив его объём до значения V3 . В первом случае работа газа больше, чем во втором.

Рис.

Следовательно, работа, совершаемая термодинамической системой при переходе из одного состояния в другое, зависит не только от начального и конечного состояний системы, но и от вида процесса .

От теории к практике

На каком из представленных на рисунках 71, а–г графиков сила давления газа совершает в процессе перехода из состояния 1 в состояние 2:

а) наибольшую работу; б) наименьшую работу?

Рис.

img

1. Как вычислить работу, совершаемую силой давления газа при его расширении (сжатии)?

2. Как соотносятся между собой работа силы давления газа и работа внешних сил над газом?

3. В чём заключается геометрический смысл понятия «работа» в термодинамике?

Рис.

4. Почему расширение газа при отсутствии теплообмена с окружающей средой сопровождается его охлаждением?

5. Идеальный газ переводят из состояния А в состояние В двумя способами: первый раз — А1В, а второй — А2В (рис. 72). В каком случае работа, совершённая силой давления газа, больше? В каком случае изменение внутренней энергии больше?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *