Как найти периметр основания пирамиды
Перейти к содержимому

Как найти периметр основания пирамиды

  • автор:

Периметр и апофема правильной пирамиды

Зная периметр основания правильной пирамиды, можно легко вычислить сторону основания, разделив периметр на удвоенное количество сторон многоугольника. Площадь основания в свою очередь будет рассчитываться по стандартной формуле площади правильного многоугольника, в которую необходимо будет подставить выражение, соответствующее стороне основания через периметр. a=P/n S=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )=P^2/(4n tan⁡〖(180°)/n〗 ) Чтобы найти радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник в основании пирамиды, как и радиус окружности, описанной вокруг основания, необходимо знать сторону основания, поэтому здесь также пригодится полученное через периметр выражение. (рис.34.1,34.2) r=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 )=P/(2n tan⁡〖(180°)/n〗 ) R=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )=P/(2n sin⁡〖(180°)/n〗 ) Величина внутреннего угла многоугольника в основании зависит только от количества сторон многоугольника и рассчитывается по следующей формуле. (рис.34.3) γ=180°(n-2)/n Зная апофему и сторону основания правильной пирамиды, вычисленной через периметр, можно рассчитать боковое ребро и высоту пирамиды по теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках. (рис. 34.4, 35.1) h=√(l^2-r^2 )=√(l^2-(P/(2n tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ) b=√(l^2+P^2/(4n^2 )) Чтобы найти угол между основанием и апофемой, а также между основанием и боковым ребром, нужно сначала рассчитать косинусы этих углов в прямоугольных треугольниках, образованных высотой и соответствующим отрезком, которые через основание будут соединяться радиусы вписанной и описанной окружностей. (рис.34.4, 34.5) cos⁡α=R/b=P/(2n sin⁡〖(180°)/n〗 √(l^2+P^2/(4n^2 ))) cos⁡β=r/l=P/(2nl tan⁡〖(180°)/n〗 ) Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания равна произведению периметра на половину апофемы. Площадь полной поверхности вычисляется как сумма полученного значения и площади основания. S_(б.п.)=lP/2 S_(п.п.)=P(l/2+P/(2n tan⁡〖(180°)/n〗 )) Чтобы найти объем пирамиды, необходимо знать не только периметр основания для расчета его площади, но и высоту пирамиды, которая равна квадратному корню из разности квадратов апофемы и радиуса вписанной в основание окружности. V=1/3 S_(осн.) h=(P^2 √(l^2-(P/(2n tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(12n tan⁡〖(180°)/n〗 ) Сфера, которую можно вписать в пирамиду, должна иметь радиус, равный отношению трех объемов к площади полной поверхности, которые можно вычислить через периметр и апофему пирамиды. Радиус сферы, которую можно описать вокруг пирамиды, должен быть равен квадрату боковой стороны, деленному на удвоенную высоту. (рис.34.6, 34.7) r_1=3V/S_(п.п.) =(P√(l^2-(P/(2n tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(2n tan⁡〖(180°)/n〗 (l/2+P/(2n tan⁡〖(180°)/n〗 )) ) R_1=b^2/2h=(2l^2+P^2/n^2 )/(2√(l^2-(P/(2n tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))

Пирамида

Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

  • боковые рёбра правильной пирамиды равны;
  • в правильной пирамиде все боковые грани — конгруэнтные равнобедренные треугольники;
  • в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу;
  • если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна Пи, а каждый из них соответственно Пи/n, где n — количество сторон многоугольника основания;
  • площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Вычислить площадь полной и боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды.

С помощью онлайн калькулятора вы сможете вычислить площадь полной и боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды через формулы. Чтобы вычислить площадь полной и боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды, просто введите ваши данные.

Содержимое

  1. Площадь боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды через ребро основания и высоту боковой грани (апофема).
  2. Площадь боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды через площадь основания и апофему.
  3. Площадь боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды через радиус описанной окружности и апофему.
  4. Площадь боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды через диагональ основания и апофему.
  5. Площадь боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды через периметр основания и апофему.
  6. Площадь боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды через ребро основания и боковое ребро.
  7. Площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды через ребро основания и высоту боковой грани (апофема).
  8. Площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды через площадь основания и высоту боковой грани (апофема).
  9. Площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды через диагональ основания и высоту боковой грани (апофема).
  10. Площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды через периметр основания и высоту боковой грани (апофема).
  11. Площадь полной поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды через ребро основания и боковое ребро.
  12. Площадь полной поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды через радиус описанной окружности и апофему.

Площадь полной и боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды.

  1. Площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна сумме площадей ее основания и четырёх боковых граней.
  2. Площадь боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды равна сумме площадей четырёх боковых граней.
  3. Площадь боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.
  4. Площадь боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды равна произведению ребра основания на апофему, и умноженному на два.

Площадь боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды через ребро основания и высоту боковой грани (апофема).

Площадь боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды через ребро основания и высоту боковой грани (апофема)

S бок = 2 ah

Где: a — ребро основания, h — высота боковой грани (апофема).

Как найти периметр основания пирамиды

Учебный курс Решаем задачи по геометрии

Периметр основания правильной треугольной пирамиды

Задача.
Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 16 корней из 3 см 2 (16√3). Вычислить периметр основания пирамиды.

Решение.
Правильный треугольник — это равносторонний треугольник. Соответственно, боковая грань пирамиды представляет собой равносторонний треугольник.
Площадь равностороннего треугольника равна:

Соответственно:
16√3 = a 2 √3 / 4
16 = a 2 / 4
a 2 = 64
a = 8 см

Основанием правильной треугольной пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник. Таким образом, периметр основания пирамиды равен
8 * 3 = 24 см

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *