Как найти нод трех чисел
Перейти к содержимому

Как найти нод трех чисел

  • автор:

Нахождение НОД по алгоритму Евклида и с помощью разложения на простые множители

Рассмотрим два основных метода нахождения НОД двумя основными способами: с использованием алгоритма Евклида и путем разложения на простые множители. Применим оба метода для двух, трех и большего количества чисел.

Алгоритм Евклида для нахождения НОД

Алгоритм Евклида позволяет с легкостью вычислить наибольший общий делитель для двух положительных чисел. Формулировки и доказательство алгоритма Евклида мы привели в разделе «Наибольший общий делитель: определитель, примеры».

Суть алгоритма заключается в том, чтобы последовательно проводить деление с остатком, в ходе которого получается ряд равенств вида:

Мы можем закончить деление тогда, когда r k + 1 = 0 , при этом r k = НОД ( a , b ) .

Найдите наибольший общий делитель чисел 64 и 48 .

Решение

Введем обозначения: a = 64 , b = 48 .

На основе алгоритма Евклида проведем деление 64 на 48 .

Получим 1 и остаток 16 . Получается, что q 1 = 1 , r 1 = 16 .

Вторым шагом разделим 48 на 16 , получим 3 . То есть q 2 = 3 , а r 2 = 0 . Таким образом число 16 – это наибольший общий делитель для чисел из условия.

Ответ: НОД ( 64 , 48 ) = 16 .

Чему равен НОД чисел 111 и 432 ?

Решение

Делим 432 на 111 . Согласно алгоритму Евклида получаем цепочку равенств 432 = 111 · 3 + 99 , 111 = 99 · 1 + 12 , 99 = 12 · 8 + 3 , 12 = 3 · 4 .

Таким образом, наибольший общий делитель чисел 111 и 432 – это 3 .

Ответ: НОД ( 111 , 432 ) = 3 .

Найдите наибольший общий делитель чисел 661 и 113 .

Решение

Проведем последовательно деление чисел и получим НОД ( 661 , 113 ) = 1 . Это значит, что 661 и 113 – это взаимно простые числа. Мы могли выяснить это до начала вычислений, если бы обратились к таблице простых чисел.

Ответ: НОД ( 661 , 113 ) = 1 .

Нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители

Для того, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел методом разложения на множители, необходимо перемножить все простые множители, которые получаются при разложении этих двух чисел и являются для них общими.

Если мы разложим числа 220 и 600 на простые множители, то получим два произведения: 220 = 2 · 2 · 5 · 11 и 600 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5 . Общими в этих двух произведениях будут множители 2 , 2 и 5 . Это значит, что НОД ( 220 , 600 ) = 2 · 2 · 5 = 20 .

Найдите наибольший общий делитель чисел 72 и 96 .

Решение

Найдем все простые множители чисел 72 и 96 :

72 36 18 9 3 1 2 2 2 3 3

96 48 24 12 6 3 1 2 2 2 2 2 3

Общими для двух чисел простые множители: 2 , 2 , 2 и 3 . Это значит, что НОД ( 72 , 96 ) = 2 · 2 · 2 · 3 = 24 .

Ответ: НОД ( 72 , 96 ) = 24 .

Правило нахождения наибольшего общего делителя двух чисел основано на свойствах наибольшего общего делителя, согласно которому НОД ( m · a 1 , m · b 1 ) = m · НОД ( a 1 , b 1 ) , где m – любое целое положительное число.

Нахождение НОД трех и большего количества чисел

Независимо от количества чисел, для которых нам нужно найти НОД, мы будем действовать по одному и тому же алгоритму, который заключается в последовательном нахождении НОД двух чисел. Основан этот алгоритм на применении следующей теоремы: НОД нескольких чисел a 1 , a 2 , … , a k равен числу d k , которое находится при последовательном вычислении НОД ( a 1 , a 2 ) = d 2 , НОД ( d 2 , a 3 ) = d 3 , НОД ( d 3 , a 4 ) = d 4 , … , НОД ( d k — 1 , a k ) = d k .

Найдите наибольший общий делитель четырех чисел 78 , 294 , 570 и 36 .

Решение

Введем обозначения: a 1 = 78 , a 2 = 294 , a 3 = 570 , a 4 = 36 .

Начнем с того, что найдем НОД чисел 78 и 294 : d 2 = НОД ( 78 , 294 ) = 6 .

Теперь приступим к нахождению d 3 = НОД ( d 2 , a 3 ) = НОД ( 6 , 570 ) . Согласно алгоритму Евклида 570 = 6 · 95 . Это значит, что d 3 = НОД ( 6 , 570 ) = 6 .

Найдем d 4 = НОД ( d 3 , a 4 ) = НОД ( 6 , 36 ) . 36 делится на 6 без остатка. Это позволяет нам получить d 4 = НОД ( 6 , 36 ) = 6 .

d 4 = 6 , то есть, НОД ( 78 , 294 , 570 , 36 ) = 6 .

Ответ: НОД ( 78 , 294 , 570 , 36 ) = 6 .

А теперь давайте рассмотрим еще один способ вычисления НОД для тех и большего количества чисел. Мы можем найти НОД, перемножив все общие простые множители чисел.

Вычислите НОД чисел 78 , 294 , 570 и 36 .

Решение

Произведем разложение данных чисел на простые множители: 78 = 2 · 3 · 13 , 294 = 2 · 3 · 7 · 7 , 570 = 2 · 3 · 5 · 19 , 36 = 2 · 2 · 3 · 3 .

Для всех четырех чисел общими простыми множителями будут числа 2 и 3 .

Получается, что НОД ( 78 , 294 , 570 , 36 ) = 2 · 3 = 6 .

Ответ: НОД ( 78 , 294 , 570 , 36 ) = 6 .

Нахождение НОД отрицательных чисел

Если нам приходится иметь дело с отрицательными числами, то для нахождения наибольшего общего делителя мы можем воспользоваться модулями этих чисел. Мы можем так поступить, зная свойство чисел с противоположными знаками: числа n и — n имеют одинаковые делители.

Найдите НОД отрицательных целых чисел − 231 и − 140 .

Решение

Для выполнения вычислений возьмем модули чисел, данных в условии. Это будут числа 231 и 140 . Запишем это кратко: НОД ( − 231 , − 140 ) = НОД ( 231 , 140 ) . Теперь применим алгоритм Евклида для нахождения простых множителей двух чисел: 231 = 140 · 1 + 91 ; 140 = 91 · 1 + 49 ; 91 = 49 · 1 + 42 ; 49 = 42 · 1 + 7 и 42 = 7 · 6 . Получаем, что НОД ( 231 , 140 ) = 7 .

А так как НОД ( − 231 , − 140 ) = НОД ( 231 , 140 ) , то НОД чисел − 231 и − 140 равен 7 .

Ответ: НОД ( − 231 , − 140 ) = 7 .

Определите НОД трех чисел − 585 , 81 и − 189 .

Решение

Заменим отрицательные числа в приведенном перечне на их абсолютные величины, получим НОД ( − 585 , 81 , − 189 ) = НОД ( 585 , 81 , 189 ) . Затем разложим все данные числа на простые множители: 585 = 3 · 3 · 5 · 13 , 81 = 3 · 3 · 3 · 3 и 189 = 3 · 3 · 3 · 7 . Общими для трех чисел являются простые множители 3 и 3 . Получается , что НОД ( 585 , 81 , 189 ) = НОД ( − 585 , 81 , − 189 ) = 9 .

Ответ: НОД ( − 585 , 81 , − 189 ) = 9 .

Как найти НОД нескольких чисел?

math.gcd Changed in version 3.9: Added support for an arbitrary number of arguments. Formerly, only two arguments were supported.

До версии 3.9, но выше 3.5 можно скомбинировать так:

math.gcd(3, math.gcd(6, 12)) # 3 
from math import gcd from functools import reduce reduce(gcd, [3, 12, 6, 18]) # 3 

Для версии ниже 3.5:

from functools import reduce def gcd(a, b): return gcd(b, a % b) if b else a reduce(gcd, [3, 6, 12]) # 3 

НОД для трех чисел.

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

НОД трех чисел
Нужно соединить эти два кода, чтобы была одна программа. Программа должна находить НОД трех чисел.

НОД трех чисел
Программа нахождения наибольшего общего делителя трех чисел Срочно нужно) Буду благодарен за.

Найти НОД трех чисел
заданы 3 числа . нужно найти их наибольший общий делитель

Найти ошибку в программе вычисления НОД трех чисел.
Поискав на форуме нашел множество решений задачи, но я не понимаю в них код. Поэтому решил все.

306 / 176 / 7
Регистрация: 02.06.2009
Сообщений: 1,077
Регистрация: 06.06.2009
Сообщений: 35
Спасибо я знаю за алгоритм евкліда но незнаю как найти нод для 3 чисел

Эксперт С++

1464 / 965 / 160
Регистрация: 02.01.2009
Сообщений: 2,820
Записей в блоге: 1
если правильно гуглить то можно найти

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
#include template  int A, int B, int C > struct GCD { enum { value = GCDA, C, B % C>::value }; }; template int A, int B > struct GCD A, B, 0>{ enum { value = GCD B, A % B, 0 >::value }; }; template int A > struct GCDA, 0, 0> { enum { value = A }; }; int main() { std::cout  <"30, 15, 45 = "  30, 15, 45>::value  ::endl; return 0; }

метопрограммирование интересная штука..
Заказ софта
343 / 188 / 21
Регистрация: 26.05.2009
Сообщений: 863

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
#include int main(int argc, char * argv []) { int one, two, three, del = 1; std::cout  "Enter Three Number: "; std::cin >> one >> two >> three; for(int i = 1; i  one; i++) { if(one % i == 0 && two % i == 0 && three % i == 0) { del = i; } } std::cout  "NOD: "  del  "\n"; return 0; }

Эксперт С++

7175 / 3234 / 81
Регистрация: 17.06.2009
Сообщений: 14,164

Пусть есть числа A, B, C.
Пусть есть функция НОД(A,B) от двух чисел.
Тогда очевидно что НОД(A,B,C) = НОД( НОД(A,B), C )

Отдыхающий:)
94 / 91 / 22
Регистрация: 05.04.2009
Сообщений: 188

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
#include #include using namespace std; int nod(int a,int b); int main() { int a,b,c; cout"a = "; cin>>a; cout"b = "; cin>>b; cout"c = "; cin>>c; coutnod(nod(a,b),c); getch(); return 0; } int nod(int a,int b) { while(a!=b) if(a>b) a-=b; else b-=a; return a; }

Регистрация: 06.06.2009
Сообщений: 35
спасибо вы мне много помогли
Регистрация: 25.09.2009
Сообщений: 3
Такая хрень тоже должна прокатить, но пример Search.. клевый:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
#include #include #include using namespace std; // Определение НОД для 3-ёх чисел int nod(int a, int b); int main(){ int a=0; int b=0; int c=0; while(1){ cout"vvedite a "; cin>>a; if (a==0) break; cout"vvedite b "; cin>>b; cout"vvedite c "; cin>>c; cout"NOD= "nod(nod(a,b),c)endl; } return 0; } int nod(int a, int b){ int t=a%b; if (t==0) return abs(b); else return nod(b,t); }

87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь

Написать шаблоны функций для для вычисления суммы произведений двух соседних чисел для трех целых чисел и в одномерном массиве целых чисел
Написать шаблоны функций для для вычисления суммы произведений двух соседних чисел для трех целых.

НОД для нескольких чисел
Надо найти НОД для нескольких чисел, не используя массив и функцию gcd. пример: n=3 вход: 2 8 16.

НОД для 3 чисел и более
Помогите пожалуйста написать программу нахождения НОД для трех или более чисел на основе.

Нод для массива чисел
Ввести с клавиатуры последовательность чисел (как положительных, так и отрицательных, как целых, .

Или воспользуйтесь поиском по форуму:

Нахождение НОД и НОК чисел

Онлайн-калькулятор «Нахождение НОД и НОК чисел«. Наш калькулятор поможет вам найти наибольший общий делить (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел. Особенностью данного калькулятора является то, что он может находить НОК и НОД не только двух чисел, но и трех или четырех чисел. Введите натуральные числа и нажмите кнопку «Вычислить» и наш калькулятор не просто выдаст ответ, но и представит подробное решение, где последовательно будет изложен порядок нахождения НОД и НОК чисел.

Калькулятор для нахождения НОД и НОК чисел
Выберите количество чисел, для которых требуется найти НОД и НОК:
2 числа 3 числа 4 числа

Первое число Второе число Третье число Четвертое число

Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое эти числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель обозначается следующим образом: НОД (18; 48) = 6

Наименьшее общее кратно нескольких чисел – это самое меньшее число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Например: НОК (18; 48) = 144

Это следует знать! Как определить, что число делится на 3 без остатка? Очень просто – на 3 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3. Например: число 795 делится на 3, так как сумма его цифр 7 + 9 + 5 = 21 делится на 3.
21 : 3 = 7

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *