Как найти матрицу преобразования в базисе
Перейти к содержимому

Как найти матрицу преобразования в базисе

  • автор:

Анал_Геом / Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов

Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов

В разделе «Матрица линейного преобразования» мы выяснили, что каждое линейное преобразование -мерного линейного пространства в фиксированном базисе задается матрицей. Если меняется базис, то, как правило, меняется и матрица. Возникает вопрос, нельзя ли найти базис, в котором матрица линейного преобразования имеет наиболее простой вид. В общем случае выбрать такой базис довольно сложно. Это связано с нахождением нормальной жордановой формы матрицы, изложение которого можно найти в более обстоятельных учебниках по линейной алгебре, например, в [4], [5]. Следующая теорема отвечает на этот вопрос в более простом случае.

Теорема 19.2 Пусть — линейное преобразование -мерного линейного пространства. Матрица линейного преобразования имеет диагональный вид

тогда и только тогда, когда векторы базиса являются собственнными векторами преобразования , соответствующими собственным числам .

Доказательство. Пусть преобразование имеет линейно независимых собственных векторов , соответствующих собственным числам . Так как векторы линейно независимы, то они образуют базис. Найдем матрицу преобразования в этом базисе. Ее первый столбец является координатным столбцом вектора . Так как — собственный вектор, то

Координатный столбец этого вектора . Второй столбец матрицы является координатным столбцом вектора . Так как — собственный вектор, то

Координатный столбец этого вектора . Вычисляя аналогично остальные столбцы, получаем, что матрица линейного преобразования в базисе имеет вид (19.5). Первая часть теоремы доказана.

Пусть в некотором базисе матрица линейного преобразования имеет вид (19.5). Найдем образ вектора . Этот вектор имеет координатный столбец , его образ имеет координатный столбец

Следовательно, — собственное число преобразования , а — соответствущий ему собственный вектор. Аналогично находим, что любой базисный вектор является собственным вектором преобразования , соответствующим собственному числу .

Следствие 19.2 Если у матрицы порядка существует набор из линейно независимых собственнных векторов, соответствующих собственным числам , то матрица подобна диагональной матрице с числами на диагонали.

Теорема 19.3 Пусть собственные векторы преобразования соответствуют собственным числам , среди которых нет равных друг другу. Тогда система векторов является линейно независимой.

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции по числу векторов. Если , то утверждение теоремы следует из того, что собственный вектор — ненулевой.

Пусть утверждение верно для системы векторов . Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее к нулю

К обеим частям применим преобразование

По определению линейного преобразования получим

Так как — собственные векторы, то

Умножим равенство (19.6) на и вычтем из последнего равенства. Получим

Так как по предположению индукции векторы линейно независимы, то

По условию , следовательно, . Подставим эти значения в (19.6), получим . Получили, что из равенства (19.6) следует , то есть векторы линейно независимы.

Следствие 19.3 Если матрица порядка имеет попарно различных собственных чисел, то она подобна диагональной матрице.

6.5.2. Линейное преобразование в базисе из собственных векторов

Вернёмся к подопытному линейному преобразованию Примера 137. Оно записано в матричной форме , а значит, задано в некотором базисе двумерного векторого пространства. Однако базисов в нём не счесть и мы можем перейти к произвольному базису, в результате чего получится другая (в общем случае) матрица того же самого преобразования в новом базисе.

Но базис базису рознь и есть особо удобные базисы….

Если линейный оператор n-мерного векторого пространства задан матрицей в некотором базисе и имеет линейно независимых собственных векторов (что бывает не всегда), то матрицу оператора можно представить в виде:

, где – матрица перехода к базису из собственных векторов, а – матрица того же линейного преобразования в базисе из собственных векторов. И «дэ» – это есть в точности диагональная матрица с соответствующими собственными числами.

В нашем двумерном примере собственные векторы линейно независимы (неколлинеарны), а значит, образуют базис. Запишем матрицу перехода к этому базису: – напоминаю, что координаты нужно записывать в столбцы и строго по порядку – сначала первый вектор базиса, затем второй.

На главной диагонали матрицы в соответствующем порядке располагаются собственные числа , а остальные элементы равняются нулю:

! И снова о важности порядка: перестановка «двойки» и «тройки» недопустима!

По стандартному алгоритму находим обратную матрицу . …Нет, это не опечатка – перед вами редкое, как солнечное затмение событие, когда обратная совпала с исходной матрицей.

Осталось записать линейное преобразование в виде :
, где – матрица данного линейного преобразования в базисе из собственных векторов. Она проще, нежели .

Иногда представление называют каноническим или спектральным разложением матрицы .

Поскольку матрицы и подобны, то они обладают знакомыми инвариантами. А именно, равны их определители: , сразу оценИте удобство базиса: . И равны следы: .

Но это далеко не всё! Важнейший инвариант подобных матриц – это собственные числа, а значит, и их «родственник» – характеристический многочлен. В самом деле, составим характеристическое уравнение матрицы :

– в результате получен тот же самый многочлен с корнями , что и для матрицы в Примере 137.

Таким образом, линейное преобразование во всех возможных базисах имеет матрицы с одинаковым характеристическим многочленом и собственными числами. Собственные же векторы тоже сохранят направления, но будут менять координаты (от базиса к базису), т. к. новый базис меняет «координатную сетку» векторого пространства. Наглядная тому иллюстрация есть в Примере 129, если Вы потеряли «нить» темы.

Но достаточно мозголомства, вернёмся к практике 🙂

Пример 139

Записать каноническое разложение матрицы

Заметьте, что в условии ничего не сказано о линейном преобразовании, и поэтому решение лучше оформлять в контексте заданного вопроса: найдём собственные значения матрицы. Для этого составим и решим характеристическое уравнение:

– в результате получены кратные (совпавшие) собственные числа.

Мысленно подставим в определитель и запишем однородную систему линейных уравнений:

Что тут сказать? «Игрек» принудительно равен нулю: (иначе в первом уравнении получится неверное равенство). За «икс» можно принять любое ненулевое значение, в хорошем стиле положим, что . Не ленимся и даже в таких простых случаях проверяем, что пара удовлетворяет каждому уравнению системы!
Таким образом, кратным собственным числам соответствует одно множество коллинеарных векторов в «лице» собственного вектора , и поэтому канонического разложения матрицы не существует.

Почему разложения не существует?Потому что невозможно записать матрицу , которая должна состоять из двух линейно независимых собственных векторов. Размерность вектора равна двум («икс» и «игрек»), но сам-то вектор – один-одинёшенек. Коллинеарный товарищ, например , в пару не годится (хотя бы по той причине, что и обратной матрицы попросту не существует).

Ответ: требуемое разложение неосуществимо.

Обратите внимание на корректность и точность ответа – нас никто не спрашивал о собственных значениях и собственных векторах. Кстати, об условии – его могут сформулировать и коварно: записать матрицу линейного преобразования в базисе из собственных векторов. Коварство состоит в том, что здесь можно найти собственные числа и машинально дать нелегальный ответ . Но базиса-то из собственных векторов не существует!

И у этого примера есть простое геометрическое объяснение: матрица задаёт не что иное, как «перекос Джоконды», у которого существует лишь одно множество коллинеарных друг другу векторов, которые сохраняют направление в результате преобразования (и длину тоже, коль скоро ).

И сейчас назрели важные вопросы:

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Найти матрицу преобразования φ в базисе (f1,f2)

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Преобразование φ в базисе (g1,g2) имеет матрицу Ag, а преобразование ψ в базисе (f1,f2 Задано матрицей Bf
(1 3)
(2 8)
Необходимо найти матрицу преобразования φ в базисе (f1,f2)
Какой алгоритм нахождения?
p.s. (g1,g2 и f1,f2 даны, но соотношение не дано)

Лучшие ответы ( 1 )
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Найти матрицу сопряженного преобразования в данном базисе
В евклидовом пространстве Е4 задан ортонормированный базис е=. Линейное преобразование.

Найти матрицу преобразования в том базисе, в котором даны координаты всех векторов
Линейное преобразование \varphi в базисе _=(-3,7), _=(1,-2) имеет матрицу.

Найти матрицу А в базисе i,j и в базисе e1,e2
V2 — линейное пространство, А — оператор поворота на угол "фи" против часовой стрелки, найти его.

Найдите матрицу линейного преобразования A линейного пространства L в базисе e1,e2,e3
Очень интересует, как должно выглядеть решение, когда даны базисы в виде матриц, и когда.

Эксперт по математике/физике

4957 / 3575 / 1151
Регистрация: 01.09.2014
Сообщений: 9,676
Матрица φ в базисе (f1, f2) равна C -1 AgC, где C — матрица перехода от базиса (g1, g2) к (f1, f2).
Регистрация: 02.05.2015
Сообщений: 105
и как найти матрицу перехода от базиса (g1, g2) к (f1, f2) не через элементарные операции?

Эксперт по математике/физике

6358 / 4065 / 1512
Регистрация: 09.10.2009
Сообщений: 7,550
Записей в блоге: 4

Из матричного уравнения F=GC, где в матрице F базисные вектора f1 и f2 записаны в строку, то есть координаты fi это i-й столбец матрицы F. Матрица G записана по такому же принципу. Тогда матрица перехода

ЦитатаСообщение от magdake Посмотреть сообщение

не через элементарные операции
Не понятно, что вы понимаете под элементарными операциями.

Эксперт по математике/физике

4166 / 3038 / 914
Регистрация: 19.11.2012
Сообщений: 6,182

ЦитатаСообщение от magdake Посмотреть сообщение

а преобразование ψ
А это ружье зачем здесь висит? В каком акте стрелять будет?
Регистрация: 02.05.2015
Сообщений: 105

ЦитатаСообщение от kabenyuk Посмотреть сообщение

А это ружье зачем здесь висит? В каком акте стрелять будет?

прост в задании еще два пункта:
найти матрицу преобразования φ+ψ в базисе G;
найти матрицу преобразования φ+ψ в базисе F;
Но делать их, не разобравшись с первым, неразумно

Добавлено через 14 минут

ЦитатаСообщение от jogano Посмотреть сообщение

где в матрице F базисные вектора f1 и f2 записаны в строку, то есть координаты fi это i-й столбец матрицы F

то есть,если f1=(3,1), f2=(-1,2), то F=
(3 1)
(-1 2)
Почему не
(3 -1)
(1 2)
Не понимаю, от чего зависит то, в каком направлении записываются координаты

Эксперт по математике/физике

4166 / 3038 / 914
Регистрация: 19.11.2012
Сообщений: 6,182

ЦитатаСообщение от magdake Посмотреть сообщение

от чего зависит то, в каком направлении

А это зависит только от того, как у вас образ вектора записывают f(u) или uf. В первом случае матрица перехода и матрица оператора составляется из координатных столбцов, во втором случае из координатных строк. И об этом известно только вам

Регистрация: 02.05.2015
Сообщений: 105

ЦитатаСообщение от jogano Посмотреть сообщение

Не понятно, что вы понимаете под элементарными операциями.

элементарные преобразования строк

Добавлено через 26 минут
«Сделать проверку правильности нахождения матрицы Af для вектора Xg = (1,-1)»
Что для этого нужно сделать?

ЦитатаСообщение от magdake Посмотреть сообщение

Найти матрицу преобразования φ+ψ в базисе G;
Найти матрицу преобразования φ+ψ в базисе F;

Пусть преобразование фи+пси — это U, тогда чему равно U?
Правильно понял, что первое действие — это сложить матрицы?
Какой базис у преобразование U?

——
Или нужно сначала привести пси в базис G, потом сложить и аналогично с базисом фи, который приведен к новому базису?

Эксперт по математике/физике

6358 / 4065 / 1512
Регистрация: 09.10.2009
Сообщений: 7,550
Записей в блоге: 4

Лучший ответ

Сообщение было отмечено magdake как решение

Решение

Чуть упорядочим ваши данные:
Есть матрицы двух лин. операторов в двух разных базисах:

Лин. оп. / в базисе в F в G
— найти
— найти

то есть результат действия лин. оператора в каждом базисе вычисляется так:

Результат действия лин. оп. / в базисе в F в G

Если известны базисные векторы fi и gi, заданные своими координатами в каком-то третьем базисе, например, в , то матрица перехода от G к F вычисляется как , а матрица перехода наоборот, от F к G, вычисляется как
Запись базиса в виде матрицы:
. Тот же принцип для записи другого базиса в виде матрицы G.
Матрица первого оператора в базисе F вычисляется как , а второго оператора в базисе G как
Оператор суммы двух операторов имеет матрицу, равную сумме обеих матрицы операторов-слагаемых (в одном и том же базисе).
Если какой-то вектор (это просто имя, без координат) имеет в базисе G координаты , то он же в базисе F имеет координаты (матрица умножить на вектор-столбец даёт вектор-столбец).
Суть проверки правильности нахождения Af с данным вектором :
1) вектор с такими G-координатами будет иметь F-координаты
2) результат действия оператора на этот вектор в базисе F есть вектор с координатами . Это с одной стороны. С другой стороны,
3) оставаясь в G-базисе, сначала вычисляем результат действия оператора в этом старом базисе, то есть вычисляем , а потом
4) этот результат записываем через F-базис:
Два вектора, вычисленные в пунктах 2) и 4), должны быть одинаковые.

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Линейные преобразования

Линейные преобразования
23.04.2011, 09:59

Помогите решить пару задачек:
1) Линейное преобразование пространства матриц второго порядка определено формулой $\[\varphi (X) = AX - XA\]$, где $A$— фиксированная матрица. Нужно найти его матрицу в стандартном базисе.
Если я правильно понял задание, то требуется найти некую матрицу $B$данного линейного оператора. Помню, что ее можно найти из формулы: $\[B = (AX - XA)<X^< - 1>>\]$» /><br />Но матрица X вообще неизвестна, может оказаться вырожденной и обратить ее не удастся. Думаю что здесь нужен какой-то другой способ, тем более в ответе дана матрица размера 4-4, т.е. там написано:<br />Если <br /><img decoding=проектирования линейного пространства обладает свойством $\phi^2=\phi$

$\phi^2=\phi$

Тут у меня есть подозрение, что матрицу данного оператора можно записать в базисе из собственных векторов так, чтобы на диагонали оказались только нули и единицы, откуда и следует свойство

Re: Линейные преобразования
23.04.2011, 10:21

Последний раз редактировалось Kallikanzarid 23.04.2011, 10:37, всего редактировалось 6 раз(а).

А что такое порядок матрицы?

$\mathrm<End></p>
<p>Попробуйте воспользоваться изоморфизмом V \cong V \otimes V^*$» />.</p>
<p>Выберите в пространстве матриц базис <img decoding=; как обычно, подразумевается суммирование по $i$и $j$из индексирующего множества $\<11, 12, 21, 22\>$» />. Тогда получите <img decoding=где в правой части — обычные произведения матриц. Тогда $B_k^j = e^j(A e_k - e_k A)$, т.е. $B_k^j$$j$-я компонента выражения $A e_k - e_k A$. Должно получиться что-то, похожее на ответ.

P.S.: А откуда задача, с чем она связана?

Re: Линейные преобразования
23.04.2011, 10:52

Заслуженный участник

give_up в сообщении #437931 писал(а):

Нужно показать, что преобразование $\phi$проектирования линейного пространства обладает свойством $\phi^2=\phi$

Очень странный вопрос. Вообще-то это определение оператора проектирования.

А что касается первого задания — то тупо в лоб. Например,

$\begin</p>
<p>a_&a_\\a_&a_\end\begin1&0\\0&0\end-\begin1&0\\0&0\end\begina_&a_\\a_&a_\end=\begina_&0\\a_&0\end-\begina_&a_\\0&0\end=$» /></p>
<p><img decoding=, где $V$— подпространство $U$, и $P|_V = 1_V$, то таки теорема, хоть и простейшая.

$P^2 = P$

УПД: определения, данные мной и вами, эквивалентны. Если принять написанное мной выше за определение проектирование, то условие будет легко выводимым критерием, так что возможно, что ОП работает как раз с таким определением.

Re: Линейные преобразования
23.04.2011, 12:20

Kallikanzarid
Порядок квадратной матрицы — имеется в виду её размерность (кол-во строк, равное кол-ву столбцов).
Это задачи из сборника Беклемишевой по линейной алгебре из параграфа «Инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения линейных преобразований»
ewert
То есть матрица любого оператора ортогонального проектирования по определению состоит из нулей и единиц на главной диагонали? Порылся я в учебниках, но там вообще не дается определение оператора ортогонального проектирования в линейном пространстве

Re: Линейные преобразования
23.04.2011, 12:53

Заслуженный участник

give_up в сообщении #437960 писал(а):

То есть матрица любого оператора ортогонального проектирования по определению состоит из нулей и единиц на главной диагонали?

Разумеется — если, конечно, в ортонормированном собственном базисе. А так — нет, конечно; с какой стати.

Кроме того, до сих пор речь шла не об ортопроекторе, а о просто проекторе. Специально же орто проекторы обычно определяются действительно иначе, и для них равенство квадрату — это действительно свойство, но — тривиальное, как ни определяй. Собственные числа тут, во всяком случае, не при чём.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *