Как найти матрицу грамма
Перейти к содержимому

Как найти матрицу грамма

  • автор:

7.2. Матрица Грама в евклидовом пространстве

Пусть Еnn-мерное евклидово пространство и пусть е = (е1, е2, . , еn ) – базис в нём. Так как в Еn для любой упорядоченной пары векторов определено их скалярное произведение, то определены скалярные произведения всех пар базисных векторов. Составим из них матрицу

Матрица Г называется матрицей Грама скалярного произведения для базиса е.

Используя матрицу Грама, можно получить формулу для вычисления

скалярного произведения векторов, заданных координатами.

Пусть в базисе е заданы векторы а = х1е1 + х2е2 + … + хnеn , в = у1е1+ у2е2 + … + уnеn . Тогда (а, в) = (х1е1 + х2е2 + … + хnеn)( у1е1+ у2е2 + … + уnеn) = = х Т Гу, где х Т – строка координат вектора а, у – столбец координат вектора в . Итак, (а, в) = х Т Гу (42).

Свойства матрицы Грама.

1 0 . Матрица Грама симметрична относительно главной диагонали.

Это следует из того, что (ек, еs ) = (еs , ек ).

2 0 . Диагональные элементы матрицы Грама строго положительны.

Это следует из того, что ек0 и, следовательно, (ек, ек )  0.

3 0 . Для матрицы Грама и любого nмерного столбца х выполняется условие х Т Гх  0.

Это следует из 4-ой аксиомы определения скалярного произведения.

Симметрическую матрицу А, удовлетворяющую условию х Т Ах  0 для любого

ненулевого столбца х, называют положительно определённой. Следовательно, матрица

Грама положительно определённая.

4 0 . Пусть е = (е1, е2, . , еn ) и е 1 = (е1 1 , е2 1 , . , еn 1 ) –два базиса в Еn , Г и Г 1 – матрицы Грама данного скалярного произведения в базисах е и е 1 соответственно. Пусть Т – матрица перехода от базиса е к базису е 1 . Тогда (а, в) = х Т Гу, х = Тх 1 , у = Ту 1 , х Т = (Тх 1 ) Т = (х 1 ) Т Т Т . Следовательно, (а, в) = ((х 1 ) Т Т Т ) Г (Ту 1 ) = (х 1 ) Т (Т ТГ Т ) у 1 . Но (а, в) = (х 1 ) Т Г 1 у 1 . Отсюда

Г 1 = Т Т Г Т (43)

Формула (42) даёт связь матриц Грама в разных базисах.

5 0 . Определители матриц Грама во всех базисах имеют один и тот же знак.

Из формулы (42) следует  Г 1  = Т Т  Г Т = Г Т 2 . Так как Т 2  0, то  Г 1  и  Г имеют одинаковые знаки.

1. Во множестве М2 квадратных матриц с действительными элементами скалярное произведение задано формулой . Найти матрицу Грама этого произведения в базисе е1 = , е2 = , е3 = , е4 = .

Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (е1, е1) = 1, (е1, е2) = (е2, е1) = 0, (е1, е3) = (е3, е1) = 0, (е1, е4) = (е4, е1) = 0, (е2, е2) = 1, (е2, е3) = (е3, е2) = 0, (е2, е4) = (е4, е2) = 0, (е3, е3) = 1, (е3, е4) = (е4, е3) = 0, (е4, е4) = 1. Следовательно,

2. В пространстве R[х] многочленов степени не выше 3-х скалярное произведение задано формулой , где и – фиксированные действительные числа, . Составить матрицу Грама в базисе (1, х, х 2 , х 3 ).

Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (1, 1) = = ,

(1, х) = (х, 1) = = ), (1, х 2 ) = (х 2 , 1) = = ), (1, х 3 ) = (х 3 , 1) = = ), (х, х) = = ), (х, х 2 ) = (х 2 , х) = = ), (х, х 3 ) = (х 3 , х) = = ), (х 2 , х 2 ) = = ), (х 2 , х 3 ) = (х 3 , х 2 ) = = ), (х 3 , х 3 ) = = ). Матрица Грама будет иметь вид:

3. В базисе (е1, е2, е3) пространства Е3 скалярное произведение задано матрицей Грама Г = . Найти скалярное произведение векторов а = (1, –5, 4) и в = (–3, 2, 7).

Решение. Используя формулу (41), получим (а, в) = (1, –5, 4)   = 7.

Матрица и определитель Грама

Пусть в евклидовом пространстве $ \mathbb E_<> $ известным образом задано скалярное произведение $ \langle X_<>,Y \rangle $. Матрицей Грама системы векторов $ \,\dots,X_m \> $ называется квадратная матрица, состоящая из всевозможных скалярных произведений этих векторов: $$ G(X_1,\dots,X_m)= \left( \begin \langle X_1,X_1 \rangle & \langle X_1,X_2 \rangle & \dots & \langle X_1,X_m \rangle \\ \langle X_2,X_1 \rangle & \langle X_2,X_2 \rangle & \dots & \langle X_2,X_m \rangle \\ \dots & & & \dots \\ \langle X_m,X_1 \rangle & \langle X_m,X_2 \rangle & \dots & \langle X_m,X_m \rangle \end \right) = \left[ \langle X_j,X_k \rangle \right]_^m \ . $$ Матрица Грама является симметричной матрицей. Ее определитель называется определителем Грама (или грамианом) системы векторов $ \,\dots,X_m \> $: $$ <\mathfrak G>(X_1,\dots,X_m)=\left| \begin \langle X_1,X_1 \rangle & \langle X_1,X_2 \rangle & \dots & \langle X_1,X_m \rangle \\ \langle X_2,X_1 \rangle & \langle X_2,X_2 \rangle & \dots & \langle X_2,X_m \rangle \\ \dots & & & \dots \\ \langle X_m,X_1 \rangle & \langle X_m,X_2 \rangle & \dots & \langle X_m,X_m \rangle \end \right| = \det \left[ \langle X_j,X_k \rangle \right]_^m \ . $$

Пример. Если в пространстве $ \mathbb R^ < n >$ строк, состоящих из $ n_<> $ вещественных чисел, скалярное произведение определяется по правилу 1)

$$ \langle X,Y \rangle=x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n \quad npu \quad X=(x_1,x_2,\dots,x_n), Y=(y_1,y_2,\dots,y_n) \ , $$ то матрица Грама строк $$ X_1=\left(x_,x_,\dots, x_\right),\dots,X_m=\left(x_,x_,\dots, x_\right) $$ вычисляется перемножением матриц: $$ G(X_1,\dots,X_m)=X\cdot X^ \quad npu \quad X= \left(\begin x_ & x_ &\dots & x_ \\ \dots & & & \dots \\ x_& x_ & \dots & x_ \end \right) $$ и при $ ^_<> $ означающем транспонирование. Из теоремы Бине-Коши немедленно следует, что при $ m>n_<> $ (числе строк превышающем размерность пространства) определитель Грама равен нулю. Этот результат обобщен НИЖЕ для произвольных евклидовых пространств.

Пример. Если в пространстве полиномов с вещественными коэффициентами скалярное произведение задано формулой

$$ \langle p(x),q(x) \rangle =\int_0^1 p(t) q(t) d\,t \ ,$$ то $$ G(1,x,x^2)= \left( \begin \int_0^1 1 d\,t & \int_0^1 t d\,t & \int_0^1 t^2 d\,t \\ & & \\ \int_0^1 t d\,t & \int_0^1 t^2 d\,t & \int_0^1 t^3 d\,t \\ & & \\ \int_0^1 t^2 d\,t & \int_0^1 t^3 d\,t & \int_0^1 t^4 d\,t \end \right)= \left( \begin 1 & 1/2 & 1/3 \\ 1/2 & 1/3 & 1/4 \\ 1/3 & 1/4 & 1/5 \end \right) \ . $$ Обобщение получившейся матрицы известно как матрица Гильберта.

Если система векторов $ \,\dots,X_n \> $ образует базис пространства $ \mathbb E_<> $ (т.е. пространство $ \mathbb E_<> $ является $ n_<> $-мерным), то задание матрицы Грама $ G(X_,\dots,X_n) $ позволяет свести вычисление скалярного произведения произвольных векторов из $ \mathbb E_<> $ к действиям над их координатами: $$ X=x_1X_1+x_2X_2+\dots+x_nX_n,\ Y=y_1X_1+y_2X_2+\dots+y_nX_n \ \Rightarrow $$ $$ \langle X,Y \rangle=\left(x_1,x_2,\dots,x_n \right) \left( \begin \langle X_1,X_1 \rangle & \langle X_1,X_2 \rangle & \dots & \langle X_1,X_n \rangle \\ \langle X_2,X_1 \rangle & \langle X_2,X_2 \rangle & \dots & \langle X_2,X_n \rangle \\ \dots & & & \dots \\ \langle X_n,X_1 \rangle & \langle X_n,X_2 \rangle & \dots & \langle X_n,X_n \rangle \end \right) \left( \begin y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end \right) \ . $$

Линейная независимость векторов

Теорема. $ <\mathfrak G>(X_,\dots,X_m)=0 $ тогда и только тогда, когда система векторов $ \ $ линейно зависима.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Если какой-то главный минор матрицы Грама обращается в нуль, то и все главные миноры бóльших порядков обращаются в нуль.

Свойства определителя Грама

Теорема. $ <\mathfrak G>(X_,\dots,X_m) \ge 0 $ для любой системы векторов $ \ $.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ

При $ m=2_<> $ получаем неравенство Коши-Буняковского: $$ \langle X_1,X_1 \rangle \cdot \langle X_2,X_2 \rangle \ge \langle X_1,X_2 \rangle^2 \ . $$

Матрица Грама линейно независимой системы векторов является положительно определенной.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ

Величина определителя Грама не превосходит его главного члена, т.е. произведения элементов его главной диагонали:

$$\mathfrak(X_1,\dots,X_,X_m)\le \left|X_1 \right|^2 \times \dots \times \left|X_ \right|^2 \left|X_m \right|^2 \ . $$

Для произвольной квадратной вещественной матрицы

$$A=\left( \begin a_ & a_ & \dots & a_ \\ a_ & a_ & \dots & a_ \\ \dots & & & \dots \\ a_ & a_ & \dots & a_ \end \right) $$ справедливо неравенство Адамара 2) : $$ \left| \det A \right| \le \sqrt< \sum_^n a_^2> \sqrt< \sum_^n a_^2> \times \dots \times \sqrt< \sum_^n a_^2> \ . $$ Иными словами: модуль определителя матрицы не превосходит произведения длин его строк. Аналогичное утверждение справедливо и относительно столбцов матрицы.

Доказательство. Обозначим $ j_<> $-ю строку матрицы $ A_<> $ через $ A^ $. Тогда, поскольку $ \det A= \det A^ $ (см. свойство 1 ☞ ЗДЕСЬ ), имеем: $$\left( \det A \right)^2= \det \left(A\cdot A^ \right)= \det \left[ \begin \langle A^,A^ \rangle & \langle A^,A^ \rangle & \dots & \langle A^,A^ \rangle \\ \langle A^,A^ \rangle & \langle A^,A^ \rangle & \dots & \langle A^,A^ \rangle \\ \dots & & & \dots \\ \langle A^,A^ \rangle & \langle A^,A^ \rangle & \dots & \langle A^,A^ \rangle \end \right]= $$ $$ =\mathfrak\left(A^,A^,\dots,A^ \right) $$ при задании скалярного произведения в $ \mathbb R^n $ стандартным способом. На основании предыдущего следствия, имеем: $$ \le \left|A^ \right|^2 \left|A^ \right|^2 \times \dots \times \left|A^ \right|^2 \ . $$ Равенство возможно тогда и только тогда, когда либо все строки попарно ортогональны, либо хотя бы одна строка — нулевая. ♦

Пример.

$$ \left|\det\left( \begin -47 & 40 & -81 \\ 91 & 68 & -10 \\ 31 & -51 & 77 \end \right) \right| \le $$ $$ \le \left\< \begin \sqrt &\le 1131360 \\ & \\ \sqrt & \le 1127957 \end \right. $$ при точной величине определителя $ 31867 $.

Теорема. Величина определителя Грама не изменится, если к системе векторов применить алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта. В обозначениях этого алгоритма имеет место равенство:

Расстояние до линейного многообразия

Теорема. Расстояние $ d_<> $ от точки $ X_ \in <\mathbb E>$ до линейного многообразия в $ \mathbb E_<> $

Доказательство для случая $ Y_0=\mathbb O_<> $ ☞ ЗДЕСЬ. Случай $ Y_\ne \mathbb O $ сводится к предыдущему сдвигом пространства на вектор $ (- Y_) $: см. комментарии к теореме $ 5_<> $ ☞ ЗДЕСЬ. ♦

Другие применения определителя Грама в задачах вычисления расстояний между поверхностями в $ <\mathbb R>^ $ ☞ ЗДЕСЬ.

Объемы параллелепипедов

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Если параллелограмм построен на векторах $ X_ $ и $ X_2 $ из $ \mathbb R^2 $, то за основание можно принять длину вектора $ X_ $, а за высоту — длину перпендикуляра, опущенного из конца вектора $ X_2 $ на ось вектора $ X_ $.

Аналогично, объем параллелепипеда, построенного на векторах $ X_1,X_2,X_3 $ из $ \mathbb R^ $, равен произведению площади основания на высоту; площадь основания — это площадь параллелограмма, построенного на векторах $ X_1,X_2 $, а высота — длина перпендикуляра, опущенного из конца вектора $ X_3 $ на плоскость векторов $ X_1,X_2 $.

Объем $ k_<> $-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве $ \mathbb E_<> $ определим по индукции. Если этот параллелепипед построен на векторах $ X_1,X_2,\dots,X_,X_k $, то за его объем примем произведение объема $ (k-1) $-мерного параллелепипеда, построенного на векторах $ X_1,X_2,\dots,X_ $ на длину перпендикуляра, опущенного из точки $ X_ $ на линейную оболочку векторов $ X_1,X_2,\dots,X_ $ (т.е. на длину ортогональной составляющей $ X_k $ относительно $ \mathcal L ( X_1,X_2,\dots,X_) $): $$\mathbf V(X_1,X_2,\dots,X_,X_k)=\left|X_k^ \right| \mathbf V(X_1,X_2,\dots,X_) \ . $$

Теорема. Квадрат объема параллелепипеда, построенного на векторах $ X_1,X_2,\dots,X_k $, совпадает с величиной определителя Грама от той же системы векторов: $$[V(X_1,X_2,\dots,X_k)]^2= \mathfrak G (X_1,X_2,\dots,X_k) \ .$$

Доказательство следует из представления длины ортогональной составляющей $ X_k^> $ через определители Грама (см. теорему $ 2_<> $ и следствие к ней ☞ ЗДЕСЬ ).

Модуль определителя вещественной матрицы

$$ A= \left( \begin a_ & a_ & \dots & a_ \\ a_ & a_ & \dots & a_ \\ \dots & & & \dots \\ a_ & a_ & \dots & a_ \end \right) $$ равен объему параллелепипеда в пространстве $ \mathbb R^_<> $, построенного на вершинах с координатами $$ (0,0,\dots, 0), (a_,a_, \dots , a_),(a_,a_, \dots , a_), \dots, (a_,a_, \dots, a_) $$ (т.е. «построенного на строках матрицы») и равен объему параллелепипеда построенного на вершинах с координатами $$ (0,0,\dots, 0), (a_,a_, \dots , a_),(a_,a_, \dots , a_), \dots, (a_,a_, \dots, a_) $$ (т.е. «построенного на столбцах матрицы»).

Доказательство фактически совпадает с доказательством неравенства Адамара: $$ \left(\det A \right)^2 = \left\< \begin \det \left(A \cdot A^\right)=\mathfrak G (A^,A^,\dots,A^) &= \left[\mathbf V(A^,A^,\dots,A^)\right]^2 \\ & \\ \det \left(A^ \cdot A \right) = \mathfrak G (A_,A_,\dots,A_) & = \left[\mathbf V(A_,A_,\dots,A_)\right]^2 \end \right. $$ ♦

Квадратичные формы. Матрица Грамма

Дана матрица Грамма в базисе S.
1) Найти угол между базисными векторами.
2) Найти угол между векторами x и y.
3) Ортонормировать базис S и записать матрицу Грамма в новом базисе S2.

Голосование за лучший ответ

Он с одной «M».
Всё сразу — это слишком жирно. Калькулятором пользоваться неэтично, а выполнять за тебя арифметические вычисления от руки — перебор. Гугли сам, чтобы разобраться:

1) Определение матрицы Грама — пункт 1) сделаешь легко просто по определению.
2) «скалярное произведение матрица Грама» — чтоб понять, как скалярное произведение векторов выражается через их координаты в необязательно ортогональном и необязательно нормированном базисе и матрицу Грама этого базиса. Там это легко делается, но циферки погонять придется, перемножая матрицы.
3) Матрица Грама ортонормированного базиса является единичной. Чтоб понять, как ортонормировать базис, гугли «процесс Грама-Шмидта».

Ник НАрМыслитель (8929) 2 года назад
Я в курсе всего этого. Вопрос задал, ибо лень было решать. Мб кто нибудь да подсобил бы.
PonySlayerМудрец (12249) 2 года назад

Тадасан, ты слышал про фокус 7-ого порядка в ОДУ? https://core.ac.uk/download/pdf/38549762.pdf — вот тут, сразу же написано, чуть ниже, я хз рыли что это.

Тадасана Просветленный (38348) PonySlayer, не слышал) А вообще, в нелинейных автономных системах чудес хватает.

Матрица и определитель Грама: определение, свойства, приложения

Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому

Пусть и — два базиса евклидова пространства к базису . Требуется найти связь матриц Грама систем векторов и

По формуле (8.32) вычислим скалярное произведение векторов в разных базисах:

где и — координатные столбцы векторов в соответствующих базисах. Подставляя в последнее равенство связи , получаем тождество

Отсюда следует формула изменения матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому :

Записав это равенство для ортонормированных базисов и , получаем , так как матрицы Грама ортонормированных базисов единичные: . Поэтому матрица

Определитель Грама и его свойства

Определитель матрицы называется определителем Грама. Рассмотрим свойства этого определителя.

1. Критерий Грама линейной зависимости векторов: система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.

Действительно, если система линейно зависима, то существуют такие числа , не равные нулю одновременно, что

Умножая это равенство скалярно на и т.д. на , получаем однородную систему уравнений , которая имеет нетривиальное решение . Следовательно, ее определитель равен нулю. Необходимость доказана. Достаточность доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Следствие. Если какой-либо главный минор матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю.

Главный минор матрицы Грама системы представляет собой определитель Грама подсистемы векторов. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

2. Определитель Грама не изменяется в процессе ортогонализации системы векторов . Другими словами, если в процессе ортогонализации векторов получены векторы , то

Действительно, в процессе ортогонализации по векторам последовательно строятся векторы

После первого шага определитель Грама не изменяется

Выполним с определителем следующие преобразования. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число , а затем ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на . Получим определитель

Так как при этих преобразованиях определитель не изменяется, то

Значит, после второго шага в процессе ортогонализации определитель не изменяется. Продолжая аналогично, получаем после

Вычислим правую часть этого равенства. Матрица Грама ортогональной системы векторов является диагональной, так как при . Поэтому ее определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

3. Определитель Грама любой системы векторов удовлетворяет двойному неравенству

Докажем неотрицательность определителя Грама. Если система линейно зависима, то определитель равен нулю (по свойству 1). Если же система линейно независима, то, выполнив процесс ортогонализации, получим ненулевые векторы , для которых по свойству 2:

Оценим теперь скалярный квадрат . Выполняя процесс ортого-1нализации, имеем . Отсюда

Следовательно, по свойству 2 имеем

1. Матрица Грама любой системы векторов является неотрицательно определенной, так как все ее главные миноры также являются определителями Грама соответствующих подсистем векторов и неотрицательны в силу свойства 3.

2. Матрица Грама любой линейно независимой системы векторов является положительно определенной, так как все ее угловые миноры положительны (в силу свойств 1,3), поскольку являются определителями Грама линейно независимых подсистем векторов.

Метрические приложения определителя Грама

Пусть — линейно независимая система векторов n-мерного евклидова пространства . Определим по индукции понятие многомерного объема. Обозначим через — перпендикуляр, опущенный из конца вектора на подпространство .

— одномерный объем — длина вектора ;

— двумерный объем — площадь параллелограмма, построенного на векторах ;

— трехмерный объем — объем параллелепипеда, построенного на векторах ;

— k-мерный объем — объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Проводя ортогонализацию системы векторов , получаем, согласно пункту 4 замечаний 8.14, перпендикуляры . Тогда по свойству 2 определителя Грама имеем

т.е. определитель Грама векторов равен квадрату k-мерного объема параллелепипеда, построенного на этих векторах. В этом заключается геометрический смысл определителя Грама.

Расстоянием от конца вектора до подпространства называется наименьшее значение длин векторов , где

Аналогично определяется расстояние от конца вектора до многообразия.

Углом между ненулевым вектором и подпространством называется наименьший угол между вектором и ненулевыми векторами подпространства, т.е.

Аналогично определяется угол между вектором и многообразием, как угол между вектором и однородной частью многообразия.

Из неравенств пункта 1 замечаний 8.14 следует, что

1) расстояние до подпространства равно длине перпендикуляра на подпространство , т.е. ;

2) угол между ненулевым вектором и подпространством равен углу между вектором и его ортогональной проекцией на подпространство .

Для нахождения расстояний и углов можно использовать формулу (8.37).

Пусть задан вектор и подпространство , причем векторы линейно независимы. Тогда , где относительно подпространства . Отсюда, . Используя (8.37) для вычисления объемов, получаем, что длина ортогональной составляющей (расстояние от конца вектора до подпространства находится по формуле

а угол между ненулевым вектором и подпространством находится по формуле

Пример 8.22. В пространстве со стандартным скалярным произведением (8.27) заданы: вектор и подпространство — множество решений однородной системы:

Требуется найти расстояние от конца вектора до подпространства и угол между вектором и подпространством .

Решение. Базис подпространства был найден в примере 8.9:

Составляем определители Грама , остальные скалярные произведения векторов найдены в примере 8.20):

Тогда , а . В найдены ортогональная проекция и ортогональная составляющая . Вычисляя длину вектора . Результаты совпадают.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *