Как найти диаметр вписанной окружности в треугольник
Перейти к содержимому

Как найти диаметр вписанной окружности в треугольник

  • автор:

Нахождение радиуса вписанной в треугольник окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в произвольный (любой), прямоугольный, равнобедренный или равносторонний треугольник. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.

Содержание скрыть

  • Формулы вычисления радиуса вписанной окружности
    • Произвольный треугольник
    • Прямоугольный треугольник
    • Равнобедренный треугольник
    • Равносторонний треугольник

    Формулы вычисления радиуса вписанной окружности

    Произвольный треугольник

    Радиус окружности, вписанной в любой треугольник, равняется удвоенной площади треугольника, деленной на его периметр.

    Треугольник abc со вписанной окружностью с радиусом r

    где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

    Прямоугольный треугольник

    Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равняется дроби, в числителе которого сумма катетов минус гипотенуза, в знаменателе – число 2.

    Прямоугольный треугольник со вписанной окружностью

    где a и b – катеты, c – гипотенуза треугольника.

    Равнобедренный треугольник

    Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности вычисляется по формуле ниже:

    Формула вычисления радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности

    Равнобедренный треугольник со вписанной окружностью

    где a – боковые стороны, b – основание треугольника.

    Равносторонний треугольник

    Радиус вписанной в правильный (равносторонний) треугольник окружности рассчитывается следующим образом:

    Равносторонний треугольник со вписанной окружностью

    где a – сторона треугольника.

    Примеры задач

    Задание 1
    Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. Вычислите радиус вписанной в него окружности.

    Решение
    Сперва вычислим площадь треугольника. Для этого применим формулу Герона:

    Примера расчета площади треугольника по формуле Герона

    Остается только применить соответствующую формулу для вычисления радиуса круга:

    Пример расчета радиуса вписанной в треугольник окружности через стороны и площадь

    Задание 2
    Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 16 см, а основание 7 см. Найдите радиус вписанной в фигуру окружности.

    Решение
    Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные значения:

    Пример вычисления радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности

    Публикации по теме:

    • Нахождение площади квадрата: формула и примеры
    • Нахождение площади прямоугольника: формула и пример
    • Нахождение площади ромба: формула и примеры
    • Нахождение площади трапеции: формула и примеры
    • Нахождение площади параллелограмма: формула и примеры
    • Нахождение площади эллипса: формула и пример
    • Нахождение площади выпуклого четырехугольника: формула и пример
    • Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи
    • Нахождение периметра ромба: формула и задачи
    • Нахождение периметра трапеции: формула и задачи
    • Нахождение периметра параллелограмма: формула и задачи
    • Нахождение длины окружности: формула и задачи
    • Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника: формула и задачи
    • Теорема о сумме углов треугольника: формула и задачи
    • Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике
    • Нахождение объема конуса: формула и задачи
    • Нахождение объема куба: формула и задачи
    • Нахождение объема шара: формула и задачи
    • Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
    • Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
    • Нахождение объема тетраэдра: формула и задачи
    • Нахождение объема призмы: формула и задачи
    • Нахождение площади поверхности куба: формула и задачи
    • Нахождение площади поверхности цилиндра: формула и задачи
    • Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
    • Нахождение площади поверхности шара (сферы): формула и задачи
    • Нахождение радиуса шара: формула и примеры
    • Нахождение радиуса круга: формула и примеры
    • Нахождение радиуса цилиндра: формула и примеры
    • Нахождение площади правильной призмы: формула и задачи
    • Нахождение площади правильной пирамиды: формулы
    • Формула Герона для треугольника
    • Теорема Менелая: формулировка и пример с решением
    • Теорема о внешнем угле треугольника: формулировка и задачи
    • Теорема Чевы: формулировка и пример с решением
    • Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи
    • Геометрическая фигура: треугольник
    • Признаки равенства треугольников
    • Свойства равнобедренного треугольника: теория и задача
    • Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи
    • Определение и свойства медианы треугольника
    • Определение и свойства биссектрисы угла треугольника
    • Свойства биссектрисы равнобедренного треугольника
    • Свойства биссектрисы прямоугольного треугольника
    • Свойства биссектрисы равностороннего треугольника
    • Формулы для нахождения высоты треугольника
    • Свойства высоты равнобедренного треугольника
    • Свойства высоты прямоугольного треугольника
    • Свойства высоты равностороннего треугольника
    • Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности

    Радиус вписанной окружности в треугольник

    В любой треугольник можно вписать окружность. Радиус такой окружности будет представлять собой квадратный корень из отношения разности полупериметра с каждой стороной к самому полупериметру. Если упростить данную формулу для прямоугольного треугольника, воспользовавшись теоремой Пифагора, то мы получим следующее выражение: Так как в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, то в формуле остаются только обозначения a и b , и ее вид упрощается из все того же первого радикала до следующей формы: В случае с равносторонним треугольником все еще гораздо проще, и его формула может быть выведена не только из формулы для произвольного треугольника, но также и из свойств высоты-медианы-биссектрисы, которые совпадают и делят любую из сторон на две равные части:

    Все формулы для радиуса вписанной окружности

    Радиус вписанной окружности в треугольник

    Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):

    Формула радиуса вписанной окружности в треугольник

    Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

    Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

    a — сторона треугольника

    r — радиус вписанной окружности

    Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):

    Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник

    Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник

    1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол

    Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник

    a — равные стороны равнобедренного треугольника

    b — сторона ( основание)

    α — угол при основании

    О — центр вписанной окружности

    r — радиус вписанной окружности

    Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :

    Формула 1 радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник

    Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :

    Формула 2 радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник

    Формула 3 радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник

    2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота

    Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник

    a — равные стороны равнобедренного треугольника

    b — сторона ( основание)

    h — высота

    О — центр вписанной окружности

    r — радиус вписанной окружности

    Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :

    Радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника, формула

    Радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника

    Радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника вычисляется по классической формуле

    \[p=\frac<1>(a+a+b)=a+\frac\]

    (a, b — стороны равнобедренного треугольника;
    r — радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника) После подстановок, преобразований и упрощений получается следующая формула:

    \[r = \frac \sqrt< \frac > \]

    Вычислить, найти радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника по формуле (3)

    Copyright © FXYZ.ru, 2007 — 2024.
    Мобильная β версия | полная

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *