Как найти биссектрису треугольника с помощью циркуля
Перейти к содержимому

Как найти биссектрису треугольника с помощью циркуля

  • автор:

Построение биссектрисы угла

Дано: А.

Построить: биссектрису А.

Решение:

Произвольно строим с помощью линейки А.

С помощью циркуля строим окружность произвольного радиуса с центром в вершине А.

Точки пересечения данной окружности со сторонами А обозначим В и С.

Теперь проведем две окружности одинакового радиуса ВС с центрами в точках В и С.

В зависимости от длины ВС, получим одну или две точки пересечения данных окружностей внутри А. Ту точку, которая лежит внутри угла обозначают буквой и проводят через нее луч с началом в точке А. В нашем случае, получилось две точки пересечения данных окружностей, которые лежат внутри А. Обозначаем одну из них Е и проводим с помощью линейки луч АЕ.

Докажем, что луч АЕ является биссектрисой данного А. Рассмотрим треугольники АВЕ и АСЕ.

В данных треугольниках АВ = АС как радиусы окружности с центром в точке А, ВЕ = СЕ по построению, АЕ — общая, следовательно, АВЕ =АСЕ по 3 признаку равенства треугольников, откуда следует, что ВАЕ =САЕ, т.е луч АЕ — биссектриса данного А. Что и требовалось доказать.

Замечание:

  • С помощью циркуля и линейки можно разделить данный угол на два равных угла, для этого нужно провести его биссектрису.
  • С помощью циркуля и линейки можно разделить данный угол на четыре равных угла, для этого нужно разделить угол пополам (на два равных угла), а затем каждую половину разделить пополам еще раз.
  • С помощью циркуля и линейки нельзя разделить данный угол на три равных угла (задача о трисекции угла).

В произвольном треугольнике с помощью циркуля и линейки построить 3 биссектрисы

1. Выбираем один из углов треугольника и чертим из него окружность так, чтобы она пересекала две прилегающие к углу стороны Точки пересечения со сторонами назовём p1 p2
2. из точки p1 проводим окружность
3. из точки p2 проводим окружность точно такого же радиуса, как и в прошлом пункте. Точки пересечения этих окружностей назовём q1 q2
4. Через точки q1 q2 проводим прямую. Она же проходит по выбранной вершине треугольника
5. Убираем вспомогательные линии. Биссектриса построена.
— После этого берём вторую вершину и строим биссектрису к ней
— ну а третью биссектрису можно вовсе не строить — все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам; например, 1). [<|ABC; A1; B1E||AA1; ]; Угол меньше 90*, просто для удобства. После пересечения двух построенных биссектрис, третья через точку пересечения.

Похожие вопросы

Как найти биссектрису треугольника с помощью циркуля

С помощью циркуля и линейки постройте биссектрису данного угла, вершина которого лежит вне чертежа.

Подсказка

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение

Первый способ.

Отметим произвольные точки A и B на разных сторонах угла. Построим биссектрисы углов OAB и OBA ( O — недоступная вершина данного угла). Пусть F — их точка пересечения. Опустим перпендикуляры FK и FL на стороны угла. Тогда биссектриса угла KFL и будет искомой, поскольку отрезки FK и FL , а следовательно, и прямые OA и OB , симметричны относительно биссектрисы угла KFL .

Второй способ.

Через произвольную точку одной из сторон угла проведем прямую, параллельную другой стороне. Построим биссектрису полученного угла, а затем через полученную ранее точку F (см. первый способ) проведем прямую, параллельную этой биссектрисе.

Третий способ.

Отметим произвольные точки A и B на разных сторонах угла. Построим биссектрисы углов OAB и OBA ( O — недоступная вершина данного угла). Пусть F — их точка пересечения, а E — точка пересечения биссектрис смежных с ними углов. Тогда биссектриса угла с недоступной вершиной O проходит через точки F и E , т.к. биссектрисы двух внешних и третьего внутреннего угла треугольника пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 5016

Пошаговое построение медианы, биссектрисы медианы в треугольнике с помощью циркуля

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Поэтому, для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:

1) найти середину стороны;

2) соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком — это и будет медиана.

Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне. Поэтому, для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:

1) построить биссектрису какого-либо угла треугольника (а биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части);

2) найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;

3) соединить вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне отрезком — это и будет биссектриса.

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Поэтому, для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:

1) провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике);

2) из вершины, лежащей напротив проведенной прямой, опустить перпендикуляр к ней ( а перпендикуляр — это отрезок, проведенный из точки к прямой, составляющей с ней угол 90 градусов) — это и будет высота.

Задание для самостоятельной проверки.

1 вариант: Построить медиану остроугольного треугольника.

2 вариант: Построить медиану тупоугольного треугольника.

3 вариант: Построить медиану прямоугольного треугольника.

4 вариант: Построить биссектрису остроугольного треугольника.

5 вариант: Построить биссектрису тупоугольного треугольника.

6 вариант: Построить биссектрису прямоугольного треугольника.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *