Как найти базис линейного подпространства
Перейти к содержимому

Как найти базис линейного подпространства

  • автор:

Базис линейного пространства

В линейном пространстве наибольший интерес представляют системы векторов, в виде линейной комбинации которых можно представить любой вектор, причем единственным образом. Если зафиксировать такую систему векторов, то любой вектор можно будет однозначно представить набором чисел, являющихся коэффициентами соответствующей линейной комбинации, а всевозможные векторные соотношения превратить в соотношения числовые.

Этот подход применялся уже в аналитической геометрии [III]. В пространстве V2 векторов на плоскости любые два не- коллинеарных вектора образуют базис, так как через такую пару векторов любой вектор плоскости выражается однозначно в виде линейной комбинации [III]. Аналогично в V3 (множестве векторов в пространстве) базис образуют любые три некомпланарных вектора. Для матриц использовалось понятие базисных строк и базисных столбцов. По теореме о базисном миноре базисные строки (столбцы) линейно независимы, а любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (столбцов) [III].

Определение 1.3. Базисом линейного пространства L называют любую упорядоченную систему векторов, для которой выполнены два условия:

1) эта система векторов линейно независима;

2) каждый вектор в линейном пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы.

Пусть b1, . bn — базис в L. Определение 1.3 говорит о том, что любой вектор х ∈ L может быть записан следующим образом:

Такую запись называют разложением вектора х по базису b1, . bn.

Данное нами определение базиса согласовывается с понятием базиса в пространстве свободных векторов в V1, V2 или V3 [III]. Например, в V3 базисом была названа любая тройка некомпланарных векторов. Такая тройка векторов является линейно независимой, так как представление одного ее вектора в виде линейной комбинации двух других равносильна компланарности трех векторов. Но, кроме того, из курса векторной алгебры [III] мы знаем, что любой вектор в пространстве можно выразить через произвольные три некомпланараных вектора в виде их линейной комбинации. Три компланарных вектора не могут быть базисом в V3, так как любая линейная комбинация таких векторов даст вектор, им компланарный.

Теорема 1.2 (о единственности разложения). В линейном пространстве разложение любого вектора по данному базису единственно.

Выберем в линейном пространстве L произвольный базис b1, . bn и предположим, что вектор х имеет в этом базисе два разложения

Воспользуемся тем, что аксиомы линейного пространства позволяют преобразовывать линейные комбинации так же, как и обычные алгебраические выражения. Вычитая записанные равенства почленно, получим

Так как базис — это линейно независимая система векторов, ее линейная комбинация равна 0, лишь если она тривиальная (см. определение 1.2). Значит, все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю: х1 — х’1 = 0. хn — х’n = 0. Таким образом, х1 = x’1, . хn = х’n и два разложения вектора х в базисе b1, . bn совпадают. ►

Замечание 1.3. Условие линейной независимости векторов базиса означает, что нулевой вектор имеет в этом базисе единственное разложение, а именно тривиальное: все коэффициенты этого разложения равны нулю. Из доказательства теоремы 1.2 следует, что из единственности разложения нулевого вектора по данной системе векторов вытекает единственность разложения любого другого вектора. #

Согласно определению 1.3, базис является упорядоченной системой векторов. Это значит, что, изменив порядок векторов в системе, мы получим другой базис. Порядок векторов в базисе фиксируют для того, чтобы задать определенный порядок коэффициентов разложения произвольного вектора. Это позволяет заменить линейную комбинацию, представляющую вектор, упорядоченным набором ее коэффициентов и тем самым упростить запись. Порядок векторов в базисе определяется их нумерацией.

Определение 1.4. Коэффициенты разложения вектора по оазису линейного пространства, записанные в соответствии с порядком векторов в базисе, называют координатами вектора в этом базисе.

Пример 1.8. В линейном пространстве К2[х] многочленов переменного х степени не выше 2 (см. пример 1.1) элементы х и х 2 линейно независимы: их линейная комбинация ах + рх2 есть многочлен, который равен нулю (нулевому многочлену) лишь при α = β = 0. В то же время пара этих элементов не образует базиса. Действительно, многочлен 1 нулевой степени, являющийся элементом К2[х], нельзя представить в виде линейной комбинации многочленов х и х 2 Дело в том, что линейная комбинация αх + βх 2 многочленов х и х 2 есть либо многочлен второй степени (при β ≠ 0), либо многочлен первой степени (α ≠ 0, β = 0), либо нулевой многочлен (а = β = 0). Значит, равенство 1 = αх + βх 2 двух многочленов невозможно ни при каких значениях коэффициентов.

В то же время три многочлена 1, х, х 2 образуют базис линейного пространства К2[х]. Докажем это.

Во-первых, система многочленов 1, х, х 2 линейно независима. Составим их линейную комбинацию с произвольными коэффициентами α, β, γ и приравняем нулю: α • 1 + βх + γх 2 = 0. Это равенство есть равенство двух многочленов, и оно возможно только в случае, когда коэффициенты этих двух многочленов совпадают. Значит, α = β = γ = 0.

Во-вторых, через многочлены 1, x, х 2 можно выразить любой многочлен второй степени, т.е. любой элемент линейного пространства К2[x] можно представить в виде линейной комбинации указанных трех элементов. Возьмем произвольный многочлен

р(х) = α + βx 2 + γx 2 .

Его запись можно рассматривать как линейную комбинацию многочленов 1,x, х 2 :

р(х) = α • 1 + βx 2 + γх 2 ,

причем коэффициенты многочлена в то же время являются коэффициентами линейной комбинации.

Итак, система трех многочленов 1, х, х 2 линейно независима, а любой элемент линейного пространства К2[х] является линейной комбинацией указанной системы. Согласно определению 1.3, система многочленов 1, x, х 2 есть базис в K2[x]

Как найти базис корневого подпространства линейного оператора?

Вы нашли (каким-то способом) подпространство K , заданное четырьмя векторами:

v1 = (1,1,1,1) v2 = (-1,0,0,0) v3 = (0,-1,0,0) v4 = (0,0,-1,0) 

Теперь необходимо найти базис: набор независимых векторов, с помощью которых можно выразить любой вектор из подпространства K .

В данном случае, максимально возможное число независимых векторов — 4, по размерности векторов входящих в подпространство K (у векторов — четыре координаты).

Проверим, является ли набор векторов линейно независимым.

Для этого можно составить матрицу A

 1 1 1 1 -1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 0 

и посчитать ее определитель:

det(A)=1≠0 

который отличен от нуля, а значит вектора — линейно независимы (как и замечено в одном из комментариев) и составляют базис подпространства K . Заметим, что использование определителя для определения ранга матрицы плохое и неоправданное решение в общем случае, особенно если речь идет о предаставлении числе в компьютере с помощью арифметики с плавающей точкой. В этом случае версии QR-разложения (rank-revealing модификация), SVD разложения (а также другие способы) сильно предпочитетельней и с точки зрения надежности, и с точки зрения эффективности.

Теперь, очевидно, что любой вектор из K может быть выражен с помощью базиса , и покрывают R^4 .

Базис можно нормировать (поделить каждый вектор на его длину), однако это необязательно.

Векторное пространство: размерность и базис, разложение вектора по базису

В статье о n -мерных векторах мы пришли к понятию линейного пространства, порождаемого множеством n -мерных векторов. Теперь нам предстоит рассмотреть не менее важные понятия, такие как размерность и базис векторного пространства. Они напрямую связаны с понятием линейно независимой системы векторов, так что дополнительно рекомендуется напомнить себе основы и этой темы.

Введем некоторые определения.

Размерность векторного пространства – число, соответствующее максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Определение 2

Базис векторного пространства – совокупность линейно независимых векторов, упорядоченная и в своей численности равная размерности пространства.

Рассмотрим некое пространство n -векторов. Размерность его соответственно равна n . Возьмем систему из n -единичных векторов:

e ( 1 ) = ( 1 , 0 , . . . , 0 ) e ( 2 ) = ( 0 , 1 , . . . , 0 ) e ( n ) = ( 0 , 0 , . . . , 1 )

Используем эти векторы в качестве составляющих матрицы A : она будет являться единичной с размерностью n на n . Ранг этой матрицы равен n . Следовательно, векторная система e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) является линейно независимой. При этом к системе невозможно добавить ни одного вектора, не нарушив ее линейной независимости.

Так как число векторов в системе равно n , то размерность пространства n -мерных векторов равна n , а единичные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом указанного пространства.

Из полученного определения сделаем вывод: любая система n -мерных векторов, в которой число векторов меньше n , не является базисом пространства.

Если мы поменяем местами первый и второй вектор, получим систему векторов e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) . Она также будет являться базисом n -мерного векторного пространства. Составим матрицу, взяв за ее строки векторы полученной системы. Матрица может быть получена из единичной матрицы перестановкой местами первых двух строк, ранг ее будет равен n . Система e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) линейно независима и является базисом n -мерного векторного пространства.

Переставив местами в исходной системе другие векторы, получим еще один базис.

Мы можем взять линейно независимую систему неединичных векторов, и она также будет представлять собой базис n -мерного векторного пространства.

Векторное пространство с размерностью n имеет столько базисов, сколько существует линейно независимых систем из n -мерных векторов числом n.

Плоскость является двумерным пространством – ее базисом будут два любых неколлинеарных вектора. Базисом трехмерного пространства послужат три любых некомпланарных вектора.

Рассмотрим применение данной теории на конкретных примерах.

Исходные данные: векторы

a = ( 3 , — 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , — 1 , — 2 )

Необходимо определить, являются ли указанные векторы базисом трехмерного векторного пространства.

Решение

Для решения поставленной задачи исследуем заданную систему векторов на линейную зависимость. Составим матрицу, где строки – координаты векторов. Определим ранг матрицы.

A = 3 2 3 — 2 1 — 1 1 2 — 2 A = 3 — 2 1 2 1 2 3 — 1 — 2 = 3 · 1 · ( — 2 ) + ( — 2 ) · 2 · 3 + 1 · 2 · ( — 1 ) — 1 · 1 · 3 — ( — 2 ) · 2 · ( — 2 ) — 3 · 2 · ( — 1 ) = = — 25 ≠ 0 ⇒ R a n k ( A ) = 3

Следовательно, заданные условием задачи векторы линейно независимы, и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом векторного пространства.

Ответ: указанные векторы являются базисом векторного пространства.

Исходные данные: векторы

a = ( 3 , — 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , — 1 , — 2 ) d = ( 0 , 1 , 2 )

Необходимо определить, может ли указанная система векторов являться базисом трехмерного пространства.

Решение

Указанная в условии задачи система векторов является линейно зависимой, т.к. максимальное число линейно независимых векторов равно 3. Таким образом, указанная система векторов не может служить базисом трехмерного векторного пространства. Но стоит отметить, что подсистема исходной системы a = ( 3 , — 2 , 1 ) , b = ( 2 , 1 , 2 ) , c = ( 3 , — 1 , — 2 ) является базисом.

Ответ: указанная система векторов не является базисом.

Исходные данные: векторы

a = ( 1 , 2 , 3 , 3 ) b = ( 2 , 5 , 6 , 8 ) c = ( 1 , 3 , 2 , 4 ) d = ( 2 , 5 , 4 , 7 )

Могут ли они являться базисом четырехмерного пространства?

Решение

Cоставим матрицу, используя в качестве строк координаты заданных векторов

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

По методу Гаусса определим ранг матрицы:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 — 1 1 0 1 — 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 — 1 — 1 0 0 — 2 — 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 — 1 — 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k ( A ) = 4

Следовательно, система заданных векторов линейно независима и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом четырехмерного векторного пространства.

Ответ: заданные векторы являются базисом четырехмерного пространства.

Исходные данные: векторы

a ( 1 ) = ( 1 , 2 , — 1 , — 2 ) a ( 2 ) = ( 0 , 2 , 1 , — 3 ) a ( 3 ) = ( 1 , 0 , 0 , 5 )

Составляют ли они базис пространства размерностью 4?

Решение

Исходная система векторов линейно независима, но численность векторов в ней недостаточна, чтобы стать базисом четырехмерного пространства.

Ответ: нет, не составляют.

Разложение вектора по базису

Примем, что произвольные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом векторного n-мерного пространства. Добавим к ним некий n -мерный вектор x → : полученная система векторов станет линейно зависимой. Свойства линейной зависимости гласят, что хотя бы один из векторов такой системы может линейно выражаться через остальные. Переформулируя это утверждение, можно говорить о том, что хотя бы один из векторов линейно зависимой системы может раскладываться по остальным векторам.

Таким образом, мы пришли к формулировке важнейшей теоремы:

Любой вектор n -мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.

Доказательство 1

Докажем эту теорему:

зададим базис n -мерного векторного пространства — e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) . Сделаем систему линейно зависимой, добавив к ней n -мерный вектор x → . Этот вектор может быть линейно выражен через исходные векторы e :

x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) , где x 1 , x 2 , . . . , x n — некоторые числа.

Теперь докажем, что такое разложение является единственным. Предположим, что это не так и существует еще одно подобное разложение:

x = x ~ 1 e ( 1 ) + x 2 ~ e ( 2 ) + . . . + x ~ n e ( n ) , где x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n — некие числа.

Отнимем от левой и правой частей этого равенства соответственно левую и правую части равенства x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) . Получим:

0 = ( x ~ 1 — x 1 ) · e ( 1 ) + ( x ~ 2 — x 2 ) · e ( 2 ) + . . . ( x ~ n — x n ) · e ( 2 )

Система базисных векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) линейно независима; по определению линейной независимости системы векторов равенство выше возможно только тогда, когда все коэффициенты ( x ~ 1 — x 1 ) , ( x ~ 2 — x 2 ) , . . . , ( x ~ n — x n ) будут равны нулю. Из чего справедливым будет: x 1 = x ~ 1 , x 2 = x ~ 2 , . . . , x n = x ~ n . И это доказывает единственный вариант разложения вектора по базису.

При этом коэффициенты x 1 , x 2 , . . . , x n называются координатами вектора x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) .

Доказанная теория делает понятным выражение «задан n -мерный вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) »: рассматривается вектор x → n -мерного векторного пространства, и его координаты заданы в некотором базисе. При этом также понятно, что этот же вектор в другом базисе n -мерного пространства будет иметь другие координаты.

Рассмотрим следующий пример: допустим, что в некотором базисе n -мерного векторного пространства задана система из n линейно независимых векторов

e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )

а также задан вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) .

Векторы e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) в этом случае также являются базисом этого векторного пространства.

Предположим, что необходимо определить координаты вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) , обозначаемые как x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n .

Вектор x → будет представлен следующим образом:

x = x ~ 1 · e ( 1 ) + x ~ 2 · e ( 2 ) + . . . + x ~ n · e ( n )

Запишем это выражение в координатной форме:

( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x ~ 1 · ( e ( 1 ) 1 , e ( 1 ) 2 , . . . , e ( 1 ) n ) + x ~ 2 · ( e ( 2 ) 1 , e ( 2 ) 2 , . . . , e ( 2 ) n ) + . . . + + x ~ n · ( e ( n ) 1 , e ( n ) 2 , . . . , e ( n ) n ) = = ( x ~ 1 e 1 ( 1 ) + x ~ 2 e 1 ( 2 ) + . . . + x ~ n e 1 ( n ) , x ~ 1 e 2 ( 1 ) + x ~ 2 e 2 ( 2 ) + + . . . + x ~ n e 2 ( n ) , . . . , x ~ 1 e n ( 1 ) + x ~ 2 e n ( 2 ) + . . . + x ~ n e n ( n ) )

Полученное равенство равносильно системе из n линейных алгебраических выражений с n неизвестными линейными переменными x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n :

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Матрица этой системы будет иметь следующий вид:

e 1 ( 1 ) e 1 ( 2 ) ⋯ e 1 ( n ) e 2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e 2 ( n ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n ( 1 ) e n ( 2 ) ⋯ e n ( n )

Пусть это будет матрица A , и ее столбцы – векторы линейно независимой системы векторов e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) . Ранг матрицы – n , и ее определитель отличен от нуля. Это свидетельствует о том, что система уравнений имеет единственное решение, определяемое любым удобным способом: к примеру, методом Крамера или матричным методом. Таким образом мы сможем определить координаты x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) .

Применим рассмотренную теорию на конкретном примере.

Исходные данные: в базисе трехмерного пространства заданы векторы

e ( 1 ) = ( 1 , — 1 , 1 ) e ( 2 ) = ( 3 , 2 , — 5 ) e ( 3 ) = ( 2 , 1 , — 3 ) x = ( 6 , 2 , — 7 )

Необходимо подтвердить факт, что система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) также служит базисом заданного пространства, а также определить координаты вектора х в заданном базисе.

Решение

Система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) будет являться базисом трехмерного пространства, если она линейно независима. Выясним эту возможность, определив ранг матрицы A , строки которой – заданные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) .

Используем метод Гаусса:

A = 1 — 1 1 3 2 — 5 2 1 — 3 ~ 1 — 1 1 0 5 — 8 0 3 — 5 ~ 1 — 1 1 0 5 — 8 0 0 — 1 5

R a n k ( A ) = 3 . Таким образом, система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) линейно независима и является базисом.

Пусть в базисе вектор x → имеет координаты x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 . Связь этих координат определяется уравнением:

x 1 = x ~ 1 e 1 ( 1 ) + x ~ 2 e 1 ( 2 ) + x ~ 3 e 1 ( 3 ) x 2 = x ~ 1 e 2 ( 1 ) + x ~ 2 e 2 ( 2 ) + x ~ 3 e 2 ( 3 ) x 3 = x ~ 1 e 3 ( 1 ) + x ~ 2 e 3 ( 2 ) + x ~ 3 e 3 ( 3 )

Применим значения согласно условиям задачи:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 — x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 — 5 x ~ 2 — 3 x 3 = — 7

Решим систему уравнений методом Крамера:

∆ = 1 3 2 — 1 2 1 1 — 5 — 3 = — 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 — 7 — 5 — 3 = — 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = — 1 — 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 — 1 2 1 1 — 7 — 3 = — 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = — 1 — 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 — 1 2 2 1 — 5 — 7 = — 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = — 1 — 1 = 1

Так, вектор x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) имеет координаты x ~ 1 = 1 , x ~ 2 = 1 , x ~ 3 = 1 .

Ответ: x = ( 1 , 1 , 1 )

Связь между базисами

Предположим, что в некотором базисе n-мерного векторного пространства даны две линейно независимые системы векторов:

c ( 1 ) = ( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) c ( 2 ) = ( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) ⋮ c ( n ) = ( c 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) )

e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )

Указанные системы являются также базисами заданного пространства.

Пусть c ~ 1 ( 1 ) , c ~ 2 ( 1 ) , . . . , c ~ n ( 1 ) — координаты вектора c ( 1 ) в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) , тогда связь координат будет задаваться системой линейных уравнений:

с 1 ( 1 ) = c ~ 1 ( 1 ) e 1 ( 1 ) + c ~ 2 ( 1 ) e 1 ( 2 ) + . . . + c ~ n ( 1 ) e 1 ( n ) с 2 ( 1 ) = c ~ 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) + c ~ 2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) + . . . + c ~ n ( 1 ) e 2 ( n ) ⋮ с n ( 1 ) = c ~ 1 ( 1 ) e n ( 1 ) + c ~ 2 ( 1 ) e n ( 2 ) + . . . + c ~ n ( 1 ) e n ( n )

В виде матрицы систему можно отобразить так:

( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) = ( c ~ 1 ( 1 ) , c ~ 2 ( 1 ) , . . . , c ~ n ( 1 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

Сделаем по аналогии такую же запись для вектора c ( 2 ) :

( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) = ( c ~ 1 ( 2 ) , c ~ 2 ( 2 ) , . . . , c ~ n ( 2 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

И, далее действуя по тому же принципу, получаем:

( c 1 ( n ) , c 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) ) = ( c ~ 1 ( n ) , c ~ 2 ( n ) , . . . , c ~ n ( n ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

Матричные равенства объединим в одно выражение:

c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n ) = c ~ 1 ( 1 ) c ~ 2 ( 1 ) ⋯ c ~ n ( 1 ) c ~ 1 ( 2 ) c ~ 2 ( 2 ) ⋯ c ~ n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 ( n ) c ~ 2 ( n ) ⋯ c ~ n ( n ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n )

Оно и будет определять связь векторов двух различных базисов.

Используя тот же принцип, возможно выразить все векторы базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) через базис c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) :

e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n ) = e ~ 1 ( 1 ) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n ( 1 ) e ~ 1 ( 2 ) e ~ 2 ( 2 ) ⋯ e ~ n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 ( n ) e ~ 2 ( n ) ⋯ e ~ n ( n ) · c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n )

Дадим следующие определения:

Матрица c ~ 1 ( 1 ) c ~ 2 ( 1 ) ⋯ c ~ n ( 1 ) c ~ 1 ( 2 ) c ~ 2 ( 2 ) ⋯ c ~ n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 ( n ) c ~ 2 ( n ) ⋯ c ~ n ( n ) является матрицей перехода от базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 )

к базису c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) .

Определение 6

Матрица e ~ 1 ( 1 ) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n ( 1 ) e ~ 1 ( 2 ) e ~ 2 ( 2 ) ⋯ e ~ n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 ( n ) e ~ 2 ( n ) ⋯ e ~ n ( n ) является матрицей перехода от базиса c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n )

к базису e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) .

Из этих равенств очевидно, что

c ~ 1 ( 1 ) c ~ 2 ( 1 ) ⋯ c ~ n ( 1 ) c ~ 1 ( 2 ) c ~ 2 ( 2 ) ⋯ c ~ n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 ( n ) c ~ 2 ( n ) ⋯ c ~ n ( n ) · e ~ 1 ( 1 ) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n ( 1 ) e ~ 1 ( 2 ) e ~ 2 ( 2 ) ⋯ e ~ n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 ( n ) e ~ 2 ( n ) ⋯ e ~ n ( n ) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 ( 1 ) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n ( 1 ) e ~ 1 ( 2 ) e ~ 2 ( 2 ) ⋯ e ~ n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 ( n ) e ~ 2 ( n ) ⋯ e ~ n ( n ) · c ~ 1 ( 1 ) c ~ 2 ( 1 ) ⋯ c ~ n ( 1 ) c ~ 1 ( 2 ) c ~ 2 ( 2 ) ⋯ c ~ n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 ( n ) c ~ 2 ( n ) ⋯ c ~ n ( n ) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

т.е. матрицы перехода взаимообратны.

Рассмотрим теорию на конкретном примере.

Исходные данные: необходимо найти матрицу перехода от базиса

c ( 1 ) = ( 1 , 2 , 1 ) c ( 2 ) = ( 2 , 3 , 3 ) c ( 3 ) = ( 3 , 7 , 1 )

e ( 1 ) = ( 3 , 1 , 4 ) e ( 2 ) = ( 5 , 2 , 1 ) e ( 3 ) = ( 1 , 1 , — 6 )

Также нужно указать связь координат произвольного вектора x → в заданных базисах.

Решение

1. Пусть T – матрица перехода, тогда верным будет равенство:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T · 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Умножим обе части равенства на

1 2 1 2 3 3 3 7 1 — 1

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 — 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 — 1

2. Определим матрицу перехода:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 — 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 — 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 — 6 · — 18 5 3 7 — 2 — 1 5 — 1 — 1 = — 27 9 4 — 71 20 12 — 41 9 8

3. Определим связь координат вектора x → :

допустим, что в базисе c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) вектор x → имеет координаты x 1 , x 2 , x 3 , тогда:

x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

а в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) имеет координаты x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 , тогда:

x = ( x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · 3 1 4 5 2 1 1 1 — 6

Т.к. равны левые части этих равенств, мы можем приравнять и правые:

( x 1 , x 2 , x 3 ) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = ( x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · 3 1 4 5 2 1 1 1 — 6

Умножим обе части справа на

1 2 1 2 3 3 3 7 1 — 1

( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · 3 1 4 5 2 1 1 1 — 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 — 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · T ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · — 27 9 4 — 71 20 12 — 41 9 8

С другой стороны

( x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) = ( x 1 , x 2 , x 3 ) · — 27 9 4 — 71 20 12 — 41 9 8

Последние равенства показывают связь координат вектора x → в обоих базисах.

Ответ: матрица перехода

— 27 9 4 — 71 20 12 — 41 9 8

Координаты вектора x → в заданных базисах связаны соотношением:

( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · — 27 9 4 — 71 20 12 — 41 9 8

( x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) = ( x 1 , x 2 , x 3 ) · — 27 9 4 — 71 20 12 — 41 9 8 — 1

Размерность и базис линейного пространства

Линейное пространство n-мерным , если в нем существует система из линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима. Число называется размерностью (числом измерений) линейного пространства . Другими словами, размерность пространства — это максимальное число линейно независимых векторов этого пространства. Если такое число существует, то пространство называется конечномерным. Если же для любого натурального числа п в пространстве линейно независимых векторов, то такое пространство называют бесконечномерным (записывают: ). Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться конечномерные пространства.

Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность линейно независимых векторов ( базисных векторов ).

Теорема 8.1 о разложении вектора по базису. Если — базис n-мерного линейного пространства

и притом единственным образом, т.е. коэффициенты определяются однозначно. Другими словами, любой вектор пространства может быть разложен по базису и притом единственным образом.

Действительно, размерность пространства . Система векторов линейно независима (это базис). После присоединения к базису любого вектора (так как это система состоит из векторов n-мерного пространства). По свойству 7 линейно зависимых и линейно независимых векторов получаем заключение теоремы.

Следствие 1. Если — базис пространства , т.е. линейное пространство является линейной оболочкой базисных векторов.

В самом деле, для доказательства равенства двух множеств достаточно показать, что включения и выполняются одновременно. Действительно, с одной стороны, любая линейная комбинация векторов линейного пространства принадлежит самому линейному пространству, т.е. . С другой стороны, любой вектор пространства по теореме 8.1 можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. . Отсюда следует равенство рассматриваемых множеств.

Следствие 2. Если — линейно независимая система векторов линейного пространства , то пространство , а система является его базисом.

В самом деле, в пространстве линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима, поскольку каждый вектор из этой системы линейно выражается через векторы . Значит, — базис

Теорема 8.2 о дополнении системы векторов до базиса. Всякую линейно независимую систему можно дополнить до базиса пространства.

В самом деле, пусть — линейно независимая система векторов n-мерного пространства . Рассмотрим линейную оболочку этих векторов: . Любой вектор образует с векторами линейно зависимую систему , так как вектор линейно независимых векторов, то и существует вектор , который не принадлежит . Дополняя этим вектором линейно независимую систему , получаем систему векторов , которая также линейно независимая. Действительно, если бы она оказалась линейно зависимой, то из пункта 1 замечаний 8.3 следовало, что , а это противоречит условию . Итак, система векторов линейно независимая. Значит, первоначальную систему векторов удалось дополнить одним вектором без нарушения линейной независимости. Продолжаем аналогично. Рассмотрим линейную оболочку этих векторов: . Если , то — базис и теорема доказана. Если , то дополняем систему вектором и т.д. Процесс дополнения обязательно закончится, так как пространство , из которого следует, что — базис пространства

1. Базис линейного пространства определяется неоднозначно. Например, если — базис пространства при любом также является базисом 2. В некоторых пространствах, часто встречающихся в приложениях, один из возможных базисов, наиболее удобный с практической точки зрения, называют стандартным.

3. Теорема 8.1 позволяет говорить, что базис — это полная система элементов линейного пространства, в том смысле, что любой вектор пространства линейно выражается через базисные векторы.

4. Если множество является линейной оболочкой , то векторы называют образующими множества позволяет говорить, что базис — это минимальная система образующих линейного пространства ) без нарушения равенства .

5. Теорема 8.2 позволяет говорить, что базис — это максимальная линейно независимая система векторов линейного пространства, так как базис — это линейно независимая система векторов, и ее нельзя дополнить каким-либо вектором без потери линейной независимости.

6. Следствие 2 теоремы 8.1 удобно применять для нахождения базиса и размерности линейного пространства. В некоторых учебниках оно берется за определение базиса, а именно: линейно независимая система векторов линейного пространства называется базисом, если любой вектор пространства линейно выражается через векторы . Количество базисных векторов определяет размерность пространства . Разумеется, что эти определения эквивалентны приведенным выше.

Примеры базисов линейных пространств

Укажем размерность и базис для примеров линейных пространств, рассмотренных выше.

1. Нулевое линейное пространство не содержит линейно независимых векторов. Поэтому размерность этого пространства полагают равной нулю: . Это пространство не имеет базиса.

2. Пространства имеют размерности 1, 2, 3 соответственно. Действительно, любой ненулевой вектор пространства , образует линейно независимую систему (см. пункт 1. замечаний 8.2), а любые два ненулевых век тора пространства коллинеарны, т.е. линейно зависимы (см. пример 8.1). Следовательно, , а базисом пространства является любой ненулевой вектор. Аналогично доказывается, что и . Базисом пространства служат любые два неколлинеарных вектора, взятые в определенном порядке (один из них считается первым базисным вектором, другой — вторым). Базисом пространства являются любые три некомпланарных (не лежащих в одной или параллельных плоскостях) вектора, взятые в определенном порядке. Стандартным базисом в является единичный вектор считается базис , со стоящий из двух взаимно перпендикулярных единичных векторов плоскости. Стандартным базисом в пространстве считается базис , составленный из трех единичных попарно перпендикулярных векторов, образующих правую тройку.

3. Пространство содержит не более, чем , линейно независимых векторов. В самом деле, возьмем и составим из них матрицу размеров . Если . В пространстве не трудно найти п линейно независимых столбцов. Например, столбцы единичной матрицы

линейно независимы. Следовательно, называется n-мерным вещественным арифметическим пространством . Указанный набор векторов считается стандартным базисом пространства . Аналогично доказывается, что , поэтому пространство называют n-мерным комплексным арифметическим пространством .

4. Напомним, что любое решение однородной системы можно представить в виде , где , a — фундаментальная система решений. Следовательно, , т.е. базисом пространства решений однородной системы служит ее фундаментальная система решений, а размерность пространства , где — количество неизвестных, а — ранг матрицы системы.

5. В пространстве матриц размеров можно выбрать 6 матриц:

которые линейно независимы. Действительно, их линейная комбинация

равна нулевой матрице только в тривиальном случае . Прочитав равенство (8.5) справа налево, заключаем, что любая матрица из линейным образом выражается через выбранные 6 матриц, т.е. . Следовательно, , а матрицы являются базисом (стандартным) этого пространства. Аналогично доказывается, что .

6. Для любого натурального в пространстве линейно независимы, так как их линейная комбинация

равна нулевому многочлену только в тривиальном случае . Поскольку эта система многочленов линейно независима при любом натуральном л, пространство бесконечномерное. Аналогично делаем вывод о бесконечной размерности пространства многочленов с действительными коэффициентами. Пространство многочленов степени не выше, чем , конечномерное. Действительно, векторы образуют базис (стандартный) это го пространства, так как они линейно независимы и любой многочлен из можно представить в виде линейной комбинации этих векторов:

. Следовательно, .

7. Пространство непрерывных функций является бесконечно мерным. Действительно, для любого натурального многочлены , рассматриваемые как непрерывные функции, образуют линейно независимые системы (см. предыдущий пример).

В пространстве тригонометрических двучленов (частоты ) с действительными коэффициентами базис образуют одночлены . Они линейно независимы, так как тождественное равенство возможно только в тривиальном случае . Любая функция вида линейно выражается через базисные: .

8. Пространство действительных функций, определенных на множестве , в зависимости от области определения может быть конечномерным или бесконечномерным. Если — конечное множество, то пространство конечномерное (например, ). Если — бесконечное множество, то пространство бесконечномерное (например, пространство любое положительное число , не равное единице, может служить базисом. Возьмем, например, число . Любое положительное число можно выразить через , т.е. представить в виде , где . Следовательно, размерность этого пространства равна 1, а число является базисом.

10. Пусть — базис вещественного линейного пространства , положив:

При этом, в силу линейности функции , для произвольного вектора получаем .

Итак, определены элементов (ковекторов) сопряженного пространства — базис линейно независима. В самом деле, возьмем линейную комбинацию этих ковекторов и приравняем ее нулевой функции

Подставляя в это равенство , получаем . Следовательно, система элементов пространства возможно только в тривиальном случае.

Во-вторых, докажем, что любую линейную функцию можно представить в виде линейной комбинации ковекторов . Действительно, для любого вектора в силу линейности функции получаем:

т.е. функция представлена в виде линейной комбинации функций (числа — коэффициенты линейной комбинации). Следовательно, система ковекторов является базисом сопряженного пространства Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *