Как доказать что плоскость перпендикулярна ребру
Перейти к содержимому

Как доказать что плоскость перпендикулярна ребру

  • автор:

Перпендикулярные плоскости, условие перпендикулярности плоскостей

Данная статья посвящена перпендикулярным плоскостям. Будут даны определения, обозначения вместе с примерами. Будет сформулирован признак перпендикулярности плоскостей и условие, при котором он выполним. Будут рассмотрены решения подобных задач на примерах.

Перпендикулярные плоскости – основные сведения

При наличии угла между пересекающимися прямыми можно говорить об определении перпендикулярных плоскостей.

Доказательство имеется в учебнике по геометрии за 10 — 11 класс, где есть подробное описание. Из признака следует, что, если плоскость перпендикулярна линии пересечения двух заданных плоскостей, то она перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Существует необходимое и достаточное условия для доказательства. Рассмотрим их для перпендикулярности двух заданных плоскостей, которое применяется в качестве проверки их перпендикулярности, находящихся в прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Чтобы доказательство имело силу, необходимо применить определение нормального вектора плоскости, который способствует доказать необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей.

Для того, чтобы перпендикулярность пересекающихся плоскостей была явной, необходимо и достаточно, чтобы нормальные векторы заданных плоскостей пересекались под прямым углом.

Доказательство

Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат. Если имеем n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) , являющимися нормальными векторами заданных плоскостей α и β , то необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов n 1 → и n 2 → примет вид

n 1 → , n 2 → = 0 ⇔ A 1 · A 2 + B 1 · B 2 + C 1 · C 2 = 0

Отсюда получаем, что n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) — нормальные векторы заданных плоскостей, а для действительности перпендикулярности α и β необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов n 1 → и n 2 → было равным нулю, а значит, принимало вид n 1 → , n 2 → = 0 ⇔ A 1 · A 2 + B 1 · B 2 + C 1 · C 2 = 0 .

Рассмотрим подробнее на примерах.

Определить перпендикулярность плоскостей, заданных в прямоугольной системе координат O x y z трехмерно пространства, заданного уравнениями x — 3 y — 4 = 0 и x 2 3 + y — 2 + z 4 5 = 1 ?

Для нахождения ответа на вопрос о перпендикулярности для начал необходимо найти координаты нормальных векторов заданных плоскостей, после чего можно будет выполнить проверку на перпендикулярность.

x — 3 y — 4 = 0 является общим уравнением плоскости, из которого можно сразу преобразовать координаты нормального вектора, равные n 1 → = ( 1 , — 3 , 0 ) .

Для определения координаты нормального вектора плоскости x 2 3 + y — 2 + z 4 5 = 1 перейдем от уравнения плоскости в отрезках к общему.

x 2 3 + y — 2 + z 4 5 ⇔ 3 2 x — 1 2 y + 5 4 z — 1 = 0

Тогда n 2 → = 3 2 , — 1 2 , 5 4 — это координаты нормального вектора плоскости x 2 3 + y — 2 + z 4 5 = 1 .

Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов n 1 → = ( 1 , — 3 , 0 ) и n 2 → = 3 2 , — 1 2 , 5 4 .

Получим, что n 1 → , n 2 → = 1 · 3 2 + ( — 3 ) · — 1 2 + 0 · 5 4 = 3 .

Видим, что оно не равно нулю, значит, что заданные векторы не перпендикулярны. Отсюда следует, что плоскости также не перпендикулярны. Условие не выполнено.

Ответ: плоскости не перпендикулярны.

Прямоугольная система координат O x y z имеет четыре точки с координатами A — 15 4 , — 7 8 , 1 , B 17 8 , 5 16 , 0 , C 0 , 0 , 3 7 , D — 1 , 0 , 0 . Проверить, перпендикулярны ли плоскости А В С и A B D .

Для начала необходимо рассчитать скалярное произведение векторов данных плоскостей. Если оно равно нулю, только в этом случае можно считать, что они перпендикулярны. Находим координаты нормальных векторов n 1 → и n 2 → плоскостей А В С и A B D .

Из заданных координат точек вычислим координаты векторов A B → , A C → , A D → . Получаем, что:

A B → = 47 8 , 19 16 , — 1 , A C → = 15 4 , 7 8 , — 4 7 , A D → = 11 4 , 7 8 , — 1 .

Нормальный вектор плоскости А В С является векторным произведением векторов A B → и A C → , а для A B D векторное произведение A B → и A D → . Отсюда получим, что

n 1 → = A B → × A C → = i → j → k → 47 8 19 16 — 1 15 4 7 8 — 4 7 = 11 56 · i → — 11 28 · j → + 11 16 · k → ⇔ n 1 → = 11 56 , — 11 28 , 11 16 n 2 → = A B → × A D → = i → j → k → 47 8 19 16 — 1 11 4 7 8 — 1 = — 5 16 · i → + 25 8 · j → + 15 8 · k → ⇔ n 2 → = — 5 16 , 25 8 , 15 8

Приступим к нахождению скалярного произведения n 1 → = 11 56 , — 11 28 , 11 16 и n 2 → = — 5 16 , 25 8 , 15 8 .

Получим: n 1 → , n 2 → = 11 56 · — 5 16 + — 11 28 · 25 8 + 11 16 · 15 8 = 0 .

Если оно равно нулю, значит векторы плоскостей А В С и A B D перпендикулярны, тогда и сами плоскости перпендикулярны.

Ответ: плоскости перпендикулярны.

Можно было подойти к решению иначе и задействовать уравнения плоскостей А В С и A B D . После нахождения координат нормальных векторов данных плоскостей можно было бы проверить на выполнимость условие перпендикулярности нормальных векторов плоскостей.

Перпендикулярность двух плоскостей: понятие, признаки

Перпендикулярность плоскостей — важное понятие стереометрии. Давайте разберемся, как определить, перпендикулярны две плоскости или нет.

1. Определение перпендикулярных плоскостей

Определение перпендикулярности плоскостей дается через угол между ними: две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусам.

Для обозначения перпендикулярности плоскостей α и β используют запись α ⊥ β. Это означает, что плоскость α перпендикулярна плоскости β , и наоборот.

  • Примерами перпендикулярных плоскостей в реальной жизни могут служить: Плоскость пола и стены в комнате Горизонтальная и вертикальная плоскости Плоскости смежных граней куба

Перпендикулярные плоскости обладают следующими свойствами:

1 Угол между ними равен 90°
2 Любая прямая одной плоскости перпендикулярна другой плоскости

Две перпендикулярные плоскости, пересекающиеся под острым углом

2. Признак перпендикулярности двух плоскостей

Признак перпендикулярности двух плоскостей позволяет определить, являются ли заданные плоскости перпендикулярными, не вычисляя угол между ними. Для этого используется понятие перпендикулярной прямой и плоскости.

Признак перпендикулярности двух плоскостей формулируется следующим образом:

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Это означает, что если в плоскости α проведена прямая а , перпендикулярная плоскости β , то плоскости α и β будут перпендикулярны друг другу.

На практике признак перпендикулярности двух плоскостей используется, например, при решении задач на нахождение угла между плоскостями или доказательства перпендикулярности граней многогранников.

3. Условие перпендикулярности плоскостей

Помимо признака перпендикулярности двух плоскостей, существует еще один способ определить, являются ли плоскости взаимно перпендикулярными. Он основан на понятии нормального вектора.

Нормальный вектор плоскости — это вектор, перпендикулярный к данной плоскости. Обозначим нормальные векторы плоскостей α и β через nα и nβ соответственно.

Тогда необходимым и достаточным условием перпендикулярности плоскостей α и β будет перпендикулярность их нормальных векторов nα и nβ, то есть выполнение равенства:

Таким образом, чтобы проверить, перпендикулярны ли две плоскости, достаточно найти скалярное произведение их нормальных векторов и убедиться, что оно равно нулю.

Это условие удобно применять, когда плоскости заданы в прямоугольной системе координат. Тогда по их уравнениям можно легко найти координаты нормальных векторов и вычислить их скалярное произведение.

4. Решение задачи на перпендикулярность плоскостей

Рассмотрим пример применения признака перпендикулярности двух плоскостей и условия перпендикулярности плоскостей при решении задач.

Пример. В прямоугольной системе координат заданы уравнения двух плоскостей:

  • 3x + 2y — z = 5
  • 2x — y + 3z = 4

Требуется определить, являются ли эти плоскости взаимно перпендикулярными.

Решение. По уравнениям плоскостей находим координаты их нормальных векторов:

n1 = (3; 2; -1), n2 = (2; -1; 3).

Вычисляем скалярное произведение этих векторов:

n1 ∙ n2 = 3·2 + 2·(-1) + (-1)·3 = 6 — 2 — 3 = 1 ≠ 0.

Полученное скалярное произведение не равно нулю, следовательно, данные плоскости не являются перпендикулярными.

Ответ: нет, плоскости не перпендикулярны.

Перпендикулярные плоскости на фоне осеннего леса

5. Перпендикулярные плоскости в пространственных фигурах

Рассмотрим некоторые свойства перпендикулярных плоскостей на примере таких геометрических тел, как параллелепипед, пирамида, призма.

Параллелепипед

У прямоугольного параллелепипеда противоположные грани попарно параллельны и перпендикулярны:

  • ABCD ⊥ EFGC
  • ABFE ⊥ DCGH
  • и т.д.

Пирамида

В правильной четырехугольной пирамиде плоскости двух соседних граней перпендикулярны. Например:

Призма

У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны основаниям. Это означает перпендикулярность соответствующих плоскостей:

  • ABCD ⊥ AA1B1C1D1

6. Практическое значение перпендикулярных плоскостей

Понятие перпендикулярности плоскостей имеет большое практическое значение в различных областях:

Техника и архитектура:

  • При создании чертежей и проектировании конструкций
  • В задачах на полную внутреннюю отражаемость света

Так, из соображений оптимальной освещенности и теплопотерь здания проектируются с перпендикулярными стенами и полом по отношению к горизонтальной плоскости.

Наука и искусство: понятие перпендикулярности плоскостей применяется в кристаллографии, геометрическом моделировании, живописи и других областях.

Перпендикулярность плоскостей

При пересечении двух плоскостей у нас получается $4$ двугранных угла. Два угла равны $\varphi $, а два другие равны $^0-\varphi $.

Определение 1

Углом между плоскостями называется минимальный из двугранных углов, образованных этими плоскостями.

Определение 2

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между этими плоскостями равен $90^\circ$ (рис. 1).

Перпендикулярные плоскости

Рисунок 1. Перпендикулярные плоскости

Признак перпендикулярности двух плоскостей

Если прямая плоскости перпендикулярна другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны друг другу.

Доказательство.

Пусть нам даны плоскости $\alpha $ и $\beta $, которые пересекаются по прямой $AC$. Пусть прямая $AB$, лежащая в плоскости $\alpha $ перпендикулярна плоскости $\beta $ (рис. 2).

Так как прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $\beta $, то она перпендикулярна и прямой $AC$. Проведем дополнительно прямую $AD$ в плоскости $\beta $, перпендикулярно прямой $AC$.

Получаем, что угол $BAD$ — линейный угол двугранного угла, равный $90^\circ$. То есть, по определению 1, угол между плоскостями равен $90^\circ$, значит, данные плоскости перпендикулярны.

Теорема доказана.

Из этой теоремы следует следующая теорема.

Если плоскость перпендикулярна прямой, по которой пересекаются две другие плоскости, то она перпендикулярна и этим плоскостям.

Доказательство.

Пусть нам даны две плоскости $\alpha $ и $\beta $, пересекающиеся по прямой $c$. Плоскость $\gamma $ перпендикулярна прямой $c$ (рис. 3)

Так как прямая $c$ принадлежит плоскости $\alpha $ и плоскость $\gamma $ перпендикулярна прямой $c$, то, по теореме 1, плоскости $\alpha $ и $\gamma $ перпендикулярны.

Так как прямая $c$ принадлежит плоскости $\beta $ и плоскость $\gamma $ перпендикулярна прямой $c$, то, по теореме 1, плоскости $\beta $ и $\gamma $ перпендикулярны.

Теорема доказана.

Для каждой из этих теорем справедливы и обратные утверждения.

Примеры задач

Пусть нам дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найти все пары перпендикулярных плоскостей (рис. 5).

Решение.

По определению прямоугольного параллелепипеда и перпендикулярных плоскостей видим следующие восемь пар перпендикулярных между собой плоскостей: $(ABB_1)$ и $(ADD_1)$, $(ABB_1)$ и $(A_1B_1C_1)$, $(ABB_1)$ и $(BCC_1)$, $(ABB_1)$ и $(ABC)$, $(DCC_1)$ и $(ADD_1)$, $(DCC_1)$ и $(A_1B_1C_1)$, $(DCC_1)$ и $(BCC_1)$, $(DCC_1)$ и $(ABC)$.

«Перпендикулярность плоскостей» ��
Помощь эксперта по теме работы
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Пусть нам даны две взаимно перпендикулярные плоскости. Из точки одной плоскости проведен перпендикуляр к другой плоскости. Доказать, что эта прямая лежит в данной плоскости.

Доказательство.

Пусть нам даны перпендикулярные плоскости $\alpha $ и $\beta $, пересекающиеся по прямой $c$. Из точки $A$ плоскости $\beta $ проведен перпендикуляр $AC$ к плоскости $\alpha $. Предположим, что $AC$ не лежит в плоскости $\beta $ (рис. 6).

Рассмотрим треугольник $ABC$. Он является прямоугольным с прямым углом $ACB$. Следовательно, $\angle ABC\ne ^0$.

Но, с другой стороны, $\angle ABC$ является линейным углом двугранного угла, образованного этими плоскостями. То есть двугранный угол, образованный этими плоскостями не равняется 90 градусам. Получаем, что угол между плоскостями не равен $90^\circ$. Противоречие. Следовательно, $AC$ лежит в плоскости $\beta $.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых в пространстве

В модуле 3 мы рассматривали взаимное расположение прямых в пространстве.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Естественно, что пересекающиеся прямые
образуют углы. Углом между прямыми является меньший из двух смежных. Например, на рисунке 5.1 изображены две пересекающиеся прямые

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Свойства перпендикулярных прямых пространства выражают теоремы 1-4.

Теорема 1

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Через произвольную точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— данная прямая и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— точка на ней (рис. 5.2). Возьмем вне прямой а произвольную точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи проведем через эту точку и прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияплоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(следствие из аксиом). В плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениячерез точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияможно провести прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, перпендикулярную Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Теорема доказана.

Теорема 2

Если две пересекающиеся прямые соответственно параллельны двум перпендикулярным прямым, то они также перпендикулярны.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— данные перпендикулярные прямые и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, а также прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпересекает Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияв точке Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, а прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпересекает Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияв точке Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 5.3). Тогда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениялежат в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, а прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, которые будут параллельными по признаку параллельности плоскостей. Соединим точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Выберем на прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияточку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, а на прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПроведем Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.Тогда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Четырехугольники Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— параллелограммы, отсюда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, то они лежат в одной плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, пересекающей плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпо прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, а плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— по прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, которые параллельны, т.е. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Итак, четырехугольник Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения-параллелограмм, у которого Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Таким образом, треугольники Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравны по третьему признаку равенства треугольников. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, отсюда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Итак, прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияТеорема доказана.

Теорема 3

Через любую точку пространства, не принадлежащую прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной (рис. 5.4, а).

Теорема 4

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых и лежит с ними в одной плоскости, то она перпендикулярна и второй прямой (рис. 5.4, б).

Доказательство теорем 3 и 4 выполните самостоятельно.
Расположение трех прямых в пространстве, когда они между собой попарно перпендикулярны и имеют общую точку, является особым случаем (рис. 5.4, в).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Отметим, что в пространстве существует множество плоскостей, которые можно провести через одну и ту же прямую. Выбирая точку А вне прямой, мы попадем на одну из этих плоскостей и в выбранной плоскости к данной прямой через точку А проводим прямую, перпендикулярную данной.

Итак, в пространстве к прямой можно провести сколь угодно много перпендикулярных прямых, проходящих через данную точку этой прямой.

Пример №1

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпопарно перпендикулярны (рис. 5.5). Найдите отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, если Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Дано: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения
Найти: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Из Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпо теореме Пифагора Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, отсюда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Из Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпо теореме Пифагора Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Почему именно так?

Каждая пара данных прямых Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— перпендикулярна, т.е. образует прямые углы. Соединив последовательно точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияс Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияс Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияс Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, получим прямоугольные треугольники.

  1. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения: известны катет и гипотенуза, неизвестна сторона, являющаяся вторым катетом. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— сторона Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.
  2. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения: один катет известен по условию, второй — найден из Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения; неизвестной является третья сторона — гипотенуза. По теореме Пифагора составляем выражение и выполняем вычисление длины отрезка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Перпендикулярность прямой и плоскости в пространстве

Мы уже рассматривали взаимное расположение прямой и плоскости, детально ознакомились со случаем, когда прямая не пересекает плоскость. В этом параграфе мы рассмотрим случай, когда прямая пересекает плоскость и, кроме того, образует с произвольной прямой этой плоскости, проходящей через точку пересечения, прямой угол. Такую прямую называют перпендикулярной плоскости. Все другие неперпендикулярные прямые, пересекающие плоскость, называют наклонными.

Моделью прямой, перпендикулярной плоскости, может быть установленная вышка, столб, вкопанный в землю, гвоздь, вбитый в стену, и т.п.
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна произвольной прямой, которая лежит на этой плоскости и проходит через их точку пересечения.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Чтобы определить, будет ли прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярной плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, нужно через точку ее пересечения с плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпровести множество прямых Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 5.10) и доказать, что она перпендикулярна каждой из них. Этот путь нерациональный. Поэтому, чтобы установить перпендикулярна ли прямая плоскости, пользуются признаком перпендикулярности прямой и плоскости.

Теорема 5 (признак перпендикулярности прямой и плоскости)

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости, то она перпендикулярна и данной плоскости.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— данная плоскость, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— прямая, пересекающая ее в точке Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— прямые, которые принадлежат плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, проходят через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 5.11) и перпендикулярны прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Докажем, что Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, т.е., что прямая с перпендикулярна любой прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияплоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, которая проходит через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Для этого выполним дополнительное построение:

  1. отложим в разных полупространствах на прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияот точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравные отрезки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения;
  2. обозначим на прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениянекоторую точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, а на прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения; соединим точки: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияс Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияс Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияс Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияс Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияс Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения;
  3. проведем через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроизвольную прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, которая пересечет Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияв точке Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, и также соединим ее с Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Рассмотрим образованные при этом треугольники.

  1. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— медиана и высота; Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпо построению; Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— общая сторона треугольников Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения; Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Итак, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпо двум сторонам и углу между ними. Отсюда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.
  2. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Равенство отрезков Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениядоказывается аналогично, как и равенство отрезков Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.
  3. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения-общая сторона. Отсюда вытекает равенство соответствующих углов: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.
  4. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпо двум сторонам и углу между ними: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— общая сторона; Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпо доказательству выше. Итак, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, т.е. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— равнобедренный: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— основание треугольника, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— середина Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— медиана Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. В равнобедренном треугольнике медиана является высотой, т.е. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, а это означает, что Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Поскольку прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— произвольная прямая плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, проходит через точку пересечения прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, перпендикулярна прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, то Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Отметим, что вы впервые столкнулись с таким громоздким доказательством. Доказательство не следует заучивать наизусть или запоминать шаги, необходимо понять его и последовательно, опираясь на известные факты, изложить рассуждения. Для этого важно спланировать последовательность логических шагов и не допускать ошибок.

Итак, для установления перпендикулярности прямой и плоскости достаточно проверить перпендикулярность прямой двум прямым плоскости, проходящим через точку их пересечения (по признаку).

Из данной теоремы вытекают два следствия.

Следствие 1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй прямой.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— плоскость, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— две прямые, пересекающие ее в точках Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, причем Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 5.12). Проведем через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроизвольную прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, а через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения-прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, параллельную Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Поскольку прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, перпендикулярна плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, то прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярны. Тогда, по теореме 2, прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениятакже перпендикулярны. Таким образом, прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна произвольной прямойПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, которая лежит на плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи проходит через их точку пересечения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Это определяет перпендикулярность прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияк плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Следствие 2. Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениядве прямые, перпендикулярные плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 5.13). Допустим, что прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияне параллельные. Выберем на прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияточку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, которая не принадлежит плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Проведем через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпрямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпараллельную прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Она перпендикулярна плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпо предыдущему следствию. Пусть прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпересекает плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияв точке Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, а прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпересекает Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияв точке Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Тогда пряма Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна пересекающимся прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. А это невозможно, предположение неверно. Таким образом, прямые параллельны.

Пример №2

Докажите, что через любую точку А можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости.

Рассмотрим два случая.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Первый случай. Пусть точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпринадлежит плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 5.14). Тогда через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияв плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроведем прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Выбрав точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, не принадлежащую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, проведем через нее и прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияплоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(следствие из аксиом). Проведем в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпрямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, а в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения-прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Через эти две прямые проходит плоскость у, которая будет перпендикулярна прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(теорема о перпендикулярности прямой и плоскости).

Тогда в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениядостаточно провести прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Она будет перпендикулярна и прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, поскольку лежит в у и проходит через точку пересечения. Поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна двум прямым плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, то она перпендикулярна и самой плоскости. Итак, мы построили прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, которая перпендикулярна плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи проходит через заданную точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.
Второй случай. Пусть точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияне принадлежит плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Выбрав произвольную точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, аналогично предыдущему случаю, проведем прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, которая проходит через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Тогда через эту прямую и точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияможно провести некоторую плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, а на ней -некоторую прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, которая проходит через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпараллельно Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениябудет перпендикулярна Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то вторая также перпендикулярна). Построение выполнено. Итак, прямую построить можно. Ч.т.д.

Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах

Рассмотрим изображение прямой а, перпендикулярной плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 5.20). Обозначим на прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроизвольный отрезок.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Отрезок называется перпендикулярным плоскости, если он лежит на прямой, перпендикулярной плоскости.

Итак, на прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, перпендикулярной плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, можно разместить множество отрезков, которые будут перпендикулярны плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

На рисунке 5.21 изображены различные случаи расположения перпендикулярного плоскости отрезка:

  1. отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениялежит по одну сторону от плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи не пересекает ее (рис. 5.21, а);
  2. отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпересекает плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(концы отрезка находятся в разных полупространствах) (рис. 5.21, б);
  3. отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениялежит по одну сторону от плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— конец отрезка — принадлежит плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 5.21, в).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Чаще всего на практике встречается третий случай. Такой отрезок называют перпендикуляром, проведенным из данной точки к плоскости.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, который соединяет данную точку с точкой плоскости и лежит на прямой, перпендикулярной этой плоскости (рис. 5.21, в). Конец отрезка, лежащий на плоскости, называется основанием перпендикуляра.

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, который соединяет данную точку с точкой плоскости и не является перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий на плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, который соединяет основание перпендикуляра и основание наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

На рисунке 5.22 отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— перпендикуляр, проведенный из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— наклонная, проведенная из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна ту же плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— основание перпендикуляра, а точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— основание наклонной, отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— проекция наклонной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, образованный наклонной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи ее проекцией Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, называют углом наклона наклонной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения к плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между наклонной и проекцией этой наклонной на плоскость.

Свойства перпендикуляра и наклонных

Если из одной точки вне плоскости провести к ней перпендикуляр и наклонные, то:

  1. из точки, не принадлежащей плоскости, можно провести один и только один перпендикуляр и множество наклонных;
  2. длина перпендикуляра меньше длины любой наклонной;
  3. наклонные, имеющие равные проекции, равны между собой, и наоборот, равные наклонные имеют равные проекции;
  4. из двух наклонных большую длину имеет та, которая имеет большую проекцию, и наоборот, большая наклонная имеет большую проекцию.

Докажите эти свойства самостоятельно.

Широко используется свойство прямой, перпендикулярной проекции наклонной или наклонной, которое называют теоремой о трех перпендикулярах.

Теорема 6 (о трех перпендикулярах)

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и наклонной. И наоборот, если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Дано: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения
Доказать: прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Докажем вторую часть теоремы. Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— перпендикуляр к плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— наклонная. Прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпринадлежит плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, проходит через основание Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениянаклонной и перпендикулярна ей (рис. 5.23). Т.е. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Проведем через основание наклонной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпрямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, параллельную Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, т.е. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениялежат в одной плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, то по признаку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Итак,Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Ч.т.д. Первую часть теоремы докажите самостоятельно.

Пример №3

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если одна из них на 26 см больше другой, а проекции наклонных равны 12 см и 40 см.

Дано: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— перпендикуляр к плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 5.24); Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— наклонные; Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна 26 см; Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.
Найти: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, тогда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. В Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— гипотенуза; Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— катет. По теореме Пифагора: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, отсюда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.(1)

В Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— гипотенуза; Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— катет. По теореме Пифагора: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, отсюда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.(2)
Из (1) и (2) имеем: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения
Ответ. 15 см и 41 см.

Почему именно так?

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— перпендикуляр к Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Перпендикуляр, наклонная и ее проекция образуют прямоугольный треугольник. Две различные наклонные, один перпендикуляр и две проекции образуют два прямоугольных треугольника с общим катетом. Составить соотношение между сторонами прямоугольного треугольника можно по теореме Пифагора.

Алгебраический метод решения упрощает процесс поиска решения. Находим общий катет для Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияиПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения:
Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Отсюда имеем равенство: и соответствующее уравнение с одной переменной, что приводит к решению задачи.

Перпендикулярность плоскостей

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым (рис. 5.31).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Если .
Моделями перпендикулярных плоскостей в окружающем мире являются различные конфигурации предметов. Например, шкатулка с крышкой, двери, окна, которые открываются, и т.д. Принцип «открывания» частей моделей основывается на перпендикулярности прямых, проведенных перпендикулярно прямой пересечения (линии крепления) (рис. 5.32).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярные плоскости обладают такими свойствами:

  1. Любая плоскость, перпендикулярная линии пересечения перпендикулярных плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым. И наоборот, плоскость, перпендикулярная двум пересекающимся плоскостям, перпендикулярна линии их пересечения.
  2. Если две плоскости взаимно перпендикулярны, то любая прямая, лежащая в одной из них и перпендикулярная их линии пересечения, перпендикулярна другой плоскости.
  3. Если две плоскости взаимно перпендикулярны и из произвольной точки одной из них опущен перпендикуляр на вторую, то этот перпендикуляр лежит в первой плоскости.

Рассмотрим их несколько позднее. Докажем сначала признак перпендикулярности двух плоскостей.

Теорема 7 (признак перпендикулярности плоскостей)

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Дано: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения; плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроходит через Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Доказать: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Построим произвольную плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениячерез прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи некоторую точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениявне ее (рис. 5.33). Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— общая точка плоскостей Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, поэтому они пересекаются по некоторой прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, проходящей через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Проведем на плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениянекоторую прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(на плоскости такая прямая единственная). Поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, то Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Итак, прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Построим через прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияплоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Она перпендикулярна прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(поскольку две ее прямые перпендикулярны Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения). Поэтому ее линии пересечения с плоскостями Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияобразуют прямой угол. Т.е. плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, перпендикулярная прямой пересечения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияплоскостей Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, пересекает их по перпендикулярным прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, что по определению доказывает перпендикулярность плоскостей Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Теперь вернемся к свойствам перпендикулярных прямых и плоскостей и докажем некоторые из них.

Теорема 8

Если две плоскости взаимно перпендикулярны, то любая прямая, лежащая в одной из них и перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна второй плоскости.

Дано: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения
Доказать: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пусть плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениявзаимно перпендикулярны (рис. 5.34), т.е. некоторая плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, перпендикулярная прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, пересекает их по перпендикулярным прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Проведем через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпрямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Тогда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, отсюда плоскость, проходящая через прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, будет перпендикулярна прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, то перпендикулярными будут и прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Кроме того, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(по условию), поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Теорема доказана.

Теорема 9

Если две плоскости взаимно перпендикулярны и из некоторой точки одной из них опущен перпендикуляр на вторую, то этот перпендикуляр лежит в первой плоскости.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Дано:

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Доказать:

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пусть плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениявзаимно перпендикулярны (рис. 5.35). Тогда некоторая плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, перпендикулярная прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, пересекает их по перпендикулярным прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Итак, дано Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Т.е. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. В плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениячерез точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроведен отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПо следствию, две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, будут параллельными. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Таким образом, они лежат в одной плоскости — Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Если одна из двух параллельных прямых пересекает в плоскости прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, то и другая пересекает ее. Отсюда вытекает, что точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениядолжна принадлежать прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Тогда она будет общей для двух плоскостей. Но если две точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпринадлежат Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, то вся прямая принадлежит плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Остальные свойства докажите самостоятельно.

Пример №4

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Из точек Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, лежащих на двух взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 5.36), проведены перпендикуляры Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна прямую пересечения плоскостей Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Найдите длину отрезка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, если Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Дано: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения
Найти: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, отсюда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.
Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— прямоугольный: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— катет, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— катет, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— гипотенуза (искомый отрезок). Рассмотрим на плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, тогда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— прямоугольный.
Из Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— катет; Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— катет; Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— гипотенуза, которая является неизвестным катетом для Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Из Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияИз Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения
Отсюда, учитывая что Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, имеем Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Почему именно так?

Для каждой геометрической задачи важно построить цепочку логических рассуждений. В этой задаче важно видеть не только прямоугольные треугольники на плоскостях Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, но и использовать признак и свойства перпендикулярных плоскостей. Таким образом можно выйти на новый прямоугольный треугольник Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияили Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, третью сторону которого находят по известному и найденному катетам. В том или ином случае Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияостается наклонной, меняются только перпендикуляры к соответствующим плоскостям Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи проекции наклонной на плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияили на плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения.

Перпендикулярность прямой и плоскости

А) Напомним, что перпендикулярными называют прямые, угол между которыми равен 90°. Перпендикулярные прямые могут быть пересекающимися и могут быть скрещивающимися. На рисунке 210 перпендикулярные прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпересекаются, а перпендикулярные прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияскрещиваются.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости.

Перпендикулярность прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияплоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениязаписывают так: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияГоворят также, что и плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи пишут Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярная плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияобязательно эту плоскость пересекает. Если допустить, что прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениялежит в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияили параллельна ей, то в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияесть прямые, параллельные прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи угол между Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи такими прямыми не равен 90°.

Окружающее пространство даёт много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости. Столбы с осветительными лампами и колонны устанавливают перпендикулярно горизонтальной поверхности земли (рис. 211).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Из теоремы 6 параграфа 5 следует, что при определении угла между прямыми эти прямые можно заменять параллельными прямыми. Поэтому если одна из параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая также перпендикулярна этой плоскости. Верно и обратное утверждение.

Теорема 1. Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны друг другу.

Доказательство: Пусть прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияобе перпендикулярны плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 212). Докажем, что прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпараллельны друг другу.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Через какую-либо точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпрямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроведём прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпараллельную прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияТогда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияДокажем, что прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениясовпадает с прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияДопустим, что это не так. Тогда получается, что в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениязаданной прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениячерез точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроведены две прямые, перпендикулярные прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпо которой пересекаются плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениячто невозможно. Значит, прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениясовпадают, тогда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпараллельны.

Пусть имеются плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениякоторая её пересекает и не перпендикулярна Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 213). Основания перпендикуляров, опущенных из точек прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияобразуют прямую Эта прямая называется проекцией прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Следующая теорема устанавливает признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Теорема 2. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Доказательство: Пусть прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпересекает плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияв точке Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи перпендикулярна пересекающимся прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениялежащим в плоскости а (рис. 214). Докажем, что прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решеният. е. что прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроизвольно выбранной в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Проведём через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпрямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениясоответственно параллельные прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияВ плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроведём какую-либо прямую так, чтобы она пересекала прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияв точках Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 215). На прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияотметим точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна равных расстояниях от точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПрямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— серединные перпендикуляры к отрезку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияЗначит, треугольники Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравны по трём сторонам, поэтому углы Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравны. Учитывая это, получим, что треугольники Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияЭто означает, что треугольник Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияявляется равнобедренным, поэтому его медиана Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияявляется и высотой, т. е. прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияа также прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярны.

Следствие 1. Если прямая перпендикулярна одной из параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.

Пусть плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпараллельны и прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна плоскости а (рис. 216). Докажем, что прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияДля доказательства проведём через прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениядве какие-либо плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПусть они пересекают плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпо прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияа параллельную ей плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— по прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПоскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениято Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПо теореме 2 получаем, что Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Следствие 2. Если одной прямой перпендикулярны две плоскости, то они параллельны.

Проведите самостоятельно обоснование этого утверждения, используя рисунок 216

Б) Теорема 3. Через каждую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Доказательство: Пусть даны прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияВ случае, когда точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияне лежит на прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 217), в плоскости, которая определяется точкой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениячерез точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроведём прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярную прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпересечения прямых Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— ещё одну прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярную прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

В случае, когда точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениялежит на прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 218), через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроведём прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярные прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Через прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроведём плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияЭти плоскости и прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярны по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Докажем теперь, что построенная плоскость а единственная. Допустим, что это не так. Пусть через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроведены две плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярные прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 219 и 220). Через прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроведём какую-либо плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияОна пересекает плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпо некоторым прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениятак как плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияимеет с плоскостями Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияобщую точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПоскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениято Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПолучается, что в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениячерез точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроведены две прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярные прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениячто невозможно.

Теорема 4. Через каждую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

Доказательство: Пусть даны точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— прямая в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияа Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— плоскость, которая проходит через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи перпендикулярна прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПусть плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпересекаются по прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 221). В плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениячерез точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроведём прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярную прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПрямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— искомая, так как она перпендикулярна пересекающимся прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпо построению; Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениятак как Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпринадлежит Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— единственная. Допустим, что это не так. Пусть через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроходит ещё одна прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярная плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 222 и 223). Тогда по теореме 1 прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпараллельны друг другу. Но такое невозможно, так как прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпересекаются в точке Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Следствие 3. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— прямоугольный параллелепипед (рис. 224). Поскольку ребро Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярно плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениято треугольник Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпрямоугольный с прямым углом Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияА поскольку треугольник Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениятакже прямоугольный с прямым углом Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениято Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияУчитывая, что Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияполучаем, что

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пример №5

Докажите, что если рёбра Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияа также Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениячетырёхугольной пирамиды Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияоснованием которой является параллелограмм, равны между собой (рис. 225), то отрезок, соединяющий вершину Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияс точкой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпересечения диагоналей этого параллелограмма, перпендикулярен основанию Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— параллелограмм и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравнобедренный и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениято Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравнобедренный и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениято Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(теорема 2).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Используя рисунок 226, докажите самостоятельно обратное утверждение: «Если отрезки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияа также Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениясоединяют точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикуляра, проведённого из центра Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпараллелограмма Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияс противоположными его вершинами, то эти отрезки попарно равны».

Пример №6

В правильной треугольной пирамиде Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияточка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— середина ребра Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 227). Докажите, что прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— правильная треугольная пирамида, поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— равносторонний и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— равнобедренный.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— равносторонний, и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— середина Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— равнобедренный, и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— середина Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пример №7

Докажите, что диагональ Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениякуба Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна плоскости треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 228).

Решение:

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— квадрат, поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— куб, поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— квадрат, поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— куб, поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Используя рисунок 228, установите, в какой точке прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпересекает плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пространственное моделирование

При выполнении задания на определение вертикальности столба для забора (рис. 240) ученик проверил вертикальность первого из столбов, а дальше, измерив высоту первого и второго столбов и расстояние между ними снизу и сверху, сделал вывод о том, что и второй столб тоже вертикальный. Определите, обеспечивают ли полученные учеником сведения правильность его вывода. Ответ обоснуйте.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Расстояния

А) Пусть даны плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениявне её (рис. 241). Через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроведём прямую перпендикулярную плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— точка пересечения прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияс плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияОтрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияназывается перпендикуляром к плоскости, проведённым из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияа точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияоснованием перпендикуляра.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Соединим точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияещё с какой-либо точкой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияплоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияОтрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияназывается наклонной к плоскости, проведённой из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияа точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияоснованием наклонной. Отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияназывается проекцией наклонной на плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Свойства перпендикуляра и наклонных

Если из одной точки вне плоскости проведены к этой плоскости две наклонные (рис. 242), то:

  • а) наклонные, имеющие равные проекции, равны между собой;
  • б) та наклонная больше, проекция которой больше;
  • в) равные наклонные имеют равные проекции;
  • г) большая наклонная имеет большую проекцию.

Свойства перпендикуляров и наклонных докажите самостоятельно, используя рисунок.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Теорема 5. Перпендикуляр к плоскости, проведённый из некоторой точки, меньше любой наклонной к этой плоскости, проведённой из той же точки.

Доказательство: Пусть отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна рисунке 243 — перпендикуляр, а отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— наклонная к плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияЭти перпендикуляр и наклонная в прямоугольном треугольнике Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияявляются соответственно катетом и гипотенузой. Поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

В соответствии с утверждением теоремы 5, из всех расстояний от данной точки до различных точек данной плоскости наименьшим является расстояние, измеренное по перпендикуляру.

Б) Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к плоскости.

Когда мы говорим, например, что уличный фонарь находится на высоте 8 м от земли, то подразумеваем, что расстояние от фонаря до поверхности земли, измеренное по перпендикуляру, проведённому от фонаря к плоскости земли, составляет 8 м (рис. 244).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Теорема 6. Расстояние от любой точки одной из параллельных плоскостей к другой плоскости одно и то же и равно длине их общего перпендикуляра.

Доказательство: Пусть даны параллельные плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 245). Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениякакая-либо точка плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияотрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— перпендикуляр, проведённый из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияк плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияВозьмём произвольную точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияплоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи проведём из неё перпендикуляр Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияк плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияТогда по теореме 1 прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпараллельны, а по теореме 12 из параграфа 6 отрезки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравны друг другу. Это означает, что расстояние от любой точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияплоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениядо плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравно отрезку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПоскольку отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярен плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениято он является расстоянием от точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениядо плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПонятно, что расстояние от любой точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияплоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениядо плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравно отрезку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, проведённого из какой-либо точки одной плоскости к другой плоскости.

Все точки одной стены комнаты находятся на одинаковом расстоянии от противоположной стены (рис. 246). Это расстояние и есть ширина комнаты.

Теорема 7. Расстояние от любой точки прямой, параллельной плоскости, до этой плоскости одно и то же и равно перпендикуляру, проведённому из какой-либо точки прямой к плоскости.

Используя рисунок 247, проведите доказательство теоремы самостоятельно.

Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется длина перпендикуляра, проведённого из какой-либо точки прямой к плоскости.

Все точки края стола находятся на одном расстоянии от пола (рис. 248).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Теорема 8. Две скрещивающиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр.

Доказательство: Пусть даны скрещивающиеся прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 249). Докажем, что на этих прямых можно выбрать такие точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениячто прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна и прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— плоскость, проходящая через прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпараллельно прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияВозьмём на прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияточку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи опустим перпендикуляр Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияОбозначим Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— прямую, по которой пересекаются плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПоскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениято прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпересекаются в некоторой точке Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияВ плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияопустим перпендикуляр Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПрямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениялежат в одной плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи перпендикулярны прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениязначит, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Этим самым существование общего перпендикуляра скрещивающихся прямых обосновано. Докажем теперь его единственность.

Пусть скрещивающиеся прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияимеют ещё один общий перпендикуляр Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпричём точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпринадлежит прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияа точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 250).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениясовпадать не могут, так как из одной точки к прямой можно провести только один перпендикуляр. Поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениято прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениякак и прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроходящей через прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпараллельно прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпринадлежат одной плоскости. Значит, и прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпринадлежат одной плоскости. Получили противоречие с тем, что эти прямые скрещиваются.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

Из доказательства теоремы 8 следует, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной из них до плоскости, содержащей другую прямую и параллельную первой.

Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, можно действовать по-разному.

а) Можно построить отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный им обеим, и найти его длину.

Пример №8

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Найдём расстояние между прямыми, которые содержат ребро куба длиной и диагональ грани, которая с этим ребром не имеет общих точек.

Решение:

Пусть нужно найти расстояние между прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 251). Поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениято Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияа потому искомое расстояние равно ребру куба, т. е. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

б) Можно построить плоскость, которая содержит одну из прямых и параллельна другой. Тогда искомое расстояние будет равно расстоянию от этой плоскости до другой прямой.

Пример №9

В правильной четырёхугольной пирамиде Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениярёбра основания Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравны 4, а боковые рёбра — 6. Найдём расстояние между прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениягде Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— середина ребра Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— центр квадрата Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияЧерез прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроведём плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпараллельную прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 252). Поскольку плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи содержит прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениято перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпринадлежит плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— такая точка на прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениячто Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияУчитывая, что Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— середина стороны Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениятреугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияполучаем, что Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравно половине высоты треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроведённой к стороне Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияНайдем площадь треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи его медиану Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Теперь

в) Можно построить две параллельные плоскости, каждая из которых содержит одну из скрещивающихся прямых и параллельна другой. Тогда искомое расстояние будет равно расстоянию между этими плоскостями.

Пример №10

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Найдём расстояние между прямыми, содержащими непересекающиеся диагонали двух смежных граней куба с ребром

Решение:

Пусть нужно найти расстояние между прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 253). Плоскость, которая содержит Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи параллельна Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпересекает грань Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпо прямой, параллельной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решеният. е. по прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияа грань Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— по прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияРассуждая так же, получаем, что плоскость, которая содержит Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи параллельна Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпересекает грань Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпо прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияа грань Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— по прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Диагональ Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениякуба как прямая плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияобразует прямой угол с прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениякоторые перпендикулярны этой плоскости, а как прямая плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияобразует прямой угол с прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениякоторые перпендикулярны этой плоскости. Поэтому прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна как плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениятак и параллельной ей плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпересекается с плоскостями Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпо прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениягде Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— центры граней Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 254), прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпересекает плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияв точках Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна прямых Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПоскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениято по теореме Фалеса Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПоэтому общий перпендикуляр Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияплоскостей Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияимеет длину Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решеният. е. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Ответ:

Диагональ куба делится плоскостью треугольника, сторонами которого служат диагонали граней куба, имеющие с рассматриваемой диагональю куба общую точку, в отношении 1 : 2.

г) Можно построить плоскость, перпендикулярную одной из скрещивающихся прямых, и построить проекцию на неё другой прямой. Тогда искомое расстояние будет равно длине перпендикуляра, опущенного из точки, являющейся проекцией первой прямой на построенную плоскость, на проекцию другой прямой.

Пример №11

В четырёхугольной пирамиде Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениявсе рёбра равны Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияНайдём расстояние между скрещивающимися рёбрами Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 255).

Решение:

Из теоремы 8 следует, что на прямых Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияесть такие точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениячто прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна как прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениятак и прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи, вместе с этим, плоскости, проходящей через одну из этих прямых параллельно другой.

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— плоскость, проходящая через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярно прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияОна проходит через середины Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениярёбер Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияТогда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи проекцией отрезка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениябудет отрезок, равный Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Определим, в какие точки спроектируются точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПоскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениято вся прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроектируется в точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияЗначит, точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроектируется в точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Поскольку точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроектируются в точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи N соответственно, то прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроектируется в прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияУчтём также, что прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпринадлежит плоскости, параллельной прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПоэтому искомая проекция отрезка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— перпендикуляр к прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроведённый из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Длину Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияэтого перпендикуляра найдём, используя площадь равнобедренного треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияс основанием Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи боковыми сторонами Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Получим Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияоткуда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Ответ:

Пример №12

Точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияотстоит на 40 см от каждой вершины правильного треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениясо стороной 60 см. Найдите расстояние от точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениядо плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— правильный треугольник, поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— центр окружности, описанной около треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— её радиус (рис. 257).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— прямоугольный.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пример №13

Из вершины Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравнобедренного треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияс основанием Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениявозведён перпендикуляр Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениясоединена с серединой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияэтого основания (рис. 258). Докажите, что прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярны.

Решение:

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— перпендикуляр к плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— проекции наклонных Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— равнобедренный треугольник с основой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— проекции наклонных Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— середина Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Угол между прямой и плоскостью

А) С помощью чисел, выражающих расстояние между двумя прямыми и величину угла между ними, можно описать взаимное расположение этих прямых в пространстве. Если прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпересекаются, то их взаимное расположение характеризует угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениямежду ними, расстояние между такими прямыми считается равным нулю (рис. 266). Если прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпараллельны, то их взаимное расположение характеризует расстояние Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениямежду ними, угол между такими прямыми равен нулю (рис. 267). Если прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияскрещиваются, то их взаимное расположение характеризует угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи расстояние Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениямежду ними (рис. 268).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Теорема 9. Если прямая плоскости перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной, а если прямая плоскости перпендикулярна наклонной к плоскости, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной.

Доказательство: Пусть отрезки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— соответственно перпендикуляр и наклонная к плоскости а, тогда отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— проекция наклонной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна эту плоскость (рис. 269).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пусть прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияплоскости а перпендикулярна проекции Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияДокажем, что прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна самой наклонной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна пересекающимся прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияплоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— первой прямой по условию, а второй — так как она лежит в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениякоторой перпендикулярна прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПоэтому прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна и прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияплоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пусть прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияплоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна наклонной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияДокажем, что прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна проекции Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияэтой наклонной.

Прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна пересекающимся прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияплоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПоэтому она перпендикулярна и прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияплоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Теорема 9 называется теоремой о трёх перпендикулярах, потому что в ней идёт речь об отношении перпендикулярности между тремя прямыми. Приведём примеры использования этой теоремы.

Пример №14

Из вершины Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияк плоскости треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениястороны которого Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравны 13, 20, 11 соответственно, возведён перпендикуляр Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениядлиной 36 (рис. 270). Найдём расстояние от точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениядо прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Искомое расстояние — длина перпендикуляра, опущенного из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПроведение этого перпендикуляра потребует найти его основание на прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияДля этого в плоскости треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпостроим высоту Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияэтого треугольника. Поскольку прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна высоте Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениякоторая является проекцией наклонной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениято по теореме о трёх перпендикулярах прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна наклонной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решеният. е. отрезок Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениявыражает искомое расстояние.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Найдём сначала высоту Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениятреугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПо формуле Герона определим площадь Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияэтого треугольника, что позволит найти и его высоту Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Треугольник Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— прямоугольный с прямым углом Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпо теореме Пифагора найдём Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пример №15

Докажем, что если данная точка пространства равноудалена от сторон многоугольника, то в этот многоугольник можно вписать окружность, центр которой совпадает с основанием перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость многоугольника.

Доказательство: Пусть точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравноудалена от сторон Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениямногоугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— перпендикуляр из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна плоскость этого многоугольника. Тогда перпендикуляры Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияопущенные из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна стороны многоугольника, равны друг другу (рис. 271).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Соединим точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияс точками Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПоскольку отрезки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— проекции отрезков Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна плоскость многоугольника, стороны которого Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПерпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярны наклонным Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениято эти стороны и, соответственно, отрезки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярны.

Треугольники Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпрямоугольные, и все они имеют общий катет Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи равные гипотенузы. Значит, эти треугольники равны, соответственно, равны и отрезки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениячто означает равноудалённость точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияот сторон многоугольника. Значит, в этот многоугольник можно вписать окружность с центром Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пример №16

Если данная точка пространства равноудалена от вершин многоугольника, то около этого многоугольника можно описать окружность, центр которой совпадает с основанием перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость многоугольника.

Используя рисунок 272, проведите доказательство этого утверждения самостоятельно.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Б) Теперь введём понятие угла между прямой и плоскостью. Пусть дана плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениякоторая её пересекает и не перпендикулярна Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 273). Основания перпендикуляров, опущенных из точек прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияобразуют прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияЭта прямая называется проекцией прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной ей, называется угол между прямой и её проекцией на плоскость.

Угол между прямой и плоскостью — наименьший из углов, которые образует эта прямая со всеми прямыми плоскости. Докажите утверждение самостоятельно.

Если прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениято её проекцией на эту плоскость является точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпересечения прямой с плоскостью (рис. 274). В этом случае прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияобразует со всеми прямыми плоскости углы, равные 90°. Этот угол и принимается в качестве угла между прямой и перпендикулярной ей плоскостью.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Если прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпараллельна плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениято её проекцией на плоскость является прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпараллельная Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Угол между параллельными прямыми считается равным 0°. Поэтому угол между параллельными прямой и плоскостью принимается равным 0°.

Пример №17

В треугольной пирамиде Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениярёбра основания Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравны 6, а боковые рёбра — 5. Найдём угол между медианой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияоснования и плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— перпендикуляр, опущенный из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПоскольку наклонная Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениято и её проекция Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияЗначит, точка К находится на серединном перпендикуляре к отрезку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 275).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Искомый угол между медианой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияоснования и плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— это угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияЕго можно найти через теорему косинусов, если знать стороны треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияНаходим: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Значит,

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Ответ:

При вычислении угла между скрещивающимися прямыми бывает полезной следующая теорема о трёх косинусах.

Угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениямежду прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияугол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениямежду другой прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияэтой плоскости и проекцией на неё прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениямежду прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениясвязаны равенством Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Доказательство: Пусть точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпринадлежит прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— точка пересечения прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияс плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпрямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениялежит в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи проходит через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— основание перпендикуляра, опущенного из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— проекция точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 276).

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПоскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— проекция Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениято Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияТогда из прямоугольных треугольников Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияимеем:

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

и

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пример №18

В треугольной пирамиде Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияребро Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярно плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи равно 20. Найдём угол между прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияучитывая, что Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Используем теорему о трёх косинусах, учитывая, что угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениямежду прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравен углу между прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениякоторая проходит через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпараллельно Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 277), поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Поскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

то Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияЗначит, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Ответ:

Пример №19

Основанием треугольной пирамиды Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияявляется прямоугольный треугольник Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияс гипотенузой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи углом Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияв 30° (рис. 279). Найдите высоту Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияграни Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроведённую из вершины Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияучитывая, что боковое ребро Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярно плоскости основания и равно 4 см, а катет Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравен 6 см.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— проекция наклонной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— высота грани Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— проекция наклонной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпоэтому

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпрямоугольный, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

прямоугольный, поэтому

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пример №20

Докажите, что если луч Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияне лежит в плоскости неразвёрнутого угла Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи острые углы Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравны, то проекция луча Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияявляется биссектрисой угла Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 280).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(по гипотенузе и острому углу), поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— проекция Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— проекция Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

(проекции равных наклонных).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— биссектриса угла Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравноудалена от сторон угла Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пространственное моделирование

Определим, как при движении на эскалаторе можно оценить глубину расположения станции метро, длину эскалатора (рис. 289).

Обратим внимание на то, что при спуске или подъёме на эскалаторе мы проезжаем вдоль ряда ламп, расположенных на равных расстояниях друг от друга. Нормативами задаётся освещённость тоннеля, исходя из которой устанавливается и расстояние между соседними лампами. Также учтём, что оптимальный угол наклона линии эскалатора к плоскости земли равен 30°.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Будем рассматривать эскалатор как наклонную к плоскости земли. Тогда глубину расположения станции можно интерпретировать как длину перпендикуляра к плоскости земли.

Для ответа на вопрос достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияв котором гипотенуза Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпредставляет эскалатор, а катет Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— глубину расположения той станции метро, на которую ведёт данный эскалатор.

  • а) Подсчитайте длину эскалатора, учитывая, что расстояние между лампами равно а.
  • б) Составьте формулу для нахождения глубины закладки станции метро.

Перпендикулярность плоскостей

А) Два луча на плоскости с общим началом разделяют эту плоскость на две части, каждая из которых называется углом.

Аналогично две полуплоскости с общей границей разделяют пространство на две части (рис. 290). Каждую из этих частей вместе с полуплоскостями называют двугранным углом. Полуплоскости, ограничивающие двугранный угол, называют гранями угла, а общую прямую — ребром двугранного угла (рис. 291).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Обычно рассматривают меньший из двугранных углов с данными гранями (рис. 292). Точки угла, не лежащие на его гранях, составляют внутреннюю область двугранного угла (рис. 293).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Двугранный угол обычно обозначают по ребру: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(см. рис. 293) или Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 294). При необходимости можно присоединить названия граней или названия точек на гранях: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(3 (см. рис. 293), или Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(см. рис. 294), или Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(см. рис. 294).

Моделью двугранного угла может служить двускатная крыша (рис. 295), стена вместе с открытой дверью (рис. 296), полураскрытая книга (рис. 297).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Для измерения двугранных углов вводится понятие линейного угла. Выберем на ребре Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениядвугранного угла Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияточку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи в его гранях Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияиз этой точки проведём лучи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярные ребру Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 298). Полученный угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениястороны которого Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияограничивают часть плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпринадлежащую двугранному углу Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияназывают линейным углом двугранного угла. Плоскость линейного угла перпендикулярна ребру двугранного угла, так как по построению лучи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярны ребру Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Понятно, что двугранный угол имеет бесконечно много линейных углов (рис. 299).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Теорема 10. Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

Доказательство: Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— линейные углы двугранного угла Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 300). Докажем, что Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Отложим на сторонах углов Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравные отрезки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияТогда получатся четырёхугольники Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияу которых противоположные стороны Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияа также Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравны по построению и параллельны как перпендикуляры к одной прямой, проведённые в соответствующей плоскости. Поэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияА это означает, что четырёхугольник Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияявляется параллелограммом, что позволяет сделать вывод о равенстве отрезков PS и QR. Получили, что у треугольников Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравны соответственные стороны, поэтому треугольники равны, а значит, равны и их углы Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Измерение двугранных углов связывается с измерением их линейных углов. В зависимости от того, каким — острым, прямым, тупым, развёрнутым — является линейный угол двугранного угла, отличают острые, прямые, тупые, развёрнутые двугранные углы. Двугранный угол, изображённый на рисунке 301, — острый, на рисунке 302 — прямой, на рисунке 303 — тупой.

Две пересекающиеся плоскости разделяют пространство на четыре двугранных угла с общим ребром (рис. 304). Если один из них равен Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениято ещё один из них также равен а, а два остальных — 180° — Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияСреди этих углов есть не превосходящий 90°, его величину и принимают за величину угла между пересекающимися плоскостями.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Если один из двугранных углов, образовавшихся при пересечении двух плоскостей, прямой, то три остальных также прямые (рис. 305).

Б) Плоскости, при пересечении которых образуются прямые двугранные углы, называются перпендикулярными плоскостями.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Для обозначения перпендикулярности плоскостей, как и для обозначения перпендикулярности прямых, используют знак

Моделями перпендикулярных плоскостей могут служить столешница и боковина стола (рис. 306), пол в комнате и дверь в неё (рис. 307).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Теорема 11. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Доказательство: Пусть через прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениякоторая перпендикулярна плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи пересекает её в точке Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроходит плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 308). Докажем, что a Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпересекаются по некоторой прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярной прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениятак как по условию прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярны.

В плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроведём прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярную прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПолученный угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениягде Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— точка прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияявляется линейным углом двугранного угла Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПоскольку по условию Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениято угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— прямой, и, значит, плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярны.

Теорема 11 выражает признак перпендикулярности плоскостей.

Следствие. Плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух данных плоскостей, перпендикулярна каждой из них (рис. 309).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Докажем теперь утверждение, обратное утверждению теоремы 11.

Теорема 12. Если через точку одной из перпендикулярных плоскостей провести прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эта прямая принадлежит первой плоскости.

Доказательство: Пусть две перпендикулярные плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпересекаются по прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияплоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроведена прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярная плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияДокажем, что эта прямая принадлежит плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияв плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроведём прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярную Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияих пересечения в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— прямую Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениятакже перпендикулярную Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 310). Угол между прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпрямой как линейный угол прямого двугранного угла. Получили, что прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроходит через точку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи перпендикулярна плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениятак как она перпендикулярна пересекающимся прямым Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияэтой плоскости. А поскольку через эту точку к данной плоскости можно провести только одну перпендикулярную прямую, то прямые Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениясовпадают. Значит, прямая а принадлежит плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Пример №21

Точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— середина ребра Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпри основании правильной пирамиды Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 311). Докажем, что плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярна плоскости основания Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияявляется основанием равнобедренных треугольников Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПоэтому она перпендикулярна медианам Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияэтих треугольников и вместе с этим плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияИз теоремы 12 следует, что плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроходящая через перпендикуляр Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияк плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияей перпендикулярна.

Следствие. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения перпендикулярна той же плоскости (рис. 312).

Пример №22

В правильной треугольной пирамиде Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияплоский угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпри вершине равен Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияНайдём величину двугранного угла при боковом ребре.

Решение:

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— середина ребра Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— перпендикуляр к ребру Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпроведённый из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 313).

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Из равенства треугольников Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияследует, что Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения. Поэтому угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— линейный угол двугранного угла Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Из прямоугольных треугольников Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияполучаем: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияИз прямоугольного треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениянаходим, что

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Поэтому

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Ответ:

В) При вычислениях бывает полезной теорема о трёх синусах.

Теорема 13. Линейный угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениядвугранного угла, угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениямежду ребром этого двугранного угла и прямой, лежащей в одной из его граней, и угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениямежду этой прямой и плоскостью другой грани связаны равенством Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Доказательство: Пусть прямая Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениялежит в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияточка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпринадлежит прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— точка пересечения прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияс ребром двугранного угла Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— основание перпендикуляра, опущенного из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна грань Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения) — основание перпендикуляра, опущенного из точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна ребро угла (рис. 314). Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПоскольку Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— проекция Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениято Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияТогда из прямоугольных треугольников Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениябудем иметь: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Следствие 1. Если точка Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениялежит в грани Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениядвугранного угла величиной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениято расстояние от неё до плоскости другой грани Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияугла равно Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениягде Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— точка на ребре двугранного угла, а Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— угол между прямой Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи ребром двугранного угла (рис. 315).

Пример №23

Стороны Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияправильного треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениялежат соответственно в гранях Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияострого двугранного угла величиной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияСторона Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияобразует угол Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияс ребром двугранного угла. Найдём величину угла между плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Пусть искомый угол равен Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениясторона треугольника имеет длину Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияТогда расстояние Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияот точки Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениядо плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияможно найти двумя способами (рис. 316): Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияПоэтому

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияОтвет: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Следствие 2. Пусть рёбра Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— грани двугранных углов величиной Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениясоответственно. Тогда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 317).

Пример №24

Плоскости правильных треугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи четырёхугольника Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияперпендикулярны (рис. 319). Найдите Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияучитывая, что Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениятогда по теореме 12 Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— прямоугольный. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениятак как Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияправильный и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениятак как четырёхугольник Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияправильный и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Тогда по теореме Пифагора

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Ответ:

Пример №25

Из точек Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияребра двугранного угла в разных его гранях возведены перпендикуляры Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 320). Определите величину двугранного угла, учитывая, что Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи расстояние между точками Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравно 50 см.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Решение:

Пусть Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияТогда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— параллелограмм и Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениясм, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения48 см.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— линейный угол двугранного угла Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениятогда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения, тогда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениятогда Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияпоэтому Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— прямоугольный.

Тогда по теореме Пифагора

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Из треугольника

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Поэтому

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Ответ:

Пространственное моделирование

Отдельным видом параллельного проектирования, применяемого в геометрии для изображения пространственных фигур, является ортогональное проектирование.

Ортогональной проекцией точки на плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияназывается точка пересечения с этой плоскостью прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Ортогональной проекцией фигуры на плоскость называется множество ортогональных проекций всех точек этой фигуры на плоскость.

  • а) Найдите площадь ортогональной проекции треугольника с площадью Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияучитывая, что одна из его сторон лежит в плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияа угол наклона плоскости треугольника к плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравен Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 328).
  • б) Решите предыдущую задачу, учитывая, что треугольник не имеет с плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияобщих точек и одна из сторон треугольника параллельна плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения(рис. 329).
  • в*) Найдите площадь ортогональной проекции многоугольника с площадью Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияна плоскость Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияучитывая, что угол наклона плоскости многоугольника к плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияравен Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения
  • г*) Используя результаты решения задач а-в, докажите пространственную теорему Пифагора: «Если все плоские углы при одной вершине тетраэдра прямые, то квадрат площади грани, противоположной этой вершине, равен сумме квадратов площадей остальных граней» (рис. 330).

Если Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения— треугольная пирамида, Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решенияи Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решениято

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве с примерами решения

«. Разум заключается не только в знаниях, но и в умении применять знания на деле. »

  • Ортогональное проецирование
  • Декартовы координаты на плоскости
  • Декартовы координаты в пространстве
  • Геометрические преобразования в геометрии
  • Теорема синусов и теорема косинусов
  • Параллельность прямых и плоскостей
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *