Что такое проекция меркатора
Перейти к содержимому

Что такое проекция меркатора

  • автор:

Проекция Меркатора и реальные размеры стран

Современные карты мира, включая карты Google и Яндекса, изображают материки и океаны в проекции, которую в 1569 году разработал фламандский картограф Герард Меркатор.

Он попытался решить важную проблему того времени: максимально точно перенести на плоскость сферический мир. Карта Меркатора, которая предназначалась для мореплавателей, показывает правильные очертания участков земной поверхности, но имеет очень большие искажения их размеров. Чем севернее расположен континент, остров или страна, тем более большими относительно реального размера выглядят их очертания на карте.

Эта карта показывает настоящее соотношение размеров стран.

Ещё есть интерактивная карта The True Size Of. Там можно любые страны «таскать» по всему миру, сравнивая между собой.

Проекция Меркатора

Прое́́кция Мерка́тора — предложенная в 1569 году фламандским картографом Герардом Кремером (латинизированное имя Герардус Меркатор) картографическая проекция, предложенная для составления карты мира размером 101 на 124 см на 18 листах (3 по вертикали и 6 по горизонтали). Проекция очень понравилась морякам, поскольку позволяла легко прокладывать по карте курс в море и держать его, оттого проекция до настоящего времени применяется для составления морских и аэронавигационных карт.

Карта мира Меркатора 1569 года.

Фундаментальный труд Меркатора — Атлас мира

Завершив обучение в гимназии и продолжив обучение в одном из лучших университетов Северной Европы в городе Лёвене, Меркатор (уже сменивший к тому времени фамилию) учится чертить карты, делать глобусы и изготавливать географические инструменты под руководством нидерландского учёного и мастера астрономических инструментов Геммы Фризиуса. Года обучения ему хватило, чтобы начать работать самостоятельно и выпускать географические карты.

С трудом избежав обвинения в еретичестве и отсидев свыше полугода в замке, Меркатор оседает в итоге в Дуйсбурге, где продолжает составлять карты. Атлас мира — наиболее фундаментальный труд Меркатора, вышедший в печатном варианте через 4 года после его смерти в возрасте 82 лет, в 1594 году, и объединяющий 51 карту. В атласе использовались самые разные картографические проекции, ниже представлена одна из карт Атласа 1589 года в проекции Меркатора..

Карта Валахии, Сербии, Болгарии и Румынии в проекции Меркатора.

При рассмотрении картографической сетки карты (изображенных на карте линий меридианов и параллелей, отражающих значения долгот и широт), бросается в глаза, что расстояние между одним градусом по широте примерно в 1,5 раза больше расстояние между одним градусом по долготе. Это и есть особенность предложенной Меркатором проекции — растянутость карты по вертикали.

Построение картографической сетки в проекции Меркатора

Герардус Меркатор.

Генрих Мореплаватель.

Проекция Меркатора является цилиндрической нормальной равноугольной на касательном цилиндре. Но эта проекция не является перспективной (то есть не получена путем проекции), хотя её часто путают с перспективной центральной цилиндрической проекцией (совершенно непрактичной и не нашедшей применения вследствие неприемлемых вертикальных искажений).

Метод, благодаря которому Меркатор пришел к принципу построения своих карт, неизвестен, но название, данное Меркатором 18-листовой карте мира «Новое и дополненное описание Земли, исправленное для использования моряками», проясняет, что автор проекции сознавал основное назначение карт в предложенной им проекции. Математическое описание проекции Меркатора дал в 1599 году (и более подробно в 1610 году) английский математик Эдвард Райт (1561—1615).

Чтобы получить карту Земли в проекции Меркатора, то есть отобразить поверхность глобуса на плоскости, необходимо поместить глобус внутрь касательного цилиндра, касающегося глобуса по экватору. Если из центра глобуса спроектировать меридианы на внутренние стенки цилиндра, они отобразятся в виде прямых вертикальных линий, перпендикулярных экватору (отображаемому горизонтальной прямой линией).

При этом параллели, если между ними сохранить расстояния, равные расстояниям между ними на глобусе, отобразятся в виде сетки параллельных линий, но длина каждой из параллелей окажется равной длине экватора, то есть все параллели растянутся, и степень растяжения будет тем больше, чем больше широта рассматриваемой параллели.

В итоге получена некоторая проекция, отличная от проекции Меркатора, и называемая цилиндрической квадратной проекцией на прямом касательном цилиндре. Эта проекция, называемая также простой равнопромежуточной цилиндрической, была предложена в 1438 году, за 131 год до Меркатора, португальским принцем Генрихом, известном как Генрих Мореплаватель (1394—1460). По факту, эта проекция была известна еще древнегреческому математику Эратосфену (276 −194 до н. э.).

Карта мира в проекции Генриха Мореплавателя.

В данной проекции поверхность Земли отображается прямоугольником шириной вдвое выше высоты, при этом Северный и Южный географические полюса растягиваются до горизонтальных линий, ограничивающих карту сверху и снизу.

Из геометрических соображений следует, что поскольку (при принятии модели шарообразной Земли) длина параллели пропорциональна косинусу широты параллели φ, при растяжении (на карте) параллели до длины экватора, показатель искажения длины для проекции Генриха Мореплавателя по горизонтали составляет n = 1 cos ⁡ ψ >>> . Показатель искажения по вертикали по определению равен единице, m = 1 , то есть искажения отсутствуют. Показатель искажения площадей p, равный произведению показателей искажений по вертикали и горизонтали, составляет p = m n = 1 cos ⁡ ψ >>> .

Но проекция Меркатора является равноугольной (что означает, что линейные искажения по горизонтали и вертикали равны), и для выполнения этого условия необходимо растягивать карту по вертикали таким образом, чтобы вертикальные расстояния между параллелями увеличивались согласно растяжению данных параллелей по горизонтали, лишь в этом случае будут сохранены углы между направлениями и сохранится форма малых фигур.

Карта мира в проекции Меркатора

При равенстве показателя горизонтальных искажений n = 1 cos ⁡ ψ >>> , показатель вертикальных искажений m должен равняться этой же величине, m = n = 1 cos ⁡ ψ >>> , а показатель искажения площадей составит p = m n = 1 cos 2 ⁡ ψ <\psi >>>> .

При практическом построении сетки меридианов и параллелей необходимо знать, по какому закону рассчитывается удаление каждой параллели по меридиану от экватора. Если в проекции Генриха Мореплавателя расстояние каждой параллели от экватора пропорционально её широте, то в проекции Меркатора эти расстояния увеличиваются в ln ⁡ ( tan ⁡ ( 45 ∘ + ψ / 2 ) ) +\psi /2)>)>> раз.

Сказанное поясняется рисунком с принципами построения картографической сетки двух сравниваемых проекций.

Принципы построения картографической сетки по двум сравниваемым проекциям.

В таблице приведены величины искажений по вертикали m, искажений по горизонтали n, по площадям p, коэффициенты k увеличения расстояний параллелей от экватора в проекции Меркатора в сравнении с проекцией Генриха Мореплавателя и условные величины удаления параллелей от экватора L, исходя из того, что за единицу расстояния принято расстояние на карте, соответствующее в масштабе одному градусу долготы по экватору.

Проекция Генриха Мореплавателя Проекция Меркатора
m n p L m n p k L
0 1 1,00 1,00 0 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00
10 1 1,02 1,02 10 1,02 1,02 1,03 1,01 10,05
20 1 1,06 1,06 20 1,06 1,06 1,13 1,02 20,42
30 1 1,15 1,15 30 1,15 1,15 1,33 1,05 31,47
40 1 1,31 1,31 40 1,31 1,31 1,70 1,09 43,71
50 1 1,56 1,56 50 1,56 1,56 2,42 1,16 57,91
60 1 2,00 2,00 60 2,00 2,00 4,00 1,26 75,46
70 1 2,92 2,92 70 2,92 2,92 8,55 1,42 99,43
80 1 5,76 5,76 80 5,76 5,76 33,16 1,74 139,59
90 1 90

Ввиду того, что карта мира в проекции Меркатора растягивается по вертикали, обычно области с широтами выше 80-95° северной и южной широты на картах не изображаются.

Достоинства и недостатки карт в проекции Меркатора

При прокладке в море пути между двумя точками проще всего приложить на карте линейку к пункту отправления и пункту назначения, и провести прямую линию. Но если карта будет не в одной из равноугольных проекций, проведенная по карте линия будет пересекать меридианы под разными углами, что означает, что в пути придется непрерывно менять курс судна. А вот если карта составлена в проекции Меркатора, линия пересекает все меридианы под равными углами, что позволяет держать курс судна неизменным весь путь следования. Это обстоятельство и сделало проекцию Меркатора удобной для построения морских карт.

Кривая на поверхности Земли (или глобуса), пересекающая все меридианы под постоянным углом, называется локсодромой или локсодромией. Локсодрома не является кратчайшим путем между двумя точками (кратчайший путь называется ортодромой или ортодромией, и представляет собой дугу большого круга), но движение по ортодроме осуществляется с постоянным изменением курса судна, что требует особых расчетов, а также знания точного положения судна в море, что было невозможно в те времена, когда еще не умели точно определять долготу судна (что стало возможным лишь с изобретением морского хронометра в 1736 году).

Движение же по локсодромии не требует знания долготы, достаточно было плыть, держась постоянного курса, и ждать возгласа смотрящего матроса с мачты «Земля!».

Движение по локсодромии (красная линия) и ортодромии (синяя линия).

Недостатком проекции Меркатора является разный масштаб по экватору и параллелям, к достоинству следует отнести равенство масштаба по вертикали и горизонтали в каждой точке карты, что позволяет сохранять форму отдельных объектов (например, островов). Так, Гренландия на картах в проекции Генриха Мореплавателя растянута по горизонтали, что не позволяет составить представление об её истинной форме. На картах в проекции Меркатора Гренландия изображается с огромным искажением масштаба, выглядит значительно больше своего истинного размера, но при этом сохраняет свою форму.

При всех недостатках проекции Меркатора при создании карт больших участков поверхности, она легла в основу системы UTM (англ. Universal Transverse Mercator — универсальная поперечная проекция Меркатора). Эта система используется при составлении карт большого масштаба, то есть карт участков небольшой протяженности.

Применявшаяся в СССР и ряде других стран (и сохраненная в современной России) для составления топографических карт равноугольная поперечная цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера является вариантом поперечной проекции Меркатора (в которой цилиндр ориентирован не вдоль экватора, а вдоль одного из меридианов — среднего меридиана зоны). В этой проекции поверхность земного шара (рассматриваемого как эллипсоид), делится на 60 шестиградусных или 120 трехградусных зон, ограниченные меридианами от полюса до полюса.

Ниже рисунок, поясняющий принцип построения карт в проекции Гаусса-Крюгера.

Поперечная проекция Меркатора с делением Земли на 6 60-градусных зон.

Примерно с 1940-х годов проекция Меркатора в атласах перестала использоваться, ей на смену пришли более современные проекции, одна из которых тройная проекция Винкеля, компромиссная по совокупности искажений.

Литература

  1. Картоведение: Учебник для вузов / А. М. Берлянт, А. В. Востокова, В. И. Кравцов а и др.; Под ред. А. М. Берлянт — М.: Аспект Пресс, 2003.— 477 с. — (серия «Классический университетский учебник»). ISBN 5-7567-0304-7
  2. Вахрамеева Л. А., Бугаевский Л. М., Казакова 3. Л. Математическая картография: Учебник для вузов.— М.: Недра, 1986.— 286 с.
  3. Проекция Меркатора. — Квантик. — № 7. — 2015. (Геодезия и картография.)

Данная статья имеет статус «готовой». Это не говорит о качестве статьи, однако в ней уже в достаточной степени раскрыта основная тема. Если вы хотите улучшить статью — правьте смело!

  • Знание.Вики:Готовые статьи по географии
  • Знание.Вики:Физическая география
  • Все статьи
  • Картографические проекции
  • Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN

Иллюзии мозга. Картографические проекции

Искажения площадей в проекции Меркатора

На самом деле Африка по площади больше, чем США, Китай, Индия и почти вся Европа, вместе взятые. Но из общепринятых проекций географических карт складывается иллюзия, что это не так. Так называемая проекция Меркатора, которая используется для многих карт, сильнее всего искажает площади ближе к полюсам. Небольшая Гренландия (площадь меньше Конго) кажется гигантской территорией. Антарктида тоже. Площадь России значительно преувеличена относительно южных стран. Или взять Украину, площадь которой на самом деле равняется площади Мадагаскара.

Все карты мира врут нам уже много столетий. Более того, в разных странах — России, Европе, США, Китае, Австралии, Чили, Южной Африке — карты мира очень сильно отличаются.

Искажения на картографических картах — вполне естественное явление, потому что картографам нужно сделать развёртку эллипсоида Земли на плоскости. Это в принципе невозможно сделать без искажений. Вопрос только в то, что именно можно искажать, а что нельзя.

Искажения бывают четырёх видов:

  • искажения длин;
  • искажения углов;
  • искажения площадей;
  • искажения форм.

Истинный размер Африки в сравнении с разными странами. Автор карты: Кай Краузе

Почему большинство людей не осознают истинный масштаб гигантской Африки или более скромные размеры России, Канады или Гренландии? Потому что по какой-то причине проекция Меркатора используется не только в морской навигации, но и во многих других географических картах. По этим картам учат в школах, такие карты показывают по телевизору. Отсюда и характерное когнитивное искажение у многих обывателей.

Главное, что нам совсем необязательно пользоваться в повседневной жизни проекцией Меркатора. Мы же не морские навигаторы и не планируем авиационных налётов на соседние страны, куда нужно лететь по прямой. Мы простые мирные люди. Зачем нам совершенное точное направление по прямой линии между географическими точками? Если пофантазировать, то в обычной жизни это может быть удобно только при планировании больших путешествий на автомобиле на несколько тысяч километров. В остальных случаях мало кто перемещается на собственном транспорте. В основном, люди пользуются самолётами и поездами, так что даже у путешественников не нужды прокладывать маршрут самостоятельно.

Почему же тогда проекция Меркатора используется в школьных картах, на телевидении и т.д.? Это не совсем понятно. Возможно, для современного обывателя всё-таки более важно понимать сравнительные размеры стран мира, а не определять прямые направления по маршрутам.

Как мы уже заметили, в проекции Меркатора реальные площади показаны только возле экватора, и все остальные площади на земном шаре очень сильно искажаются. Эти искажения — цена, которую мы платим за знание точных направлений при навигации.

Как же нам составить более точную и справедливую карту мира с наименьшими искажениями площадей? В 2009 году эту проблему попытались решить дизайнеры из компании AuthaGraph. Их работа заключается в применении геометрических идей моделирования к практическим задачам. Одна из этих задач — проектирование более наглядной карты мира. Тогда они и составили карту AuthaGraph World Map, которая наиболее справедливо отображает площади географических стран и территорий.

Здесь используется разновидность так называемой изометрической проекции, при которой в отображении трёхмерного объекта на плоскость коэффициент искажения (отношение длины спроецированного на плоскость отрезка, параллельного координатной оси, к действительной длине отрезка) по всем трём осям один и тот же.

Проекция составлена в несколько этапов. Сначала эллиптическая поверхность земного шара разделена на 96 равных треугольников. Они спроецированы на 96 регионов модифицированного тетраэдра. Затем тетраэдр «сплющен» до правильной формы и обрезан, чтобы его можно было развернуть в прямоугольную форму, то есть в стандартную прямоугольную плоскую карту привычной формы.

Этапы составления проекции AuthaGraph World Map

Конечно, можно было сразу спроецировать сферу на тетраэдр обычным оптическим способом, но при этом возникают сильные искажения, которые бросаются в глаза. Идея предварительного разбиения на 96 регионов была в том, чтобы минимизировать такие искажения и сохранить пропорции территорий друг относительно друга.

Но нет предела совершенству. На основе оригинальной карты AuthaGraph японский дизайнер Хадзимэ Нарукава (Hajime Narukawa) создал новый вариант, который великолепно смотрится и при этом так же сохраняет пропорции стран и континентов друг относительно друга, а также соотношение земной массы и Мирового океана.

Карта Хадзимэ Нарукавы на основе AuthaGraph World Map

Эту более справедливую и пропорциональную карту можно использовать и в школьных учебниках, и в средствах массовой информации, поскольку она более точно показывает на плоскости проекцию земного шара и даёт лучшее представление о том, как выглядит наша Земля. Её преимущество ещё и в том, что на ней все континенты показаны без разрыва карты, включая Антарктиду (ну и конечно Япония находится в центре, как на многих японских картах: это вполне нормально, на российских картах тоже вертикальная ось мира проходит через Москву). И ещё несколько таких карт сшиваются в единое пространство, так что можно наглядно представить взаимное расположение континентов. Здесь понятно, например, какая точка европейской России ближе всего к Аляске.

Все существующие географические карты — это искажения. Самую точную картину мира показывает только глобус. Но если мы вынуждены использовать плоские поверхности, то хотя бы постараемся минимизировать количество искажений.

  • географические карты
  • проекция Меркатора
  • глобус
  • карта мира

Проекция Меркатора

Проекция Меркатора — это равноугольная цилиндрическая проекция, первоначально созданная для отображения точных показаний компаса в морских путешествиях. Дополнительная особенность этой проекции состоит в том, что все локальные формы остаются точными и правильно определенными при бесконечно малом масштабе.

Разработана Герардом Меркатором в 1569 году. Вариант Web Mercator является фактическим стандартом веб-карт и онлайн-сервисов. Проекция доступна в ArcGIS Pro 1.0 и более поздних версиях, а также в ArcGIS Desktop 8.0 и позднее.

Пример проекции Меркатора

Свойства проекции

В подразделах ниже описываются свойства проекции Меркатора.

Градусная сетка

Проекция Меркатора — цилиндрическая. Меридианы представлены прямыми вертикальными линиями, параллельными друг другу и расположенными на равном расстоянии, при приближении к полюсам уходят в бесконечность. Линии широты являются горизонтальными прямыми линиями, перпендикулярными меридианам; длина линий широты и экватора одинакова, интервал между ними увеличивается в направлении полюсов. Полюса проецируются в бесконечность и не могут быть отображены на карте. Градусная сетка проекции симметрична относительно экватора и центрального меридиана.

Искажения

Проекция Меркатора — равноугольная. Направления, углы и формы сохраняются в бесконечно малом масштабе.

Любая прямая линия в этой проекции отображает точный азимут. Эти линии истинного направления носят название линий румба и в общем случае не описывают кратчайшее расстояние между точками.

Расстояния являются истинными вдоль экватора или вдоль секущих параллелей (стандартных параллелей).

Искажения площади увеличиваются в направлении к полярным регионам. Например, хотя Гренландия составляет лишь одну восьмую от размера Южной Америки, в проекции Меркатора она выглядит больше Южной Америки. Значения искажений вдоль определенной параллели остаются постоянными, они симметричны относительно экватора и центрального меридиана.

Использование

Эта проекция подходит для крупномасштабных карт областей вблизи экватора, например, Индонезии и частей Тихого океана. Проекция рекомендуется для стандартных морских навигационных карт, поскольку траектория движения корабля, идущего под одним и тем же румбом к меридиану, изображается прямой линией. Вариант этой проекции, Web Mercator, является стандартом для веб-карт и онлайн-сервисов. Проекция часто неправильно используется для карт мира, настенных карт и тематических веб-карт.

Варианты

  • Проекция Меркатора также известна как вариант B. Она доступна в ArcGIS Pro 1.0 и в ArcGIS Desktop 8.0 и более поздних их версиях.
  • Mercator auxiliary sphere (на дополнительной сфере) не поддерживает эллипсоиды и использует уравнения на сфере, сфера при этом определяется параметром Тип дополнительной сферы. Равноугольность и прямые линии румбов не сохраняются при использовании эллипсоида в этом варианте. Доступна в ArcGIS Pro 1.0 и в ArcGIS Desktop 9.3 и более поздних их версиях.
  • Вариант A проекции Меркатора отличается от варианта B только свойствами проекции. В них используется одинаковый алгоритм. Вариант доступен в ArcGIS Pro 1.2 и более новых версиях, и в ArcGIS Desktop 10.4 и более новых.
  • Вариант C проекции Меркатора отличается от варианта B только свойствами проекции. В них используется одинаковый алгоритм. Вариант доступен в ArcGIS Pro 1.2 и более новых версиях, и в ArcGIS Desktop 10.4 и более новых.

Ограничения

Полюса в проекции Меркатора не отображаются. Все меридианы могут быть спроецированы, но верхняя и нижняя границы широты составляют 89° СШ и 89° ЮШ. При использовании для веб-картографии с EPSG:3857, верхняя и нижняя границы составляют приблизительно 85°03’04.0636″ СШ и ЮШ. Большие искажения площадей делают проекцию Меркатора неподходящей для географических карт мира и тематических карт.

Параметры

  • Смещение по долготе
  • Смещение по широте
  • Центральный меридиан
  • Стандартная параллель 1
  • Смещение по долготе
  • Смещение по широте
  • Центральный меридиан
  • Стандартная параллель 1
  • Тип дополнительной сферы со следующими значениями:
    • 0 = используется большая полуось или радиус географической системы координат
    • 1 = используется малая полуось или радиус
    • 2 = вычислить и применить равновеликий радиус
    • 3 = использовать равновеликий радиус и конвертировать геодезические широты в равновеликие
    • Смещение по долготе
    • Смещение по широте
    • Центральный меридиан
    • Масштабный коэффициент
    • Смещение по долготе
    • Смещение по широте
    • Центральный меридиан
    • Стандартная параллель 1
    • Широта начальной точки

    Система координат Web Mercator

    Система координат Web Mercator также известна как Google Web Mercator, Spherical Mercator, WGS 84 Web Mercator и Pseudo-Mercator. Является фактическим стандартом для веб-карт и онлайн-сервисов. С этой системой координат, геодезические координаты задаются на датуме WGS 84 и проецируются, как если бы они были заданы на сфере, с использованием проекции Меркатора на основе сферы. Радиус сферы равен большой полуоси WGS 1984 – 6378137,0 метров. Комбинация геодезических координат на эллипсоиде со сферическими уравнениями приводят к тому, что масштабный коэффициент системы координат не сохраняется во всех направлениях. Поэтому, система координат Web Mercator не является равноугольной, и помимо значительных искажений площади и расстояний при удалении от экватора, линии румбов в ней также не являются прямыми.

    Существует два метода имитации проекции Меркатора, которые используются веб-сервисами. Если в примененном варианте проекции Меркатора поддерживаются сфероиды (эллипсоиды), система координат проекции должна основываться на географической системе координат, также основанной на сфере. Поэтому используются только сферические уравнения. Реализация дополнительной сферы Меркатора имеет только сферические уравнения. Кроме того, существует параметр проекции, который определяет, что именно используется для радиуса сферы, если географическая система координат основана на эллипсоиде. Для большой полуоси используется значение по умолчанию (0).

    Источники

    Snyder, J. P. (1987). Map Projections: A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395. Washington, DC: United States Government Printing Office.

    Snyder, J. P. and Voxland, P. M. (1989). An Album of Map Projections. U.S. Geological Survey Professional Paper 1453. Washington, DC: United States Government Printing Office.

    Battersby, S., Finn, M. P., Usery, E. L. and Yamamoto, K. (2014). «Implications of Web Mercator and Its Use in Online Mapping.» Cartographica, The International Journal for Geographic Information and Geovisualization , 49 (2), p. 85-101. DOI: 10.3138/carto.49.2.2313

    В этом разделе
    1. Описание
    2. Свойства проекции
    3. Использование
    4. Варианты
    5. Ограничения
    6. Параметры
    7. Система координат Web Mercator
    8. Источники

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *