Что такое окрестность точки
Перейти к содержимому

Что такое окрестность точки

  • автор:

Окрестность точки

Математика

Окре́стность то́чки x x x в топологическом пространстве X X X , множество U ⊂ X U \subset X U ⊂ X , для которого x x x – внутренняя точка. Другими словами, окрестность – множество, которое содержит открытое множество , содержащее x x x (окрестности могут быть замкнутыми, компактными и т. д.); аналогично определяется окрестность множества. Например, окрестность точки на прямой – любой интервал , содержащий эту точку.

Редакция математических наук

Опубликовано 4 августа 2022 г. в 11:17 (GMT+3). Последнее обновление 4 августа 2022 г. в 11:17 (GMT+3). Связаться с редакцией

Информация

Математика

Области знаний: Теория множеств

  • Научно-образовательный портал «Большая российская энциклопедия»
    Создан при финансовой поддержке Министерства цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации.
    Свидетельство о регистрации СМИ ЭЛ № ФС77-84198, выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) 15 ноября 2022 года.
    ISSN: 2949-2076
  • Учредитель: Автономная некоммерческая организация «Национальный научно-образовательный центр «Большая российская энциклопедия»
    Главный редактор: Кравец С. Л.
    Телефон редакции: +7 (495) 917 90 00
    Эл. почта редакции: secretar@greatbook.ru
  • © АНО БРЭ, 2022 — 2024. Все права защищены.
  • Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
    Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.
  • Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
    Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.

Окрестность точки

Рассмотрено общее определение окрестности точки на числовой прямой. Определения эпсилон окрестности, левосторонней, правосторонней и проколотых окрестностей конечных и бесконечно удаленных точек. Свойство окрестности. Доказана теорема о равносильности использования эпсилон окрестности и произвольной окрестности в определении предела функции по Коши.

Определение окрестности точки

Окрестность действительной точки Окрестностью действительной точки x 0 называется любой открытый интервал, содержащий эту точку:
.
Здесь ε 1 и ε 2 – произвольные положительные числа.
Эпсилон окрестность точки Эпсилон окрестностью точки x 0 называется множество точек, расстояние от которых до точки x 0 меньше ε :
.
Проколотая окрестность точки Проколотой окрестностью точки x 0 называется окрестность этой точки, из которой исключили саму точку x 0 :
.

Окрестности конечных точек

В самом начале было дано определение окрестности точки. Ее обозначают как . Но можно явно указать, что окрестность зависит от двух чисел, используя соответствующие аргументы:
(1) .
То есть окрестность – это множество точек, принадлежащее открытому интервалу .

Приравняв ε 1 к ε 2 , получим эпсилон — окрестность:
(2) .
Эпсилон — окрестность – это множество точек, принадлежащее открытому интервалу с равноудаленными концами.
Разумеется, букву эпсилон можно заменить на любую другую и рассматривать δ — окрестность, σ — окрестность, и т.д.

В теории пределов можно использовать определение окрестности, основанное как на множестве (1), так и на множестве (2). Использование любой из этих окрестностей дает эквивалентные результаты (см. теорему ниже ⇓). Но определение (2) проще, поэтому часто используют именно эпсилон — окрестность точки, определяемую из (2).

Также широко используют понятия левосторонних, правосторонних и проколотых окрестностей конечных точек. Приводим их определения.

Левосторонняя окрестность действительной точки x 0 – это полуоткрытый интервал, расположенный на действительной оси слева от точки x 0 , включая саму точку:
;
.
Правосторонняя окрестность действительной точки x 0 – это полуоткрытый интервал, расположенный справа от точки x 0 , включая саму точку:
;
.

Проколотые окрестности конечных точек

Проколотые окрестности точки x 0 – это те же самые окрестности, из которых исключена сама точка. Они обозначаются с кружочком над буквой. Приводим их определения.

Проколотая окрестность точки x 0 .
Проколотая эпсилон окрестность точки x 0 ;
.
Проколотая левосторонняя окрестность ;
.
Проколотая правосторонняя окрестность ;
.

Окрестности бесконечно удаленных точек

Наряду с конечными точками, также вводят понятие окрестности бесконечно удаленных точек. Все они являются проколотыми, поскольку не существует бесконечно удаленного действительного числа (бесконечно удаленная точка определяется как предел бесконечно большой последовательности).

Можно было определить окрестности бесконечно удаленных точек и так:
.
Но вместо M мы используем , чтобы окрестность с меньшим ε являлась подмножеством окрестности с большим ε , как и для окрестностей конечных точек.

Свойство окрестности

Далее мы используем очевидное свойство окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). Оно заключается в том, что окрестности точек с меньшими значениями ε являются подмножествами окрестностей с большими значениями ε . Приводим более строгие формулировки.

Пусть есть конечная или бесконечно удаленная точка. И пусть .
Тогда
;
;
;
;
;
;
;
.

Также справедливы и обратные утверждения.

Эквивалентность определений предела функции по Коши

Теперь покажем, что в определении предела функции по Коши, можно использовать как произвольную окрестность , так и окрестность с равноудаленными концами .

Теорема
Определения предела функции по Коши, в которых используются произвольные окрестности и окрестности с равноудаленными концами эквивалентны.

Сформулируем первое определение предела функции.
Число a является пределом функции в точке (конечной или бесконечно удаленной), если для любых положительных чисел существуют такие числа , зависящие от и , что для всех , принадлежит соответствующей окрестности точки a :
.

Сформулируем второе определение предела функции.
Число a является пределом функции в точке , если для любого положительного числа существует такое число , зависящее от , что для всех :
.

Доказательство 1 ⇒ 2

Докажем, что если число a является пределом функции по 1-му определению, то оно также является пределом и по 2-му определению.

Пусть выполняется первое определение. Это означает, что имеются такие функции и , так что для любых положительных чисел выполняется следующее:
при , где .

Поскольку числа и произвольные, то приравняем их:
.
Тогда имеются такие функции и , так что для любого выполняется следующее:
при , где .

Заметим, что .
Пусть есть наименьшее из положительных чисел и . Тогда, согласно отмеченному выше свойству ⇑,
.
Если , то .

То есть мы нашли такую функцию , так что для любого выполняется следующее:
при , где .
Это означает, что число a является пределом функции и по второму определению.

Доказательство 2 ⇒ 1

Докажем, что если число a является пределом функции по 2-му определению, то оно также является пределом и по 1-му определению.

Пусть выполняется второе определение. Возьмем два положительных числа и . И пусть – наименьшее из них. Тогда, согласно второму определению, имеется такая функция , так что для любого положительного числа и для всех , следует, что
.

Но согласно свойству окрестностей ⇑, . Поэтому из того, что следует, что
.

Тогда для любых положительных чисел и , мы нашли два числа , так что для всех :
.

Это означает, что число a является пределом и по первому определению.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 23-04-2018

§2. Окрестность точки. Предельная точка множества.

Введем некоторые «жаргонные» понятия:

  1. «ТОЧКА»: М(x1,x2. xn)  xRnxXR n

в «n»-мерном координатном пространстве радиус-вектор элемент числового множества «расстояние между точками» a и x||xa||. (2)Окрестность радиуса «r0″ точкиа — множество точек, удаленных от точки а меньше, чем на r>0. в R3O(a,r) — внутренние точки шара радиуса «r» с центром в точке а; в R2O(a,r) — внутренние точки круга радиуса «r» с центром в точке а; в RO(а,r) — внутренние точки открытого интервала (а-r, a+r); O(а,r)= OЛЕВ(а,r) OПРАВ(а,r)= (а-r, a] [а, a+r). (3) ПО(a,r)= O(a,r)\ a> — Проколотая окрестность точки. Например, (4) aП.Тпредельная точка множестваX=x>R n , если любая ее проколотая окрестность (любого радиуса!!) содержит точки множества, т.е. —————————————————————— Например,

  • Предельные точки промежутка образуют закрытый интервал [a;b], причем для открытого интервала п.т. х=а и х=в множеству не принадлежат.

Обратите внимание: 1)Предельная точка является «точкой сгущения» элементов множества. 2) Множество X=вопрос «зрелости»: Сколько точек множества содиржится в ПО(a,1)?=>доказать методом « от противного».

§3. Предел и непрерывность функции в точке.

Пусть для числовой функции точка x=aпредельная точка области определения (значения f(x) могут быть вычислены в сколь угодно близких к а точках, в то время как в точке «а» функция может быть и не определена !!). Определение 1. Число называетсяпределом функцииfв точке «а«, если для любого заданного радиуса r=ε>0 окрестности O(A,ε) найдется такой радиус r=δε>0 проколотой окрестности точки а ПО(а,δ), значения функцииf(x) в любой точкеx пересечения которой с собластью определения функции — Df=X принадлежат O(A,ε) [если ее значения f(x) во всех точках x,достаточно близких к точке a(r=δε:xПО(а,)Df),сколь угодно мало(>0) отличаются от числа А по модулю |f(x)-A|].«Важные замечания»: 1)Предел функции определен лишь в предельной точкеобласти ее определения – функция должна быть определена в точках, сколь угодно «близких» к этой точке. 2)Определение предела позволяет

  • «угадать» (предположить) предел как число, к которому «сгущаются» значения функции при xa, и
  • проверить (доказать)верность этого предположения.

————————————————————————— Например, «сгущаются» к 3:

X 1.1 0.95 0.99 1.001
f(x) |f(x)-3| 3.2 0.3 2.9 0.1 2.98 0.02 3.002 0.002

, поэтому естественно предположить, что . Докажем,

  • Зададим произвольное положительное число >0 и решим неравенство:

|f(x)-A|0 =/2: x: |x-1| Например, =0.1=0.05x=1.04 x-1=0.04Определение 2. Функция f:XRR; f(x) называется непрерывнойв точке «а», если предел функции в точке равен ее значению в точке: f непр. в a  .f(x)=2x+1 – непрерывна в точке х=1. Теорема (без док-ва). Элементарные функции и их суперпозиции непрерывны во внутренних точках области определения. «воспоминания» об элементарных функциях: Pn: RR; Pn(x)=anx n +an-1x n-1 +…+a1x+a0; expa: R(0;+); a x ; a>0; Sin: R[-1;+1]; sin(x); cos: R-1;+1]; cos(x); tg: RR; tg(x); ctg: RR; ctg(x); arcsin: [-1;1][-/2; /2]; arcsin(x); arccos: [-1;1][0; ];arccos(x); arctg: (-/2; /2)R;arctg(x); arcctg: (0; )R;arcctg(x); ———————————————————————-Например, НО. — вычислить этот предел «по непрерывности» нельзя, так как; «угадать» его можнопо определению:

0.1 0.05 0.01 0.001 0
1.0517 1.0254 1.00502 1.000500 1.0000

Окрестность точки как основной инструмент исследования функций на убывание и возрастание Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ / ВОЗРАСТАНИЕ / УБЫВАНИЕ И ПОСТОЯНСТВО ФУНКЦИЙ / ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ / ФУНДАМЕНТАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ / METHOD OF TEACHING MATHEMATICS / INCREASE / DECREASE / CONSTANT FUNCTIONS / THE STUDY OF FUNCTIONS / FUNDAMENTALIZATION MATHEMATICALLY EDUCATION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Новиков Александр Дмитриевич

В результате анализа традиционного подхода к исследованию функций на убывание и возрастание , в данной статье делается вывод о наличии неустранимых в рамках этого подхода противоречий. В качестве альтернативного подхода в аспекте фундаментализации математического образования автором предлагаются новая концепция, инструментарий и схема исследования функций на убывание и возрастание , отвечающая требованиям непротиворечивостии полноты теории и позволяющая классифицировать точки области определения функции.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Новиков Александр Дмитриевич

О методике исследования функций в школе и вузе в контексте фундаментализации математического образования

Альтернативные схема и инструментарий исследования функций на убывание и возрастание в аспекте фундаментализации образования

Новый подход к исследованию функций в контексте фундаментализации математического образования
Новая методика исследования функций в контексте фундаментализации математического образования

Об исследовании функций на убывание и возрастание в контексте фундаментализации математического образования

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Neighborhood of the point as the main tool of function analysis on its decrease and increase

The analysis of traditional approach to the study of functions on its decrease and increase is done. This article concludes that there are some contradictions. Alternatively, the author offers a new concept, tools and study design features on the decrease and increase of functions, meeting the requirements of consistency and completeness of the theory and classify domain of the function.

Текст научной работы на тему «Окрестность точки как основной инструмент исследования функций на убывание и возрастание»

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №1 (95) 2011

ональное ядро» («выявление ядра фундаментальной подготовки) и «универсальные действия» («ведущие методы» [5, с. 38] или «действия над объектами и их моделями» в определении предмета математики одним из авторов [5, с. 10]) являются ведущими в идеологии (интеллектике) построения стандартов второго поколения общего среднего образования [6, 7].

Следовательно, концепция единой математики и идеология синтетического подхода в методике преподавания математики, как утверждают вице-президент РАО академик А.А.Кузнецов и академик-секретарь РАО академик Я.В.Рыжаков, уже внедряются на федеральном уровне.

1. Асмус, В. Ф. Античная философия [Текст] : учеб. пособие / В. Ф. Асмус. — изд. 2-е, доп. — М. : «Высшая школа», 1976. — 543 с.

2. Философский энциклопедический словарь [Текст]. — М. : ИНФРА, 2004. — 576 с.

3. Чанышев, А.Н. Курс лекций по древней философии [Текст] : учеб. пособие для филос. фак. и отделений ун-тов / А. Н. Чанышев. -М. : Высшая школа, 1981. — 374 с.

4. Канин, Е.С. Федор Федорович Нагибин (к 100-летию со дня рождения) [Текст] / Е.С. Канин. — Математика в школе. — 2009. — № 3. — С. 75.

5. Сечкин, Г. И. Звездообразный анализ. Фундаментальные проблемы. Интегральные представления. Геометрическая теория [Текст] / Г. И. Сечкин : монография. — Омск : Изд-во ОмГПУ, 2001. — 153 с.

6. Кузнецов, А.А. О стандарте второго поколения [Текст] / А.А. Кузнецов, М.В. Рыжаков. — «Математика в школе». — 2009. — № 2. — С. 3 — 7.

7. Сечкина, И. В. Принцип единой теории межпредметных и вну-трипредметных связей. [Текст] / И.В. Сечкина, Г.И. Сечкин. — Омский научный вестник. — 2010. —№ 2 (86). — С. 211 — 213.

СЕЧКИНА Ирина Викторовна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики. СЕЧКИН Геннадий Иванович, кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры прикладной математики и фундаментальной информатики.

Адрес для переписки: e-mail: bardina_55@mail.ru

Статья поступила в редакцию 30.06.2010 г.

© И. В. Сечкина, Г. И. Сечкин

УДК 517.і/.2I 372.851 А. Д. НОВИКОВ

Армавирский государственный педагогический университет

ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ КАК ОСНОВНОЙ ИНСТРУМЕНТ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ НА УБЫВАНИЕ И ВОЗРАСТАНИЕ_________________________________

В результате анализа традиционного подхода к исследованию функций на убывание и возрастание, в данной статье делается вывод о наличии неустранимых в рамках этого подхода противоречий. В качестве альтернативного подхода в аспекте фундамен-тализации математического образования автором предлагаются новая концепция, инструментарий и схема исследования функций на убывание и возрастание, отвечающая требованиям непротиворечивости и полноты теории и позволяющая классифицировать точки области определения функции.

Ключевые слова: методика преподавания математики, возрастание, убывание и постоянство функций, исследование функций, фундаментализация математического образования.

Высокое качество образования невозможно обеспечить вне рамок непрерывного процесса его фун-даментализации. Фундаментализация среднего и высшего образования — это сложный процесс, основой которого является сближение и интеграция образовательного процесса с научными знаниями в соответствующей области специализации на основе современных достижений методики обучения и воспитания.

Фундаментализация математического образования, как в высшей школе, так и в старших классах средней школы, предполагает использование в процессе глубокого и основательного изучения математических дисциплин новых научных исследований

и достижений математики, создание оптимальных условий для воспитания у школьников и студентов гибкого научного мышления. Значительную роль в таком образовательном процессе играют современные достижения методики обучения математике как научной области педагогики. При этом методика преподавания математики призвана не только оптимизировать процесс обучения, но и в контексте фундаментализации математического образования находить и заменять на более адекватные те традиционные подходы к изучению некоторых тем и разделов математики, которые по мере развития математики начинают входить в противоречие с современным её

содержанием. Одна из таких тем — это исследование функций. Основными критериями такой методической работы должны быть требования полноты и непротиворечивости предлагаемых новых концепций и соответствующих подходов к изучению этих тем или разделов математики.

Благодаря введению элементов математического анализа в школьный курс математики, удалось не только существенно углубить и расширить математическую подготовку выпускников школ, но и открыло возможность детально проанализировать традиционные концепцию и подход к изучению функций на убывание и возрастание. Как будет показано ниже, этот подход содержит неустранимые в его рамках логические противоречия, связанные с самой постановкой основной задачи исследования функ-ций. Однако, используя понятия точек убывания и возрастания функции, введённые в математику значительно позже понятий убывающей и возрастающей функций, нами разработана новая концепция и соответствующий подход к исследованию функций на убывание и возрастание, позволяющий полно и без противоречий проводить это исследование.

Под основной задачей исследования функций на возрастание и убывание в современных учебниках по математическому анализу понимается определение множеств, на которых рассматриваемая функция соответственно возрастает и убывает. В школьном курсе алгебры и начал математического анализа (см., например [1]) под этими множествами понимаются промежутки убывания и возрастания функций. В вузовских курсах математического анализа и высшей математики кроме промежутков убывания и возрастания функций находят также отдельные точки возрастания и убывания функции, определения которых в конце 80-ых годов прошлого были необоснованно и без всякого обсуждения изъяты из школьных учебников по алгебре и началам анализа. Это привело к невозможности полноценного исследования функций на возрастание и убывание в школе и вызвало серьёзную озабоченность и справедливые нарекания учителей средней школы и преподавателей вузов.

Московский автор, А.Я. Блох, отвечая на вопрос учителей о включении или нет точек экстремума в промежутки возрастания (убывания) функции в статье [2], пишет « . одна и та же экстремальная точка принадлежит сразу двум множествам: одному из промежутков возрастания и одному из промежутков убывания функции». И далее автор приводит пример исследования на монотонность функции у = х2. По его мнению, совпадающему с точкой зрения авторов современных школьных учебников по алгебре и началам математического анализа (например, [1]), исследование функций на монотонность сводится к нахождению их промежутков убывания и возрастания. Поэтому данная функция, как он считает, убывает на полуинтервале (— ; 0) и возрастает на полуинтервале [0; + ¥). Другими словами, точка х = 0, не являясь ни точкой убывания, ни точкой возрастания функции у = х2, а являясь точкой минимума этой функции, оказывается включённой как в промежуток убывания, так и в промежуток возрастания.

Отнесёмся к этому выводу критически и проанализируем метод получения такого результата. Первая часть утверждения получена в результате применения определения функции, убывающей на множестве к функции у=х2 с областью определения ( — ¥ ; 0], а вторая — в результате применения определения возрастающей на множестве функции к функции у = х2 и областью определения [0; + ¥). Спрашивается, а где же иссле-

дование заявленной функции у = х2 с областью определения (— ¥; + ¥)? Его просто нет. Ведь в ходе такого «исследования» потерян сам его объект — исследуемая функция. Дело в том, что исследованием двух, отличных от заявленной функций, нельзя заменить исследования данной функции, поскольку все три функции, задаются одинаковой формулой, но имеют различные области определения. Если же определения монотонных на множестве функций применить к функции у = х2 с областью определения (- ¥, + ¥), то единственный результат, который может быть получен на основе этих определений таков: функция у=х2 с областью определения ( — ¥, + ¥) не является монотонной. Другими словами, исследуемая на возрастание и убывание функция у = х2 с П(у) = ( — ¥, + ¥) так и осталась неисследованной. Этот пример также наглядно демонстрирует неадекватность инструментария исследования (определения монотонных на множестве функций) решению поставленной задачи (исследованию функции на убывание и возрастание).

Аналогичная ситуация складывается и при исследовании любой другой функции, имеющей как точки возрастания, так и точки убывания. Это означает, что такие функции остаются фактически неисследованными. Причина этого заключается, прежде всего, в некорректности концепции подхода к исследованию. А именно, в разбиении области определения исследуемой функции на промежутки с последующим исследованием получившейся совокупности функций на этих промежутках. То есть, фактической подменой исследования исходной функции исследованием совокупности других функций.

Более того, как было отмечено выше и будет показано далее, выбор инструментария исследования (определения монотонных функций и точек убывания и возрастания функции) неадекватен поставленной задаче. В самом деле, считая, что основной задачей исследования функций на возрастание (убывание) является определение её промежутков возрастания и убывания, мы одновременно отказываемся от исследования исходной функции, так как она неизбежно заменяется совокупностью других функций, задаваемых той же формулой, но другие области определения. Уже этого факта достаточно для того, чтобы отказаться от столь противоречивого и логически необоснованного подхода. Пользуясь же определениями возрастающей и убывающей на множестве функции, можно лишь выяснить, является ли исследуемая функция возрастающей или убывающей. И не более того, что следует из самой сути этих определений.

Опираясь на изложенное выше, приходим к выводу, что используемая ныне постановка основной задачи исследования функций на возрастание и убывание некорректна, поскольку поиск «промежутков возрастания и убывания функции» автоматически

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №1 (95) 2011 МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №1 (95) 2011

Точки убывания функции

Точки постоянства функции

Точки возрастания функции

Область определения функции О

Точки минимума функции

Остальные точки функции

Точки максимума функции

Рис. 2. Схема классификации точек области орпеделения функции

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *