Что такое линейная оболочка
Перейти к содержимому

Что такое линейная оболочка

  • автор:

§ 3.5 Линейная оболочка

Определение 1. Линейной оболочкой заданной конечной совокупности элементов векторного пространства n над полем К называется множество всех линейных комбинаций этих элементов с коэффициентами из поля К. При этом сама совокупность называется порождающей системой данной линейной оболочки, а сама линейная оболочка обозначается символом .

Линейные оболочки обладают следующими свойствами:

. Линейная оболочка элементов векторного пространства n является подпространством М векторного пространства n .

Данный результат следует из определения линейной оболочки: сумма двух векторов из линейной оболочки будет принадлежать линейной оболочки (одна из линейных комбинаций), произведение вектора из линейной оболочки также будет принадлежать линейной оболочки.

. Линейная оболочка может совпадать со всем пространством R n (если образующая система является базисом в пространстве R n )

. Линейная оболочка является наименьшим подпространством, содержащим элементы . Все остальные подпространства могут только содержать вектора порождающей системы или их возможные комбинации.

. Если какой-нибудь элемент из порождающей системы элементов есть линейная комбинация остальных элементов этой системы, то его можно удалить из порождающей системы, не изменив при этом линейной оболочки.

. Если координатная матрица системы образующих имеет ранг р, где , то любая линейно независимая система , является базисом линейной оболочки , а сама линейная оболочка будет подпространством размерности р, .

  1. Если a, b, с – геометрические векторы, лежащие на одной прямой. В этом случае линейная оболочка L(а,b,c)= L(a).Здесь линейная оболочка является одномерным пространством, которое состоит из всех вектор, лежащих на прямой, причем вектор а –является базисом.
  2. Пусть a, b, с – геометрические векторы, причем a, b не коллинеарны, с = а + b. В этом случае линейная оболочка L(а,b,c)= L(a,b).Здесь линейная оболочка является двумерным пространством, состоящем из всех векторов, компланарных с векторами a и b. Вектора а,b составляют базис в L(a,b). Любой вектор из L представляется в виде линейной комбинации векторов а и b.

Вообще, в конечномерном пространстве R всякое подпространство L является линейной оболочкой некоторой системы векторов. Рассмотри следующую задачу. В евклидовом пространстве E n задана линейная оболочка , где k  n. Требуется: 1)Найти размерность и базис линейной оболочки ; 2)Выделить в линейной оболочке ортогональный базис и достроить его до ортонормированного базиса евклидовапространстваEn . Если схема решения первой задачи нам знакома, то решение второй задачи строится на следующем теоретическом результате. Теорема (Грама – Шмидта) Пусть — система линейно независимых векторов в евклидовом пространстве, где k  n, являющихся образующей системой линейной оболочки . Система векторов , описываемая формулами , , , . . . где коэффициенты , , образует ортогональный базис линейной оболочки .Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно доказать следующее утверждение: вектор ортогонален вектору . Действительно, умножая скалярно вектор на вектор , получим ==0 Следствие. Результат теоремы дает алгоритм последовательной ортогонализации системы линейно независимых элементов ( так называемый метод Грама — Шмидта).Пример

  1. В евклидовом пространстве E 4 линейная оболочка задана образующей системой векторов с координатами

. Требуется: а) найти размерность и базис линейной оболочки б) указать в линейной оболочке ортонормированный базис и достроить его до ортонормированного базиса евклидова пространства E 4 . Решение. Рассмотрим координатную матрицу . Так как , то , элементы линейно независимы в E 4 и образуют базис данной линейной оболочки, являющейся подпространством в E 4 . Для построения ортонормированного базиса в E 4 применим метод ортогонализации Грама-Шмидта. Получим , , . Записывая векторы столбцами их координат, последовательно найдем . Легко проверить, что полученные элементы попарно ортогональны. Найдем ортогональный им вектор . Пусть , то неизвестные координаты вектора Y4 найдутся из условий ,,. Так как , в последней системе неизвестные можно взять в качестве базисных неизвестных. Если для свободной (небазисной) неизвестной , то . Нормировав найденные векторы , построим ортонормированный базис в E 4 : . Задача решена. В завершении параграфа введем важное определение. Пусть — — базис в E n и векторы представлены в этом базисе своими разложениями . Тогда скалярное произведение этих векторов имеет вид или в матричной форме , где — столбцы координат векторов в базисе а симметричная матрица составлена из скалярных произведений базисных векторов: . В общем случае в качестве элементов матрицы А рассматривают скалярные произведения произвольной системы векторов а1, а2,…, аnОпределение 3. Определитель матрицы А скалярных произведений заданной системы векторов называют определителем Грама.Теорема Произвольная система векторов, заданных в ортонормированном базисе, будет линейно независимой, если ее определитель Грама отличен от нуля.

Линейные оболочки и системы уравнений

Пусть L — n-мерное линейное пространство, в котором фиксирован некоторый базис е = (e1 . еn) и выбраны векторы a1, . ak, b. Запишем разложение выбранных векторов по базису е:

где aj = (a1j . anj) T , j = 1,k , b = (b1 . bn) T — столбцы координат соответствующих векторов . Пусть А — матрица типа n × k, составленная из координатных столбцов векторов a1, . аk, а (A|b) — матрица, полученная из матрицы А добавлением справа еще одного столбца b.

Для вектора b возможны два случая:

1) вектор b принадлежит линейной оболочке span1. ak>;

2) вектор b не принадлежит span1. ak>.

В первом случае добавление к системе векторов a1, . ak вектора b не приводит к расширению линейной оболочки системы и, следовательно,

По теореме 2.6 заключаем, что RgA = Rg(A|b).

Во втором случае, наоборот, добавление вектора b к системе векторов a1, . аk приводит к расширению линейной оболочки, причем по теореме 2.5

Следовательно, Rg(A|b) = RgA + 1.

Выясним теперь, что означают эти два случая «на координатном уровне». В первом случае условие b ∈ span1. ,ak> означает существование разложения

с некоторыми действительными коэффициентами x1, . xk. Записывая это векторное равенство в координатной форме, получаем систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Линейные оболочки и системы уравнений

относительно переменных х = (х1 . xk) T , которая в матричной форме имеет вид Ах = b. Существование разложения (2.8) означает, что полученная система имеет решение. Во втором случае представление (2.8) невозможно, т.е. система (2.9) не имеет решений.

Итак, следующие четыре утверждения эквивалентны между собой:

— система Ах = b из n линейных алгебраических уравнений относительно k неизвестных совместна.

Эквивалентность последних двух утверждений составляет содержание теоремы Кронекера — Капелли [III], которая верна для произвольных СЛАУ. Отметим, что любая система из п ли-нейных алгебраических уравнений относительно к неизвестных может быть получена как результат проведенных рассуждений. Для этого достаточно в качестве векторов a1, . ak рассмотреть столбцы коэффициентов при неизвестных, а в качестве вектора b — столбец свободных членов. Все эти столбцы могут рассматриваться как n-мерные векторы в линейном арифметическом пространстве R n .

Таким образом, теорему Кронекера — Капелли можно переформулировать следующим образом: для того чтобы линейная оболочка системы векторов a1, . аk совпадала с линейной оболочкой расширенной системы a1, . аk, b, необходимо и достаточно, чтобы были равны размерности этих линейных оболочек.

Предположим, что квадратная СЛАУ Ах = b имеет решение при любом столбце b правых частей. Рассматривая столбцы матрицы А и столбец b как элементы a1, . an, b n-мерного линейного арифметического пространства и записывая СЛАУ в векторной форме

заключаем, что линейная оболочка системы векторов a1, . аn совпадает со всем линейным пространством R n . Из этого следует, что ранг этой системы векторов равен размерности линейного пространства n, а так как в системе ровно n векторов, то она, согласно теореме 2.6, линейно независима. Другими словами, столбцы матрицы А линейно независимы, а матрица А является невырожденной (см. теорему о базисном миноре [III]).

Таким образом, если квадратная СЛАУ Ах = b имеет решение при любой правой части, то матрица А системы невырождег на, а решение системы при любой правой части единственно.

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Чем отличается базис от линейной оболочки?

Чем отличается базис от линейной оболочки?
12.12.2012, 19:16

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться. Чем отличается базис от линейной оболочки?

Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.

Линейная оболочка — это набор векторов, которые задают линейное подпространство. Строго говоря, линейная оболочка — это множество всех линейных комбинаций данных векторов.

Я вот никак не пойму отличие. Может покажите на примере?

Что такое линейная оболочка? Чем она отличается от линейной комбинации векторов?

Линейная комбинация определяет вектор, а линейная оболочка — это все линейные комбинации заданных векторов (много линейных комбинаций = много векторов = там целое линейное [под] пространство получается).

Пример для понимания: возьмите пространство R3 ради простоты. И возьмите там два неколлинеарных вектора. Проведите через них плоскость. Вот это будет линейная оболочка, натянутая на эти векторы. А какой-нибудь (любой) вектор в этой плоскости будет линейной комбинацией двух исходных векторов.

Остальные ответы

Линейная оболочка это множество (пространство) всевозможных линейных комбинаций векторов.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *