Что такое эпсилон в математике
Перейти к содержимому

Что такое эпсилон в математике

  • автор:

Числа Эпсилона (математика) — Epsilon numbers (mathematics)

В математике эпсилон числа — это набор трансфинитных чисел, определяющим свойством которых является то, что они являются фиксированными точками на экспоненциальной карте . Следовательно, они недостижимы из 0 с помощью конечной серии приложений выбранного экспоненциального отображения и «более слабых» операций, таких как сложение и умножение. Исходные числа эпсилон были введены Георгом Кантором в контексте порядковой арифметики ; это порядковые числа ε, которые удовлетворяют уравнению

в котором ω это наименьший бесконечный порядковый номер.

Наименьший такой порядковый номер — ε0(произносится как эпсилон ноль или эпсилон ноль ), который можно рассматривать как «предел», полученный с помощью трансфинита. рекурсия из последовательности меньших предельных ординалов:

Более крупные порядковые фиксированные точки экспоненциальной карты индексируются порядковыми нижними индексами, в результате в ε 1, ε 2,…, ε ω, ε ω + 1,…, ε ε 0,…, ε ε 1,…, ε ε ε ⋅ ⋅ ⋅,… , \ varepsilon _ , \ ldots, \ varepsilon _ , \ varepsilon _ , \ ldots, \ varepsilon _ >, \ ldots, \ varepsilon _ >, \ ldots, \ varepsilon _ >>>>, \ ldots> . Порядковый номер ε 0 по-прежнему счетный, как и любое число эпсилон, индекс которого является счетным (существуют несчетные порядковые числа и несчетные числа эпсилон, индекс которых является несчетным порядковым номером).

Многие большие эпсилон-числа могут быть определены с помощью функции Веблена.

Более общий класс эпсилон-чисел был идентифицирован Джоном Хортоном Конвеем и Дональдом Кнутом в системе сюрреалистических чисел, состоящей из всех сюрреалей, которые являются неподвижными точками базового ω экспоненциального отображения x → ω.

Порядковые числа ε

Стандартное определение порядкового возведения в степень с основанием α:

Из этого определения следует, что для любого фиксированного порядкового номера α>1 отображение β ↦ α β > — это нормальная функция, поэтому она имеет произвольно большие фиксированные точки с помощью fixed- точечная лемма для нормальных функций. Когда α = ω , эти фиксированные точки являются в точности порядковыми эпсилон-числами. Наименьшее из них, ε₀, является верхней гранью последовательности

0, ω 0 = 1, ω 1 = ω, ω ω, ω ω ω,…, ω ↑↑ k,… = 1, \ omega ^ = \ omega, \ omega ^ , \ omega ^ <\ omega ^ >, \ ldots, \ omega \ uparrow \ uparrow k, \ ldots>

, в котором каждый элемент является изображением своего предшественника при отображении β ↦ ω β > . (Общий термин дается с использованием обозначения стрелки Кнута вверх ; оператор ↑↑ эквивалентен тетрации.) Так же, как ω определяется как верхняя грань для натуральных чисел k, наименьшее порядковое эпсилон-число ε₀ может также обозначаться ω ↑↑ ω ; это обозначение гораздо реже, чем ε₀.

Следующее эпсилон-число после ε 0 > равно

, в котором последовательность снова строится путем повторения возведения в степень по основанию ω, но вместо этого начинается с ε 0 + 1 +1> из в 0. Обратите внимание

Другая последовательность с тем же супремумом, ε 1 > , получается путем начала с 0 и возведения в степень с основанием ε₀ вместо этого:

Эпсилон-число ε α + 1 > , индексируемое любым последующим порядковым номером α + 1 строится аналогично, путем возведения в степень по основанию ω, начиная с ε α + 1 +1> (или по основанию ε α > возведение в степень, начиная с 0).

Эпсилон-число с индексом предельный ординал α строится иначе. Число ε α > — это верхняя грань набора чисел эпсилон > . Независимо от того, является ли индекс α предельным порядковым номером, ε α > является фиксированной точкой не только возведения в степень по основанию ω, но также и по основе возведения в степень γ для все порядковые числа 1 .

Следующие факты об эпсилон-числах очень просто доказать:

  • Хотя это довольно большое число, ε 0 > по-прежнему счетный, являясь счетным объединением счетных порядковых чисел; фактически, ε α > является счетным тогда и только тогда, когда α является счетным.
  • Объединение (или супремум) любого непустого набора чисел эпсилон является числом эпсилон; так, например,
  • начальный порядковый номер любой несчетныйкардинал является эпсилонным числом.

Представление ε 0 > по корневым деревьям

Любое эпсилон-число ε имеет нормальную форму Кантора ε = ω ε > , что означает, что нормальная форма Кантора не очень полезна для чисел эпсилон. Однако ординалы меньше ε 0 могут быть с пользой описаны с помощью их нормальных форм Кантора, что приводит к представлению ε 0 как упорядоченного набора всех конечных корневых деревья следующим образом. Любой порядковый номер α имеет нормальную форму Кантора α = ω β 1 + ω β 2 + ⋯ + ω β k > + \ omega ^ > + \ cdots + \ omega ^ >> где k — натуральное число, а β 1,…, β k , \ ldots, \ beta _ > — порядковые числа с α>β 1 ≥ ⋯ ≥ β k \ beta _ \ geq \ cdots \ geq \ beta _ > , однозначно определяется α . ординалы β 1,…, β k , \ ldots, \ beta _ > , в свою очередь, имеют аналогичную нормальную форму Кантора. Мы получаем конечное корневое дерево, представляющее α, путем соединения корней деревьев, представляющих β 1,…, β k , \ ldots, \ beta _ > с новый корень (это приводит к тому, что th Число 0 представлено одним корнем, а число 1 = ω 0 > представлено деревом, содержащим корень и один лист.) Порядок на множестве конечных корневых деревьев определяется рекурсивно: сначала мы упорядочиваем поддеревья, соединенные с корнем, в порядке убывания, а затем используем лексикографический порядок для этих упорядоченных последовательностей поддеревьев. Таким образом, множество всех конечных корневых деревьев становится хорошо упорядоченным множеством, которое по порядку изоморфно ε 0.

иерархии Веблена

Неподвижные точки «эпсилон-отображения» Икс ↦ ε Икс > образуют нормальную функцию, фиксированные точки которой образуют нормальную функцию, чья…; это известно как иерархия Веблена (функции Веблена с базой φ 0 (α) = ω). В обозначениях иерархии Веблена эпсилон-отображение — это φ 1, а его неподвижные точки пронумерованы как φ 2.

. Продолжая в том же духе, можно определить отображения φ α для прогрессивно увеличивающиеся ординалы α (включая, посредством этой разреженной формы трансфинитной рекурсии, предельные ординалы), с постепенно увеличивающимися наименьшими фиксированными точками φ α + 1 (0). Наименьший порядковый номер, недоступный из 0 с помощью этой процедуры — i. е., наименьший порядковый номер α, для которого φ α (0) = α, или, что то же самое, первая фиксированная точка карты α ↦ φ α (0) (0)> — это порядковый номер Фефермана – Шютте Γ0. В теории множеств, где можно доказать существование такого ординала, имеется отображение Γ, в котором перечислены неподвижные точки Γ 0, Γ 1, Γ 2. из α ↦ φ α (0) (0)> ; это все еще числа эпсилон, поскольку они лежат в образе φ β для каждого β ≤ Γ 0, включая карту φ 1, которая перечисляет эпсилон числа.

Сюрреалистические ε-числа

В On Numbers and Games классическое изложение сюрреалистических чисел, Джон Хортон Конвей предоставил ряд примеров концептов, которые имели естественные расширения от ординалов до сюрреалов. Одной из таких функций является ω -map n ↦ ω n > ; это отображение естественным образом обобщается, чтобы включить все сюрреалистические числа в его область, что, в свою очередь, обеспечивает естественное обобщение нормальной формы Кантора для сюрреалистических чисел.

Естественно считать любую фиксированную точку этой расширенной карты эпсилон-числом, независимо от того, является ли это строго порядковым числом. Некоторые примеры неординальных эпсилон-чисел:

Существует естественный способ определить ε n > для каждого сюрреалистического числа n, и карта сохраняет порядок. Конвей продолжает определять более широкий класс «неприводимых» сюрреалистических чисел, который включает числа эпсилон как особенно интересный подкласс.

См. Также

  • Порядковая арифметика
  • Крупный счетный порядковый номер

Ссылки

  • J.H. Конвей, О числах и играх (1976) Academic Press ISBN 0-12-186350-6
  • Раздел XIV.20 из Серпинский, Вацлав (1965), Кардинальные и порядковые числа (2-е изд.), PWN — Polish Scientific Publishers

Вопрос по математике

Объясните что такое Бесконечно малая последовательность.
Я знаю, что При любом e>0, существует N(e) такое, что при любом n > N(e) у нас Бесконечно малая последовательность по модулю меняше чем e.
Так на пальцах понимаю что тут предел плюс минус e, но что такое N(e).

Кто может просто объяснить и доступно, буду только очень рад

Лучший ответ

Это не «е», а ε (эпсилон) . Так в математике принято обозначать величину, которая принимает сколь угодно малгое значение. И в вот этом определении бесконечно малой последовательности смысл как раз в том, что сколь бы малое ЭПСИЛОН мы не выбрали, можно найти такой кускй этой последовательности (т. е. указать такое N), что она потом уже за эту границу (плюс или минус эпсилон) не выберется.
A N(e) — это как раз такой номер N, начиная с которого соблюдается это условие (что не выберется) . Ясно, что для каждого эпсилона нужно своё N. Допустим, если a(N) = 1/N&#178 и ε=0,01, то N = 10, а если взять ε=0,0001, то понадобится уже N=100.

Елисеев МаксимУченик (180) 3 года назад
Часа два вдуплить не мог и именно твое объяснение помогло все вместе связать.
Ангелина ИвановаЗнаток (265) 1 год назад
Георгий КузнецовУченик (135) 1 год назад

всё хорошо, только лично я бы не стал докапываться до «е», учитывая, что греческая клавиатура стоит не у всех (и вряд ли ради одного символа кто то будет добавлять её в настройках), а лезть в интернет за этим символом догадается не каждый

Егор МашановУченик (14) 11 месяцев назад
Храни тебя господь . Ты меня спас )
Остальные ответы

гыгыгы, всё просто, расшифровываю:
для любого положительного числа e можно найти такой номер элемента N, что N+1-й, N+2-й и остальные элементы в сумме дадут что-то меньшее, чем e. А запись N(e) просто означает, что N зависит от e

Бесконечно малая последовательность — это (дискретный) процесс а1, а2, а3. и т. д. до бесконечности, в течении которого величина «а» становится меньше любого наперёд заданного числа. Если вы задаёте число е, то N(e) — номер, начиная с которого все «а» будут меньше е (по модулю, конечно).

Какое-то неряшливое определение.. . Бесконечно малая последовательность — сходящаяся к нулю. А тут, насколько я понял, имеется в виду, что для любого e существует такой номер члена последовательности N, что оставшиеся члены последовательности образуют бесконечно малую последовательность, ограниченную значением e.

бесконечно малой называется последовательность, предел которой равен нулю. т. е. число, деленное на бесконечно большое.
N(e) — существует номер N, зависящий от эпсилон

БМ последовательность — это такая, предел которой равен нулю.
Это означает, что для любого е >0 найдется такое N, зависящее от e, такое, что для любого n>N соответствующее An попадет в e окрестность нуля

N(e) — это просто обозначение, того, что словами называют «N, зависящее от e»

пример. пусть An=1/n
Пусть кто-то подошел и спросил а для e=0.001 какое будет значение N
Вы ответите для N=1000. Потому что при n>1000 все 1/n < 0.001

он потом спросит. а для e=0.00001
вы ответите — N=100000

а в общем случае?? ?
и тут есть ответ: N=Целая часть от (1/e) + 1

Как видите N зависит от e.

Еще замечание. Никаких бесконечно малых и бесконечно больших чисел нет. Это просто речевые обороты.

Эпсилон (буква)

Ε, ε (название: э́псилон, греч. έψιλον ) — 5-я буква греческого алфавита. В системе греческой алфавитной записи чисел имеет числовое значение 5. Происходит от финикийской буквы — hé. От буквы «эпсилон» произошли латинская E и кириллическая Е.

Название «эпсилон» (греч. Ε ψιλόν — «е простое») было введено для того, чтобы отличать эту букву от созвучного сочетания αι.

Использование

Заглавная буква эпсилон в основном не используется как символ, поскольку пишется так же, как и заглавная латинская буква E.

В различных дисциплинах при помощи строчной буквы ε обозначаются:

\omega,\omega^<\omega></p>
<ul>
<li>в математическом анализе — положительное сколь угодно малое вещественное число; см. примеры в статье Предел последовательности;</li>
<li>в алгебре — предельное порядковое число последовательности ,\omega^<\omega^<\omega>>,\dots» width=»» height=»» />.</li>
<li>в теории множеств — отношение принадлежности элемента множеству (такое обозначение является устаревшим, сейчас для той же цели используется символ ∈);</li>
<li>в тензорном исчислении — символ Леви-Чивиты;</li>
<li>в теории автоматов — эпсилон-переход;</li>
<li>в физике — угловое ускорение; проводимость среды; электронный захват; относительное удлинение; диэлектрическая проницаемость среды; энергия активации; иногда — ЭДС; ε<sub>0</sub> — универсальная электрическая постоянная.</li>
<li>в астрономии — пятая (как правило) по яркостизвезда в созвездии;</li>
<li>в программировании — точность численного типа данных;</li>
<li>в информатике — пустая строка;</li>
<li>в фонетике — гласный переднего ряда среднего подъёма.</li>
<li>в теории метаболического контроля — эластичность фермента</li>
</ul>
<p> <em>Wikimedia Foundation . 2010 .</em> </p>
<ul>
<li>Христианско-демократический союз (Украина)</li>
<li>Советы</li>
</ul>
<h2>Научный форум dxdy</h2>
<p>Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».</p><div class='code-block code-block-15' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 15theinternet -->
<script src=

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Определение предела и число эпсилон

Определение предела и число эпсилон
16.02.2013, 15:05

Добрый день. уважаемые форумчане !
Здесь я первый раз и, соответственно, создаю первую тему, поэтому прошу вас быть ко мне снисходительными.
Ввиду начала изучения теории пределов у меня возникли вопросы.

1. Предел последовательности.
Цитирую:

Цитата:

Число а называется пределом последовательности $\<x_n\>$» />, если для любого положительного числа <img decoding=найдется такое натуральное число N, что при всех $n >N$» /> выполняется неравенство<br /><img decoding=

2. Геометрический смысл того же предела последовательности:

Цитата:

Число а называется пределом последовательности $\<x_n\>$» />, если для любой <img decoding=-окрестности точки а найдётся натуральное число N, что все значения $x_n$, для которых $n >N$» />, попадут в <img decoding=-окрестность точки а.

Не могу понять, откуда здесь вообще число эпсилон ? Меня удивляет то, что вплоть до определения предела последовательности числа $\varepsilon$не было как такового. Сути эпсилон в данном определении я не понимаю категорически. За что конкретно отвечает переменная $N, n и ε$? Будьте добры, разьясните мне, пожалуйста, смысл эпсилона.

Да, и ещё: «N» — это номер последовательности или число из последовательности ? Аналогично и с «n».

Я просмотрел дальше определение предела функции — это ещё закрученнее, чем я ожидал. Если определение предела функции по Гейне более-менее понятно (при том, что я не понимаю предела последовательности 🙂 ), то определение предела функции по Коши или на «языке $\varepsilon$$\delta$» для меня равносильно китайскому. 🙁

Заранее благодарен за ответ.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *