Что такое числовой ряд в информатике
Перейти к содержимому

Что такое числовой ряд в информатике

  • автор:

Числовой ряд

Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Рассматриваются числовые ряды двух видов

  • вещественные числовые ряды — изучаются в математическом анализе;
  • комплексные числовые ряды — изучаются в комплексном анализе;

Определение

Пусть — числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности. В наиболее простом случае используются обычные частичные суммы вида Вообще, для обозначения ряда используется символ поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования. В соответствии с этим говорится о сходимости числового ряда:

  • числовой ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм;
  • числовой ряд расходится, если расходится последовательность его частичных сумм.

Если числовой ряд сходится, то предел S последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:

Операции над рядами

Пусть заданы сходящиеся ряды и . Тогда:

  • Их суммой называется ряд
  • Их произведением по Коши называется ряд , где

Если оба ряда сходятся, то их сумма сходится, если оба ряда сходятся абсолютно, то их сумма сходится абсолютно. Если хотя бы один из рядов сходится абсолютно, то произведение рядов сходится.

Критерий абсолютной сходимости

Ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся оба положительных ряда и Где Доказательство. Если сходится то по признаку сравнения тем более сходятся и Наоборот, если сходятся и то сходится и их сумма

«O» большое и «o» малое

«O» большое и «o» малое (O и o) — математические обозначения для сравнения асимптотического поведения функций. Используются в различных разделах математики, но активнее всего — в математическом анализе, теории чисел и комбинаторике, а также при оценке сложности алгоритмов. В частности, фраза «сложность алгоритма есть O(n!)» означает, что при больших n время работы алгоритма (или общее количество операций) не более чем C · n!, где C — некая положительная константа (обычно в качестве параметра n берут объём входной информации алгоритма).

Числовой ряд

Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Рассматриваются числовые ряды двух видов

  • вещественные числовые ряды — изучаются в математическом анализе;
  • комплексные числовые ряды — изучаются в комплексном анализе;

Важнейший вопрос исследования числовых рядов — это сходимость числовых рядов.

Числовые ряды применяются в качестве системы приближений к числам.

Определение

\<a_i\></p>
<p>Пусть _^<\infty>» width=»» height=»» /> — числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность</p><div class='code-block code-block-1' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 1theinternet -->
<script src=

\<s_k\></p>
<p>_^<\infty>,» width=»» height=»» /></p>
<p>каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности. В наиболее простом случае используются обычные частичные суммы вида</p>
<p><img decoding=

Если числовой ряд сходится, то предел последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:

S=\sum_<i=1></p><div class='code-block code-block-2' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 2theinternet -->
<script src=

^<\infty>a_i,» width=»» height=»» />

Операции над рядами

Пусть заданы сходящиеся ряды \sum_<n=0>^\infty a_n» width=»» height=»» /> и <img decoding=

  • Их произведением по Коши называется ряд \sum c_n, где  c_n = \sum_<k=0>^n a_k b_» width=»» height=»» /></li>
</ul>
<p>Если оба ряда сходятся, то их сумма сходится, если оба ряда сходятся абсолютно, то их сумма сходится абсолютно. Если хотя бы один из рядов сходится абсолютно, то произведение рядов сходится.</p>
<h3>Критерий абсолютной сходимости</h3>
<p>Ряд <img decoding=сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся оба положительных ряда \,b_kи \,c_k.Где \,a_k = b_k - c_k, \left|a_k\right| = b_k + c_k, b_k \geqslant 0, c_k \geqslant 0, \forall k.

    Доказательство. Если сходится \sum \left|a_k\right|,то по признаку сравнения тем более сходятся \,b_kи \,c_k.Наоборот, если сходятся \,b_kи \,c_k,то сходится и их сумма \sum \left|a_k\right|.

    См. также

    • Сумма ряда
    • Функциональный ряд

    Литература

    • В. А. Зорич Глава III. Предел. § 1. Предел последовательности // Математический анализ, часть I. — М .: Наука, 1981. — С. 104—114. — 544 с.
    • Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.
    • Ряды и последовательности

    Конспект по теме «Числовые ряды с помощью цикла For» к рабочей программе по информатике «Программирование на языке Pascal»(9 класс)

    Часто в задаче требуется сформировать и вывести на экран определенную последовательность чисел.

    Например, последовательность из 12 элементов: 4, 7, 10, 13, … и т.д.

    Обратите внимание, что каждый элемент отличается от предыдущего на одно и то же число: 3. Такая последовательность называется арифметической.

    Чтобы задать 1-й элемент последовательности присвоим переменной a значение 1-го элемента

    Для формирования этой числовой последовательности можно использовать цикл следующего вида:

    For x := 1 to 12 do

    Write ( a : 3 );

    В этом случае каждый следующий элемент формируется из предыдущего. А самый первый формируем мы сами.

    Каждый элемент формируется через свой номер ( x ) по формуле . Для того чтобы вывести формулу необходимо быть уверенным, что каждый элемент отличается от предыдущего на k единиц (в нашем случае это 3). Тогда формула выглядит так:

    an = x * k + ( a 1 k ), где a 1 – 1-е число последоват.

    Программа в этом случае выглядит так:

    For x := 1 to 12 do

    Write ( a : 3 );

    В этом случае каждый элемент формируется не зависимо от предыдущего.

    Зад.1. Вывести на экран последовательность из 15 чисел 5, 9, 13, 17, 21, …

    Зад.2. Вывести на экран последовательность из 15 чисел 25, 29, 33, 37, 41, …

    Зад.3. Вывести на экран последовательность из 9 чисел -6, -1, 4, 9, 14, …

    Зад.4. Вывести на экран последовательность из 6 чисел 15, 9, 13, 17, 21, …

    Зад.5. Вывести на экран последовательность из 10 чисел 340, 347, 354, 361, …

    Найти сумму последних цифр чисел.

    Зад.6. Вывести на экран последовательность из 45 чисел 4, 12, 20, 28, …

    Найти количество чисел, кратных 3 и их сумму.

    Зад.7. Вывести на экран последовательность из 11 чисел 14, 11, 8, 5, …

    Найти количество отрицательных чисел и их сумму.

    Зад.8.* Вывести на экран последовательность из 10 чисел 2, 4, 8, 16,…

    Найти сумму чисел с четными номерами.

    Зад.9.* Вывести на экран последовательность из 10 чисел 1, 2, 3, 5, 8,…

    Найти сумму чисел с нечетными номерами.

    Зад.10.* Вывести на экран последовательность из 12 чисел 3, 6, 12, 24, …

    Найти количество чисел, заканчивающихся цифрой 2.

    II Генерация случайных чисел.

    Сгенерировать случайное число можно с помощью функции Random .

    Отличие оператора (команды) от функции состоит в том, что функция может быть использована в программе только вместе с оператором (командой).

    Например, нельзя начать строку в программе со слова Random . Необходимо перед функцией поставить оператор WriteLn или оператор присваивания ( := ) .

    WriteLn ( Random ); – выводит на экран дробное случайное число в диапазоне от 0..1,
    например: 0.5463423457686

    WriteLn ( Random (10) ); – выводит на экран целое случайное число в диапазоне
    от 0..9, например: 4. Это значит, что минимальное число
    может получиться 0, а максимальное – 9.

    WriteLn ( Random (100) ); – выводит на экран целое случайное число в диапазоне от
    0..99, например: 17

    WriteLn ( 40+ Random (10) ); – выводит на экран целое случайное число в диапазоне
    от 40..49, например: 43

    WriteLn ( 1+ Random (15) ); – выводит на экран целое случайное число в диапазоне
    от 1..15, например: 14

    WriteLn ( -5+ Random (15) ); – выводит на экран целое случайное число в диапазоне
    от -5..9, например: -3

    WriteLn ( a + Random ( b a +1) ); – выводит на экран целое случайное число
    в диапазоне от a .. b

    Чтобы вывести на экран в строку 15 случайных чисел в диапазоне от a .. b , отводя под каждое число 3 знакоместо, необходимо 15 раз повторить строку :
    Write ( a + Random ( b a +1) :3);

    Практическое задание.

    Зад. 1. Вывести на экран 10 случайных чисел в диапазоне 0..100 в строку, отводя под каждое число 4 знакоместа.

    Зад.2. Вывести на экран 5 случайных чисел в диапазоне 10..99 в строку, отводя под каждое число 3 знакоместа.

    Зад.3. Вывести на экран 20 оценок по алгебре в строку, отводя под каждое число 3 знакоместа. Оценки формировать случайным образом в диапазоне 2..5.

    Зад.4. Вывести на экран 30-тидневные замеры температуры в сентябре месяце в строку, отводя под каждое число 4 знакоместа. Температуру формировать случайным образом в диапазоне 4..18 градусов.

    III Сложные числовые ряды

    Часто в задаче требуется сформировать и вывести на экран более сложную последовательность чисел.

    Например, последовательность из 10 элементов: 2, 4, 8, 16, … и т.д.
    Обратите внимание, что каждый элемент отличается от предыдущего в 2 раза. Такая последовательность называется геометрической.

    Эту задачу можно решить несколькими способами. Мы будем рассматривать вариант, когда каждый элемент формируется через свой номер ( x ) .

    Нетрудно заметить, что значение элемента ряда с но­ мером x равняется 2 x .

    Кроме значения элемента ряда в задачах подобного типа часто требуется определить:

    — значение текущего элемента ряда;

    — значение предыдущего элемента ряда;

    — сумму элементов ряда;

    — количество элементов ряда.

    В задаче на числовой ряд обычно задается условие прекращения суммирования элементов ряда, напри­ мер:

    · значение текущего элемента ряда меньше (больше) задан­ ного числа;

    · сумма элементов ряда больше заданного числа;

    · разность между текущим и предыдущим элементами ряда больше (меньше) заданного числа;

    · номер элемента ряда больше заданного числа.

    При решении задач на числовые ряды рекомендуется учитывать некоторые нюансы :

    1. Необходимо определить, с ка­ кого элемента начинать нумерацию. Например, в случае ряда

    2 + 4 + 8 + 16 + 32 + . нумерацию лучше начинать с первого элемента, а

    для ряда 1 + — + —- + ——- + ——- — +. нумерацию удобнее начинать со 2-ого элемента ряда

    2. В последовательности чисел могут встречаться как положительные элементы ряда, так и отрицатель ные, например:

    для ряда + — — — — — + — . в этом случае нумерацию удобнее задавать

    ряда через функцию mod . Если номер элемента дает при делении на 3 остаток 0) знак элемента положительный, ина­че — отрицательный.

    3. И наконец, определить фор­ мулу для нахождения текущего элемента ряда. Отдельно определяется формула для числителя ( a ) и знаменателя ( b ). Отдельный член ряда определяется как a / b .

    Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения

    Данная статья представляет собой структурированную и подробную информацию, которая может пригодиться во время разбора упражнений и задач. Мы рассмотрим тему числовых рядов.

    Данная статья начинается с основных определений и понятий. Далее мы стандартные варианты и изучим основные формулы. Для того, чтобы закрепить материал, в статье приведены основные примеры и задачи.

    Базовые тезисы

    Для начала представим систему: a 1 , a 2 . . . , a n , . . . , где a k ∈ R , k = 1 , 2 . . . .

    Для примера, возьмем такие числа, как: 6 , 3 , — 3 2 , 3 4 , 3 8 , — 3 16 , . . . .

    Числовой ряд – это сумма членов ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + . . . + a n + . . . .

    Чтобы лучше понять определение, рассмотрим данный случай, в котором q = — 0 . 5 : 8 — 4 + 2 — 1 + 1 2 — 1 4 + . . . = ∑ k = 1 ∞ ( — 16 ) · — 1 2 k .

    a k является общим или k –ым членом ряда.

    Он выглядит примерно таким образом — 16 · — 1 2 k .

    Частичная сумма ряда выглядит примерно таким образом S n = a 1 + a 2 + . . . + a n , в которой n –любое число. S n является n -ой суммой ряда.

    Например, ∑ k = 1 ∞ ( — 16 ) · — 1 2 k есть S 4 = 8 — 4 + 2 — 1 = 5 .

    S 1 , S 2 , . . . , S n , . . . образуют бесконечную последовательность числового ряда.

    Для ряда n –ая сумму находится по формуле S n = a 1 · ( 1 — q n ) 1 — q = 8 · 1 — — 1 2 n 1 — — 1 2 = 16 3 · 1 — — 1 2 n . Используем следующую последовательность частичных сумм: 8 , 4 , 6 , 5 , . . . , 16 3 · 1 — — 1 2 n , . . . .

    Ряд ∑ k = 1 ∞ a k является сходящимся тогда, когда последовательность обладает конечным пределом S = lim S n n → + ∞ . Если предела нет или последовательность бесконечна, то ряд ∑ k = 1 ∞ a k называется расходящимся.

    Определение 5

    Суммой сходящегося ряда ∑ k = 1 ∞ a k является предел последовательности ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S .

    В данном примере lim S n n → + ∞ = lim 16 3 т → + ∞ · 1 — 1 2 n = 16 3 · lim n → + ∞ 1 — — 1 2 n = 16 3 , ряд ∑ k = 1 ∞ ( — 16 ) · — 1 2 k сходится. Сумма равна 16 3 : ∑ k = 1 ∞ ( — 16 ) · — 1 2 k = 16 3 .

    В качестве примера расходящегося ряда можно привести сумму геометрической прогрессии со знаменателем большем, чем единица: 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2 n — 1 + . . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k — 1 .

    n -ая частичная сумма определяется выражением S n = a 1 · ( 1 — q n ) 1 — q = 1 · ( 1 — 2 n ) 1 — 2 = 2 n — 1 , а предел частичных сумм бесконечен: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ ( 2 n — 1 ) = + ∞ .

    Еще одим примером расходящегося числового ряда является сумма вида ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + . . . . В этом случае n -ая частичная сумма может быть вычислена как S n = 5 n . Предел частичных сумм бесконечен lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞ .

    Определение 6

    Сумма подобного вида как ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + . . . – это гармонический числовой ряд.

    Определение 7

    Сумма ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 n s + . . . , где s –действительное число, является обобщенно гармоническим числовым рядом.

    Определения, рассмотренные выше, помогут вам для решения большинства примеров и задач.

    Для того, чтобы дополнить определения, необходимо доказать определенные уравнения.

    1. ∑ k = 1 ∞ 1 k – расходящийся.

    Действуем методом от обратного. Если он сходится, то предел конечен. Можно записать уравнение как lim n → + ∞ S n = S и lim n → + ∞ S 2 n = S . После определенных действий мы получаем равенство l i m n → + ∞ ( S 2 n — S n ) = 0 .

    S 2 n — S n = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n — — 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n

    Справедливы следующие неравенства 1 n + 1 > 1 2 n , 1 n + 1 > 1 2 n , . . . , 1 2 n — 1 > 1 2 n . Получаем, что S 2 n — S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n + . . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . Выражение S 2 n — S n > 1 2 указывает на то, что lim n → + ∞ ( S 2 n — S n ) = 0 не достигается. Ряд расходящийся.

    1. b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + . . . + b 1 q n + . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k — 1

    Необходимо подтвердить, что сумма последовательности чисел сходится при q < 1 , и расходится при q ≥ 1 .

    Согласно приведенным выше определениям, сумма n членов определяется согласно формуле S n = b 1 · ( q n — 1 ) q — 1 .

    lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · q n — 1 q — 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q — 1 — lim n → + ∞ 1 q — 1 = = b 1 · 0 — 1 q — 1 = b 1 q — 1

    Мы доказали, что числовой ряд сходится.

    При q = 1 b 1 + b 1 + b 1 + . . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . Суммы можно отыскать с использованием формулы S n = b 1 · n , предел бесконечен lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞ . В представленном варианте ряд расходится.

    Если q = — 1 , то ряд выглядит как b 1 — b 1 + b 1 — . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 ( — 1 ) k + 1 . Частичные суммы выглядят как S n = b 1 для нечетных n , и S n = 0 для четных n . Рассмотрев данный случай, мы удостоверимся, что предела нет и ряд является расходящимся.

    При q > 1 справедливо lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · ( q n — 1 ) q — 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q — 1 — lim n → + ∞ 1 q — 1 = = b 1 · ∞ — 1 q — 1 = ∞

    Мы доказали, что числовой ряд расходится.

    1. Ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k s сходится, если s > 1 и расходится, если s ≤ 1 .

    Для s = 1 получаем ∑ k = 1 ∞ 1 k , ряд расходится.

    Необходимо предоставить доказательства, что ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k s сходится при s > 1 .

    Представим S 2 n — 1 — S n — 1 :

    S 2 n — 1 — S n — 1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 ( n — 1 ) s + 1 n s + 1 ( n + 1 ) s + . . . + 1 ( 2 n — 1 ) s — — 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 ( n — 1 ) s = 1 n s + 1 ( n + 1 ) s + . . . + 1 ( 2 n — 1 ) s

    Представим уравнение для чисел, которые являются натуральными и четными n = 2 : S 2 n — 1 — S n — 1 = S 3 — S 1 = 1 2 s + 1 3 s < 1 2 s - 1 n = 4 : S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8 : S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

    ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + . . . + 1 7 s + 1 8 s + . . . + 1 15 s + . . . = = 1 + S 3 — S 1 + S 7 — S 3 + S 15 + S 7 + . . . < < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

    Выражение 1 + 1 2 s — 1 + 1 2 s — 1 2 + 1 2 s — 1 3 + . . . – это сумма геометрической прогрессии q = 1 2 s — 1 . Согласно исходным данным при s > 1 , то 0 < q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1 увеличивается и ограничивается сверху 1 1 — 1 2 s — 1 . Представим, что есть предел и ряд является сходящимся ∑ k = 1 ∞ 1 k s .

    Ряд ∑ k = 1 ∞ a k знакоположителен в том случае, если его члены > 0 a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

    Ряд ∑ k = 1 ∞ b k знакочередующийся, если знаки чисел отличаются. Данный пример представлен как ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k · a k или ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k + 1 · a k , где a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

    Ряд ∑ k = 1 ∞ b k знакопеременный, так как в нем множество чисел, отрицательных и положительных.

    Второй вариант ряд – это частный случай третьего варианта.

    Приведем примеры для каждого случая соответственно:

    6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 — 3 + 3 2 — 3 4 + 3 8 — 3 16 + . . . 6 + 3 — 3 2 + 3 4 + 3 8 — 3 16 + . . .

    Для третьего варианта также можно определить абсолютную и условную сходимость.

    Знакочередующийся ряд ∑ k = 1 ∞ b k абсолютно сходится в том случае, когда ∑ k = 1 ∞ b k также считается сходящимся.

    Подробно разберем несколько характерных вариантов

    Если ряды 6 — 3 + 3 2 — 3 4 + 3 8 — 3 16 + . . . и 6 + 3 — 3 2 + 3 4 + 3 8 — 3 16 + . . . определяются как сходящиеся, то верно считать, что 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . .

    Определение 10

    Знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается условно сходящимся в том случае, если ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, а ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается сходящимся.

    Подробно разберем вариант ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k + 1 k = 1 — 1 2 + 1 3 — 1 4 + . . . . Ряд ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k , который состоит из абсолютных величин, определяется как расходящийся. Этот вариант считается сходящимся, так как это легко определить. Из данного примера мы узнаем, что ряд ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k + 1 k = 1 — 1 2 + 1 3 — 1 4 + . . . будет считаться условно сходящимся.

    Особенности сходящихся рядов

    Проанализируем свойства для определенных случаев

    1. Если ∑ k = 1 ∞ a k будет сходится, то и ряд ∑ k = m + 1 ∞ a k также признается сходящимся. Можно отметить, что ряд без m членов также считается сходящимся. В случае, если мы добавляем к ∑ k = m + 1 ∞ a k несколько чисел, то получившийся результат также будет сходящимся.
    2. Если ∑ k = 1 ∞ a k сходится и сумма = S , то сходится и ряд ∑ k = 1 ∞ A · a k , ∑ k = 1 ∞ A · a k = A · S , где A –постоянная.
    3. Если ∑ k = 1 ∞ a k и ∑ k = 1 ∞ b k являются сходящимися , суммы A и B тоже, то и ряды ∑ k = 1 ∞ a k + b k и ∑ k = 1 ∞ a k — b k также сходятся . Суммы будут равняться A + B и A — B соответственно.

    Определить, что ряд сходится ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 .

    Изменим выражение ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 . Ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 считается сходящимся, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k s сходится при s > 1 . В соответствии со вторым свойством, ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

    Определить, сходится ли ряд ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 .

    Преобразуем изначальный вариант ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 .

    Получаем сумму ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 и ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . Каждый ряд признается сходящимся согласно свойству. Так, как ряды сходятся, то исходный вариант тоже.

    Вычислить, сходится ли ряд 1 — 6 + 1 2 — 2 + 1 4 — 2 3 + 1 8 — 2 9 + . . . и вычислить сумму.

    Разложим исходный вариант:

    1 — 6 + 1 2 — 2 + 1 4 — 2 3 + 1 8 — 2 9 + . . . = = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + . . . — 2 · 3 + 1 + 1 3 + 1 9 + . . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k — 1 — 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k — 2

    Каждый ряд сходится, так как является одним из членов числовой последовательности. Согласно третьему свойству, мы можем вычислить, что исходный вариант также является сходящимся. Вычисляем сумму: Первый член ряда ∑ k = 1 ∞ 1 2 k — 1 = 1 , а знаменатель = 0 . 5 , за этим следует, ∑ k = 1 ∞ 1 2 k — 1 = 1 1 — 0 . 5 = 2 . Первый член ∑ k = 1 ∞ 1 3 k — 2 = 3 , а знаменатель убывающей числовой последовательности = 1 3 . Получаем: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k — 2 = 3 1 — 1 3 = 9 2 .

    Используем выражения, полученные выше, для того, чтобы определить сумму 1 — 6 + 1 2 — 2 + 1 4 — 2 3 + 1 8 — 2 9 + . . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k — 1 — 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k — 2 = 2 — 2 · 9 2 = — 7

    Необходимое условие для определения, является ли ряд сходящимся

    Определение 11

    Если ряд ∑ k = 1 ∞ a k является сходящимся, то предел его k -ого члена = 0 : lim k → + ∞ a k = 0 .

    Если мы проверим любой вариант, то нужно не забывать о непременном условии. Если оно не выполняется, то ряд расходится. Если lim k → + ∞ a k ≠ 0 , то ряд расходящийся.

    Следует уточнить, что условие важно, но не достаточно. Если равенство lim k → + ∞ a k = 0 выполняется , то это не гарантирует, что ∑ k = 1 ∞ a k является сходящимся.

    Приведем пример. Для гармонического ряда ∑ k = 1 ∞ 1 k условие выполняется lim k → + ∞ 1 k = 0 , но ряд все равно расходится.

    Определить сходимость ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n .

    Проверим исходное выражение на выполнение условия lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

    Предел n -ого члена не равен 0 . Мы доказали, что данный ряд расходится.

    Как определить сходимость знакоположительного ряда.

    Если постоянно пользоваться указанными признаками, придется постоянно вычислять пределы. Данный раздел поможет избежать сложностей во время решения примеров и задач. Для того, чтобы определить сходимость знакоположительного ряда, существует определенное условие.

    Для сходимости знакоположительного ∑ k = 1 ∞ a k , a k > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , . . . нужно определять ограниченную последовательность сумм.

    Как сравнивать ряды

    Существует несколько признаков сравнения рядов. Мы сравниваем ряд, сходимость которого предлагается определить, с тем рядом, сходимость которого известна.

    Первый признак

    ∑ k = 1 ∞ a k и ∑ k = 1 ∞ b k — знакоположительные ряды. Неравенство a k ≤ b k справедливо для k = 1, 2, 3, . Из этого следует, что из ряда ∑ k = 1 ∞ b k мы можем получить ∑ k = 1 ∞ a k . Так как ∑ k = 1 ∞ a k расходится, то ряд ∑ k = 1 ∞ b k можно определить как расходящийся.

    Данное правило постоянно используется для решения уравнений и является серьезным аргументом, которое поможет определить сходимость. Сложности могут состоять в том, что подобрать подходящий пример для сравнения можно найти далеко не в каждом случае. Довольно часто ряд выбирается по принципу, согласно которому показатель k -ого члена будет равняться результату вычитания показателей степеней числителя и знаменателя k -ого члена ряда. Допустим, что a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5 , разность будет равна 2 – 3 = — 1 . В данном случае можно определить, что для сравнения необходим ряд с k -ым членом b k = k — 1 = 1 k , который является гармоническим.

    Для того, чтобы закрепить полученный материал, детально рассмотрим пару типичных вариантов.

    Определить, каким является ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k — 1 2 .

    Определить, является ряд сходящимся или расходящимся ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k — 1 .

    В данном примере выполняется необходимое условие, так как lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k — 1 = 0 . Представляем в виде неравенства 1 k 3 + 3 k — 1 < 1 k 3 для любого значения k . Ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 является сходящимся, так как гармонический ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k s сходится при s > 1 . Согласно первому признаку, мы можем сделать вывод, что числовой ряд является сходящимся.

    Определить, является каким является ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln ( ln k ) . lim k → + ∞ 1 k ln ( ln k ) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

    В данном варианте можно отметить выполнение нужного условия. Определим ряд для сравнения. Например, ∑ k = 1 ∞ 1 k s . Чтобы определить, чему равна степень, расммотрим последовательность < ln ( ln k ) >, k = 3 , 4 , 5 . . . . Члены последовательности ln ( ln 3 ) , ln ( ln 4 ) , ln ( ln 5 ) , . . . увеличивается до бесконечности. Проанализировав уравнение, можно отметить, что, взяв в качестве значения N = 1619 , то члены последовательности > 2 . Для данной последовательности будет справедливо неравенство 1 k ln ( ln k ) < 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln ( ln k ) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln ( ln k ) также сходящийся.

    Второй признак

    Допустим, что ∑ k = 1 ∞ a k и ∑ k = 1 ∞ b k — знакоположительные числовые ряды.

    Если lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ , то ряд ∑ k = 1 ∞ b k сходится, и ∑ k = 1 ∞ a k сходится также.

    Если lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 , то так как ряд ∑ k = 1 ∞ b k расходится, то ∑ k = 1 ∞ a k также расходится.

    Если lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ и lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 , то сходимость или расходимость ряда означает сходимость или расходимость другого.

    Рассмотрим ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k — 1 с помощью второго признака. Для сравнения ∑ k = 1 ∞ b k возьмем сходящийся ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 . Определим предел: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k — 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k — 1 = 1

    Согласно второму признаку можно определить, что сходящийся ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 означается, что первоначальный вариант также сходится.

    Определить, каким является ряд ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 .

    Проанализируем необходимое условие lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0 , которое в данном варианте выполняется. Согласно второму признаку, возьмем ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k . Ищем предел: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4

    Согласно приведенным выше тезисам, расходящийся ряд влечет собой расходимость исходного ряда.

    Третий признак

    Рассмотрим третий признак сравнения.

    Допустим, что ∑ k = 1 ∞ a k и _ ∑ k = 1 ∞ b k — знакоположительные числовые ряды. Если условие выполняется для некого номера a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k , то сходимость данного ряда ∑ k = 1 ∞ b k означает, что ряд ∑ k = 1 ∞ a k также является сходящимся. Расходящийся ряд ∑ k = 1 ∞ a k влечет за собой расходимость ∑ k = 1 ∞ b k .

    Признак Даламбера

    Представим, что ∑ k = 1 ∞ a k — знакоположительный числовой ряд. Если lim k → + ∞ a k + 1 a k < 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1 , то расходящимся.

    Признак Даламбера справедлив в том случае, если предел бесконечен.

    Если lim k → + ∞ a k + 1 a k = — ∞ , то ряд является сходящимся, если lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ , то расходящимся.

    Если lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1 , то признак Даламбера не поможет и потребуется провести еще несколько исследований.

    Определить, является ряд сходящимся или расходящимся ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k по признаку Даламбера.

    Необходимо проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости. Вычислим предел, воспользовавшись правилом Лопиталя: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 ‘ 2 k ‘ = lim k → + ∞ 2 2 k · ln 2 = 2 + ∞ · ln 2 = 0

    Мы можем увидеть, что условие выполняется. Воспользуемся признаком Даламбера: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 ( k + 1 ) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 1 2 < 1

    Ряд является сходящимся.

    Определить, является ряд расходящимся ∑ k = 1 ∞ k k k ! .

    Воспользуемся признаком Даламбера для того, чтобы определить рассходимость ряда: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ ( k + 1 ) k + 1 ( k + 1 ) ! k k k ! = lim k → + ∞ ( k + 1 ) k + 1 · k ! k k · ( k + 1 ) ! = lim k → + ∞ ( k + 1 ) k + 1 k k · ( k + 1 ) = = lim k → + ∞ ( k + 1 ) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e > 1

    Следовательно, ряд является расходящимся.

    Радикальный признак Коши

    Допустим, что ∑ k = 1 ∞ a k — это знакоположительный ряд. Если lim k → + ∞ a k k < 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1 , то расходящимся.

    Данный признак будет считаться справедливым только в том случае, если предел бесконечен. Другими словами, если lim k → + ∞ a k k = — ∞ , то ряд сходится, если lim k → + ∞ a k k = + ∞ , то ряд расходится.

    Если lim k → + ∞ a k k = 1 , то данный признак не дает никакой информации – требуется проведение дополнительного анализа.

    Данный признак может быть использован в примерах, которые легко определить. Случай будет характерным тогда, когда член числового ряда – это показательно степенное выражение.

    Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько характерных примеров.

    Определить, является ли знакоположительный ряд ∑ k = 1 ∞ 1 ( 2 k + 1 ) k на сходящимся.

    Нужное условие считается выполненным, так как lim k → + ∞ 1 ( 2 k + 1 ) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

    Согласно признаку, рассмотренному выше, получаем lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 ( 2 k + 1 ) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0 < 1 . Данный ряд является сходимым.

    Сходится ли числовой ряд ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 .

    Используем признак, описанный в предыдущем пункте lim k → + ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 k = 1 3 · lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3 < 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

    Интегральный признак Коши

    Допустим, что ∑ k = 1 ∞ a k является знакоположительным рядом. Необходимо обозначить функцию непрерывного аргумента y = f ( x ) , которая совпадает a n = f ( n ) . Если y = f ( x ) больше нуля, не прерывается и убывает на [ a ; + ∞ ) , где a ≥ 1

    , то в случае, если несобственный интеграл ∫ a + ∞ f ( x ) d x является сходящимся, то рассматриваемый ряд также сходится. Если же он расходится, то в рассматриваемом примере ряд тоже расходится.

    При проверке убывания функции можно использовать материал, рассмотренный на предыдущих уроках.

    Рассмотреть пример ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k на сходимость.

    Условие сходимости ряда считается выполненным, так как lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 . Рассмотрим y = 1 x · ln x . Она больше нуля, не прерывается и убывает на [ 2 ; + ∞ ) . Первые два пункта доподлинно известны, а вот на третьем следует остановиться подробнее. Находим производную: y ‘ = 1 x · ln x ‘ = x · ln x ‘ x · ln x 2 = ln x + x · 1 x x · ln x 2 = — ln x + 1 x · ln x 2 . Она меньше нуля на [ 2 ; + ∞ ) . Это доказывает тезис о том, что функция является убывающей.

    Собственно, функция y = 1 x · ln x соответствует признакам принципа, который мы рассматривали выше. Воспользуемся им: ∫ 2 + ∞ d x x · ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d ( ln x ) ln x = lim A → + ∞ ln ( ln x ) 2 A = = lim A → + ∞ ( ln ( ln A ) — ln ( ln 2 ) ) = ln ( ln ( + ∞ ) ) — ln ( ln 2 ) = + ∞

    Согласно полученным результатам, исходный пример расходится, так как несобственный интеграл является расходящимся.

    Докажите сходимость ряда ∑ k = 1 ∞ 1 ( 10 k — 9 ) ( ln ( 5 k + 8 ) ) 3 .

    Так как lim k → + ∞ 1 ( 10 k — 9 ) ( ln ( 5 k + 8 ) ) 3 = 1 + ∞ = 0 , то условие считается выполненным.

    Начиная с k = 4 , верное выражение 1 ( 10 k — 9 ) ( ln ( 5 k + 8 ) ) 3 < 1 ( 5 k + 8 ) ( ln ( 5 k + 8 ) ) 3 .

    Если ряд ∑ k = 4 ∞ 1 ( 5 k + 8 ) ( ln ( 5 k + 8 ) ) 3 будет считаться сходящимся, то, согласно одному из принципов сравнения, ряд ∑ k = 4 ∞ 1 ( 10 k — 9 ) ( ln ( 5 k + 8 ) ) 3 также будет считаться сходящимся. Таким образом, мы сможет определить, что исходное выражение также является сходящимся.

    Перейдем к доказательству ∑ k = 4 ∞ 1 ( 5 k + 8 ) ( ln ( 5 k + 8 ) ) 3 .

    Так как функция y = 1 5 x + 8 ( ln ( 5 x + 8 ) ) 3 больше нуля, не прерывается и убывает на [ 4 ; + ∞ ) . Используем признак, описанный в предыдущем пункте:

    ∫ 4 + ∞ d x ( 5 x + 8 ) ( l n ( 5 x + 8 ) ) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A d x ( 5 x + 8 ) ( ln ( 5 x + 8 ) ) 3 = = 1 5 · lim A → + ∞ ∫ 4 A d ( ln ( 5 x + 8 ) ( ln ( 5 x + 8 ) ) 3 = — 1 10 · lim A → + ∞ 1 ( ln ( 5 x + 8 ) ) 2 | 4 A = = — 1 10 · lim A → + ∞ 1 ( ln ( 5 · A + 8 ) ) 2 — 1 ( ln ( 5 · 4 + 8 ) ) 2 = = — 1 10 · 1 + ∞ — 1 ( ln 28 ) 2 = 1 10 · ln 28 2

    В полученном сходящемся ряде, ∫ 4 + ∞ d x ( 5 x + 8 ) ( ln ( 5 x + 8 ) ) 3 , можно определить, что ∑ k = 4 ∞ 1 ( 5 k + 8 ) ( ln ( 5 k + 8 ) ) 3 также сходится.

    Признак Раабе

    Допустим, что ∑ k = 1 ∞ a k — знакоположительный числовой ряд.

    Если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 < 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1 , то сходится.

    Данный способ определения можно использовать в том случае, если описанные выше техники не дают видимых результатов.

    Исследование на абсолютную сходимость

    Для исследования берем ∑ k = 1 ∞ b k . Используем знакоположительный ∑ k = 1 ∞ b k . Мы можем использовать любой из подходящих признаков, которые мы описывали выше. Если ряд ∑ k = 1 ∞ b k сходится, то исходный ряд является абсолютно сходящимся.

    Исследовать ряд ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k 3 k 3 + 2 k — 1 на сходимость ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k 3 k 3 + 2 k — 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2 k — 1 .

    Условие выполняется lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k — 1 = 1 + ∞ = 0 . Используем ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 и воспользуемся вторым признаком: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k — 1 1 k 3 2 = 1 3 .

    Ряд ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k 3 k 3 + 2 k — 1 сходится. Исходный ряд также абсолютно сходящийся.

    Расходимость знакопеременных рядов

    Если ряд ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, то соответствующий знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k либо расходящийся, либо условно сходящийся.

    Лишь признак Даламбера и радикальный признак Коши помогут сделать выводы о ∑ k = 1 ∞ b k по расходимости из модулей ∑ k = 1 ∞ b k . Ряд ∑ k = 1 ∞ b k также расходится, если не выполняется необходимое условие сходимости, то есть, если lim k → ∞ + b k ≠ 0 .

    Проверить расходимость 1 7 , 2 7 2 , — 6 7 3 , 24 7 4 , 120 7 5 — 720 7 6 , . . . .

    Модуль k -ого члена представлен как b k = k ! 7 k .

    Исследуем ряд ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k на сходимость по признаку Даламбера: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ ( k + 1 ) ! 7 k + 1 k ! 7 k = 1 7 · lim k → + ∞ ( k + 1 ) = + ∞ .

    ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k расходится так же, как и исходный вариант.

    Является ли ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k · k 2 + 1 ln ( k + 1 ) сходящимся.

    Рассмотрим на необходимое условие lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln ( k + 1 ) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 ‘ ( ln ( k + 1 ) ) ‘ = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k ( k + 1 ) = + ∞ . Условие не выполнено, поэтому ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k · k 2 + 1 ln ( k + 1 ) ряд расходящийся. Предел был вычислен по правилу Лопиталя.

    Признаки для условной сходимости

    Признак Лейбница

    Определение 12

    Если величины членов знакочередующегося ряда убывают b 1 > b 2 > b 3 > . . . > . . . и предел модуля = 0 при k → + ∞ , то ряд ∑ k = 1 ∞ b k сходится.

    Рассмотреть ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k 2 k + 1 5 k ( k + 1 ) на сходимость.

    Ряд представлен как ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k 2 k + 1 5 k ( k + 1 ) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k ( k + 1 ) . Нужное условие выполняется lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k ( k + 1 ) = 0 . Рассмотрим ∑ k = 1 ∞ 1 k по второму признаку сравнения lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k ( k + 1 ) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 ( k + 1 ) = 2 5

    Получаем, что ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k 2 k + 1 5 k ( k + 1 ) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k ( k + 1 ) расходится. Ряд ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k 2 k + 1 5 k ( k + 1 ) сходится по признаку Лейбница: последовательность 2 · 1 + 1 5 · 1 · 1 1 + 1 = 3 10 , 2 · 2 + 1 5 · 2 · ( 2 + 1 ) = 5 30 , 2 · 3 + 1 5 · 3 · 3 + 1 , . . . убывает и lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k ( k + 1 ) = 0 .

    Ряд условно сходится.

    Признак Абеля-Дирихле

    Определение 13

    ∑ k = 1 + ∞ u k · v k сходится в том случае, если < u k >не возрастает, а последовательность ∑ k = 1 + ∞ v k ограничена.

    Исследуйте 1 — 3 2 + 2 3 + 1 4 — 3 5 + 1 3 + 1 7 — 3 8 + 2 9 + . . . на сходимость.

    1 — 3 2 + 2 3 + 1 4 — 3 5 + 1 3 + 1 7 — 3 8 + 2 9 + . . . = 1 · 1 + 1 2 · ( — 3 ) + 1 3 · 2 + 1 4 · 1 + 1 5 · ( — 3 ) + 1 6 · = ∑ k = 1 ∞ u k · v k

    где < u k >= 1 , 1 2 , 1 3 , . . . — невозрастающая, а последовательность < v k >= 1 , — 3 , 2 , 1 , — 3 , 2 , . . . ограничена < S k >= 1 , — 2 , 0 , 1 , — 2 , 0 , . . . . Ряд сходится.

  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *