Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Перейти к содержимому

Определенный интеграл как предел интегральной суммы

  • автор:

Определенный интеграл как предел суммы

К понятию определенного интеграла приводят многие физические задачи. В конечном счете, все они сводятся к определению площади криволинейной трапеции.

Рассмотрим плоскую фигуру ограниченную отрезком оси , двумя вертикальными прямыми и , а также кривой (для определенности мы нарисовали кривую над осью ).

Площадь такой трапеции можно найти приближенно. Для этого разбиваем отрезок на не обязательно равных частей точками:

Точки

,

и на каждом отрезке выберем точку . Произведение есть площадь прямоугольника со сторонами и . При малых сумма площадей этих прямоугольников будет мало отличаться от площади всей трапеции. Строгое определение определенного интеграла следующее (интеграл Римана).

Обозначим длину наибольшего отрезка через . Составим интегральную сумму . Конечно, эта сумма зависит еще и от самого разбиения и от выбора точек . Так вот, если предел таких интегральных сумм при существует, то он называется определенным интегралом от функции по промежутку :

Определенный интеграл

График

Мы не останавливаемся на построении строгой теории интеграла Римана. Отметим только, что кусочно — непрерывные функции интегрируемы по Риману. Хотя теория интеграла Римана вполне законченная, но имеет свои недостатки. В частности, интегралы от неограниченных функций, а также интегралы по неограниченным промежуткам (несобственные интегралы) не существуют, как интегралы Римана.

Приведем несколько примеров, показывающих, как вычисляются определенные интегралы через пределы частичных сумм.

Пример 1 Вычислить определенный интеграл, как предел интегральных сумм, производя надлежащим образом разбиение промежутка интеграции: .

image6

Разбиение промежутка интегрирования проведем так: .

Значения функции для определенности возьмем в правых концах промежутков.

image7

Формула для решения

Воспользуемся формулой: .

Пример 1. Итог

Тогда, продолжая дальше цепочку равенств, получим окончательно: .

Пример 2 Вычислить определенный интеграл, как предел интегральных сумм: .

Разбиение промежутка интегрирования проведем, как и в предыдущем примере:

image6

Оставим интегральные суммы. Значения функции берем в левых концах промежутков:

Значение функции в левых концах

Воспользуемся формулой для суммы членов геометрической прогрессии:

Сумма членов геометрической прогрессии

У нас . В результате получим:

image23

Теперь используем следствие второго замечательного предела:

image26

Согласно этой формуле, закончим вычисления: . Это и есть значение определенного интеграла .

Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.

Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.

Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.

Решение.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.

В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.

Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?

§3. Определенный интеграл как предел интегральных сумм

Криволинейной трапецией называется область на плоскости ограниченная осью, прямыми,гдеи графиком непрерывной на отрезкефункции(см. рис.1).

азбиением отрезка наn частей называется набор чисел из этого отрезка, гдеи. В каждом отрезке (элементарном участке)разбиения выберем некоторую точку. Такое разбиение обозначим буквой, а длину элементарного участка — через. Пусть на отрезкеопределена некоторая функция.

Определение. Интегральной суммой для функции , построенной по разбиениюотрезка, называется сумма произведений значений функции в выбранных точкахна длины элементарных участков.

Обозначение: . Еслив , то приближенно равнаплощади соответствующей криволинейной трапеции.

Определение. Определенным интегралом от функции на отрезкеназывается предел интегральных сумм этой функции по разбиениям отрезка, у которых максимальныйстремится к нулю, т.е.

.

Если в, то этот интеграл выражаетточную площадь соответствующей криволинейной трапеции.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезкеили имеет на нем конечное число точек разрыва первого рода, то эта функция интегрируема на, т.е.существует.

§4. Свойства определенного интеграла

В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые функции – интегрируемы в соответствующих отрезках.

1) ,— постоянная.

2) Если на, то.

3) Оценка определенного интеграла снизу и сверху. Если на отрезке функцияограничена снизу и сверху числамиm и , т.е. если на ,то .

4) Теорема о среднем. Пусть функция непрерывна на отрезке, тогда на этом отрезке найдется такая точкаc, что

.

Это значение называетсясредним значением функции на .

5) Оценка модуля определенного интеграла. .

6) Свойство линейности.

6) Свойство аддитивности. Если выполняется неравенство , то

.

Если , то интеграломназывается число. Интегралсчитается равным нулю. Свойство аддитивности справедливо (при условии существования интегралов) для чиселрасположенных в любом порядке, т.е. требованиездесь не обязательно.

Теорема 1. (Ньютона — Лейбница) Пусть функция непрерывна на отрезкеи функцияесть ее первообразная на этом отрезке, тогда

.

Теорема 2. (Замена переменной в определенном интеграле) Пусть функция непрерывна в отрезке, а функциямонотонная и непрерывно дифференцируема в отрезке, где,, тогда

.

Теорема 3. (Нахождение определенного интеграла по частям) Пусть функции инепрерывно дифференцируемы в отрезке, тогда верно равенство

.

Сокращенная запись: .

§5. Несобственные интегралы

5.1. Пусть функция непрерывна в промежутке .Несобственным интегралом от a до от этой функции называется предел:

.

Если этот предел существует (равен числу), то несобственный интеграл называется сходящимся; если он не существует, то интеграл называется расходящимся. В случае, если в промежутке, такой интеграл выражает площадь неограниченной фигуры с границами:,и графиком функции. Для сходящегося интеграла эта площадь конечна, для расходящегося – бесконечна. Формула Ньютона-Лейбница для таких несобственных интегралов имеет вид:

.

5.2. Пусть теперь функция непрерывна в промежутке. Тогданесобственным интегралом от доb называется предел

.

Такой интеграл (при ) выражает площадь фигуры с границами:

, и.

Формула Ньютона-Лейбница: .

5.3. Если функция непрерывна на всей числовой оси, то несобственным интегралом от до называется следующая сумма двух интегралов

(здесь — некоторое число). Это определение не зависит от выбора. Такой интеграл называетсясходящимся, если сходятся оба интеграла:

и .

Если хотя бы один из этих интегралов расходится, то интеграл называетсярасходящимся. При интегралвыражает площадь области с границамии.

Формула Ньютона-Лейбница: .

24 Определенный интеграл

Мы начинаем новую тему — интегрирование. Задача интегрирования формулируется как задача отыскания площади — казалось бы, ничего общего с теми вещами, которые мы обсуждали до сих пор — производными, скоростями роста и т.д. Однако, очень быстро обнаружится, что связь есть, причём самая непосредственная.

24.1 Интеграл Римана

24.1.1 Интеграл и площадь

Рассмотрим некоторую функцию f , определенную на отрезке [ a , b ] . Пусть во всех точках отрезка значение функции неотрицательно. Мы хотим найти площадь фигуры, ограниченной графиком y = f ( x ) , горизонтальной осью и вертикальными прямыми x = a и x = b . Как это сделать?

Чтобы начать отвечать на этот вопрос, нужно подумать о том, что вообще такое «площадь». Мы знаем, что площадь прямоугольника — это произведение его длины и ширины. Мы также знаем (считаем это аксиомой или частью определения), что если у нас есть две фигуры, и мы складываем из них третью «без нахлёста», то площадь новой фигуры равна сумме площадей исходных фигур. И ещё, что если у нас есть две равные фигуры (то есть такие, которые можно положить друг на друга так, чтобы они совпали), то их площади равны. Из этих трёх правил можно вывести много других. Например, прямоугольник разбивается своей диагональю на два равных прямоугольных треугольника, и значит площадь каждого из них вдвое меньше площади прямоугольника, и равна половине произведения катетов. Произвольные треугольник разбивается высотой на два прямоугольных, откуда легко вывести, что его площадь равна половине произведения высоты на основания. Более сложные многоугольники можно разбивать на треугольники и находить их площади таким образом. Так мы определяем площади довольно широкого класса фигур — но далеко не всех. Что делать, если мы имеем дело не с многоугольником, а фигурой, ограниченной какой-то «кривой» линией, не состоящей из прямолинейных отрезков? Такую фигуру нельзя разбить на прямоугольники или треугольники. Однако, её можно приблизить более простыми фигурами с известными площадами, добиться того, чтобы эти приближения становились всё лучше и лучше, и перейти к пределу. Именно таким образом определяется интеграл Римана.

24.1.2 Разбиения и интегральные суммы

Наша идея следующая. Давайте разобьем фигуру, площадь которой мы хотим найти, на тонкие вертикальные полоски. Они выглядят почти как прямоугольники, только верхняя сторона не совсем прямая. Их можно приблизить прямоугольниками, найти их площадь и сложить. Получится приближение к искомой площади. Затем количество прямоугольников можно увеличивать и делать их всё более тонкими. Куда при этом устремится их совокупная площадь — то и будет (по определению) площадью нашей фигуры.

Чтобы это сформулировать аккуратно, придётся ввести несколько новых понятий.

Определение 1. Набор точек ( x 0 , x 1 , … , x n ) называется разбиением отрезка [ a , b ] , если
a = x 0 < x 1 < … < x n − 1 < x n = b ,

то есть все точки x k , k = 0 , … , n лежат на отрезке [ a , b ] , следующая точка правее предыдущей, нулевая совпадает с левым концом, а последняя — с правым.

Для данного разбиения P = ( x 0 , … , x n ) введём также обозначения:

I k = [ x k − 1 , x k ] , Δ x k = x k − x k − 1 , k = 1 , … , n ,
I k = [ x k − 1 , x k ] , Δ x k = x k − x k − 1 , k = 1 , … , n ,
то есть I k — это k -й отрезок разбиения, Δ x k — его длина.
Определение 2. Диаметром разбиения P называется максимум длин отрезков этого разбиения:
d ( P ) = max < Δ x k ∣ k = 1 , … , n >.

Определение 3. Выберем теперь в каждом из отрезков I k по точке x ∗ k произвольным образом (она может совпадать с правым или левым концом отрезка, тут нет запретов). Тогда разбиение P вместе с набором точек ( x ∗ 1 , … , x ∗ n ) называется размеченным разбиением отрезка [ a , b ] .

Определение 4. Для данной функции f и данного размеченного разбиения P определим интегральную сумму:
S ( P , f ) : = f ( x ∗ 1 ) Δ x 1 + … + f ( x ∗ n ) Δ x n = n ∑ k = 1 f ( x ∗ k ) Δ x k . (24.1)
S ( P , f ) : = f ( x ∗ 1 ) Δ x 1 + … + + f ( x ∗ n ) Δ x n = n ∑ k = 1 f ( x ∗ k ) Δ x k . (24.1)

Интегральная сумма имеет следующую интерпретацию. Над каждым из отрезков I k построим прямоугольник, у которого ширина совпадает с этим отрезком, а высота равна значению f ( x ∗ k ) . Интегральная сумма — это сумма площадей таких прямоугольников. Если порезать интересующую нас фигуру на вертикальные полоски прямыми x = x k , то площади этих полосок будут близки к площадям соответствующухи прямоугольников, и можно ожидать, что чем тоньше будут полоски (то есть чем меньше диаметр разбиения), тем точнее будет приближение.

24.1.3 Определенный интеграл как предел

Тут очень хочется записать какой-то предел при d ( P ) → 0 , однако проблема в том, что S ( P , f ) не является функцией от диаметра разбиения d ( P ) — для разных разбиений даже с одинаковым диаметром могут получаться разные значения интегральных сумм. Поэтому использовать обычное определение предела нельзя. Но ничто не помешает нам изготовить новое определение, специально для этого случая. Оно будет очень похожим на обычное.

Определение 5. Число I ∈ R называется интегралом Римана от функции f по отрезку [ a , b ] , если для всякого ε > 0 найдётся такое δ > 0 что для всех размеченных разбиений P верно утверджение: если d ( P ) < δ , то

| S ( P , f ) − I | < ε .

Можно записать, что

lim d ( P ) → 0 S ( P , f ) = I ,
понимая здесь под пределом ровно то, что сказано в определении 5 .

Обозначается интеграл таким образом:

I = : ∫ b a f ( x ) d x .

Здесь ∫ — знак интеграла, a и b — пределы интегрирования (нижний и верхний соответственно), f — подынтегральная функция. Кто такой d x , объяснить сложнее, но если посмотреть на определение интегральной суммы (см. (24.1) ), видно, что там было f ( x ∗ k ) Δ x k . При переходе к пределу, сумма превращается в знак интеграла, f ( x ∗ k ) превращается просто в f ( x ) , а Δ x k превращается в d x . В порядке шутки можно сказать, что при переходе к пределу угловатая фигура, составленная из прямоугольников, превращается в нашу нашу настоящую фигуру с плавной криволинейной границей, а угловатые значки ∑ и Δ превращаются в плавные значки ∫ и d . Почему полезно «таскать с собой» воспоминание про Δ x k , станет ясно чуть позже, когда мы обсудим формулы замены переменной в интеграле.

Пример 1. Пусть для всех x ∈ R , f ( x ) = 2 . Тогда
∫ b a f ( x ) d x = ∫ b a 2 d x = 2 ( b − a ) ,
поскольку искомая площадь — это площадь прямоугольника с шириной ( b − a ) и высотой 2 .

Замечание 1. Сейчас мы дали определение определённого интеграла. Определённый интеграл — это просто число. Ещё бывают неопределенные интегралы — это семейства функций. Про них мы поговорим позже.

Замечание 2. Имя переменной, по которой происходит интегрирование, можно менять, значение интеграла от этого не изменится:

∫ b a f ( x ) d x = ∫ b a f ( z ) d z (24.2)
Это аналогично тому, что имя переменной, по которой происходит суммирование, не влияет на сумму:
3 ∑ k = 1 k 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 3 ∑ m = 1 m 2 . (24.3)

Можно сказать, что переменная суммирования ( k или m в (24.2) ), равно как и переменная интегрирования ( x и z в (24.2) ) не существуют за пределами соответствующей суммы или интеграла. Это похоже на то, что происходит с переменной, перед которой поставили квантор, и такие переменные также называются связанными.

Замечание 3. Может возникнуть вопрос, зачем вводить дополнительную сущность — разметку разбиения, почему нельзя было в интегральной сумме вместо f ( x ∗ k ) просто записать значение функции в правом или левом конце отрезка: f ( x k ) или f ( x k − 1 ) ? Для некоторых доказательств свобода выбора точки внутри отрезка оказывается полезной.

24.2 Свойства определённого интеграла

24.2.1 Интегрируемые и неинтегрируемые функции

Для начала нужно сказать, что, как и любой предел, интеграл может существовать, а может и не существовать. Если интеграл существует, функция f называется интегрируемой (по Риману) на отрезке [ a , b ] . Тот факт, что значение интеграла определяется однозначно (то есть не бывает двух разных чисел I 1 и I 2 , удовлетворяющих определению 5 ), доказывается точно так же, как доказывается аналогичное утверждение для пределов последовательностей или функций — сделайте это самостоятельно.

Не все функции интегрируемы. Например, функция Дирихле

D ( x ) = < 1 , x ∈ Q , 0 , x ∉ Q .

не является интегрируемой ни на каком отрезке [ a , b ] . Действительно, для любого, сколь угодно мелкого разбиения, на любом отрезке разбиения найдутся как рациональные, так и иррациональные точки. Выбирая x ∗ k иррациональными, можно сделать интегральную сумму нулевой. А выбирая x ∗ k рациональными, можно сделать интегральную сумму равной b − a > 0 . Значит, никакого одного предела, к которому стремились бы интегральные суммы с уменьшением диаметра разбиения, не существует.

Трудно описать множество всех интегрируемых функций, однако для наших целей важно сказать, что функции из некоторых важных для нас классов таким свойством обладают.

Теорема 1. Пусть функция f непрерывна на отрезке [ a , b ] . Тогда она интегрируема на этом отрезке.

Я не буду доказывать эту теорему — это требует некоторых усилий, носящих скорее технический характер. (Ключевые слова для тех, кому интересно: верхняя и нижняя суммы Дарбу.) Скажу лишь пару слов про основной механизм. Как показывает пример с функцией Дирихле, препятствием к интегрируемости оказывается ситуация, при которой свобода в выборе x ∗ k ∈ I k даёт нам возможность сильно менять значение функции — и следовательно интегральной суммы. Если функция непрерывна, её значения в близких точках близки, и значит меняя x ∗ k в пределах маленького отрезка I k , мы не поменяем значение функции слишком сильно, чтобы это существенно повлияло на интегральную сумму.

Непрерывность является достаточным условием интегрируемости, но не является необходимым — например, кусочно-непрерывные функции, чьи разрывы являются скачками, тоже интегрируемы. Чуть позже мы обсудим это подробнее.

24.2.2 Интеграл как площадь с учётом знака

Когда мы определяли интеграл, мы начинали с задачи нахождения площади под графиком неотрицательной функции. Однако, определение, которое в результате получилось, не содержит ограничений на знак функции: f ( x ) может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Если для какого-то из отрезков разбиения I k значение f ( x ∗ k ) отрицательное, соответствующее слагаемое в интегральной сумме f ( x ∗ k ) Δ x k также отрицательно, а его абсолютное значение равно площади прямоугольника шириной Δ x k и высотой | f ( x ∗ k ) | ; на картинке логично изображать такой прямоугольник растущим «вниз» от горизонтальной оси. Таким образом, те участки, на которых подынтегральная функция отрицательна, вносят отрицательный вклад в интеграл. Если отрезок [ a , b ] разбивается на несколько отрезков, на каждом из которых функция f знакопостоянна, интеграл имеет следующую интерпретацию. Нужно посчитать площадь между кривой и горизонтальной осью на тех участках, где функция положительна, и вычесть из неё площадь между кривой и горазонтальной осью на участках, где функция отрицательна. Таким образом, можно сказать, что интеграл — это площадь с учётом знака.

24.2.3 Линейность и интегрирование неравенств

Сформулируем несколько очень естественно выглядящих свойств интегралов.

Утверждение 1. Пусть функции f и g интегрируемы на отрезке [ a , b ] . Тогда функция h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) также интегрируема на отрезке [ a , b ] и сумма интегралов равна интегралу суммы:

∫ b a ( f ( x ) + g ( x ) ) d x = ∫ b a f ( x ) d x + ∫ b a g ( x ) d x
∫ b a ( f ( x ) + g ( x ) ) d x = = ∫ b a f ( x ) d x + ∫ b a g ( x ) d x

Утверждение 2. Пусть функция f интегрируема на отрезке [ a , b ] и c — некоторая константа. Тогда интеграл от функции h ( x ) = c f ( x ) определён и

∫ b a c f ( x ) d x = c ∫ b a f ( x ) d x ,
иными словами, константу можно выносить за знак интегрирования.

Эти свойства похожи на аналогичные свойства дифференцирования. В совокупности они называются линейностью интеграла — а почему так, вы узнаете на курсе линейной алгебры. Утверждение 2 имеет геометрическую интерпретацию: если функция умножается на c , график вытягивается в c раз по вертикали, поэтому площадь мод ним умножается на c . Геометрическая интерпретация утверждения 1 несколько менее очевидна (см. статью про метод Кавальери).

Утверждение 3. Пусть функции f и g интегрируемы на отрезке [ a , b ] и пусть для всех x ∈ [ a , b ] , f ( x ) ≤ g ( x ) . Тогда

∫ b a f ( x ) d x ≤ ∫ b a g ( x ) d x .

А у этого утверждения есть простая геометрическая интерпретация: если f и g неотрицательны, интегралы равны площадям под соответсвующими графиками, и фигура под графиком f находится нестрого внутри фигуры под графиком g , а значит имеет не большую площадь.

Утверждения 1 , 2 и 3 доказываются с помощью одного и того же заклинания: это верно для интегральных сумм, значит, это верно и для интегралов. Аккуратные доказательства полностью аналогичны доказательствам соответствующих утверждений для пределов — арифметики пределов и предельного перехода в неравенствах. Записать эти доказательства — хорошее упражнение.

24.2.4 Интегрируемость и ограниченность

Утверждение 4. Если функция f интегрируема на отрезке [ a , b ] , то она ограничена на этом отрезке.

Доказательство. От противного. Пусть f не является ограниченной на [ a , b ] . Мы докажем, что для любого, сколь угодно мелкого разбиения, можно подобрать такую разметку, что интегральную сумма будет сколь угодно большой. Действительно, если функция не является ограниченной на [ a , b ] , она не является ограниченной на каком-то из отрезков разбиения I m . Пусть у нас есть какая-то разметка x ∗ k . Можно сдвинуть точку x ∗ m таким образом, чтобы площадь Δ x m f ( x ∗ m ) было сколь угодно большой по модулю. Если остальные точки разметки при этом не менять, соответствующие им слагаемые интегральной суммы также не будут меняться. А если у нас есть сумма, в которой одной слагаемое можно сделать сколь угодно большим по модулю, а остальные не меняются, то и всю сумму можно сделать сколь угодно большой по модулю. И значит никакого конечного предела нет.

Более формальное доказательство выглядит следующим образом. Пусть

∫ b a f ( x ) d x = I .

Это означает, что для всякого ε > 0 найдётся такая δ = δ ( ε ) > 0 , что для всякого размеченного разбиения P , если d ( P ) < δ , то | I − S ( P , f ) | < ε . Положим ε = 1 и возьмём δ 1 : = δ ( 1 ) . Из свойств модуля следует, что в этом случае для всех разбиений, у которых d ( P ) < δ 1 ,

| S ( P , f ) | < | I | + 1 (24.4)

Рассмотрим теперь произвольное размеченное разбиение P , у которого d ( P ) < δ 1 . Пусть оно состоит из n отрезков

I k = [ x k − 1 , x k ] , x ∗ k ∈ I k , k = 1 , … , n .

Если функция f не является ограниченной на [ a , b ] , найдётся по крайней мере один из отрезков разбиения I m , на котором она не является ограниченной. (Действительно, если бы она была ограниченной на каждом из отрезков разбиения, для каждого k ∈ < 1 , … , n >существовало бы такое число C k , что для всех x ∈ I k , | f ( x ) | ≤ C k . Но тогда число C = max < C 1 , … , C n >ограничивало бы f ( x ) для любого x ∈ [ a , b ] , и значит функция была бы ограниченной на этом отрезке.) Докажем, что модифицируя разметку отрезка I m , то есть меняя x ∗ m на какой-то z ∗ m ∈ I m , мы можем получить сколь угодно большую по модулю интегральную сумму, и значит (24.4) выполняться не может.

Действительно, поскольку f не является ограниченной на отрезке I m , для всякого C найдётся такое x = x ( C ) ∈ I m , что | f ( x ) | > C . Возьмём

C = 1 Δ x m ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ n ∑ k = 1 k ≠ m | f ( x ∗ k ) Δ x k | + | I | + 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ .

В правой части стоит сумма модулей всех слагаемых в интегральной сумме, кроме m -го. Нам пришлось также поделить её на Δ x m — буквально через секунду станет понятно, почему.

Пусть z ∗ m = x ( C ) . В этом случае

| f ( z ∗ m ) Δ x m | > n ∑ k = 1 k ≠ m | f ( x ∗ k ) Δ x k | + | I | + 1 ,

то есть слагаемое, отвечающее отрезку I m , имеет модуль, с запасом превосходящий сумму модулей всех остальных слагаемых. Поскольку | a + b | ≥ | a | − | b | (проверьте, что это всегда правда), отсюда следует, что модуль интегральной суммы

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ f ( z ∗ m ) Δ x m + n ∑ k = 1 k ≠ m f ( x ∗ k ) Δ x k ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ > | I | + 1 ,
что противоречит (24.4) . ∎

Замечание 4. Несмотря на то, что мы только что железобетонно доказали, что неограниченные функции не интегрируемы, очень скоро мы зададимся вопросом — а что сделать, если мы всё-таки захотим их проинтегрировать? Оказывается, иногда это можно сделать, но для этого придётся несколько модифицировать определение интеграла — вместо обычного интеграла Римана, каким мы его определили на этой лекции, использовать так называемый несобственный интеграл. Но об этом — позже.

24.2.5 Аддитивность интеграла

Утверждение 5. Пусть функция f интегрируема на отрезках [ a , b ] и [ b , c ] . Тогда она интегрируема на отрезке [ a , c ] и

∫ c a f ( x ) d x = ∫ b a f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x . (24.5)
∫ c a f ( x ) d x = ∫ b a f ( x ) d x + + ∫ c b f ( x ) d x . (24.5)
Это свойство называется аддитивностью интеграла Римана.

Набросок доказательства. Будем называть интеграл ∫ c a f ( x ) интегралом I , ∫ b a f ( x ) d x — интегралом I 1 и ∫ c b f ( x ) d x — интегралом I 2 .

Геометрически наше свойство выглядит очевидным: фигура, соответствующая интегралу I , составлена из фигур, соответствующих интегралам I 1 и I 2 , и её площадь очевидно должна быть равна сумме площадей этих фигур.

Если поверить в интегрируемость функции f на отрезке [ a , c ] , доказать, что интегралы равны, довольно просто. Действительно, возьмём произвольное размеченное разбиение отрезка [ a , b ] и произвольное размеченное разбиение отрезка [ b , c ] . Объединим эти разбиения: получим размеченное разбиение отрезка [ a , c ] . Интегральная сумма для интеграла I , соответствующая этому разбиению, будет суммой двух интегральных сумм, соответствующих интегралам I 1 и I 2 . Выбирая достаточно мелкие разбиения, можно сделать эти две интегральные суммы сколь угодно близкими к соответствующим интегралам I 1 и I 2 . А значит интегральную сумму для интеграла I можно сделать сколь угодно близкой к сумме интегралов I 1 и I 2 . Таким образом, именно эта сумма и является пределом интегральных сумм, то есть интегралом I .

Для совсем аккуратного доказательства нам нужно показать, что если какое-нибудь разбиение отрезка [ a , c ] (не обязательно составленное как объединение разбиений по каждому из отрезков [ a , b ] и [ b , c ] ) является достаточно мелким, то соответствующая интегральная сумма близка к сумме двух интегралов. Чтобы это сделать, дополнительно разобьем отрезок разбиения, содержащий точку b , на два отрезочка поменьше — ровно по точке b . Разметку на новых отрезочках выберем произвольным образом. В результате этой операции мы попали в предыдущий случай: опять интегральная сумма, соответствующая I , является суммой интегральных сумм, соответствующих I 1 и I 2 . Однако, в результате дополнительного разбиения интегральная сумма, соответствующая I , изменилась. Легко показать, что изменилась она не сильно: изменения затронули лишь один отрезок исходного разбиения, и максимально возможное изменение соответствующей площади не превосходит ширины этого отрезка (маленькой, поскольку диаметр разбиения можно выбрать маленьким), умноженной на максимально возможное изменение значения функции f , ограниченное константой: если модуль функции f ограничен какой-то константой C , то модель разности её значений в двух разных точках не больше 2 C . А функция f ограничена в силу интегрируемости. Значит, погрешность, которая возникает из-за дополнительного разбиения отрезка, стремится к нулю вместе с диаметром разбиения, и следовательно не влияет на предел. ∎

Замечание 5. До сих пор в интегралах, с которыми мы работали, верхние пределы были больше нижних. Однако, свойство (24.5) позволяет расширить определение на противоположный случай естественным образом. Во-первых, очевидно, что если верхний предел совпадает с нижним, такой интеграл должен быть нулевым. Действительно, геометрически это соответствует тому, что мы рассматриваем площадь фигуры нулевой ширины, которая должна равняться нулю. Формально, можно в равенстве (24.5) положить b = a и получить

∫ b a f ( x ) d x = ∫ a a f ( x ) d x + ∫ b a f ( x ) d x ,
откуда следует, что
∫ a a f ( x ) d x = 0. (24.6)
Теперь положим в (24.5) c = a . Тогда слева будет ноль, и получится такое равенство:
0 = ∫ b a f ( x ) d x + ∫ a b f ( x ) d x ,
∫ a b f ( x ) d x = − ∫ b a f ( x ) d x . (24.7)

Иными словами, если в интеграле верхний конец меньше нижнего, то соответствующую площадь под кривой нужно брать с обратным знаком. Это единственный способ доопределить понятие интеграла таким образом, чтобы равенство (24.5) всегда выполнялось.

Также можно, заметить, что если мы в определнии интегральной суммы разрешим разбиения, идущие «справа налево», и перенумеруем элементы какого-то разбиения с конца

a = x n < x n − 1 < … < x 1 < x 0 = b ,

то в интегральной сумме (24.1) все Δ x k = x k − x k − 1 станут отрицательными, и знак интегральной суммы (а значит и интеграла) поменяется на противоположный. Это другой способ обсновать равенство (24.7) .

24.3 Заключение

Дифференцирование и интегрирование — два столпа математического анализа. В этой лекции, основываясь на геометрической задаче отыскания площади, мы начали строить теорию интеграла Римана — дали определение и обсудили несколько важных свойств. Однако, у нас пока нет ни малейших представлений о том, как считать интегралы, кроме как пользуясь определением — что не только муторно, но и редко когда приводит к успеху. На следующей лекции мы познакомимся к формулой Ньютона — Лейбница, связывающей интегрирование с дифференцированием — и с её помощью научимся вычислять некоторые (хотя и далеко не все) определенные интегралы.

2. Определенный интеграл, как предел интегральных сумм.

Пусть на отрезке , где b>a, задана функция. Выполним следующие четыре операции:

  1. разобьем отрезок на части точкамиПоложим. Набор точек деленияназовем разбиением отрезка, а величину d –диаметром разбиения;
  2. на каждом отрезке выберем какую-нибудь точку, вычислим значениев этой точке. Точкиназовем отмеченными точками;
  3. умножим значение на длину соответствующего отрезкаи сложим все найденные произведения. Суммы вида

, где (4) назовем (одномерными) интегральными суммами Римана для функции f по заданному разбиению отрезка;

  1. измельчим разбиение , т.е. добавим новые точки деления и найдем предел интегральных сумм (4) при(если он существует).

Введем понятие предела интегральных сумм при. Определение 1. Число I называется пределом интегральных сумм Римана при, если для любогосуществуеттакое, чтопри любом разбиенииотрезкас диаметром разбиениянезависимо от выбора отмеченных точек. Принята следующая запись этого определения: . Замечание. Очевидно, что число I не зависит от разбиенияотрезкаи от выбора отмеченных точек. Определение 2. Если интегральные суммы Римана (4) имеют предел при , то этот предел называется определенным (однократным) интегралом от функции f по отрезкуи обозначается.

Итак, по определению имеем

(5) В этом случае функцию f называют интегрируемой по Риману на отрезке . Числа a, b называют соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, функцию f – подынтегральной функцией, а выражение— подынтегральным выражением. Замечания:

  1. Определение 2 можно кратко сформулировать так: определенным интегралом от заданной функции по заданному отрезку называется предел интегральных сумм Римана для заданной функции при стремлении к нулю диаметров разбиений отрезков, порождающих интегральные суммы.
  2. Так как другие интегралы мы не рассматриваем, то вместо термина “интеграл Римана” будем просто употреблять интеграл.

В приведенных выше определениях существенно предполагалось, что . Обобщим понятие определенного интеграла на случай и.

3. Основные свойства определенного интеграла.

При по определения полагаем (6) Равенство (6) означает, что при перемене пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный. При по определению полагаем (7) Равенство (7) означает, что определенный интеграл с совпадающими пределами интегрирования равен нулю. Так как интегральная сумма (4) не зависит от того, какой буквой обозначен аргумент данной функции, то и ее предел, т.е. определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования: . Приведем условия, при которых функция является интегрируемой. Теорема 1. (необходимое условие интегрируемости). Если функция f интегрируема на отрезке , то она ограничена на этом отрезке. Доказательство. Допустим, что интегрируемая на функция не ограничена на нем. Тогда при любом разбиенииона окажется неограниченной по крайней мере на одном из отрезковразбиения. В этом случае, выбирая различными способами точку, можно сделать произведениесколь угодно большим. Значит интегральные суммы становятся сколь угодно большими за счет только выбора точеки не могут стремиться ни к какому пределу при. Следовательно, f не ин6тегрируема на. Из полученного противоречия и вытекает доказательство теоремы. Теорема 2. (достаточное условие интегрируемости). Непрерывная на отрезке функция f интегрируема на этом отрезке. Замечание. Свойство непрерывности функции является лишь достаточным условием ее интегрируемости. Иными словами могут существовать разрывные на, но интегрируемые на этом отрезке функции. Пример. Вычислить интеграл . Решение. Так как функция непрерывна на, то в силу теоремы 2 искомый интеграл существует. Вычислим его по формуле (5). Разобьем отрезок интегрированияна n равных частей и построим n полос одинаковой ширины. Абсциссы точек разбиения таковы:В качестве отмеченной точкивыберем левый конецоснования k- ой полосы. Составим интегральную сумму Римана: так как выражение в скобках есть сумма n членов геометрической прогрессии со знаменателем которая равна. Используя формулу (5), находим . Поскольку имеем . На основании правила Лопиталя получим Следовательно, . Этот пример показывает, что вычисление интеграла по формуле (5) громоздко и вызывает значительные трудности. Поэтому нам необходимо получить эффективный метод вычисления определенного интеграла. Такой метод будет изложен позже; он является следствием связи между определенными и неопределенными интегралами, открытой Ньютоном и Лейбницем. Вернемся к задаче о площади криволинейной трапеции. Так как правая часть равенства (2) есть интегральная сумма Римана, то учитывая формулу (5), получаем: если f(x) интегрируема и неотрицательна на , то определенный интеграл f(x) по отрезкуравен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями(геометрический смысл определенного интеграла в случае неотрицательности подынтегральной функции). Если подынтегральная функция отрицательная или меняет знак на, то в интегральной сумме (2) некоторые члены будут иметь знак минус. Тогда предел интегральной суммы, то есть определенный интеграл, будет равен алгебраической сумме площадей частей криволинейной трапеции, причем площади частей, лежащих выше оси Ox, берутся со знаком плюс, а площади частей, лежащих ниже оси Ox, — со знаком минус. Перейдем теперь к задаче о пройденном пути. Так как правая часть формулы (3) есть интегральная сумма, то в силу формулы (5), получаем: если скорость v(t) непрерывна и положительна на , то определенный интеграл от скорости v(t) по отрезку времениравен пути, пройденному точкой от момента t=a до момента t=b (механический смысл определенного интеграла). Пример. Вычислить , где Решение. Построим график подынтегральной функции. В силу геометрического определенного интеграла имеем , где S – площадь прямоугольного треугольника ABC. Так както Перечислим свойства, выраженные равенствами и неравенствами. 1) Если подынтегральная функция равна единице, то (8) Доказательство. Составим интегральную сумму; имеем . Переходя к пределу при, получаем равенство (8). 2) Если A – некоторое число и функция f(x) интегрируема на , то (9) Доказательство. Составим интегральную сумму для функции Af(x); имеем . Переходя к пределу при, получаем равенство (9). 3) Если и— две интегрируемые функции, определенные на отрезке, то (10) т.е. интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций. (Свойство 3) очевидным образом распространяется на сумму любого числа интегрируемых функций) Доказательство. Составим интегральную сумму (11) 4) Аддитивность интеграла как функции отрезка интегрирования. Если интегрируема на отрезке, то (12) т.е. если отрезок разделен на части, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям. Доказательство. При разбиении отрезка на части включим точкуc в число точек деления. Если , то Каждая из написанных выше сумм является интегральной соответственно для отрезков ,и. Переходя к пределу при, получаем равенство (12). 5) Если интегрируема на отрезкеи еслиa, b, c – точки этого отрезка, то (13) Доказательство. Если из точек a, b и c то крайней мере две совпадают, то равенство (13) очевидно. Пусть все эти точки различны. Если a, откуда. Домножая на (-1) и меняя пределы интегрирования в третьем интеграле, получаем формулу (13). Другие случаи взаимного расположения точек можно свести к свойству 4). 6) Монотонность. Если функции иинтегрируемы и удовлетворяют условиюи нижний предел интеграла не больше верхнего, то (14) Доказательство. При a=bравенство (14) очевидно. Если жеa. Переходя к пределу при, получим требуемое неравенство. 7) Оценка определенного интеграла. Если интегрируема на отрезкеи нижний предел интеграла не больше верхнего иf(x) удовлетворяет условию, то (15) В частности, если , то Свойство 7) имеет простой геометрический смысл: в случае, если подынтегральная функция неотрицательна на , то площадь криволинейной трапеции больше площади прямоугольника с высотойm, но меньше площади прямоугольника с высотойM. 8) Теорема о среднем значении. Если интегрируема на отрезкеиf(x) удовлетворяет условию, тогда существует такое число, что (16) Доказательство. Если a=bтогда равенство (16) очевидно. Если, то положим (17) Тогда из неравенств (15) вытекает, что , еслиaсредним значениемфункцииfна отрезке. Из свойства 8) вытекает следующее свойство. 9) Если функция f(x) непрерывна на отрезке, то найдется значениетакое, что (18) Для доказательства достаточно взять . Контрольные вопросы по теме занятия:

  1. Напомните определение первообразной.
  2. Дайте определение определенного интеграла.
  3. Вспомните формулу Ньютона-Лейбница.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *