Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения
Перейти к содержимому

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения

  • автор:

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения

Решить иррациональное уравнение

Предположим, что нам захотелось попробовать решить это иррациональное уравнение методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Проведем необходимые преобразования уравнений:

В результате проведенных преобразований иррациональное уравнение свелось к верному числовому равенству 0=0 . То есть, мы имеем дело с уравнением, сводящимся к числовому равенству. И вот здесь не стоит спешить с выводом, что искомым решением является любое число из ОДЗ для исходного уравнения (в нашем случае ОДЗ есть множество всех действительных чисел). Дело здесь в том, что мы дважды прибегали к возведению обеих частей уравнения в квадрат, а, как известно, возведение обеих частей уравнения в квадрат (и в другую четную степень) может быть неравносильным преобразованием и приводить к появлению посторонних корней в пределах ОДЗ. Так как же действовать дальше?

Здесь лучше всего выбрать другой способ решения. В нашем случае целесообразно выражения под корнями свернуть в квадраты двучленов, то есть, от иррационального уравнения перейти к равносильному уравнению , после чего перейти к равносильному уравнению с модулями и решить его. Покажем отдельно решение этого примера через переход к модулям.

Можно построить решение иррационального уравнения через определение корня. Покажем его, хотя оно значительно сложнее решения через переход к модулям, так как приводит к необходимости решения неравенств, одно из которых иррациональное:

Таким образом, решением уравнения является числовой отрезок от двух до трех.

Copyright © by cleverstudents

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Продолжаем изучать методы решения уравнений. Сейчас мы в деталях разберем метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Начнем с теории: рассмотрим, для решения каких уравнений применяется метод, опишем, в чем он состоит, приведем теоретическое обоснование метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, запишем соответствующие алгоритмы решения уравнений. После этого сосредоточимся на практике и рассмотрим разнообразные примеры решения уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Для решения каких уравнений применяется

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень в первую очередь применяется для решения иррациональных уравнений. Это объясняется тем, что возведение в натуральную и большую единицы степень позволяет избавляться от корней. Например, возведение в степень позволяет избавляться от корней при решении следующих уравнений:

  • , C≥0 , в частности, , и т.п. Возведение в квадрат обеих частей первого уравнения позволяет перейти к уравнению , и дальше – к сравнительно простому уравнению без знаков корней x 2 −5=4 . Аналогично, возведение обеих частей второго уравнения в шестую степень приводит к уравнению и дальше — к элементарному уравнению 4−5·x=0 .
  • , например, , и др. В первом случае избавиться от корня позволяет возведение обеих частей уравнения в квадрат, а во втором случае – в куб.
  • и , таких как , и подобные им. Для первого уравнения напрашивается возведение его обеих частей в квадрат, для второго – в шестую степень.
  • уравнений с двумя, тремя корнями в записи, например, и . В таких случаях для избавления от знаков радикалов к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же степень приходится обращаться дважды: первый раз в самом начале, второй раз – после преобразований и уединения радикала.
  • уравнений, в которых под знаком корня находятся другие корни, к примеру, . Здесь также к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же степень приходится прибегать два раза.
  • и это не весь список.

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень используется и для решения некоторых уравнений, в которых переменная находится в основаниях степеней с дробными показателями. Например, уравнение можно решить методом возведения его обеих частей в дробную степень 6/11 .

Также метод возведения частей уравнения в степень применяется при решении некоторых степенных уравнений, в которых фигурируют иррациональные показатели. В пример приведем два уравнения и . Возведение их обеих частей в одну и ту же степень (в первом случае в степень , во втором – в степень ) позволяет избавиться от степеней с иррациональными показателями и перейти к сравнительно простым уравнениям.

В чем состоит метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Метод состоит в переходе к уравнению, которое получается из исходного путем возведения его обеих частей в одну и ту же степень, и нахождении решения исходного уравнения по решению полученного уравнения.

На практике наиболее часто прибегают к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень, большую единицы, то есть, в квадрат, куб и т.д. Делается это на базе следующего утверждения:

Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную натуральную степень дает уравнение-следствие, а возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень, большую единицы, дает равносильное уравнение (см. равносильные уравнения и уравнения-следствия).

Реже приходится обращаться к возведению обеих частей уравнения в другие степени, в частности, в дробные рациональные и иррациональные. В этих случаях отталкиваются от такого утверждения:

Уравнение A(x)=B(x) , на области допустимых значений переменной x для которого A(x)>0 или A(x)≥0 , B(x)>0 или B(x)≥0 , равносильно уравнению A r (x)=B r (x) , где r – положительное действительное число.

Обоснование метода

Обоснованием метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень является доказательство утверждений из предыдущего пункта. Приведем эти доказательства.

Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную натуральную степень дает уравнение-следствие, а возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень дает равносильное уравнение.

Докажем его для уравнений с одной переменной. Для уравнений с несколькими переменными принципы доказательства те же.

Пусть A(x)=B(x) – исходное уравнение и x0 – его корень. Так как x0 является корнем этого уравнения, то A(x0)=B(x0) – верное числовое равенство. Мы знаем такое свойство числовых равенств: почленное умножение верных числовых равенств дает верное числовое равенство. Умножим почленно 2·k , где k – натуральное число, верных числовых равенств A(x0)=B(x0) , это нам даст верное числовое равенство A 2·k (x0)=B 2·k (x0) . А полученное равенство означает, что x0 является корнем уравнения A 2·k (x)=B 2·k (x) , которое получено из исходного уравнения путем возведения его обеих частей в одну и ту же четную натуральную степень 2·k .

Для обоснования возможности существования корня уравнения A 2·k (x)=B 2·k (x) , который не является корнем исходного уравнения A(x)=B(x) , достаточно привести пример. Рассмотрим иррациональное уравнение , и уравнение , которое получено из исходного путем возведением его обеих частей в квадрат. Несложно проверить, что нуль является корнем уравнения , действительно, , что то же самое 4=4 — верное равенство. Но при этом нуль является посторонним корнем для уравнения , так как после подстановки нуля получаем равенство , что то же самое 2=−2 , которое неверное. Этим доказано, что уравнение, полученное из исходного путем возведения его обеих частей в одну и ту же четную степень, может иметь корни, посторонние для исходного уравнения.

Так доказано, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную натуральную степень приводит к уравнению-следствию.

Остается доказать, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень дает равносильное уравнение.

Покажем, что каждый корень уравнения является корнем уравнения, полученного из исходного путем возведения его обеих частей в нечетную степень, и обратно, что каждый корень уравнения, полученного из исходного путем возведения его обеих частей в нечетную степень, является корнем исходного уравнения.

Пусть перед нами уравнение A(x)=B(x) . Пусть x0 – его корень. Тогда является верным числовое равенство A(x0)=B(x0) . Изучая свойства верных числовых равенств, мы узнали, что верные числовые равенства можно почленно умножать. Почленно умножив 2·k+1 , где k – натуральное число, верных числовых равенств A(x0)=B(x0) получим верное числовое равенство A 2·k+1 (x0)=B 2·k+1 (x0) , которое означает, что x0 является корнем уравнения A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . Теперь обратно. Пусть x0 – корень уравнения A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . Значит числовое равенство A 2·k+1 (x0)=B 2·k+1 (x0) — верное. В силу существования корня нечетной степени из любого действительного числа и его единственности будет верным и равенство . Оно в свою очередь в силу тождества , где a – любое действительное число, которое следует из свойств корней и степеней, может быть переписано как A(x0)=B(x0) . А это означает, что x0 является корнем уравнения A(x)=B(x) .

Так доказано, что возведение обеих частей иррационального уравнения в нечетную степень дает равносильное уравнение.

Доказанное утверждение пополняет известный нам арсенал, использующийся для решения уравнений, еще одним преобразованием уравнений – возведением обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень. Возведение в одну и ту же четную степень обеих частей уравнения является преобразованием, приводящим к уравнению-следствию, а возведение в нечетную степень – равносильным преобразованием. На этом преобразовании базируется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Утверждение, касающееся возведения обеих частей уравнения в одну и ту же положительную действительную степень, доказывается аналогично с опорой на единственность степени положительного числа с действительным показателем.

Алгоритмы решения уравнений методом возведения частей в одну и ту же степень

Есть смысл записать три алгоритма решения уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень: первый – для возведения в нечетную степень, второй – для возведения в четную степень, третий – для возведения в ненатуральную положительную степень.

Алгоритм решения уравнений методом возведения обеих частей в одну и ту же нечетную степень:

  1. Обе части уравнения возводятся в одну и ту же нечетную степень 2·k+1 .
  2. Решается полученное уравнение. Его решение есть решение исходного уравнения.

Алгоритм решения уравнений методом возведения обеих частей в одну и ту же четную степень:

  1. Обе части уравнения возводятся в одну и ту же четную степень 2·k .
  2. Решается полученное уравнение.
    • Если полученное уравнение не имеет корней, то делается вывод об отсутствии корней у исходного уравнения.
    • Если полученное уравнение имеет корни, то проводится отсеивание посторонних корней любым методом, не завязанным на области допустимых значений, например, через проверку подстановкой.

Обратите внимание: этот алгоритм, в отличие от предыдущего, содержит пункт, касающийся отсеивания посторонних корней. Это связано с тем, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень приводит к равносильному уравнению, а возведение обеих частей уравнения в четную степень в общем случае приводит к уравнению-следствию. Поэтому, в результате возведения в нечетную степень посторонние корни не возникают, а при возведении в четную степень посторонние корни могут появиться. Таким образом, при возведении частей уравнения в четную степень возникает необходимость в отсеивании посторонних корней. Почему отсеивание посторонних корней в этом случае нужно проводить методом, не использующим ОДЗ? Потому что возведение обеих частей уравнения в четную степень может приводить к появлению посторонних корней в пределах ОДЗ, и отсеять их по ОДЗ или по условиям ОДЗ невозможно.

Наконец, запишем алгоритм решения уравнений методом возведения обеих частей в одну и ту же положительную дробную рациональную или иррациональную степень:

  1. Убеждаемся, что выражения в левой и правой части уравнения не принимают отрицательных значений на ОДЗ для решаемого уравнения.
  2. Возводим обе части уравнения в одну и ту же положительную степень.
  3. Решаем полученное уравнение. Его решение дает искомое решение исходного уравнения.

Примеры решения уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Большое количество попадающих под разбираемую тему примеров с подробными решениями приведено в статье решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей в одну и ту же степень. В добавление к этим примерам стоит разобрать решение уравнения через возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, не являющуюся натуральным числом.

Решать заданное уравнение можно несколькими разными методами. Например, можно провести решение методом логарифмирования. Также можно преобразовать уравнение к виду и перейти к уравнению на основании метода освобождения от внешней функции, или, сославшись на единственность степени с данным основанием и данным показателем. Но в рамках текущей статьи нас интересует решение уравнения методом возведения его обеих частей в одну и ту же степень, поэтому, проведем решение именно этим методом.

Учитывая свойство степени в степени (см. свойства степеней), несложно догадаться, что избавиться от иррациональных показателей позволяет возведение обеих частей уравнения в степень . Здесь мимоходом заметим, что — положительное число (при необходимости смотрите сравнение чисел), и при этом не натуральное. Мы вправе осуществить задуманное возведение частей уравнения в положительную ненатуральную степень, так как степени, находящиеся в левой и правой части исходного уравнения, на ОДЗ для исходного уравнения не принимают отрицательных значений. При этом мы получим равносильное уравнение, что было обосновано в одном из предыдущих пунктов текущей статьи.

Итак, проводим возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень . Имеем . Это уравнение равносильно исходному, значит, решив его, мы будем иметь интересующее нас решение.

Решаем полученное уравнение:

Так мы пришли к кубическому уравнению x 3 −x 2 +2=0 . Один его корень x=−1 легко подбирается. Разделив многочлен x 3 −x 2 +2 на двучлен x+1 , получаем возможность представить кубическое уравнение в виде (x+1)·(x 2 −2·x+2)=0 . Квадратное уравнение x 2 −2·x+2=0 не имеет решений, так как его дискриминант отрицательный. Из этого заключаем, что уравнение x 3 −x 2 +2=0 имеет единственный корень x=−1 .

В процессе решения мы дважды отмечали, что нам будет необходимо сделать проверку найденных корней. Сейчас пришло это время. Проверку выполним через подстановку найденного корня x=−1 в исходное уравнение , имеем

Почему нельзя возвести в квадрат обе части уравнения?

Каким образом можно сравнить обе части уравнения?
Доброго времени суток, возник вопрос с сравнением обеих частей уравнения (от-но n), каким образом.

Возвести первое число в квадрат, а второе возвести в четвертую степень
С клавиатуры вводится два трёхзначных числа. Возвести первое число в квадрат, а второе возвести в.

Если введенное число отрицательное и четное, то возвести его в 3 степень, иначе возвести в квадрат
Ввести целое число В. Если В отрицательное и четное, то возвести его в 3 степень, иначе возвести в.

Дано вещественное число. Если оно отрицательно, то вычислить модуль этого числа и возвести его в куб, в противном случае возвести число в квадрат.
Помогите пожалуйста, через 2 часа сдавать. Дано вещественное число. Если оно отрицательно, то.

Возведение обеих частей уравнения в квадрат

Пусть даны два уравнения (1) и . Если — корень первого уравнения, то верно равенство . Из равенства двух чисел вытекает равенство их квадратов, т.е. , а это означает, что — корень уравнения (2). Значит из уравнения (1) следует уравнение (2).

В то же время из равенства квадратов чисел не следует равенство этих чисел (числа могут быть противоположенными). Поэтому из уравнения (2) не следует уравнение (1). Отсюда вытекает, что если при решении уравнения использовалось возведение обеих частей уравнения в квадрат, то нужно повести дополнительное исследование, позволяющее исключить «посторонние» корни, если они появились.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Возведем обе части этого уравнения в квадрат.

; .Тогда , .

Если , то , равенство не верно, следовательно, -1- не является корнем исходного уравнения.

Если , то 4=4, равенство верно.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень: 4.

3. Выполнение в одной части (или в обеих частях) уравнения тождественных преобразований, приводящих к расширению области определения равнения.

Если некоторое тождественное преобразование привело к расширению области определения уравнения, то получаем уравнения — следствие. При этом могут существовать такие значения переменной, которые являются корнями исходного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Выполнив приведение подобных слагаемых, получим: . Тогда , .

Если , то выражение не имеет смысла.

Если , то , равенство верно.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень:5.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. или . Тогда , .

Если , то выражение не имеет смысла.

Если , то , равенство верно.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень:-2.

Если при решении уравнения мы заменили его уравнением — следствием, то указанная выше проверка является неотъемлемой частью решения уравнения. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в следствие.

Рассмотрим уравнение (3) и умножим обе части его на одно и тоже выражение , имеющее смысл при всех значениях . Получим уравнение: (4), корнями которого служат как корни уравнения (3), так и корни уравнения .

Значит, уравнение (4) есть следствие уравнения (3). Ясно, что уравнения (3) и (4) равносильны, если «постороннее» уравнение не имеет корней. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если обе части уравнения умножить на , то получится уравнение, являющееся следствием исходного. Если уравнение не имеет корней, то полученное уравнение равносильно исходному (если область допустимых значений не уже области допустимых значений переменной данного уравнения).

Заметим, что подобное преобразование, т.е. переход от уравнения (4) к уравнению (3) делением обеих частей уравнения (4) на выражение , как правило, недопустимо, поскольку можно привести к потери корней, в этом случае могут «потеряться» корни уравнения .

Пример 2. Уравнение имеет два корня: 3 и 4.

Деление обеих частей уравнения на приводит к уравнению , имеющий только один корень 4, т.е. произошла потеря корня.

Снова возьмем уравнение (3) и возведем обе его части в квадрат. Получим уравнение: (5), корнями которого служат как корни уравнения (3), так и корни «постороннего» уравнения . Ясно, что уравнения (3) и (5) равносильны, если у «постороннего» уравнения нет корней.

Пример 3. Уравнение имеет корень 4. Если обе части этого уравнения возвести в квадрат, то получится уравнение , имеющие два корня: -2 и 4. Значит, уравнение — следствие уравнения . При переходе от уравнения к уравнению появился «посторонний» корень: -2.

Теорема 2. При возведении обеих частей уравнения в квадрат (и вообще в любую четную степень) получается уравнение, являющееся следствием исходного.

При решении иррационального уравнения чаще всего стараются заменить его более простым, но равносильным исходному. Поэтому важно знать равносильные преобразования.

Определение 10. Уравнение, имеющее одни и те же корни, называют равносильными уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными. Другими словами два уравнения называют равносильными, если множества их решений совпадают. Равносильность обозначается следующим образом: .

Пример 1. Уравнения и равносильны, т.к. каждое из них имеет единственный корень – число 3. .

Пример 2. Уравнения и не равносильны, т.к. первое имеет только один корень: 6, а второе имеет два корня: 6 и -6.

Пример 3. Уравнения и равносильны, т.к. множества их решений пусты. .

Определение 11. Пусть даны уравнения и и некоторое множество М. Если любой корень первого уравнения, принадлежащий множеству М, удовлетворяют второму уравнению, а любой корень второго уравнения, принадлежащий множеству М, удовлетворяет первому уравнению, то эти уравнения называются равносильными на множестве М.

Пример 1. и не являются равносильными на множестве всех действительных чисел, т.к. первое уравнение имеет единственный корень 1, а второе имеет два корня: -1 и 1. Но эти уравнения равносильны на множестве всех неотрицательных чисел, т.к. каждое из них имеет на этом множестве единственный корень: 1.

Отметим, что часто множество М совпадает либо с ОДЗ уравнения , либо множеством всех действительных чисел.

Имеется ряд теорем о равносильности уравнений.

Теорема 3. При возведении обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень получается уравнение, равносильное исходному.

Теорема 4. Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное исходному.

Пример 1. .

Теорема 5. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже отличное от ноля число, то получится уравнение, равносильное исходному.

Пример 1. (обе части первого уравнения разделили на 2).

Теорема 6. Если в какой либо части уравнения выполнить тождественные преобразования, не меняющие области определения уравнения, то получится уравнение, равносильное исходному.

В школьной практике при решении иррациональных уравнений чаще всего используются два основных метода:

1) обеих частей уравнения в одну и ту же степень;

2) введение новых (вспомогательных) переменных.

Эти методы будем считать стандартными. В обязательном школьном курсе обычно этими методами и ограничиваются. Однако иногда приходится применять нестандартные методы и искусственные приемы решения иррациональных уравнений.

Типичная ошибка при решении иррациональных уравнений состоит в том, что школьники без дополнительных пояснений используют преобразования, нарушающие равносильность, что приводит к потере корней и появлению «посторонних» корней.

При возведении обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень надо иметь в виду, что если степень — не четное число, то получим равносильное уравнение, если же степень — четное число, то получим уравнение — следствие. Поэтому при решении иррациональных уравнений в большинстве случаев необходима проверка найденных решений.

Проверки можно избежать, если решать иррациональные уравнения с помощью равносильных замен. Для этого полезно знать следующие теоремы.

Теорема 7. Уравнение вида равносильно смешанной системе

Теорема 8. Уравнение вида или .

Далее рассмотрим более подробно типы иррациональных уравнений и методы их решения.

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения

УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.

§ 5. Возведение уравнений в степень и извлечение из них корня.

От возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень получается новое уравнение, вообще говоря, несовместное с прежним, потому что это новое уравнение удовлетворяется не только всеми корнями прежнего уравнения, но содержит еще лишние корни, принадлежащие особому уравнению, дополнительному к данному.

Так, если уравнeниe А=В возвeдем в квадрат, то получим новоe уравнeниe А 2 =В 2 , котороe можем замeнить через А 2 —В 2 =0, а послeднee разлагается на уравнeниe А—В=0, или А=:В (данное) и уравнениe А+В = 0, или А=—В (дополнитeльноe).

Если уравнeниe А=В возведeм в куб, то получим новое уравнeниe А 3 =В 3 , или
А 3 —В 3 = 0. Но послeднee, будучи написано в видe (А—В)(А 2 + АВ+ В 2 )=0, разлагается на уравнениe А—В=0, или А=В (данноe) и уравнение А 2 + АВ+ В 2 =0 (дополнительноe).

То жe замeчание относитея и к возведению в другие, высшие степени.

Возвести нижeуказанные уравнения в квадраты и опредeлить лишние, внeсенные этим дeйствием, рeшeния:

Возвести нижеуказанные уравнения в куб, опредeлить лишние рeшения и провeрить эти рeшeния подстановкой их в уравнения, получаемые от возвeдения в куб данных уравнeний:

Из вышeприведенной теоремы о возведении уравнeния в степень видно, что, при извлечении корня из обeих частей уравнeния, число рeшений этого уравнения уменьшается, и потому для восстановления общности данного уравнения нужно рссматривать нe только то уравневиe, котороe получаeтся из данного нeпосредствeнным извлeчeнием корня, но и уравнение, дополнительноe к получаемому.

Так, извлекая квадратный корень из уравнения А 2 =В 2 , нужно рассматривать не только уравнeние А=В, но и дополнительное к нему А = —В.

Извлекая кубический корeнь из уравнения А 3 =В 3 , нужно выражать рeшeниe уравнeнием А=В и eще дополнитeльным к нему уравнениeм А 2 + АВ+ В 2 = 0

То жe относится и к извлечeнию корнeй с высшими показателями.

Рeшить нижеслeдующия уравнения посрeдством извлeчeния квадратного корня:

Рeшить нижеслeдующие уравнения посредством извлечения кубического корня:

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

Понятие модуля | Возведение уравнения в квадрат

Данный способ заключается в возведении обеих частей уравнения в квадрат. Это можно сделать, если правая и левая части находятся под знаком модуля. Так как модуль всегда не отрицательное число, то в обеих частях уравнения имеем не отрицательное число, что и позволяет произвести возведение в квадрат.

Пример: решить уравнение

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

Обе части уравнения не отрицательные числа, то возведем в квадрат обе части уравнения. Получим

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

Перенесем все в левую часть

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

Воспользуемся формулой разность квадратов

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

Найдем корни x=0, x=-6, это и будет ответ.

Видео: Контрольная работа. Уравнения с МОДУЛЕМ Скачать

Контрольная работа. Уравнения с МОДУЛЕМ

Графический способ решения уравнений с модулем

Графический способ решения заключается в построении графиков функций, входящий в уравнение. Корнями уравнения будут точки пересечения графиков.

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

Пример: решить уравнение графическим способом.

Вначале выделим из уравнения функции, графики которых необходимо построить. Это будут две функции содержащие модули.

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулемКогда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

1) Для того чтобы построить график первой функции необходимо построить график функции y= а затем все что находится ниже оси Ox симметрично относительно оси Ox отобразить выше этой оси.

Получим такой график.

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулемКогда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулемКогда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

2) График функции будет представлять график функции , сдвинутый на a и перевернутый из-за минуса. Таких графиков можно построить много, но нам нужны только те, которые пересекутся с графиком первой функции. Поэтому построим несколько из возможных и посмотрим которые нам подойдут.

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

Из рисунка видно, что у нас получилось только две точки пересечения. Это при a=0 x=0 и при a=1 x=1. При остальных значениях a уравнение не имеет решений.

Видео: Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | Математика Скачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | Математика

Уравнения с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)

Видео: Уравнение с модулем Скачать

Уравнение с модулем

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Видео: 2.4 Решение уравнений с модулем вида |f(x)|=|g(x)| Скачать

2.4 Решение уравнений с модулем вида |f(x)|=|g(x)|

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Стало быть, годятся лишь и .

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

Ответ:

Видео: ✓ Как возводить в иррациональную степень | Ботай со мной #017 | Борис Трушин Скачать

✓ Как возводить в иррациональную степень | Ботай со мной #017 | Борис Трушин

Квадратные уравнения с заменой |x| = t

Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

Видео: Как решать уравнение с модулем Уравнение с модулями как решать Как раскрыть модуль в уравнении Скачать

Как решать уравнение с модулем Уравнение с модулями как решать Как раскрыть модуль в уравнении

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Видео: МОДУЛЬ �� #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ Скачать

МОДУЛЬ �� #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Два или несколько модулей

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Видео: СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные Уравнения Скачать

СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные Уравнения

Модуль в модуле

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

1.1) Получаем в этом случае:

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

1.2) . Тогда:

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения с модулем

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.

Видео: УРАВНЕНИЕ С МОДУЛЯМИ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ Скачать

УРАВНЕНИЕ С МОДУЛЯМИ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ

Алгебра

Помощь студентам в решении контрольных и курсовых работ

Подготовка к дипломной, повышение уникальности

Помощь студентам в решении контрольных и курсовых работ

Консультация, сбор материала, повышение уникальности

Помощь в подготовке дипломной. Сопровождение до защиты!

План урока:

Видео: Квадратные уравнения с модулем. Скачать

Квадратные уравнения с модулем.

Модуль числа

Напомним, что такое модуль числа. Так называют значение числа, взятое без учета его знака. То есть модуль чисел 9 и (– 9) одинаков и равен 9. Для обозначения модуля применяют специальные прямоугольные скобки:

|2,536| = |– 2,536| = 2,536

Грубо говоря, операция нахождения модуля сводится к отбрасыванию у числа знака «минус», если он у него есть. Вообще, если число х неотрицательно, то его модуль |х| = х. Если же число отрицательно, то его модуль имеет противоположное значение: |х| = х. Математически это можно записать так:

Именно такое определение обычно и применяется в математике.

Модуль играет важную роль в математике. Дело в том, с его помощью удобно записывать расстояние между двумя точками на координатной прямой. Пусть на ней отмечены точки a и b. Расстояние между ними равно |a – b|, причем неважно, какое из этих чисел больше, а какое меньше:

Также модуль возникает при извлечении квадратного корня из четной степени числа:

В частности, если n = 1, получим формулу:

Для того чтобы получить график функции у = |x|, сначала надо построить график функции без учета знака модуля:

Далее следует выполнить преобразование. Те точки графика, которые располагаются выше оси Ох, остаются на своем месте. В данном случае это та часть графика, которая находится в I четверти. Те же точки, которые располагаются ниже оси Ох, должны быть симметрично (относительно этой самой оси Ох) отображены. В результате они окажутся выше оси Ох:

В результате получилась «галочка».

Пример. Постройте график ф-ции у = |х 2 – 4х + 3|

Решение. Для построения графика функции, содержащей модуль, сначала надо построить график для «подмодульного» выражения. Поэтому построим график у = х 2 – 4х + 3. Это квадратичная ф-ция, ее график – это парабола:

Часть графика, в промежутке от 1 до 3, находится ниже оси Ох. Чтобы построить ф-цию у = |х 2 – 4х + 3|, надо перевернуть эту часть графика:

Видео: Уравнение с корнем и модулем. Скачать

Уравнение с корнем и модулем.

Решение уравнений с модулем

Изучим простейший случай уравнения, содержащего модуль, когда вся его слева записано выр-ние в модульных скобках, а справа находится число. То есть уравнение имеет вид

где b – какое-то число, а у(х) – произвольная ф-ция.

Если b 10 + 97x 4 – 12,56х 3 + 52х 2 + 1001х – 1234| = – 15

Решение: Справа стоит отрицательное число. Однако модуль не может быть меньше нуля. Это значит, что у ур-ния отсутствуют корни.

Ответ: корни отсутствуют.

Если b = 0, то мы получим какое-то произвольное ур-ние у(х) = 0, у которого могут быть корни. Проще говоря, модульные скобки в таком случае можно просто убрать.

Пример. Решите ур-ние

Ясно, что подмодульное выр-ние равно нулю:

Наиболее интересен случай, когда b> 0, то есть в правой части стоит положительное число. Ясно, что тогда под модулем находится либо само это число b, либо противоположное ему число – b:

То есть мы получаем два различных ур-ния: у(х) = bи у(х) = – b.

Пример. Решите ур-ние

Решение. В правой части – положительное число, поэтому либо х = – 10, либо х = 10.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Исходное ур-ние разбивается на два других ур-ния:

10х + 5 = 7 или 10х + 5 = – 7

10х = 2 или 10х = – 12

х = 0,2 или х = – 1,2

Пример. Найдите корни ур-ния

Решение. Снова заменим исходное равенство на два других:

x 2 – 2х – 4 = 4 или x 2 – 2х – 4 = – 4

Имеем два квадратных ур-ния. Решим каждое из них:

D = b 2 – 4ас = (– 2) 2 – 4•1•(– 8) = 4 + 32 = 36

Нашли корни (– 2) и 4. Решаем второе ур-ние:

х = 0 или х – 2 = 0

Получили ещё два корня: 0 и 2.

Встречаются случаи, когда в уравнении, содержащем знак модуля, под ним находятся обе части равенства:

Здесь возможны два варианта. Либо подмодульные выр-ния равны друг другу (у(х) = g(x)), либо у них противоположные значения (у(х) = – g(x)). То есть снова надо решить два ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

|x 2 + 2x– 1| = |х + 1|

Решение. Выр-ния справа и слева (без знака модуля) либо равны, либо противоположны. Можно составить два ур-ния:

x 2 + 2x– 1 = х + 1 или x 2 + 2x– 1 = – (х + 1)

х 2 + х – 2 = 0 или х 2 + 3х = 0

Решим 1-ое ур-ние:

D = b 2 – 4ас = 1 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Теперь переходим ко 2-омуур-нию:

х = 0 или х + 3 = 0

Всего удалось найти 4 корня: (– 1), (– 2), 2 и 0.

Возможен случай, когда в левой части равенства находится модуль выр-ния, а в правой – обычное выражение, без модуля. Такое ур-ние имеет вид |у(х)| = g(x). Здесь также возможны два варианта: у(х) = g(x) или у(х) = – g(x). Однако следует учитывать ещё один факт. Модуль не может быть отрицательным, а потому должно выполняться нер-во g(x)⩾ 0. Но это неравенство не надо решать. Достаточно просто подставить в него все полученные корни и проверить, справедливо ли нер-во.

Пример. Найдите решение уравнения, содержащего модуль:

|х 2 + 3,5х – 20| = 4,5х

Решение. Рассмотрим два отдельных равенства:

х 2 + 3,5х – 20 = 4,5х илих 2 + 3,5х – 20 = – 4,5х

х 2 – х – 20 = 0 или х 2 + 8х – 20 = 0

Решим каждое из полученных квадратных ур-ний.

D = b 2 – 4ас = 1 2 – 4•1•(– 20) = 1 + 80 = 81

D = b 2 – 4ас = 8 2 – 4•1•(– 20) = 64 + 80 = 144

Итак, получили 4 корня: (– 4), 5, (– 10) и 2. Однако правая часть исходного ур-ния, 4,5x, не может быть отрицательной, ведь модуль числа – это всегда неотрицательная величина:

Для х = – 4 и х = – 10 это условие не выполняется, поэтому эти корни должны быть исключены.

Мы рассмотрели три случая, когда ур-ние имеет вид:

Однако порою ур-ние не удается свести ни к одному из этих видов. Тогда для решения уравнений и неравенств, содержащих модуль, следует рассматривать их на отдельных интервалах, где подмодульные выр-ния не изменяют свой знак.

Пример. Найдите корни ур-ния

Решение. Выр-ния х + 1 и х – 4 меняют знак при переходе через точки (– 1) и 4:

Если отметить обе точки на прямой, то они образуют на ней 3 интервала:

Исследуем ур-ние на каждом из полученных промежутков.

Так как при х 2 + bx + c = 0

Параметры встречаются не только при описании ур-ний, но и, например, при рассмотрении функций. Так, линейная функция задается формулой у = kx + b. Здесь числа k и b являются параметрами. Так как ур-ние у = kx + b задает на плоскости прямую линию, то величины k и b порою называют параметрами уравнения прямой.

Если при решении обычного ур-ния мы определяем значение его корней в виде конкретных чисел, то при решении ур-ний с параметром находят формулу, позволяющую при заданном значении параметра вычислить значение корня.

Пример. Решите ур-ние

и найдите его корни при значении параметра а, равном 3.

Решение. Вынесем множитель х за скобки:

х = 0 или х – 2а = 0

Получили, что при любом значении параметра а ур-ние имеет два корня. Один из них равен нулю при любом значении а, а второй вычисляется по формуле х = 2а:

при а = 3х = 2•3 = 6

Ответ: есть два корня – 0 и 2а. При а = 2 корни равны 0 и 6.

Пример. Решите ур-ние

р 2 х – 3рх = р 2 – 9

Решение. Слева вынесем за скобки множитель рх, а выр-ние справа преобразуем, используя формулу разности квадратов:

рх(р – 3) = (р – 3)(р + 3)

Возникает желание поделить обе части рав-ва на р(р – 3), чтобы выразить х. Однако сразу так делать нельзя, ведь если величина р(р – 3) равна нулю, то получится деление на ноль.

Поэтому сначала изучим случаи, когда один из множителей слева равен нулю. Если р = 0, то мы получим рав-во

0•х•(0 – 3) = (0 – 3) (3 – 0)

Это неверное тождество, а потому при р = 0 ур-ние корней не имеет.

Если р – 3 = 0, то есть р = 3, получится следующее

Это равенство верно при любом х. Значит, при р = 3 корнем ур-ния является любое число.

Если же р≠ 0 и р ≠ 3, то произведение р(р – 3) также не равно нулю, а потому обе части равенства можно поделить на р(р – 3). Тогда получим

В этом случае ур-ние имеет единственный корень.

Ответ: при р = 0 корней нет; при р = 3 корнем является любое число; при других рх = (р + 3)/р.

Часто в задаче требуется не выразить корень ур-ния через параметр, а лишь оценить количество корней ур-ния или диапазон их значений.

Пример. Сколько корней имеет ур-ние

при различных значениях параметра b.

Решение. Будем решать ур-ние графическим методом. Для этого сначала построим график у = |х 2 – 6х + 5|. В модульных скобках находится обычная квадратичная функция, чьи ветви смотрят вверх. Найдем нули функции:

D = b 2 – 4ас = (– 6) 2 – 4•1•5 = 36 + 20 = 16

Итак, нули ф-ции – это точки 1 и 5. Найдем координату х0 вершины параболы по формуле:

Подставив х0 в квадратичную ф-цию найдем координату у0 вершины параболы:

3 2 – 6•3 + 5 = 9 – 18 + 5 = – 4

Теперь построим квадратичную ф-цию:

Для построения графика, содержащего модуль функции, надо отобразить точки с отрицательными ординатами (они находятся ниже оси Ох) симметрично относительно оси Ох:

Мы построили график левой части ур-ния. График правой части представляет собой горизонтальную прямую у = b. Можно выделить 5 различных случаев взаимного расположения этих графиков:

При b 4 есть горизонтальная прямая пересекает график лишь в 2 точках, то есть получаем 2 корня.

Ответ: нет корней при b 4; 3 корня при b = 4; 4 корня при 0 4 – (а + 2)х 2 + 3а – 3 = 0

имеет ровно 4 корня?

Решение. Это ур-ние является биквадратным, то есть для его решения нужно произвести замену у = х 2 :

у 2 – (а + 2)у + 3а – 3 = 0 (1)

Для того, чтобы исходное ур-ние имело 4 корня, необходимо, чтобы у квадратного уравнения с параметром(1) было два положительных корня: у1 и у2. Тогда, проводя обратную замену х 2 = у1 и х 2 = у2, мы получим два разных квадратных ур-ния, корни которых будут равны

Если же хоть один из двух корней, например, у1, окажется равным нулю, то величины

Совпадут (они обе будут равны нулю), и останется лишь 3 корня. Если же у1 будет отрицательным числом, то ур-ние

вовсе не будет иметь решений, и тогда останется не более 2 корней.

Итак, решим ур-ние (1):

у 2 – (а + 2)у + 3а – 3 = 0

D = b 2 – 4ас = (– (а + 2)) 2 – 4•1•(3а – 3) = (а + 2) 2 – 12 а + 12 =

= а 2 + 4а + 4 – 12а + 12 = а 2 – 8а + 16 = а 2 – 2•4•а + 4 2 = (а – 4) 2

Чтобы у ур-ния (1) было два различных корня, дискриминант должен быть положительным. Величина (а – 4) 2 положительна при всех значениях а, кроме а = 4, которое обращает дискриминант в ноль. Значит, а ≠ 4.

Извлечем корень из дискриминанта:

Корни ур-ния (1) можно вычислить по формулам:

И у1, и у2 должны быть положительными величинами, однако у1 меньше, чем у2 (ведь для его вычисления дискриминант брали со знаком «минус», а не «плюс»). Поэтому достаточно записать нер-во:

Получили неравенство, содержащее модуль. Для избавления от модульных скобок в нер-ве рассмотрим 2 случая. Если а – 4>0, то есть а > 4, выполняется равенство

Это нер-во выполняется при любом допустимом значении а, поэтому при а >4 исходное ур-ние имеет 4 корня.

Итак, при условии, что а 1. Это значит, что а∊(1; 4). С учетом первого случая, при котором было получено решение

можно записать окончательный ответ: а∊(1; 4)∪(4; + ∞).

Пример. При каких параметрах а у ур-ния

х 2 – 2(а + 1)х + а 2 + 2а – 3 = 0

существует два корня, которые принадлежат интервалу (– 5; 5)?

Решение. Данное ур-ние является квадратным. Найдем его дискриминант:

D = b 2 – 4ас = (– 2(а + 1)) 2 – 4•1•( а 2 + 2а – 3) = 4(а 2 + 2а + 1) – 4(а 2 + 2а – 3) =

= 4(а 2 + 2а + 1 – а 2 – 2а + 3) = 4•4 = 16

Получаем, что при любом а дискриминант положителен, а потому уур-ния 2 корня. Вычислить их можно по формулам

Для того, чтобы оба решения уравнения с параметром принадлежали интервалу (– 5; 5), нужно, чтобы меньший из них (это х1) был больше – 5, больший (это х2) – меньше – 5:

Значит, должны выполняться два нер-ва

х1>– 5и х2 – 5 и а + 3 – 4 и а 1 (-1)

�� Видео

Возведение иррационального уравнения в квадрат Скачать

Возведение иррационального уравнения в квадрат

Иррациональное неравенство с модулем или как расположить корни квадратных трехчленов Скачать

Иррациональное неравенство с модулем или как расположить корни квадратных трехчленов

Уравнение с двумя модулями #3 Скачать

Уравнение с двумя модулями #3

Геометрический метод. Уравнения с Модулем Часть 3 из 3 Скачать

Геометрический метод. Уравнения с Модулем Часть 3 из 3

8 класс, 37 урок, Уравнения с модулями Скачать

8 класс, 37 урок, Уравнения с модулями

Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнем Скачать

Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнем

Неравенства с модулем | Математика | TutorOnline Скачать

Неравенства с модулем | Математика | TutorOnline

Универсальный метод или как избавиться от модуля Скачать

Когда можно возводить в квадрат обе части уравнения

khokku.ru

В математике существует множество методов и приемов для решения уравнений. Одним из таких приемов является применение операции возведения в квадрат к обеим сторонам уравнения. Однако этот прием не всегда применим и требует определенных условий.

Операция возведения в квадрат заключается в умножении числа на себя. Когда мы применяем эту операцию к обеим сторонам уравнения, мы получаем новое уравнение, которое имеет те же корни, что и исходное уравнение.

Операцию возведения в квадрат можно применять к обеим сторонам уравнения, если оно состоит из двух выражений, связанных знаком равенства. Это позволяет нам перейти к новому уравнению, которое имеет те же корни, что и исходное.

Однако следует отметить, что операцию возведения в квадрат нельзя применять к обеим сторонам уравнения, если оно содержит более сложные математические операции, такие как возведение в степень, извлечение корня или логарифмирование. В таких случаях необходимо использовать другие методы решения уравнений.

Когда применять операцию возведения в квадрат к обеим сторонам уравнения

Операция возведения в квадрат является одной из основных операций в алгебре. Она позволяет получить значение числа, умноженного на само себя. Применение этой операции к обеим сторонам уравнения может быть полезным при решении некоторых задач. Ниже приведены случаи, когда можно применять это действие:

  1. Уравнение содержит квадраты переменных. Если уравнение содержит квадраты переменных, применение операции возведения в квадрат к обеим сторонам может помочь упростить уравнение и найти его решение. Например:
Исходное уравнение Применение операции возведения в квадрат Упрощенное уравнение Решение
x 2 = 9 x 2 (x) 2 x = ±3 x = 3 или x = -3
  1. Уравнение содержит квадратный корень. Если уравнение содержит квадратный корень и вам нужно избавиться от него, применение операции возведения в квадрат к обеим сторонам поможет упростить уравнение. Однако, в этом случае важно помнить о том, что уравнение может иметь дополнительные решения, которые не являются решениями исходного уравнения. Например:
Исходное уравнение Применение операции возведения в квадрат Упрощенное уравнение Решение
x = 4 (√x) 2 x x = 16 x = 16
  1. Уравнение требует использования метода квадратного трехчлена. В некоторых случаях, для решения уравнения требуется использование метода квадратного трехчлена. Применение операции возведения в квадрат к обеим сторонам уравнения может помочь сократить выражение и упростить решение задачи. Например:
Исходное уравнение Применение операции возведения в квадрат Упрощенное уравнение Решение
a + b = ∂ (c) 2 (a + b) 2 (c) 2 a 2 + 2ab + b 2 = c 2 Решение зависит от конкретных значений a, b, c

Важно помнить, что применение операции возведения в квадрат к обеим сторонам уравнения может приводить к появлению дополнительных решений, которые не являются решениями исходного уравнения. Поэтому при использовании этого метода необходимо проверять полученные решения путем подстановки в исходное уравнение и убедиться, что они удовлетворяют данному уравнению.

Стандартное уравнение вида «ax^2 + bx + c = 0»

Стандартное квадратное уравнение имеет вид:

где a, b и c являются коэффициентами уравнения, и x — неизвестная переменная.

В таком уравнении, коэффициент a не равен нулю, так как в противном случае уравнение примет вид линейного уравнения bx + c = 0.

Для решения таких уравнений можно использовать различные методы, включая применение операции возведения в квадрат к обеим сторонам уравнения.

Применение операции возведения в квадрат к обеим сторонам уравнения позволяет получить новое уравнение, которое имеет тот же корень, что и исходное уравнение.

Это может быть полезным при решении уравнения, так как позволяет привести его к более простому или более удобному виду для дальнейшего анализа или решения.

Однако, следует помнить, что при применении операции возведения в квадрат к обеим сторонам уравнения необходимо учесть, что может возникнуть необходимость введения дополнительных корней или условий для корректного решения и интерпретации уравнения.

Уравнения с одиночными переменными

Уравнения с одиночными переменными являются одним из основных типов уравнений, которые встречаются в математике. Они содержат только одну переменную и позволяют найти её значение, удовлетворяющее заданным условиям.

Для решения уравнений с одиночными переменными применяются различные методы, включая операции над уравнениями, факторизацию, приведение подобных слагаемых и т. д. Один из наиболее часто используемых методов — возведение в квадрат обеих сторон уравнения.

Операция возведения в квадрат может быть применена к обеим сторонам уравнения, когда необходимо избавиться от квадратных корней или когда это упрощает выражение уравнения. Однако стоит учитывать, что при такой операции могут появиться дополнительные решения, которые не учитываются при простом решении уравнения.

Для использования операции возведения в квадрат обеих сторон уравнения необходимо убедиться, что каждая сторона уравнения содержит выражение, подлежащее возведению в квадрат. После применения операции, полученное уравнение может быть приведено к простой форме, которая позволяет решить его с помощью других методов.

Следует помнить, что при применении операции возведения в квадрат обеих сторон уравнения необходимо проверять полученные решения, так как возможно появление лишних решений. Это связано с тем, что квадратные корни могут иметь разные знаки, а при операции возведения в квадрат они «разворачиваются» и могут стать положительными или нулевыми.

Уравнения, содержащие однопеременные множители

В алгебре существует класс уравнений, которые содержат в себе однопеременные множители. Эти уравнения являются частным случаем более общего вида уравнений и часто встречаются в математических задачах и реальных ситуациях.

Однопеременные множители в уравнении означают, что каждый элемент уравнения содержит только одну переменную, например, x или y. Это позволяет нам использовать операции, применимые к отдельным множителям, для решения уравнения в целом.

Одним из основных методов решения уравнений с однопеременными множителями является применение операции возведения в квадрат к обеим сторонам уравнения. При этом мы получаем новое уравнение, которое имеет те же корни, что и исходное, но некоторые из них могут быть упрощены.

Применение операции возведения в квадрат к обеим сторонам уравнения особенно полезно, когда уравнение содержит квадратный корень или квадратные выражения. В результате применения этой операции мы можем избавиться от квадратных корней и упростить уравнение.

Например, рассмотрим следующее уравнение: √x = 4. Применим операцию возведения в квадрат к обеим сторонам. Получим новое уравнение: x = 16. Теперь мы знаем, что корень из x равен 4, а само x равно 16.

Также стоит отметить, что операцию возведения в квадрат можно применять не только к корням, но и к любым квадратным выражениям в уравнении. Например, для уравнения (2x + 5)² = 36 мы можем применить операцию возведения в квадрат к обоим сторонам и получить 4x² + 20x + 25 = 36.

Использование операции возведения в квадрат к обеим сторонам уравнения с однопеременными множителями является эффективным методом решения и помогает упростить уравнение, чтобы найти его корни. Однако стоит быть осторожными при работе с уравнениями, содержащими отрицательные значения или квадратные выражения, которые не являются полными квадратами.

Уравнения с комплексными числами

Комплексные числа — это числа, которые состоят из двух частей: действительной и мнимой. Они могут быть представлены в виде a + bi, где a — действительная часть, b — мнимая часть, а i — мнимая единица.

Уравнения с комплексными числами могут иметь различные виды, но в основном они связаны с операциями сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел. Как и в случае с обычными уравнениями, решение уравнений с комплексными числами заключается в поиске значений переменных, которые удовлетворяют условию уравнения.

Один из примеров уравнения с комплексными числами может быть следующим:

В данном случае, z — неизвестное комплексное число. Для решения этого уравнения можно использовать различные методы, включая применение операции возведения в квадрат к обеим сторонам уравнения. Однако, при применении этой операции к комплексным числам, необходимо учитывать особенности их свойств.

При возведении комплексного числа в квадрат, необходимо учитывать, что квадрат мнимой части будет равен -1. Это свойство комплексных чисел позволяет использовать формулу (a + bi)^2 = a^2 + 2ab + b^2i^2, где a и b — действительные числа.

Таким образом, применение операции возведения в квадрат к обеим сторонам уравнения с комплексными числами может упростить его и привести к более простым выражениям.

Однако, необходимо быть осторожным при применении данной операции, так как она может привести к появлению некорректных решений или потере некоторых решений уравнения.

В целом, решение уравнений с комплексными числами требует понимания основных свойств комплексных чисел и применения соответствующих методов. Операция возведения в квадрат может быть одним из таких методов, но ее применение должно быть осознанным и осторожным.

Уравнения, удовлетворяющие определенным свойствам

В математике существует множество различных типов уравнений, которые могут быть решены методами алгебры. Некоторые из этих уравнений обладают определенными свойствами, позволяющими применять особые операции для их решения.

Квадратные уравнения

Одним из наиболее известных типов уравнений являются квадратные уравнения. Квадратное уравнение имеет вид ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c — коэффициенты, а x — неизвестная переменная.

Для решения квадратного уравнения можно использовать дискриминант, который определяется по формуле D = b^2 — 4ac. Значения дискриминанта позволяют определить количество и тип корней уравнения. Если дискриминант положителен, уравнение имеет два различных вещественных корня. Если дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень. Если дискриминант отрицателен, уравнение не имеет вещественных корней.

Уравнения, удовлетворяющие операции возведения в квадрат

Когда можно применять операцию возведения в квадрат к обеим сторонам уравнения? Это можно делать при решении некоторых уравнений, когда обе стороны уравнения состоят из квадратов одних и тех же выражений.

Например, рассмотрим уравнение x^2 = 9. Если мы возведем обе стороны уравнения в квадрат, получим (x^2)^2 = 9^2. Таким образом, уравнение преобразуется в x^4 = 81. Выражение x^4 = 81 имеет точное решение x = ±3.

При применении операции возведения в квадрат к обеим сторонам уравнения нужно помнить о том, что могут появиться дополнительные решения. В предыдущем примере полученное уравнение x^4 = 81 имеет два корня, а не один, как исходное уравнение x^2 = 9.

Когда необходимо проверить решения уравнения

  • Проверка наличия ошибок в математических вычислениях.
  • Проверка правильности выполнения операций и преобразований в процессе решения уравнения.
  • Проверка корректности полученных значений.
  • Проверка на соответствие исходному уравнению.
  • Подтверждение, что найденное решение является действительным решением уравнения.
  • Проверка наличия лишних решений или упущенных решений.

Когда решаем уравнение, мы выполняем различные преобразования для избавления от неизвестных в выражениях. Однако эти преобразования могут содержать ошибки, поэтому необходимо проверять полученные решения. При проверке мы должны проверить, что при подстановке найденных значений в исходное уравнение получается верное равенство. Если после подстановки значения не подходят, то мы делаем ошибку где-то в процессе решения уравнения.

Также мы должны проверять корректность выполнения операций и преобразований. Возможна ошибка в вычислениях, которая может привести к неверному результату. Проверка решения поможет нам определить наличие таких ошибок.

Некорректно полученные значения могут быть замечены только при проверке решений. Иногда мы можем получить отрицательные значения или значения, не удовлетворяющие условиям задачи. Проверка позволит нам обнаружить такие недопустимые значения.

Проверка решения также поможет нам убедиться, что найденные значения действительно являются решениями исходного уравнения. Возможна ситуация, когда найдены значения, но они не подходят к исходному уравнению. В таком случае решение некорректно.

Также при проверке решений следует обращать внимание на наличие лишних решений или упущенных решений. Иногда процесс решения уравнения может привести к получению дополнительных решений, которые не являются решениями исходного уравнения. Такие решения нельзя игнорировать, они могут привести к неверным ответам.

Вариации уравнений, в которых применение операции возведения в квадрат особенно полезно

Операция возведения в квадрат является одним из базовых методов решения уравнений. Она позволяет найти значения переменных, удовлетворяющих заданному уравнению. Часто применение этой операции особенно полезно в следующих вариациях уравнений:

  1. Квадратные уравнения: Квадратное уравнение имеет вид ax 2 + bx + c = 0, где a, b и c — константы. Возведение в квадрат позволяет привести уравнение к такому виду, где можно применить формулу дискриминанта или другие методы решения квадратных уравнений.
  2. Уравнения с радикалами: Некоторые уравнения содержат радикалы, которые можно устранить путем возведения в квадрат. При этом необходимо помнить, что возведение в квадрат изменяет исходное уравнение, добавляя дополнительные корни. Поэтому после применения данной операции нужно проверить полученные решения путем подстановки в исходное уравнение.
  3. Уравнения с комплексными числами: При работе с комплексными числами возведение в квадрат позволяет решать уравнения, содержащие мнимые числа. Комплексные уравнения могут иметь вид a + bi = 0, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица. Возведение в квадрат помогает выразить мнимую единицу и найти решение уравнения.

Операция возведения в квадрат является мощным инструментом при решении различных математических задач. Но необходимо помнить, что применение этой операции может приводить к появлению дополнительных корней или изменению исходного уравнения. Поэтому всегда следует проверять полученные решения и учитывать возможные ограничения на значения переменных.

Важные аспекты применения операции возведения в квадрат к обеим сторонам уравнения

Операция возведения в квадрат является одним из ключевых инструментов при решении уравнений. Применение этой операции к обеим сторонам уравнения позволяет найти значения переменных, удовлетворяющих уравнению.

Преимущества применения операции возведения в квадрат:

  1. Упрощение уравнения. При возведении в квадрат обеих сторон уравнения, часто возникают квадратные корни, которые можно просто убрать.
  2. Раскрытие скобок. Операция возведения в квадрат позволяет раскрыть скобки в уравнении, что упрощает его дальнейшее решение.
  3. Поиск дополнительных решений. Возведение в квадрат может привести к появлению дополнительных решений, которые не учитывались при исходном уравнении.

Ограничения применения операции возведения в квадрат:

  • Изменение множества решений. Возведение в квадрат может привести к изменению множества решений уравнения. Некоторые решения могут быть исключены или добавлены после применения этой операции.
  • Усложнение уравнения. Возведение в квадрат может привести к появлению дополнительных слагаемых и заметно усложнить исходное уравнение.
  • Потеря информации. При применении операции возведения в квадрат могут возникать определенные ограничения на значение переменных, что может привести к потере некоторой информации о решениях уравнения.

Выводы:

Применение операции возведения в квадрат к обеим сторонам уравнения имеет свои преимущества и ограничения. Правильное использование этой операции позволяет упростить уравнение и найти все его решения. Однако важно учитывать, что такое преобразование может изменить множество решений и усложнить само уравнение. Поэтому необходимо быть внимательным и осторожным при применении операции возведения в квадрат к уравнению.

Вопрос-ответ

Какие уравнения подходят для применения операции возведения в квадрат к обеим сторонам?

Операция возведения в квадрат может быть применена к обеим сторонам уравнения в том случае, если необходимо избавиться от квадратного корня или изолировать переменную в выражении.

Как изменится уравнение после применения операции возведения в квадрат к обеим сторонам?

После применения операции возведения в квадрат к обеим сторонам уравнения, все слагаемые в выражении будут возведены в квадрат.

Каковы условия применения операции возведения в квадрат к обеим сторонам уравнения?

Операцию возведения в квадрат можно применять к обеим сторонам уравнения только в том случае, если обе стороны имеют допустимые значения для возведения в квадрат (неотрицательные числа).

Имеет ли операция возведения в квадрат к обеим сторонам уравнения какие-либо ограничения?

Операция возведения в квадрат к обеим сторонам уравнения не имеет особых ограничений, но следует помнить, что при использовании этой операции могут появиться дополнительные решения или исключаться некоторые решения.

В каких случаях не стоит применять операцию возведения в квадрат к обеим сторонам уравнения?

Операцию возведения в квадрат к обеим сторонам уравнения не стоит применять, если необходимо сохранить исходную форму уравнения или если решение может существовать только в виде иррациональных чисел.

Какие возможные сложности могут возникнуть при применении операции возведения в квадрат к обеим сторонам уравнения?

При применении операции возведения в квадрат к обеим сторонам уравнения может возникнуть необходимость решать квадратные уравнения или множественные квадратные уравнения, что может затруднить процесс нахождения глобального решения.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *