Как найти все делители числа
Перейти к содержимому

Как найти все делители числа

  • автор:

Нахождение всех делителей числа

Все делители, на которые данное число делится нацело, можно получить из разложения числа на простые множители.

Нахождение всех делителей числа выполняется следующим образом:

  1. Сначала нужно разложить данное число на простые множители.
  2. Выписываем каждый полученный простой множитель (без повторов, если какой-то множитель повторяется).
  3. Далее, находим всевозможные произведения всех полученных простых множителей между собой и добавляем их к выписанным простым множителям.
  4. В конце добавляем в качестве делителя единицу.

Например, найдём все делители числа 40. Раскладываем число 40 на простые множители:

40
20
10
5
1
2
2
2
5

Выписываем (без повторов) каждый полученный простой множитель — это 2 и 5.

Далее находим всевозможные произведения всех полученных простых множителей между собой:

2 · 2 = 4,
2 · 2 · 2 = 8,
2 · 5 = 10,
2 · 2 · 5 = 20,
2 · 2 · 2 · 5 = 40.

Добавляем в качестве делителя 1. В итоге получаем все делители, на которые число 40 делится без остатка:

1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.

Других делителей у числа 40 нет.

Калькулятор нахождения всех делителей

Данный калькулятор поможет вам получить все делители числа. Просто введите число и нажмите кнопку «Вычислить».

Как найти делитель?

gift

Давайте рассмотрим пример: число 12. Если мы разделим 12 на 2, то получим 6, а если разделим на 3, то получим 4 без остатка. Это значит, что 2 и 3 являются делителями числа 12. Чтобы найти все делители числа, нужно просто проверять все числа, начиная с 1 и заканчивая самим числом.

Если число делится на какое-то из этих чисел без остатка, то это число является делителем. Например, чтобы найти все делители числа 12, мы можем проверить, делится ли 12 на 1, 2, 3, 4, 6 и 12 без остатка.

Также можно заметить, что делители всегда идут парами: например, 2 и 6, 3 и 4 являются парами делителей числа 12, так как 2 * 6 = 12 и 3 * 4 = 12.

Существует определенное правило для нахождения делителя. Вспомним, что такое делимое, делитель и частное.

Делимое, делитель и частное

Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное. В примере выше делитель у нас 4, поэтому мы разделим делимое 12 на частное 3. Легко, не так ли ? Теперь попробуем найти делитель в более сложных примерах.

Пример 1. Найдите делитель: \(1080 : 24x = 15\)

\(1080 : 24x = 15\)
Алгоритм решения тот же: делимое делим на частное:
Данное правило мы можем применять везде, где есть деление чисел.
Ответ: делитель равен \(72\) \((x=3)\) .

Если вы сомневаетесь, что на что надо делить, то придумайте такой же пример, только с простыми числами. Рассмотрим это на примере ниже.

Пример 2. Найдите делитель: \(784:x=14\)
Аналогичный пример с простыми числами:

\(6:x=2\) — здесь понятно, чтобы найти \(x\) надо \(6\) разделить на \(2\) , то есть делитель равен \(3\)

\(784:14 = 56\) — искомый делитель

Часто задаваемые вопросы:

↪ Делитель — это число, на которое можно разделить другое число без остатка.

↪ Нужно проверить все числа от 1 до самого числа и убедиться, что они делят число без остатка.

↪ Числа, на которые можно разделить 20 без остатка — 1, 2, 4, 5, 10 и 20.

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

gift

Репетиторы
  • rhombusРепетитор по математике
  • rhombusРепетитор по физике
  • rhombusРепетитор по химии
  • rhombusРепетитор по русскому языку
  • rhombusРепетитор по английскому языку
  • rhombusРепетитор по обществознанию
  • rhombusРепетитор по истории России
  • rhombusРепетитор по биологии
  • rhombusРепетитор по географии
  • rhombusРепетитор по информатике
Специализация
  • rhombusРепетитор по алгебре
  • rhombusРепетитор по химии для подготовки к ОГЭ
  • rhombusРепетитор для подготовки к ЕГЭ по физике
  • rhombusРепетитор для подготовки к сочинению ЕГЭ по русскому
  • rhombusРепетитор по английскому языку для подготовки к ОГЭ
  • rhombusВПР по математике
  • rhombusРепетитор для подготовки к ВПР по обществознанию
  • rhombusРепетитор для подготовки к ЕГЭ по обществознанию
  • rhombusРепетитор для подготовки к ОГЭ по обществознанию
  • rhombusРепетитор по биологии для подготовки к ЕГЭ
Предметы по класам
  • rhombus1 класс
  • rhombus2 класс
  • rhombus3 класс
  • rhombus4 класс
  • rhombus5 класс
  • rhombus6 класс
  • rhombus7 класс
  • rhombus8 класс
  • rhombus9 класс
  • rhombus10 класс
  • rhombus11 класс
  • rhombusНе школьник

Нахождение всех делителей числа, число делителей числа

В данной статье мы поговорим о том, как найти все делители числа. Начнем с доказательства теоремы, с помощью которой можно задать вид всех делителей определенного числа. Далее возьмем примеры нахождения всех нужных делителей и покажем, как именно определить, сколько делителей имеет конкретное число. В последнем пункте подробно рассмотрим примеры задач на нахождение общих делителей нескольких чисел.

Как найти все делители числа

Чтобы понять материал, изложенный в данном пункте, нужно хорошо знать, что вообще из себя представляют кратные числа и делители. Здесь мы поговорим только о поиске делителей натуральных чисел, т.е. целых положительных. Этим можно ограничиться, поскольку свойство делимости гласит, что делители целого отрицательного числа аналогичны делителям целого положительного, которое будет противоположным по отношению к этому числу. Также сразу уточним, что у нуля есть бесконечно большое число делителей, и находить их смысла не имеет, поскольку в итоге все равно получится 0 .

Если речь идет о простом числе, то его можно разделить только на единицу и на само себя. Значит, у любого простого числа a есть всего 4 делителя, два из которых больше 0 и два меньше: 1 , — 1 , a , — a . Возьмем простое число 7 : у него есть делители 7 , — 7 , 1 и — 1 , и все. Еще один пример: 367 – тоже простое число, которое можно разделить лишь на 1 , — 1 , 367 и — 367 .

Сложнее определить все делители составного числа. Сформулируем теорему, которая лежит в основе данного действия.

Допустим, у нас есть выражение, означающее каноническое разложение числа на простые множители, вида a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n . Тогда натуральными делителями числа a будут следующие числа: d = p 1 t 2 · p 2 t 2 · … · p n t n , где t 1 = 0 , 1 , … , s 1 , t 2 = 0 , 1 , … , s 2 , … , t n = 0 , 1 , … , s n .

Доказательство 1

Перейдем к доказательству этой теоремы. Зная основное определение делимости, мы можем утверждать, что a можно разделить на d , если есть такое число q , что делает верным равенство a = d · q , т.е. q = p 1 ( s 1 − t 1 ) · p 2 ( s 2 — t 2 ) · … · p n ( s n — t n ) .

Любое число, делящее a , будет иметь именно такой вид, поскольку, согласно свойствам делимости, других простых множителей, кроме p 1 , p 2 , … , p n , оно иметь не может, а их показатели в данном случае не превысят s 1 , s 2 , … , s n .

Учитывая доказательство этой теоремы, мы можем сформировать схему нахождения всех положительных делителей данного числа.

Для этого нужно выполнить следующие действия:

  1. Выполнить каноническое разложение на простые множители и получить выражение вида a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n .
  2. Найти все значения d = p 1 t 2 · p 2 t 2 · … · p n t n , где числа t 1 , t 2 , … , t n будут принимать независимо друг от друга каждое из значений t 1 = 0 , 1 , … , s 1 , t 2 = 0 , 1 , … , s 2 , … , t n = 0 , 1 , … , s n .

Самым трудным в таком расчете является именно перебор всех комбинаций указанных значений. Разберем подробно решения нескольких задач, чтобы наглядно показать применение данной схемы на практике.

Условие: найти все делители 8 .

Решение

Разложим восьмерку на простые множители и получим 8 = 2 · 2 · 2 . Переведем разложение в каноническую форму и получим 8 = 2 3 . Следовательно, a = 8 , p 1 = 2 , s 1 = 3 .

Поскольку все делители восьмерки будут значениями p 1 t 1 = 2 t 1 , то t 1 может принять значения нуля, единицы, двойки, тройки. 3 будет последним значением, ведь s 1 = 3 . Таким образом, если t 1 = 0 , то 2 t 1 = 2 0 = 1 , если 1 , то 2 t 1 = 2 1 = 2 , если 2 , то 2 t 1 = 2 2 = 4 , а если 3 , то 2 t 1 = 2 3 = 8 .

Для нахождения делителей удобно все полученные значения оформлять в виде таблицы:

t 1 2 t 1
0 2 0 = 1
1 2 1 = 2
2 2 2 = 4
3 2 3 = 8

Значит, положительными делителями восьмерки будут числа 1 , 2 , 4 и 8 , а отрицательными − 1 , − 2 , − 4 и − 8 .

Ответ: делителями данного числа будут ± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 8 .

Возьмем пример чуть сложнее: в нем при разложении числа получится не один, а два множителя.

Условие: найдите все делители числа 567 , являющиеся натуральными числами.

Решение

Начнем с разложения данного числа на простые множители.

567 189 63 21 7 1 3 3 3 3 7

Приведем разложение к каноническому виду и получим 567 = 3 4 · 7 . Затем перейдем к вычислению всех натуральных множителей. Для этого будем присваивать t 1 и t 2 значения 0 , 1 , 2 , 3 , 4 и 0 , 1 , вычисляя при этом значения 3 t 1 · 7 t 2 . Результаты будем вносить в таблицу:

t 1 t 2 3 t 1 · 7 t 2
0 0 3 0 · 7 0 = 1
0 1 3 0 · 7 1 = 7
1 0 3 1 · 7 0 = 3
1 1 3 1 · 7 1 = 21
2 0 3 2 · 7 0 = 9
2 1 3 2 · 7 1 = 63
3 0 3 3 · 7 0 = 27
3 1 3 3 · 7 1 = 189
4 0 3 4 · 7 0 = 81
4 1 3 4 · 7 1 = 567

Ответ: натуральными делителями 567 будут числа 27 , 63 , 81 , 189 , 1 , 3 , 7 , 9 , 21 и 567 .

Продолжим усложнять наши примеры – возьмем четырехзначное число.

Условие: найти все делители 3 900 , которые будут больше 0 .

Решение

Проводим разложение данного числа на простые множители. В каноническом виде оно будет выглядеть как 3 900 = 22 · 3 · 52 · 13 . Теперь приступаем к нахождению положительных делителей, подставляя в выражение 2 t 1 · 3 t 2 · 5 t 3 · 13 t 4 значения t 1 , равные 0 , 1 и 2 , t 2 = 0 , 1 , t 3 = 0 , 1 , 2 , t 4 = 0 , 1 . Результаты представляем в табличном виде:

t 1 t 2 t 3 t 4 2 t 1 · 3 t 2 · 5 t 3 · 13 t 4
0 0 0 0 2 0 · 3 0 · 5 0 · 13 0 = 1
0 0 0 1 2 0 · 3 0 · 5 0 · 13 1 = 13
0 0 1 0 2 0 · 3 0 · 5 1 · 13 0 = 5
0 0 1 1 2 0 · 3 0 · 5 1 · 13 1 = 65
0 0 2 0 2 0 · 3 0 · 5 2 · 13 0 = 25
0 0 2 1 2 0 · 3 0 · 5 2 · 13 1 = 325
0 1 0 0 2 0 · 3 1 · 5 0 · 13 0 = 3
0 1 0 1 2 0 · 3 1 · 5 0 · 13 1 = 39
0 1 1 0 2 0 · 3 1 · 5 1 · 13 0 = 15
0 1 1 1 2 0 · 3 1 · 5 1 · 13 1 = 195
0 1 2 0 2 0 · 3 1 · 5 2 · 13 0 = 75
0 1 2 1 2 0 · 3 1 · 5 2 · 13 1 = 975
t 1 t 2 t 3 t 4 2 t 1 · 3 t 2 · 5 t 3 · 13 t 4
1 0 0 0 2 1 · 3 0 · 5 0 · 13 0 = 2
1 0 0 1 2 1 · 3 0 · 5 0 · 13 1 = 26
1 0 1 0 2 1 · 3 0 · 5 1 · 13 0 = 10
1 0 1 1 2 1 · 3 0 · 5 1 · 13 1 = 130
1 0 2 0 2 1 · 3 0 · 5 2 · 13 0 = 50
1 0 2 1 2 1 · 3 0 · 5 2 · 13 1 = 650
1 1 0 0 2 1 · 3 1 · 5 0 · 13 0 = 6
1 1 0 1 2 1 · 3 1 · 5 0 · 13 1 = 78
1 1 1 0 2 1 · 3 1 · 5 1 · 13 0 = 30
1 1 1 1 2 1 · 3 1 · 5 1 · 13 1 = 390
1 1 2 0 2 1 · 3 1 · 5 2 · 13 0 = 150
1 1 2 1 2 1 · 3 1 · 5 2 · 13 1 = 1950
t 1 t 2 t 3 t 4 2 t 1 · 3 t 2 · 5 t 3 · 13 t 4
2 0 0 0 2 2 · 3 0 · 5 0 · 13 0 = 4
2 0 0 1 2 2 · 3 0 · 5 0 · 13 1 = 52
2 0 1 0 2 2 · 3 0 · 5 1 · 13 0 = 20
2 0 1 1 2 2 · 3 0 · 5 1 · 13 1 = 260
2 0 2 0 2 2 · 3 0 · 5 2 · 13 0 = 100
2 1 0 1 2 2 · 3 0 · 5 2 · 13 1 = 1300
2 1 0 0 2 2 · 3 1 · 5 0 · 13 0 = 12
2 1 0 1 2 2 · 3 1 · 5 0 · 13 1 = 156
2 1 1 0 2 2 · 3 1 · 5 1 · 13 0 = 60
2 1 1 1 2 2 · 3 1 · 5 1 · 13 1 = 780
2 1 2 0 2 2 · 3 1 · 5 2 · 13 0 = 300
2 1 2 1 2 2 · 3 1 · 5 2 · 13 1 = 3900

Ответ: делителями числа 3 900 будут: 195 , 260 , 300 , 325 , 390 , 650 , 780 , 975 , 75 , 78 , 100 , 130 , 150 , 156 , 13 , 15 , 20 , 25 , 26 , 30 , 39 , 50 , 52 , 60 , 65 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 10 , 12 , 1 300 , 1 950 , 3 900

Как определить количество делителей конкретного числа

Чтобы узнать, сколько положительных делителей у конкретного числа a, каноническое разложение которого выглядит как a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n , нужно найти значение выражения ( s 1 + 1 ) · ( s 2 + 1 ) · … · ( s n + 1 ) . О количестве наборов переменных t 1 , t 2 , … , t n мы можем судить по величине записанного выражения.

Покажем на примере, как это вычисляется. Определим, сколько будет натуральных делителей у числа 3 900 , которое мы использовали в предыдущей задаче. Каноническое разложение мы уже записывали: 3 900 = 2 2 · 3 · 5 2 · 13 . Значит, s 1 = 2 , s 2 = 1 , s 3 = 2 , s 4 = 1 . Теперь подставим значения s 1 , s 2 , s 3 и s 4 в выражение ( s 1 + 1 ) · ( s 2 + 1 ) · ( s 3 + 1 ) · ( s 4 + 1 ) и вычислим его значение. Имеем ( 2 + 1 ) · ( 1 + 1 ) · ( 2 + 1 ) · ( 1 + 1 ) = 3 · 2 · 3 · 2 = 36 . Значит, это число имеет всего 36 делителей, являющихся натуральными числами. Пересчитаем то количество, что у нас получилось в предыдущей задаче, и убедимся в правильности решения. Если учесть и отрицательные делители, которых столько же, сколько и положительных, то получится, что у данного числа всего будет 72 делителя.

Условие: определите, сколько делителей имеет 84 .

Решение

Раскладываем число на множители.

84 42 21 7 1 2 2 3 7

Записываем каноническое разложение: 84 = 2 2 · 3 · 7 . Определяем, сколько у нас получится положительных делителей: ( 2 + 1 ) · ( 1 + 1 ) · ( 1 + 1 ) = 12 . Для учета отрицательных нужно умножить это число на 2 : 2 · 12 = 24 .

Ответ: всего у 84 будет 24 делителя – 12 положительных и 12 отрицательных.

Как вычислить общие делители нескольких чисел

Зная свойства наибольшего общего делителя, можно утверждать, что количество делителей некоторого набора целых чисел будет совпадать с количеством делителей НОД тех же чисел. Это будет справедливо не только для двух чисел, но и для большего их количества. Следовательно, чтобы вычислить все общие делители нескольких чисел, надо определить их наибольший общий множитель и найти все его делители.

Разберем пару таких задач.

Условие: сколько будет натуральных общих делителей у чисел 140 и 50 ? Вычислите их все.

Решение

Начнем с вычисления НОД ( 140 , 50 ) .

Для этого нам потребуется алгоритм Евклида:

140 = 50 · 2 + 40 , 50 = 40 · 1 + 10 , 40 = 10 · 4 , значит, НОД ( 50 , 140 ) = 10 .

Далее выясним, сколько положительных делителей есть у десяти. Разложим его на простые множители и получим 2 0 · 5 0 = 1 , 2 0 · 5 1 = 5 , 2 1 · 5 0 = 2 и 2 1 · 5 1 = 1 0 . Значит, все натуральные общие делители исходного числа – это 1 , 2 , 5 и 10 , а всего их четыре.

Ответ: данные числа имеют четыре натуральных делителя, равные 10 , 5 , 2 и 1 .

Условие: выясните, сколько общих положительных делителей есть у чисел 585 , 315 , 90 и 45 .

Решение

Вычислим их наибольший общий делитель, разложив число на простые множители. Поскольку 90 = 2 · 3 · 3 · 5 , 45 = 3 · 3 · 5 , 315 = 3 · 3 · 5 · 7 и 585 = 3 · 3 · 5 · 13 , то таким делителем будет 5 : НОД ( 90 , 45 , 315 , 585 ) = 3 · 3 · 5 = 3 2 · 5 .

Чтобы узнать количество этих чисел, нужно выяснить, сколько положительных делителей имеет НОД.

НОД ( 90 , 45 , 315 , 585 ) = 3 2 · 5 : ( 2 + 1 ) · ( 1 + 1 ) = 6 .

Ответ: у данных чисел шесть общих делителей.

Найти все делители числа

Онлайн калькулятор поможет найти количество делителей числа, сколько делителей имеет число, выпишет все делители числа. Все простые делители, на которые данное число делится нацело можно получить из разложения числа на простые множители.

Найдем делители следующих чисел:
делители числа 2 = 1, 2;
делители числа 5 = 1, 5 ;
делители числа 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12 ;
делители числа 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18 ;
делители числа 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 ;
делители числа 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *