Как найти вершину параболы зная 3 точки
Перейти к содержимому

Как найти вершину параболы зная 3 точки

  • автор:

Как найти вершину параболы квадратного уравнения

Соавтор(ы): David Jia. Дэвид Джиа — репетитор и основатель частной репетиторской компании LA Math Tutoring в Лос-Анджелесе, Калифорния. Имеет более 10 лет преподавательского опыта, работает с учащимися всех возрастов и классов над разными предметами, а также занимается конультированием по поступлению в колледж и подготовкой к SAT, ACT, ISEE и другим тестам. Набрав максимальные 800 баллов за SAT по математике и 690 — по английскому языку, получил стипендию Дикинсона в Университете Майами, который окончил со степенью бакалавра делового администрирования. Кроме того, был инструктором в обучающих онлайн-видео компаний, выпускающих учебники, таких как Larson Texts, Big Ideas Learning и Big Ideas Math.

Количество просмотров этой статьи: 542 186.

В этой статье:

Вершина параболы квадратного уравнения — это самая высокая или самая низкая ее точка. Чтобы найти вершину параболы, вы можете воспользоваться специальной формулой или методом дополнения до полного квадрата. Ниже описано, как это сделать.

Метод 1 из 2:

Формула для нахождения вершины

Step 1 Найдите величины a, b, и c.

Найдите величины a, b, и c. В квадратном уравнении коэффициент при x 2 = a, при x = b, постоянная (коэффициент без переменной) = c. Например, возьмем уравнение: y = x 2 + 9x + 18. Здесь a = 1, b = 9, and c = 18. [1] X Источник информации

Step 2 Воспользуйтесь формулой для.

  • x=-b/2a
  • x=-(9)/(2)(1)
  • x=-9/2

Step 3 Подставьте найденное значение.

  • y = x 2 + 9x + 18
  • y = (-9/2) 2 + 9(-9/2) +18
  • y = 81/4 -81/2 + 18
  • y = 81/4 -162/4 + 72/4
  • y = (81 — 162 + 72)/4
  • y = -9/4

Step 4 Запишите значения x и y в виде пары координат.

Запишите значения x и y в виде пары координат. Теперь, когда вам известно, что x = -9/2, а y = -9/4, запишите их как координаты в виде: (-9/2, -9/4). Вершина параболы находится по координатам (-9/2, -9/4). Если вам нужно нарисовать эту параболу, то ее вершина лежит в нижней точке, так как коэффициент при x 2 положительный.

Метод 2 из 2:

Дополнение до полного квадрата

Step 1 Запишите уравнение.

Запишите уравнение. Дополнение до полного квадрата — еще один способ найти вершину параболы. Применив этот метод, вы найдете координаты x и y сразу, без необходимости подставлять x в исходное уравнение. Например, дано уравнение: x 2 + 4x + 1 = 0. [2] X Источник информации

Step 2 Разделите каждый коэффициент на коэффициент при x2.

Разделите каждый коэффициент на коэффициент при x 2 . В нашем случае коэффициент при x 2 равен 1, поэтому мы можем пропустить этот шаг. Деление на 1 ничего не изменит.

Step 3 Перенесите постоянную в правую часть уравнения.

  • x 2 + 4x + 1 = 0
  • x 2 + 4x + 1 -1 = 0 — 1
  • x 2 + 4x = — 1

Step 4 Дополните до полного квадрата левую часть уравнения.

  • (4/2) 2 = 2 2 = 4. Теперь прибавьте 4 к обеим частям уравнения и получите:
    • x 2 + 4x + 4 = -1 + 4
    • x 2 + 4x + 4 = 3

    Step 5 Упрощаем левую часть уравнения.

    Упрощаем левую часть уравнения. Мы видим, что x 2 + 4x + 4 — полный квадрат. Он может быть записан в виде: (x + 2) 2 = 3

    Step 6 Используйте его для нахождения координат x и y.

    Используйте его для нахождения координат x и y. Вы можете найти x, просто приравняв (x + 2) 2 к 0. Теперь, когда (x + 2) 2 = 0, вычисляем x: x =-2. Координата y — это постоянная в правой части полного квадрата. Итак, y = 3. Вершина параболы уравнения x 2 + 4x + 1 = (-2, 3)

    • Правильно определяйте a, b, и c.
    • Записывайте предварительные вычисления. Это не только поможет в процессе работы, но и позволит увидеть, где сделаны ошибки.
    • Не нарушайте порядок вычислений.

    Предупреждения

    • Проверьте ваш ответ!
    • Удостоверьтесь, что вы знаете, как определить коэффициента a, b, и c. Если вы не знаете, ответ будет неправильным.
    • Не паникуйте — решение таких задач требует практики.

    Что вам понадобится

    Дополнительные статьи

    вычислить диагональ квадрата

    вычислить диагональ квадрата

    найти гипотенузу

    найти гипотенузу

    вычислить диагональ прямоугольника

    вычислить диагональ прямоугольника

    вычислить объем куба

    вычислить объем куба

    построить угол, равный данному углу

    построить угол, равный данному углу

    найти площадь четырехугольника

    найти площадь четырехугольника

    вычислить диаметр окружности

    вычислить диаметр окружности

    найти объем призмы

    найти объем призмы

    вычислять углы

    вычислять углы

    найти высоту треугольника

    найти высоту треугольника

    найти центр круга

    найти центр круга

    найти площадь пятиугольника

    найти площадь пятиугольника

    находить объем

    находить объем

    нарисовать шестиугольник

    нарисовать шестиугольник

    1. ↑http://www.youtube.com/watch?v=0vSVCN3kJTY
    2. ↑http://www.mathsisfun.com/algebra/completing-square.html
    3. ↑http://earthmath.kennesaw.edu/main_site/review_topics/vertex_of_parabola.htm

    Об этой статье

    Соавтор(ы): David Jia. Дэвид Джиа — репетитор и основатель частной репетиторской компании LA Math Tutoring в Лос-Анджелесе, Калифорния. Имеет более 10 лет преподавательского опыта, работает с учащимися всех возрастов и классов над разными предметами, а также занимается конультированием по поступлению в колледж и подготовкой к SAT, ACT, ISEE и другим тестам. Набрав максимальные 800 баллов за SAT по математике и 690 — по английскому языку, получил стипендию Дикинсона в Университете Майами, который окончил со степенью бакалавра делового администрирования. Кроме того, был инструктором в обучающих онлайн-видео компаний, выпускающих учебники, таких как Larson Texts, Big Ideas Learning и Big Ideas Math. Количество просмотров этой статьи: 542 186.

    Формула нахождения вершины параболы

    Справочник

    Парабола – это геометрическое множество точек, которые равноудалены от точки F, и которая не является частью параболы и прямой, а также не проходит через центр отрезка.

    Вершина параболы — это некая точка, которая расположена ближе всего в директрисе параболы. Данная точка является центром любого отрезка, который ограничен точками фокуса параболы и директрисой.

    Каноническое уравнение параболы выглядит следующим образом:

    Где: \[p\] — параметр параболы; \[x\] — ось данной параболы.

    Данное уравнение будет справедливо только для параболы, вершина которой проходит через центр осей.

    Чтобы определить принадлежность точки к графику заданной параболы, нужно точку подставить в уравнение:

    • a, b, c — заданные коэффициенты;
    • х — ось координатной прямой.

    Определение вершины кубической параболы

    Определение

    Кубическая парабола – плоская алгебраическая кривая третьего порядка.

    Ее каноническое уравнение в прямоугольной декартовой системе координат имеет вид у = ах 3 , где а ≠ 0.

    Для кубической параболы характерен центр симметрии в самом начале координат. Данная точка является точкой перегиба кривой. Касательная к кубической параболе, в этой же точке именуется как ось абсцисс.

    Графики кубической параболы

    Для того, чтобы определить точки вершин кубической параболы, нужно вычислить ее производную. Точки вершин, иначе еще называют точками минимума и максимума.

    После того, как определится производная, нужно ее значение приравнять к нулевому. Затем можно приступать к вычислению значений x и y.

    Определение вершин параболы, которая задана квадратичной функцией

    Уравнение и график параболы квадратичной функции

    Квадратичная функция вида: \[y=a x^+b x+c\] очень часто используется для того, чтобы задать значения параболы.

    Вершина такой функции, всегда находится в произвольной точке.

    В технических науках не существует единой формулы, чтобы вычислить сразу две вершины параболы. Однако, довольно легко определяются координаты вершины, по уже упомянутому уравнению.

    Нет времени решать самому?

    Парабола: что это, квадратичная функция, построение параболы

    gift

    Парабола с греческого относится к конкретной плоской Кривой. Слово parabolh означает «сравнение», буквально «бросание рядом».

    Вершина параболы: формула квадратичной функции

    Мы знаем, что любое линейное уравнение с двумя переменными может быть записано в виде функции \(y=kx+b\) , и что его график является линией. В этой статье мы увидим, что любое квадратичное уравнение вида \(y = ax^2 + bx + c \) имеет изогнутый график, называемый параболой.

    Две точки определяют линию. Однако, поскольку парабола изогнута, мы должны найти более двух точек. Найдем по крайней мере пять точек для создания приемлемого графика. Потом построим точки и нарисуем график параболы \(y_1=x^2+2x+3\) по точкам.

    Учитывая квадратичное уравнение вида \(y = ax^2 + bx + c \) , \(x\) является независимой переменной, а \(y\) -зависимой переменной. Выберем некоторые значения для \(x\) , а затем определим соответствующие значения \(y\) .

    Таблица значений параболы

    Вершина параболы формула

    Вывод: графиком квадратичного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) , где \(a ≠ 0\) является парабола.

    • Если \(a> 0\) , то его вершина указывает вниз.
    • Если \(a < 0\) , то его вершина указывает вверх:
    • Если \(a = 0 \) , то граф не парабола, а прямая линия.

    Вершина параболы находится в точке \(x=\frac< - b><2a>.\)

    На рисунке выше изображены графики парабол \(y_1=x^2+2x+3\) и \(y_2=-x^2+6x-7\) . Рассчитаем вершины параболы (формула): \(x_1=\frac<-2>=-1\) и \(x_2=\frac=3.\) Свободный член \(3\) и \(-7\) означает пересечение с осью \(y\) , то есть сдвиг графика по оси \(OY.\)

    Коэффициент \(b\) означает симметричность относительно оси \(OY.\) Если \(b=0\) , то вершина лежит оси \(OY.\)

    Как определить, куда направлены ветви парабол?

    Есть простое правило, по которому можно без построения графика увидеть, когда ветви параболы направлены вниз а когда вверх Для определения направления ветвей параболы, вы должны проанализировать коэффициент перед квадратичным членом уравнения параболы. Уравнение параболы в общем виде имеет вид:

    1. Если коэффициент «a» (коэффициент перед x в квадрате) положителен (a > 0), то ветви параболы направлены вверх. Такая парабола имеет минимум, который находится внизу, а ее значение увеличивается по мере удаления от вершины вниз и вверх.
    2. Если коэффициент «a» отрицателен (a < 0), то ветви параболы направлены вниз. В этом случае парабола имеет максимум в вершине, а ее значение уменьшается по мере удаления от вершины вниз и вверх.

    При определении направления ветвей параболы, также полезно посмотреть на знак коэффициента «a», так как он определяет выпуклость или вогнутость параболы.

    Применение параболы

    Радиоволны часто должна быть сконцентрирована в одной точке например, радиотелескопы, платные телевизионные тарелки, солнечные коллекторы.

    Излучение должно передаваться из одной точки в широкий параллельный луч (например, отражатели фар).

    Параллельные радиоволны собираются параболической антенной. Параллельные лучи отражаются от антенны и встречаются в точке F, называемой фокусом.

    Часто задаваемые вопросы:

    ↪ Вершина параболы — это точка на параболе, которая находится на равном удалении от фокуса и директрисы. Ее координаты можно найти по формулам \(x = -b/(2a)\) и \(y = c — (b^2)/(4a)\) .

    ↪ Направление ветвей параболы зависит от знака коэффициента «a» в уравнении. Если «a» положительный (a > 0), ветви направлены вверх; если «a» отрицательный (a < 0), ветви направлены вниз.

    ↪ Дискриминант уравнения параболы равен \(D = b^2 — 4ac\) . Значение дискриминанта определяет тип графика параболы: если D > 0, парабола пересекает ось x в двух различных точках и имеет ветви; если D = 0, парабола касается оси x в одной точке и имеет вершину на оси; если D < 0, парабола не пересекает ось x и не имеет вещественных корней.

    • Что такое парабола?
    • Вершина параболы: формула квадратичной функции
    • Как определить, куда направлены ветви парабол?
    • Применение параболы
    Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

    gift

    Репетиторы
    • rhombusРепетитор по математике
    • rhombusРепетитор по физике
    • rhombusРепетитор по химии
    • rhombusРепетитор по русскому языку
    • rhombusРепетитор по английскому языку
    • rhombusРепетитор по обществознанию
    • rhombusРепетитор по истории России
    • rhombusРепетитор по биологии
    • rhombusРепетитор по географии
    • rhombusРепетитор по информатике
    Специализация
    • rhombusРепетитор по геометрии
    • rhombusРепетитор по алгебре
    • rhombusПодготовка к олимпиадам по химии
    • rhombusРепетитор по русскому языку для подготовки к ЕГЭ
    • rhombusРепетитор по английскому языку для подготовки к ОГЭ
    • rhombusРепетитор по грамматике английского языка
    • rhombusВПР по математике
    • rhombusРепетитор для подготовки к ОГЭ по обществознанию
    • rhombusРепетитор по биологии для подготовки к ОГЭ
    • rhombusРепетитор по географии для подготовки к ЕГЭ
    Предметы по класам
    • rhombus1 класс
    • rhombus2 класс
    • rhombus3 класс
    • rhombus4 класс
    • rhombus5 класс
    • rhombus6 класс
    • rhombus7 класс
    • rhombus8 класс
    • rhombus9 класс
    • rhombus10 класс
    • rhombus11 класс
    • rhombusНе школьник

    Как найти вершину параболы зная 3 точки

    Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. Фокус параболы обозначается буквой F , расстояние от фокуса до директрисы — буквой р. Число р называется параметром параболы.

    Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой (рис.). В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением

    (1)

    Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы. В этой же системе координат директриса данной параболы имеет уравнение

    .

    Фокальный радиус произвольной точки М( x; y ) параболы (то есть длина отрезка F(M ) может быть вычислен по формуле

    .

    Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка пересечения параболы с осью называется ее вершиной. При указанном выше выборе координатной системы ось параолы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся парабола лежит в правой полуплоскости.

    Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс совмещена с осью параболы, начало координат — с вершиной, но парабола лежит в левой полуплоскости (рис.), то ее уравнение будет иметь вид

    (2)

    В случае, когда начало координат находится в вершине, а с осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение

    (3)

    если она лежит в верхней полуплоскости (рис.), и

    (4)

    если в нижней полуплоскости (рис.)

    Каждое из уравнений параболы (2), (3), (4), как и уравнение (1), называется каноническим.

    583 Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:
    583.1 парабола расположена в правой полуплоскости, симметрично относительно оси Ох и ее параметр р=3;
    583.2 парабола расположена в левой полуплоскости симетрично относительно оси Ох и ее параметр р=0,5.
    583.3 парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси Оу и ее параметр р=1/4.
    583.4 парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично оси Оу и ее параметр р=3.
    584 Определить величину параметра и расположение относительно координатных осей следующих парабол:
    584.1 ;
    584.2 ;
    584.3 ;
    584.4 .
    585 Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:
    585.1 парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку А(9; 6);
    585.2 парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку В(-1; 3);
    585.3 парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку С(1; 1);
    585.4 парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку D(4; -8).
    586 Стальной трос подвешен за два конца; точки крепления расположены на одинаковой высоте; расстояние между ними равно 20 см. Величина его прогиба на расстоянии 2 м от точки крепления, считая по горизонтали, равна 14,4 см. Определить величину прогиба этого троса в середине между точками крепления, приближенно считая, что трос имеет форму дуги параболы.
    587 Составить уравнение параболы, которая имеет фокус Е(0; -3) и проходит через начало координат, зная, что ее осью служит ось Оу.
    588 Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.
    588.1 ;
    588.2 ;
    588.3 ;
    588.4 ;
    588.5 ;
    588.6 ;
    588.7 ;
    588.8 .
    589 Найти фокус F и уравнение директрисы параболы .
    590 Вычислить фокальный радиус точки М параболы , если абсцисса точки М равна 7.
    591 Вычислить фокальный радиус точки М параболы , если ордината точки М равна 6.
    592 На параболе найти точки, фокальный радиус которых равен 13.
    593 Составить уравнение параболы, если дан фокус F(-7; 0) и уравнение директрисы .
    594 Составить уравнение параболы, зная, что ее вершина совпадает с точкой ( ; ), параметр равен p, ось параллельна оси Ох и парабола простирается в бесконечность:
    594.1 в положительном направлении оси Ох;
    594.2 в отрицательном направлении оси Ох.
    595 Составить уравнение параболы, зная, что ее вершина совпадает с точкой ( ; ), параметр равен p, ось параллельна оси Оу и парабола простирается в бесконечность:
    595.1 в положительном направлении оси Оу (т.е. парабола является восходящей);
    595.2 в отрицательном направлении оси Оу (т.е. парабола являетя нисходящей).
    596 Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти ее вершины А, величину параметра р и уравнение директрисы:
    596.1 ;
    596.2 ;
    596.3 ;
    596.4 .
    597 Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти координаты ее вершины А и величину параметра р:
    597.1 ;
    597.2 ;
    597.3 .
    598 Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти ее вершины А и величину параметра р:
    598.1 ;
    598.2 ;
    598.3 .
    599 Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:
    599.1 ;
    599.2 ;
    599.3 ;
    599.4 .
    600 Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(4; 3) и директриса .
    601 Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(4; 3) и директриса .
    602 Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(2; -1) и директриса .
    603 Даны вершина параболы А(6; -3) и уравнение ее директрисы . Найти фокус F этой параболы.
    604 Даны вершина параболы А(-2; -1) и уравнение е директрисы . Составить уравнение этой параболы.
    605 Определить точки пересечения прямой и параболы .
    606 Определить точки пересечения прямой и параболы .
    607 Определить точки пересечения прямой и параболы .
    608 В следующих случаях определить, как расположена данная прямая относительно данной параболы – пересекает ли, касается или проходит вне ее:
    608.1 , ;
    608.2 , ;
    608.3 , .
    609 Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая :
    609.1 пересекает параболу ;
    609.2 касается ее;
    609.3 проходит вне этой параболы.
    610 Вывести условие, при котором прямая касается параболы .
    611 Доказать, что к параболе можно провести одну и только одну касательную с угловым коэффициентом .
    612 Составить уравнение касательной к параболе в ее точке М 1(x1; y1).
    613 Составить уравнение прямой, которая касается параболы и параллельна прямой .
    614 Составить уравнение прямой, которая касается параболы и перпендикулярна к прямой .
    615 Провести касательную к параболе параллельно прямой и вычислить расстояние d между этой касательной и данной прямой.
    616 На параболе найти точку М 1, ближайшую к прямой , и вычислить расстояние d от точки М 1 до этой прямой.
    617 Составить уравнения касательных к параболе , проведенных из точки А(2; 9).
    618 К параболе проведена касательная. Доказать, что вершина этой параболы лежит посередине между точкой пересечения касательной с осью Ох и проекцией точки касания на ось Ох.
    619 Из точки А(5; 9) проведены касательные к параболе . Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.
    620 Из точки Р(-3; 12) проведены касательные к параболе . Вычислить расстояние d от точки Р до хорды параболы, соединяющей точки касания.
    621 Определить точки пересечения эллипса и параболы .
    622 Определить точки пересечения гиперболы и параболы .
    623 Определить точки пересечения парабол , .
    624 Доказать, что прямая, касающаяся параболы в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальным радиусом точки М и с лучом, который, исходя из М, идет параллельно оси параболы в ту сторону, куда парабола бесконечно простирается.
    625 Из фокуса параболы под острым углом к оси Ох направлен луч света. Известно, что . Дойдя до параболы, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.
    626 Доказать, что две параболы, имеющую общую ось и общий фокус, расположенный между ее вершинами, пересекаются под прямым углом.
    627 Доказать, что если две параболы со взаимно перпендикулярными осями пересекаются в четырех точках, то эти точки лежат на одной окружности.
    Текст издания: © Д.В.Клетенник «Сборник задач по аналитической геометрии». М., Наука, Физматлит, 1998
    Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/ , http://kirill-kravchenko.narod.ru/

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *