Как найти тангенс угла в треугольнике не прямоугольном
Перейти к содержимому

Как найти тангенс угла в треугольнике не прямоугольном

  • автор:

Тангенс угла tg(α)

Катетами прямоугольного треугольника называются те его стороны, которые образуют прямой угол. Каждый из катетов всегда меньше гипотенузы по значению, но в сумме они обязательно ее превосходят. Зная оба катета, можно найти не только третью сторону прямоугольного треугольника – гипотенузу, по теореме Пифагора, но и углы, находящиеся между катетами и гипотенузой. Для этого используется тригонометрическое отношение тангенса угла α , которое по определению равно отношению катета, противолежащего углу α , к катету прилежащему.
Делением катета, находящегося напротив угла, на катет, который является одной из сторон угла, получается значение тангенса, соответствующее определенной градусной мере. Краткая таблица основных значений тангенса находится внизу страницы, а полная таблица всех тангенсов расположена по ссылке.

Стороны и угол tg прямоугольного треугольника

Свойства

Тангенс угла tg(α) — есть отношение противолежащего катета a к прилежащему катету b .

Угол на клетчатой бумаге

Угол на клетчатой бумаге. В этой статье мы с вами рассмотрим задачу, суть которой заключается в том, чтобы найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла, построенного на листе в клетку. Такие задания входят в состав экзамена по математике.

Способы решения существуют разные, их более трёх. Подход изложенный ниже можно было бы назвать универсальным. Если у вас найдутся задачи, которые вы таким способом решить не сможете, пришлите мне их, подберём другой. Углы могут быть построены следующим образом (примеры):

Итак, рассмотрим задание:

Найдите тангенс угла AOB. В ответе укажите значение тангенса, умноженное на 8.

Соединим точки А и В. Получили треугольник АОВ. На сторонах полученного треугольника построим прямоугольные треугольники так, чтобы эти стороны являлись гипотенузами.

Суть подхода такова: находим все стороны треугольника (это можно сделать по теореме Пифагора); далее используя теорему косинусов, мы можем найти косинус угла; зная косинус мы без труда найдём остальные тригонометрические функции (синус, тангенс, котангенс).

АВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 3,

ОВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 1,

OА является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 2,

По теореме косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Из основного тригонометрического тождества можем найти sin AOB:

*Обратите внимание, что перед знаком корня у нас «+», так как угол острый (от 0 до 90 градусов). А синус острого угла имеет положительное значение.

Теперь можем найти тангенс:

Умножим результат на 8 и запишем ответ:

Ещё раз повторим: как бы не был построен угол, мы всегда можем достроить его до треугольника, найти стороны этого треугольника (используя теорему Пифагора), далее используя теорему косинусов найти косинус угла (заданного в условии). Затем не составит труда, используя основное тригонометрическое тождество, найти синус. Тангенс и котангенс далее не сложно найти по их формулам.

Ниже предложено самостоятельно решить задачи. При их решении на сайте использовались и другие способы (вы решите представленным выше):

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.

Найдите тангенс угла AOB.

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на половину корня из пяти.

Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на два корня из пяти.

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на 2 корня из двух.

Найдите тангенс угла AOB.

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!

С уважением, Александр Крутицких.

*Делитесь информацией в социальных сетях )

Тангенс в прямоугольном треугольнике

Что такое тангенс в прямоугольном треугольнике? Как найти тангенс? От чего зависит значение тангенса?

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Например, для угла A треугольника ABC

Поэтому тангенс угла A в треугольнике ABC — это

Для угла B треугольника ABC

противолежащим является катет AC,

Соответственно, тангенс угла B в треугольнике ABC

равен отношению AC к BC:

Таким образом, тангенс острого угла прямоугольного треугольника — это некоторое число, получаемое при делении длины противолежащего катета на длину прилежащего катета.

Так как длины катетов — положительные числа, то и тангенс острого угла прямоугольного треугольника является положительным числом.

Тангенс угла треугольника зависит от величины угла, но не зависит от катетов (важно лишь их отношение).

Если в треугольнике изменить длины катетов, не меняя угол, то величина тангенса не изменится.

tangens ostrogo ugla v pryamougolnom treugolnike

в треугольниках ABC и FKM

Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника

Гипотенуза прямоугольного треугольника – это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты – стороны, лежащие напротив острых углов. Катет \(a\) , лежащий напротив угла \(\alpha\) , называется противолежащим (по отношению к углу \(\alpha\) ). Другой катет \(b\) , который лежит на одной из сторон угла \(\alpha\) , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе: \(sin∠A=​\frac ​​\) .

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: \(cos∠A=\frac ​​\) .

В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого, и наоборот:

\(sin∠A=cos∠B;\ \sin \angle A=\cos \angle B; \ sin∠A=cos∠B\; \\ sin∠B=cos∠A; \ \sin \angle B=\cos \angle A; \ sin∠B=cos∠A.\)

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \(tg ∠A=​\frac ​​\) .

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу: \(tg\angle A=\frac\) .

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к противолежащему: \(ctg ∠A=​\frac ​​\) .

Котангенсом острого угла называется отношение косинуса к синусу: \(ctg\angle A=\frac\) .

Таблица значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *