Как найти собственный вектор
Перейти к содержимому

Как найти собственный вектор

  • автор:

6.5.1. Как найти собственные значения и собственные векторы?

Только что я выставил собственный вектор «главным действующим лицом», но на самом деле это не совсем так: сначала разыскиваются собственные значения и только потом соответствующие им собственные векторы. Часто ещё говорят, что собственный вектор соответствует собственному значению .

Проведём небольшое исследование и получим алгоритм, по которому нужно решать эту задачу:

Пример 137

Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей – это матрица, для которой я уже «выдал» одно собственное значение и один собственный вектор. Давайте научимся добывать их самостоятельно!

Решение: обозначим через неизвестный собственный вектор и примЕним к нему предложенный оператор. Тогда соответствующее матричное уравнение запишется следующим образом:

В левой части по обычному правилу проведём матричное умножение, в правой части – внесём «лямбду»:

Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы. Таким образом, получаем однородную систему линейных уравнений:
– перенесём всё налево: – после чего в первом уравнении вынесем за скобки «икс», а во втором – «игрек»:

По определению, собственный вектор не может быть нулевым , поэтому нас не устраивает тривиальное решение системы. Следовательно, уравнения линейно зависимы и определитель матрицы системы равен нулю:

Перед вами так называемое характеристическое уравнение линейного оператора. Корни этого уравнения – и есть собственные числа данного преобразования.

Сначала найдём собственные числа. Раскроем определитель и решим квадратное уравнение (см. Приложение Горячие школьные формулы):

, таким образом, собственные значения:
– их желательно нумеровать и располагать в порядке возрастания (хотя, это не принципиально).

Теперь найдём собственные векторы. В данном примере получены различные собственные числа и каждому из них соответствует свой собственный вектор:

1) Рассмотрим собственное число и подставим значение в однородную систему уравнений :

Для записи системы удобно использовать формальный приём: мысленно либо на черновике подставляем в определитель :
– это и есть коэффициенты системы.

Из обоих уравнений следует:

Если в ходе решения выяснилось, что линейной зависимости нет (т. е. получается только тривиальное решение ) – ищите ошибку! Этот признак касается всех задач рассматриваемого типа.

Итак, в нашем распоряжении есть выражение , и, придавая переменной «игрек» (либо «икс») произвольные значения, мы получаем, вообще говоря, бесконечно много собственных векторов . Но все они коллинеарны друг другу, и поэтому достаточно указать одного «представителя». Обычно стараются выбрать «красивый» вектор – чтобы его «иксовая» координата была положительной, целой и минимальной.

Этому эстетическому критерию соответствует значение , тогда:

Теперь обязательно проверяем, что частное решение удовлетворяет каждому уравнению системы:

Таким образом: – первый собственный вектор.

2) Найдём собственный вектор, соответствующий числу . Для этого подставим его в определитель и запишем вторую однородную систему:

Из обоих уравнений системы следует, что . Придавая «игреку» или «иксу» произвольные значения, мы опять получим бесконечное множество коллинеарных друг другу векторов. Выберем «стильный» экземпляр – с положительной, целой и наименьшей иксовой координатой. Этому пожеланию соответствует значение , тогда:
– и для проверки мысленно подставляем комплект в каждое уравнение системы (см. выше).

В результате: – второй собственный вектор.

Ответ: собственные числа: , соответствующие собственные векторы:
.

Промежуточных «контрольных точек» было достаточно, но генеральная проверка не помешает: .

В чём смысл этой задачи?

Оператор, заданный матрицей (в некотором базисе), определённым образом преобразует все векторы некоторого двумерного линейного пространства. Но хотелось бы прояснить типичные особенности этого преобразования. Что и позволяют сделать найденные трофеи. А именно, данный оператор сохраняет направления векторов и иже с ними коллинеарных векторов. Заметим, что сами векторы неколлинеарны, таким образом, имеем два множества векторов – два направления, которые этот оператор сохраняет. При этом он «вытягивает» все векторы первой группы в раза, а все векторы второй группы – в раза.

И ещё один момент касается обозначений: координаты собственных векторов довольно часто записывают не в столбцы, а в строки, например: (и, если честно, я сам привык записывать их строками). Такой вариант приемлем, но в свете темы линейных преобразований технически удобнее использовать вектор-столбцы.

Пример 138

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

В типовой задаче, конечно, не нужно проводить целое «исследование» по образцу предыдущего примера, сразу записываем характеристический определитель – и вперёд. Примерный образец чистового оформления решения в конце книги.

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Собственные числа и собственные векторы линейного оператора

Наиболее просто устроены матрицы диагонального вида . Возникает вопрос, нельзя ли найти базис, в котором матрица линейного оператора имела бы диагональный вид. Такой базис существует.
Пусть дано линейное пространство Rn и действующий в нем линейный оператор A; в этом случае оператор A переводит Rn в себя, то есть A:Rn → Rn.

Определение . Ненулевой вектор x называется собственным вектором оператора A , если оператор A переводит x в коллинеарный ему вектор, то есть A· x = λ· x . Число λ называется собственным значением или собственным числом оператора A, соответствующим собственному вектору x .
Отметим некоторые свойства собственных чисел и собственных векторов.
1. Любая линейная комбинация собственных векторов x 1, x 2, . x m оператора A , отвечающих одному и тому же собственному числу λ, является собственным вектором с тем же собственным числом.
2. Собственные векторы x 1, x 2, . x m оператора A с попарно различными собственными числами λ1, λ2, …, λm линейно независимы.
3. Если собственные числа λ12= λm= λ, то собственному числу λ соответствует не более m линейно независимых собственных векторов.

Итак, если имеется n линейно независимых собственных векторов x 1, x 2, . x n, соответствующих различным собственным числам λ1, λ2, …, λn, то они линейно независимы, следовательно, их можно принять за базис пространства Rn. Найдем вид матрицы линейного оператора A в базисе из его собственных векторов, для чего подействуем оператором A на базисные векторы: тогда .
Таким образом, матрица линейного оператора A в базисе из его собственных векторов имеет диагональный вид, причем по диагонали стоят собственные числа оператора A.
Существует ли другой базис, в котором матрица имеет диагональный вид? Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Матрица линейного оператора A в базисе < ε i> (i = 1..n) имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда все векторы базиса — собственные векторы оператора A.

Правило отыскания собственных чисел и собственных векторов

Пусть дан вектор x =(x1, x2, …, xn), где x1, x2, …, xn — координаты вектора x относительно базиса < ε 1, ε 2, . ε n> и x — собственный вектор линейного оператора A, соответствующий собственному числу λ , то есть A· x =λ· x . Это соотношение можно записать в матричной форме

Уравнение (*) можно рассматривать как уравнение для отыскания x , причем x ≠ 0 , то есть нас интересуют нетривиальные решения, поскольку собственный вектор не может быть нулевым. Известно, что нетривиальные решения однородной системы линейных уравнений существуют тогда и только тогда, когда det(A — λE) = 0. Таким образом, для того, чтобы λ было собственным числом оператора A необходимо и достаточно, чтобы det(A — λE) = 0.
Если уравнение (*) расписать подробно в координатной форме, то получим систему линейных однородных уравнений:
(1)
где — матрица линейного оператора.

Система (1) имеет ненулевое решение, если ее определитель D равен нулю

Получили уравнение для нахождения собственных чисел.
Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть — характеристическим многочленом матрицы (оператора) A. Если характеристический многочлен не имеет вещественных корней, то матрица A не имеет собственных векторов и ее нельзя привести к диагональному виду.
Пусть λ1, λ2, …, λn — вещественные корни характеристического уравнения, причем среди них могут быть и кратные. Подставляя по очереди эти значения в систему (1), находим собственные векторы.

Пример №1 . Линейный оператор A действует в R3 по закону A· x =(x1-3x2+4x3, 4x1-7x2+8x3, 6x1-7x2+7x3), где x1, x2, . xn — координаты вектора x в базисе e 1=(1,0,0), e 2=(0,1,0), e 3=(0,0,1). Найти собственные числа и собственные векторы этого оператора.
Решение. Строим матрицу этого оператора:
A· e 1=(1,4,6)
A· e 2=(-3,-7,-7)
A· e 3=(4,8,7)
.
Составляем систему для определения координат собственных векторов:
(1-λ)x1-3x2+4x3=0
x1-(7+λ)x2+8x3=0
x1-7x2+(7-λ)x3=0
Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

λ1,2 = -1, λ3 = 3.
Подставляя λ = -1 в систему, имеем:
или
Так как , то зависимых переменных два, а свободное одно.
Пусть x1 — свободное неизвестное, тогда Решаем эту систему любым способом и находим общее решение этой системы: Фундаментальная система решений состоит из одного решения, так как n — r = 3 — 2 = 1.
Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ = -1, имеет вид: (x1, 2x1, x1)=x1(1,2,1), где x1 — любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x1 = 1: x 1=(1,2,1).
Рассуждая аналогично, находим собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = 3: x 2=(1,2,2).
В пространстве R3 базис состоит из трех линейно независимых векторов, мы же получили только два линейно независимых собственных вектора, из которых базис в R3 составить нельзя. Следовательно, матрицу A линейного оператора привести к диагональному виду не можем.

Пример №2 . Дана матрица .
1. Доказать, что вектор x =(1,8,-1) является собственным вектором матрицы A. Найти собственное число, соответствующее этому собственному вектору.
2. Найти базис, в котором матрица A имеет диагональный вид.

Решение находим с помощью калькулятора.
1. Если A· x =λ· x , то x — собственный вектор

Вектор (1, 8, -1) — собственный вектор. Собственное число λ = -1.
Диагональный вид матрица имеет в базисе, состоящем из собственных векторов. Один из них известен. Найдем остальные.
Собственные векторы ищем из системы:
(2-λ)x1+3x3=0;
10x1-(3+λ)x2-6x3=0;
-x1-(2+λ)x3=0;
Характеристическое уравнение: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 — 1) = 0
λ1 = -3, λ2 = 1, λ3 = -1.
Найдем собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = -3:
5x1+3x3=0;
10x1-6x3=0;
-x1+x3=0;
Ранг матрицы этой системы равен двум и равен числу неизвестных, поэтому эта система имеет только нулевое решение x1 = x3 = 0. x2 здесь может быть любым, отличным от нуля, например, x2 = 1. Таким образом, вектор (0,1,0) является собственным вектором, отвечающим λ = -3. Проверим:

Если λ = 1, то получаем систему
Ранг матрицы равен двум. Последнее уравнение вычеркиваем.
Пусть x3 — свободное неизвестное. Тогда x1 = -3x3, 4x2 = 10x1 — 6x3 = -30x3 — 6x3, x2 = -9x3.
Полагая x3 = 1, имеем (-3,-9,1) — собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = 1. Проверка:

Так как собственные числа действительные и различны, то векторы, им отвечающие, линейно независимы, поэтому их можно принять за базис в R3. Таким образом, в базисе f 1=(1,8,-1), f 2=(0,1,0), f 3=(-3,-9,1) матрица A имеет вид:
.
Не всякую матрицу линейного оператора A:Rn→ Rn можно привести к диагональному виду, поскольку для некоторых линейных операторов линейно независимых собственных векторов может быть меньше n. Однако, если матрица симметрическая, то корню характеристического уравнения кратности m соответствует ровно m линейно независимых векторов.

Определение . Симметрической матрицей называется квадратная матрица, в которой элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, то есть в которой ai k =ak i .

  1. Все собственные числа симметрической матрицы вещественны.
  2. Собственные векторы симметрической матрицы, соответствующие попарно различным собственным числам, ортогональны.

Собственные числа и вектора матриц. Методы их нахождения.

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда не активна

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда не активна

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Пусть число $\lambda$ и вектор $x\in L, x\neq 0$ таковы, что $$Ax=\lambda x.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)$$ Тогда число $\lambda$ называется собственным числом линейного оператора $A,$ а вектор $x$ собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу $\lambda.$

В конечномерном пространстве $L_n$ векторное равенство (1) эквивалентно матричному равенству $$(A-\lambda E)X=0,\,\,\,\, X\neq 0.\qquad\qquad\quad\quad (2)$$

Отсюда следует, что число $\lambda$ есть собственное число оператора $A$ в том и только том случае, когда детерминант $det(A-\lambda E)=0,$ т. е. $\lambda$ есть корень многочлена $p(\lambda)=det(A-\lambda E),$ называемого характеристическим многочленом оператора $A.$ Столбец координат $X$ любого собственного вектора соответствующего собственному числу $\lambda$ есть нетривиальное решение однородной системы (2).

Примеры.

Найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами.

Решение.

Найдем собственные вектора заданного линейного оператора. Число $\lambda$ есть собственное число оператора $A$ в том и только том случае, когда $det(A-\lambda E)=0.$ Запишем характеристическое уравнение:

$$det(A-\lambda E)=\begin2-\lambda&-1&2\\5&-3-\lambda&3\\-1&0&-2-\lambda\end=$$ $$=(2-\lambda)(-3-\lambda)(-2-\lambda)+3+2(-3-\lambda)+5(-2-\lambda)=$$ $$=-\lambda^3-3\lambda^2+4\lambda+12+3-6-2\lambda-10-5\lambda=-\lambda^3-3\lambda^2-3\lambda-1=0.$$

Решим найденное уравнение, чтобы найти собственные числа.

$$\lambda^3+3\lambda^2+3\lambda+1=(\lambda^3+1)+3\lambda(\lambda+1)=$$ $$=(\lambda+1)(\lambda^2-\lambda+1)+3\lambda(\lambda+1)=(\lambda+1)(\lambda^2-\lambda+1+3\lambda)=$$ $$=(\lambda+1)(\lambda^2+2\lambda+1)=(\lambda+1)^3=0\Rightarrow \lambda=-1.$$

Собственный вектор для собственного числа $\lambda=-1$ найдем из системы $$(A-\lambda E)X=0, X\neq 0, \Rightarrow (A+E)X=0, X\neq 0$$

Решим однородную систему уравнений:

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=\begin3&-1&2\\5&-2&3\\-1&0&-1\end$ методом окаймляющих миноров:

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=\begin3&-1\\5&-2\end=-6+5=-1\neq 0.$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=\begin3&-1\\5&-2\end=-1\neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$\left\3x_1-x_2+2с=0\\ 5x_1-2x_2+3с=0\end\right.\Rightarrow\left\3x_1-x_2=-2c\\5x_1-2x_2=-3c\end\right.$$

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=\begin-c\\-c\\c\end.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=\begin-1\\-1\\1\end.$

С использованием фундаментальной системы решений, общее решение может быть записано в виде $X(c)=cE.$

Ответ: $\lambda=-1;$ $X=c\begin-1\\-1\\1\end, c\neq 0.$

Решение.

Найдем собственные вектора заданного линейного оператора. Число $\lambda$ есть собственное число оператора $A$ в том и только том случае, когда $det(A-\lambda E)=0.$ Запишем характеристическое уравнение:

$$det(A-\lambda E)=\begin-\lambda&-1&0\\1&1-\lambda&-2\\1&-1&-\lambda\end=$$ $$=-\lambda(1-\lambda)(-\lambda)+2-\lambda+2\lambda=$$ $$=-\lambda^3+\lambda^2+\lambda+2=0.$$

Решим найденное уравнение, чтобы найти собственные числа.

Собственный вектор для собственного числа $\lambda=2$ найдем из системы $$(A-\lambda E)X=0, X\neq 0, \Rightarrow (A-2E)X=0, X\neq 0$$

Решим однородную систему уравнений:

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=\begin-2&-1&0\\1&-1&-2\\1&-1&-2\end$ методом окаймляющих миноров:

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=\begin-2&-1\\1&-1\end=2+1=3\neq 0.$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=\begin-2&-1\\1&-1\end=3\neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$\left\-2x_1-x_2=0\\ x_1-x_2-2с=0\end\right.\Rightarrow\left\-2x_1-x_2=0\\x_1-x_2=2c\end\right.$$

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=\begin\frac\\-\frac\\c\end.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=\begin\frac\\-\frac\\1\end.$

С использованием фундаментальной системы решений, общее решение может быть записано в виде $X(c)=cE.$ Переобозначив постоянную, $\alpha=3c,$ получаем собственный вектор $X=\alpha\begin2\\-4\\3\end, \alpha\neq 0.$

Ответ: $\lambda=2;$ $X=\alpha\begin2\\-4\\3\end, \alpha\neq 0.$

Домашнее задание.

Найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами.

Ответ: $\lambda=2;$ $X=c_1\begin1\\2\\0\end+c_2\begin0\\0\\1\end, $c_1$ и $ c_2$ не равны одновременно нулю.

Ответ: $\lambda_1=-1,$ $X(\lambda_1)=c\begin1\\1\\1\end;$ $\lambda_2=2,$ $X(\lambda_2)=c\begin4\\1\\7\end;$ $\lambda_3=-2,$ $X(\lambda_3)=c\begin2\\3\\3\end, c\neq 0.$

Высшая математика. Практика.

  • Матрицы, определители и системы линейных уравнений.
  • Векторная алгебра
  • Алгебраические линии первого порядка на плоскости и в пространстве.
  • Алгебраические линии второго порядка на плоскости и в пространстве.
  • Некоторые понятия математической логики теории множеств.
  • Комплексные числа
  • Предел функции.
  • Дифференцируемость функции, ее дифференциал и производная.
  • Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.
  • Графики функций и кривые
  • Неопределенный интеграл.
  • Определенный интеграл и его применение.
  • Числовые ряды.
  • Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
  • Экстремумы функций нескольких переменных.
  • Двойные интегралы
  • Дифференциальные уравнения
  • ENGLISH VERSION

Таблицы

  • Таблица производных
  • Таблица производных сложных функций
  • Таблица производных высших порядков
  • Таблица интегралов
  • Формулы Тейлора
  • Греческий алфавит
  • Таблица оригиналов и изображений.
  • Сравнение функций O(f) и o(f).
  • Тригонометрическая таблица
  • ENGLISH VERSION

Книги

Как найти собственный вектор

Определение. Число называется собственным значением квадратной матрицы А, если найдется вектор такой, что А· = · . Вектор называется собственным вектором матрицы А, соответствующим данному собственному значению.

Теорема 1. Собственные значения матрицы А являются решениями уравнения

Это уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А.

Теорема 2. Число различных собственных значений квадратной матрицы не превосходит ее порядка. Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Пример. Пусть дана матрица .

Составим и решим характеристическое уравнение.

Вектор (2с,с) будет являться собственным вектором, соответствующим собственному значению 2.

Вектор (с,с) будет являться собственным вектором, соответствующим собственному значению 3.

Векторы (2с,с) и (с,с) линейно независимы. Так как они двухмерные, то они образуют базис пространства Е 2 .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *