Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве
Перейти к содержимому

Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве

  • автор:

Расстояние между скрещивающимися прямыми: определение и примеры нахождения

Статья нацелена на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми методом координат. Будет рассмотрено определение расстояния между этими прямыми, получим алгоритм при помощи которого преобразуем нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми. Закрепим тему решением подобных примеров.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение

Предварительно необходимо доказать теорему, которая определяет связь между заданными скрещивающимися прямыми.

Раздел взаимного расположения прямых в пространстве говорит о том, что если две прямые называют скрещивающимися, если их расположение не в одной плоскости.

При переходе от определения расстояния между скрещивающимися прямыми определяем расстояние через расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью.

5.5.4. Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми?

г) Срубаем четвёртую голову дракона.

Способ первый. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра: .

Вершины общего перпендикуляра найдены в предыдущем пункте, и задача элементарна:

Но на практике концы общего перпендикуляра почти всегда неизвестны, и поэтому используют второй способ. В курсе аналитической геометрии выведена специальная формула нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми:

Смешанное произведение векторов уже найдено в пункте «а»: .

Векторное произведение векторов найдено в пункте «бэ»: , вычислим его длину:

Осталось записать ответ, где под пунктами а)-г) гордо выложить 4 трофея.

Что ещё можно рассказать про скрещивающиеся прямые? Между ними определён угол. Но универсальную формулу угла рассмотрим чуть позже.

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

© mathprofi.ru — mathter.pro, 2010-2024, сделано в Блокноте.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми определяется величиной перпендикуляра, заключенного между параллельными плоскостями, которым принадлежат скрещивающиеся прямые. Эти плоскости называют плоскостями параллелизма.

Для того чтобы через скрещивающиеся прямые k и b провести взаимно параллельные плоскости α и β, достаточно через точку A (Ak) провести прямую m, параллельную прямой b, а через точку B (Bb) прямую n, параллельную прямой k.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Пересекающиеся прямые k и m, b и n определяют взаимно параллельные плоскости α и β. Расстояние между плоскостями α и β равно искомому расстоянию между скрещивающимися прямыми k и b.

В качестве примера решаем задачу на кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми

способом перемены плоскостей проекций. Здесь они заданны отрезками [AB] и [CD]. Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми способом прямоугольного треугольника

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Здесь скрещивающиеся прямые q и p — через произвольно взятые точки D и K на скрещивающихся прямых q и p проводим прямые mp и nq. Таким образом, получаем две параллельные плоскости, каждая из пересекающихся прямых, параллельных друг другу; — через точку K восстанавливаем перпендикуляр к плоскости из пересекающихся прямых p и n, для этого: — построим точки C на прямой n и B на прямой p, соединив которые получим треугольный отсек плоскости CBK; — проводим главные линии плоскости CBK горизонталь h и фронталь f; — находим точку пересечения перпендикуляра и плоскости пересекающихся прямых q и m: — заключаем перпендикуляр в горизонтально проецирующую плоскость γH; — строим линию пересечения 3 — 4 γH и плоскости пересекающихся прямых q и m; — на пересечении линию пересечения 3 — 4 перпендикуляром находим точку A — точку встречи перпендикуляра опущенного из точки K на плоскость пересекающихся прямых q и m; — используя способ прямоугольного треугольника построим действительную величину перпендикуляра [KA] — кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми q и p.

Решение задачи на определение угла между скрещивающимися прямыми смотри в статье: Угол между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми: формула

Скрещивающиеся прямые — это прямые, не лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся между собой.

Наименьшим расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми является перпендикуляр, опущенный с одной прямой на другую. У каждой пары скрещивающихся прямых при этом есть только один такой общий перпендикуляр.

расстояние между скрещивающимися прямыми. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ» />

Рисунок 1. Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Через каждую из скрещивающихся прямых возможно провести лишь одну плоскость, параллельную второй скрещивающейся прямой, соответственно, для определения расстояния между скрещивающимися прямыми, достаточно определить расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, на которой лежит вторая прямая.

Соответственно, задачу поиска расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью можно свести к поиску расстояния между любой точкой, лежащей на вышеозначенной прямой, и плоскостью.

Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми: координатный метод

Рассмотрим методику нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми $L_1$ и $L_2$ через координатный метод.

Прежде всего необходимо найти уравнение плоскости $β$, параллельной прямой $L_1$. Для этого необходимо найти векторное произведение направляющих векторов прямых $L_1$ и $L_2$, данное произведение представляет собой координаты нормального вектора плоскости $β$:

«Расстояние между скрещивающимися прямыми: формула» ��
Помощь эксперта по теме работы
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

При вычислении выражения $(1)$ мы получим коэффициенты для общего уравнения плоскости $β$ — $A, B$ и $C$.

Для того чтобы записать всё общее выражение плоскости, подставим координаты любой точки, лежащей на $L_2$ в общую форму, например, можно подставить точку с координатами $(x_2;y_2; z_2)$, получим следующее:

$A (x-x_2) + B (y – y_2) + C(z- z_2) + D=0$.

Теперь достаточно выбрать любую точку на прямой $L_1$, пусть это будет точка $M_1$ с координатами $(x_1;y_1; z_1)$.

Расстояние от плоскости $β$ до точки $M_1$ составит:

где $A, B, C$ и $D$ — коэффициенты уравнения плоскости $β$, а $(x_1;y_1; z_1)$ — координаты точки, лежащей на прямой $L_1$.

Замечание 1

Данная формула позволяет высчитать расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.

Определить расстояние между скрещивающимися прямыми $L_1$ и $L_2$.

Найдём нормальный вектор плоскости, в которой лежит прямая $L_2$, для этого выпишем направляющие вектора для каждой из прямых:

$L_1: \vec= \$, точка на этой прямой — $(2;-1;0)$

$L_2: \vec= \$, точка на этой прямой — $(-1;0;1)$

Теперь найдём векторное произведение векторов $\vec$ и $\vec$, полученный вектор является нормальным вектором плоскости, в которой лежит $L_2 $:

$[\vec\cdot \vec]= \begin <|ccc|>i &j &k \\ 2 &-3 &-1 \\ 1 &-2 &0 \\ \end=((-3) \cdot 0 -2) \cdot \vec + (2 \cdot 0 + 1)\vec + ((-4) + 3) \cdot \vec = -2\vec + \vec -k = \$

Подставим координаты точки $(-1;0;1)$, принадлежащей прямой $L_2$, в общее уравнение плоскости:

$-2 \cdot (x+1) + (y-0) – 1 \cdot(z-1)=0$

Упрощаем и в конечном итоге имеем следующее уравнение плоскости:

Теперь, используя координаты точки $(2;-1;0)$, лежащей на первой прямой, можно воспользоваться формулой $(2)$ для вычисления расстояния между двумя скрещивающимися прямыми:

Координатная формула вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми

Также аналогичное уравнение для поиска расстояния между скрещивающимися прямыми можно использовать сразу в полной координатной форме:

$ρ=\frac <|ccc|>l_1 & m_1 &n_1\\ l_2 &m_2 &n_2\\ (x_2 – x_1) &(y_2-y_1) &(z_2-z_1) \\ \end><\sqrt <|cc|>m_1 &n_1 \\ m_2 &n_2 \\ \end^2 + \begin <|cc|>l_1 &n_1 \\ l_2 &n_2 \\ \end^2 + \begin <|cc|>l_1 &m_1 \\ l_2 &m_2 \\ \end^2>>\left(3\right)$

Для того чтобы воспользоваться данной формулой, возможно нужно освежить в памяти способы нахождения определителей матриц.

Найти расстояние между вышеприведёнными прямыми с помощью формулы $(3)$.

Выпишем сначала точки, принадлежащие данным прямым и их направляющие векторы:

$L_1$ имеет направляющий вектор $\$, а принадлежащая ей точка имеет координаты $(2; -1; 0)$.

$L_2$ имеет направляющий вектор $\$, а принадлежащая ей точка имеет координаты $(-1; 0; 1)$.

Воспользуемся формулой $(3)$:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *