Как найти площадь треугольника по координатам вершин
Перейти к содержимому

Как найти площадь треугольника по координатам вершин

  • автор:

Площадь треугольника через координаты

Поскольку площадь должна быть положительной величиной, то перед определителем стоит знак плюс-минус. Если определитель отрицательный то берем знак минус, что в итоге даст плюс. Если определитель положительный то берем знак плюс. Или просто возьмем абсолютное значение определителя поделенное на два.

Пример нахождения площади треугольника через координаты

Пример нахождения площади треугольника через координаты

Пример нахождения площади треугольника через координаты

\[ S = \pm \frac<1> \begin 3-0 & 2-0 \\ 7-0 & 5-0 \end \]

\[ S = \pm \frac<1> \begin 3 & 2 \\ 7 & 5 \end \]

Площадь треугольника

Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) — вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:
В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.

Примечание: если определитель равен 0, то это означает, что точки лежат на одной прямой. Таким образом, равенство нулю определителя задает условие, при котором три точки лежат на одной прямой.

Инструкция . Для нахождения площади треугольника заполните координаты вершин, нажмите Далее . Полученное решение сохраняется в файле Word .

Пример . Найти площадь треугольника с вершинами A(1,3), B(2,-5), C(-8,4)

Решение. Принимая A за первую вершину, находим:

Площадь треугольника по координатам вершин

Как найти площадь треугольника по координатам его вершин?

Найти длины трёх сторон треугольника и вычислить площадь по формуле Герона. Способ удобен, если длины сторон являются целыми числами. В противном случае предстоят громоздкие вычисления.

вывести формулу для нахождения площади и использовать её для вычисления.

Площадь треугольника ABC с вершинами в точках A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3) можно вычислить с помощью формулы

\[S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left| {(x_2 - x_1 )(y_3 - y_1 ) - (x_3 - x_1 )(y_2 - y_1 )} \right|.\]

ploshchad-treugolnika-po-koordinatam

Рассмотрим треугольник ABC,

Опустим перпендикуляры из вершин треугольника на координатные оси.

\[S_{\Delta ABC} = S_{MACN} + S_{NCBK} - S_{MABK} \]

\[S_{MACN} = \frac{{MA + CN}}{2} \cdot MN = \frac{{y_1 + y_3 }}{2} \cdot (x_3 - x_1 ),\]

\[S_{NCBK} = \frac{{NC + BK}}{2} \cdot NK = \frac{{y_3 + y_2 }}{2} \cdot (x_2 - x_3 ),\]

\[S_{MABK} = \frac{{MA + BK}}{2} \cdot MK = \frac{{y_1 + y_2 }}{2} \cdot (x_2 - x_1 ).\]

\[= \frac{{y_1 + y_3 }}{2} \cdot (x_3 - x_1 ) + \frac{{y_3 + y_2 }}{2} \cdot (x_2 - x_3 ) - \frac{{y_1 + y_2 }}{2} \cdot (x_2 - x_1 ) = \]

\[= \frac{1}{2}[(y_1 + y_3 )(x_3 - x_1 ) + (y_3 + y_2 )(x_2 - x_3 ) - (y_1 + y_2 )(x_2 - x_1 )] = \]

\[= \frac{1}{2}[x_3 y_1 - x_1 y_1 \underline { + x_3 y_3 } - x_1 y_3 + x_2 y_3 \underline { - x_3 y_3 } + x_2 y_2 - x_3 y_2 - \]

\[- x_2 y_1 + x_1 y_1 - x_2 y_2 + x_1 y_2 ] =\]

\[= \frac{1}{2}[(x_2 y_3 - x_2 y_1 ) + ( - x_1 y_3 + x_1 y_1 ) + (x_1 y_2 - x_1 y_1 ) + \]

\[+ ( - x_3 y_2 + x_3 y_1 )] = \]

\[= \frac{1}{2}[x_2 (y_3 - y_1 ) - x_1 (y_3 - y_1 ) + x_1 (y_2 - y_1 ) - x_3 (y_2 - y_1 )] = \]

\[= \frac{1}{2}[(x_2 - x_1 )(y_3 - y_1 ) - (x_3 - x_1 )(y_2 - y_1 )].\]

С учетом вариантов взаимного расположения точек A, B и C формула для вычисления площади треугольника по координатам его вершин приобретает вид:

\[ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left| {(x_2 - x_1 )(y_3 - y_1 ) - (x_3 - x_1 )(y_2 - y_1 )} \right|. \]

Что и требовалось доказать.

Найти длины двух сторон и косинус угла между ними и вычислить площадь треугольника через стороны и синус угла между ними.

Найти длину и уравнение одной стороны треугольника и длину высоты, проведённой к этой стороне. Вычислить площадь через сторону и высоту.

Рассмотрим эти способы на конкретном примере.

Найти площадь треугольника, вершины которого имеют координаты A(-1;-3), B(3;4), C(5;-5).

Находим длины сторон треугольника ABC.

\[AB = \sqrt {(x_B - x_A )^2 + (y_B - y_A )^2 } \]

\[ AB = \sqrt {(3 - ( - 1))^2 + (4 - ( - 3))^2 } = \sqrt {16 + 49} = \sqrt {65} ;\]

\[AC = \sqrt {(x_C - x_A )^2 + (y_C - y_A )^2 } \]

\[AC = \sqrt {(5 - ( - 1))^2 + ( - 5 - ( - 3))^2 } = \sqrt {36 + 4} = \sqrt {40} ;\]

\[BC = \sqrt {(x_C - x_B )^2 + (y_C - y_B )^2 } \]

\[BC = \sqrt {(5 - 3)^2 + ( - 5 - 4)^2 } = \sqrt {4 + 81} = \sqrt {85} .\]

Поскольку длины сторон выражены иррациональными числами, вычислять площадь треугольника по формуле Герона — не самый лучший способ.

\[S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left| {(3 - ( - 1))( - 5 - ( - 3)) - (5 - ( - 1))(4 - ( - 3))} \right| = \]

\[= \frac{1}{2}\left| {4 \cdot ( - 2) - 6 \cdot 7} \right| = \frac{1}{2} \cdot 50 = 25.\]

Угол A образован векторами AC и AB. Отсюда

\[ \cos \angle A = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{\left } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} \]

Находим координаты векторов:

\[\overrightarrow {AB} (x_B - x_A ;y_B - y_A )\]

\[\overrightarrow {AB} (3 - ( - 1);4 - ( - 3))\]

\[\overrightarrow {AC} (x_C - x_A ;y_C - y_A )\]

\[\overrightarrow {AC} (5 - ( - 1); - 5 - ( - 3))\]

\[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 4 \cdot 6 + 7 \cdot ( - 2) = 10.\]

Длины AB и AC уже знаем:

\[\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {65} ,\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {40} .\]

\[\cos \angle A = \frac{{10}}{{\sqrt {65} \cdot \sqrt {40} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {5 \cdot 13} \cdot \sqrt {5 \cdot 4 \cdot 2} }} = \]

Синус и косинус одного угла связаны соотношением:

\[\sin ^2 \angle A + \cos ^2 \angle A = 1\]

Синус угла от 0° до 180° является положительным числом, поэтому

\[\sin \angle A = \sqrt {1 - \cos ^2 \angle A} \]

\[\sin \angle A = \sqrt {1 - \frac{1}{{26}}} = \sqrt {\frac{{25}}{{26}}} = \frac{5}{{\sqrt {26} }}.\]

\[S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle A,\]

\[S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt {65} \cdot \sqrt {40} \cdot \frac{5}{{\sqrt {26} }} = 25.\]

Найдём уравнение прямой AB. Подставляем координаты A и B в уравнение y=kx+b:

\[\left\{ \begin{array}{l} - 3 = k \cdot ( - 1) + b \\ 4 = k \cdot 3 + b \\ \end{array} \right.\]

\[y = \frac{7}{4}x - \frac{5}{4},4y = 7x - 5,\]

\[d = \frac{\left \right|}}{{\sqrt {7^2 + 4^4 } }} = \frac{{50}}{{\sqrt {65} }}.\]

Это расстояние равно высоте треугольника, проведённой из вершины C к стороне AB. Отсюда

Онлайн калькулятор. Площадь треугольника построенного на векторах

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти площадь треугольника построенного на векторах.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление площади треугольника построенного на векторах и закрепить пройденный материал.

Калькулятор для вычисления площади треугольника построенного на векторах

Площадь треугольника построенного на векторах

Выберите каким образом задается треугольник:

Введите значения векторов: Введите координаты точек:

Инструкция использования калькулятора для вычисления площади треугольника построенного на векторах

  • выберите каким образом задается треугольник;
  • введите имеющиеся данные;
  • Нажмите кнопку «Найти площадь треугольника построенного на векторах» и вы получите детальное решение задачи.

Ввод данных в калькулятор для вычисления площади треугольника построенного на векторах

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади треугольника построенного на векторах

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Теория. Площадь треугольника построенного на векторах

Площадь треугольника построенного на векторах

Определение Площадь треугольника образованного векторами a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

SΔ = 1 2 | a × b |

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Присоединяйтесь
© 2011-2024 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *