Как найти площадь правильного треугольника зная сторону
Перейти к содержимому

Как найти площадь правильного треугольника зная сторону

  • автор:

Площадь равностороннего треугольника

Зная сторону равностороннего треугольника, можем найти его площадь. Для этого проводим в треугольнике высоту, чтобы получить два конгруэнтных прямоугольных треугольника.

равносторонний треугольник разделённый на два конгруэнтных прямоугольных треугольника

Так как у равностороннего треугольника все углы по 60° , следовательно, из тригонометрических отношений в прямоугольных треугольниках, высота будет равна . Используя формулу площади через произведение высоты и основания, получаем следующее выражение: . Если известна высота в равностороннем треугольнике, то для нахождения его площади нужно сначала выразить сторону через высоту и затем подставить ее в предыдущую формулу.

Как найти площадь треугольника

Существует много способов найти площадь треугольника. Для этого необходимо знать различные формулы. Рассмотрим их в этой статье.

Формула площади треугольника через сторону и высоту

Площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, проведённую к этой стороне.

Формула площади треугольника через две стороны и угол между ними

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон треугольника на синус угла между ними.

площадь треугольника

Формула площади треугольника через три стороны. Формула Герона

Если известны три стороны треугольника a, b и c , то его площадь можно вычислить по формуле:

площадь треугольника

Формула площади треугольника через радиус описанной окружности

Если известен радиус описанной окружности треугольника R, а также известны три стороны треугольника a, b и c , то его площадь можно вычислить по формуле:

площадь треугольника

Формула площади треугольника через радиус вписанной окружности

Если известен радиус вписанной окружности треугольника r, а также известны три его стороны a, b и c, то его площадь можно вычислить по формуле:

площадь треугольника

Формула площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла

Если известны сторона треугольника a и два прилежащих к ней угла b и y, то его площадь можно вычислить по формуле:

площадь треугольника площадь треугольника

Читайте по теме: Длина окружности и площадь круга

Частные случаи

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

площадь треугольника

Площадь равностороннего треугольника со стороной a можно вычислить по формуле:

площадь треугольника площадь треугольника площадь треугольника

А если геометрия для ребёнка что-то совсем сложное и непонятное, приходите на занятия в Тетрику. Наши преподаватели простым языком объяснят теорию и на примерах покажут, как найти площадь треугольника в разных случаях. Первый урок бесплатный ��

Читайте по теме: Как найти общий знаменатель
Как вам статья?

Реакция

34

Реакция

24

Реакция

10

Площадь равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника

Правильным или равносторонним считается треугольник, где все стороны равны. Кроме равных сторон. в правильном треугольнике углы тоже равны между собой и составляют 60°. Площадь равностороннего треугольника определяется по формуле:

где a является стороной треугольника; h — его высота. Т. е. пл. равностороннего треугольника равняется произведению основания треугольника на его высоту, деленное на 2.

Площадь лишь по одной стороне равностороннего треугольника считается по формуле:
где a — сторона, S — площадь треугольника.

Введите данные (сторону треугольника) и онлайн-калькулятор поможет вам в течение нескольких секунд вычислить S равностороннего треугольника.

Расчет площади равностороннего треугольника, зная сторону

Если вам дана только высота треугольника, то S равностороннего треугольника следует рассчитать по формуле:

где S — площадь треугольника; h — его высота.

Площадь треугольника

Формулы, позволяющие находить площадь треугольника , удобно представить в виде следующей таблицы.

Формула для площади треугольника через сторону и опущенную на нее высоту

Площадь треугольника

a – любая сторона треугольника, ha – высота, опущенная на эту сторону

Формула для площади треугольника через две стороны и угол между ними

Площадь треугольника

a и b – две любые стороны треугольника, С – угол между ними

Площадь треугольника

a, b, c – стороны треугольника, p – полупериметр

Формула для площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла

Площадь треугольника

a – любая сторона, B, С – прилежащие к ней углы

Формула для площади треугольника через стороны треугольника и радиус вписанной окружности

Площадь треугольника

a, b, c – стороны, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр

Формула для площади треугольника через стороны треугольника и радиус описанной окружности

Площадь треугольника

a, b, c – стороны, R – радиус описанной окружности

Формула для площади треугольника через углы треугольника и радиус описанной окружности

Площадь треугольника

S = 2R 2 sin A sin B sin C

A, B, С – углы, R – радиус описанной окружности

Формула для площади равностороннего (правильного) треугольника через его сторону

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула для площади равностороннего (правильного) треугольника через его высоту

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула для площади равностороннего (правильного) треугольника через радиус вписанной окружности

Площадь равностороннего правильного треугольника

r – радиус вписанной окружности

Формула для площади равностороннего (правильного) треугольника через радиус описанной окружности

Площадь равностороннего правильного треугольника

R – радиус описанной окружности

Формула для площади прямоугольного треугольника через катеты

Площадь прямоугольного треугольника

Формула для площади прямоугольного треугольника через катет и прилежащий острый угол

Площадь прямоугольного треугольника

a – катет, φ – прилежащий острый угол

Формула для площади прямоугольного треугольника через катет и противолежащий острый угол

Площадь прямоугольного треугольника

a – катет, φ – противолежащий острый угол

Формула для площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол

Площадь прямоугольного треугольника

c – гипотенуза, φ – любой из острых углов

Вывод формул для площади произвольного треугольника

УТВЕРЖДЕНИЕ 1 . Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а ha – высота, опущенная на эту сторону.

Площадь треугольника вывод формул

Достроив треугольник ABC до параллелограмма ABDC (рис. 1), получим

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2 . Площадь треугольника можно найти по формуле

где a и b – две любые стороны треугольника, а С – угол между ними.

Площадь треугольника вывод формул

то, в силу утверждения 1, справедлива формула

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3 . Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а B, С – прилежащие к ней углы.

ЗАМЕЧАНИЕ . Докажем утверждение 3 в случае остроугольного треугольника. Доказательство в случаях прямоугольного и тупоугольного треугольников требует лишь незначительных изменений, совершить которые мы предоставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.

Площадь треугольника вывод формул

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 4 . Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а r – радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника вывод формул

Соединив центр O вписанной окружности с вершинами треугольника (рис.4), получим

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 5 . Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольника вывод формул

В силу теоремы синусов справедливо равенство

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 6 . Площадь треугольника можно найти по формуле:

где A, B, С – углы треугольника, а R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольника

В силу теоремы синусов справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Вывод формул для площади равностороннего треугольника
  1. Если a – сторона равностороннего треугольника, то его площадь
  2. Если h – высота равностороннего треугольника, то его площадь
  3. Если r – радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, то его площадь
  4. Если R – радиус описанной около равностороннего треугольника окружности, то его площадь

Рассмотрим рисунок 7.

Площадь равностороннего правильного треугольникаРис. 7 В силу утверждения 2

  • Рассмотрим рисунок 8. Площадь равностороннего правильного треугольникаРис. 8 Поскольку то, в силу утверждения 1, справедлива формула
  • Рассмотрим рисунок 9. Площадь равностороннего правильного треугольникаРис. 9 Поскольку у равностороннего треугольника центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенствоh = 3r . Следовательно,
  • Рассмотрим рисунок 10.

    Площадь равностороннего правильного треугольника

    Рис. 10 Поскольку у равностороннего треугольника центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенство Следовательно, Доказательство утверждения 7 завершено.

    Вывод формул для площади прямоугольного треугольника
    1. Если a и b – катеты прямоугольного треугольника, то его площадь
    2. Если a – катет прямоугольного треугольника, а φ – прилежащий к этому катету острый угол, то площадь прямоугольного треугольника
    3. Если a – катет прямоугольного треугольника, а φ – противолежащий этому катету острый угол, то площадь прямоугольного треугольника
    4. Если c – гипотенуза прямоугольного треугольника, а φ – острый угол, то площадь прямоугольного треугольника
    1. Рассмотрим рисунок 11. Площадь прямоугольного треугольникаРис. 11 В силу утверждения 2
    2. Рассмотрим рисунок 12. Площадь прямоугольного треугольникаРис. 12 Посколькуb = a tg φ , то
    3. Рассмотрим рисунок 13. Площадь прямоугольного треугольникаРис. 13 Посколькуb = a ctg φ , то
    4. Рассмотрим рисунок 14. Площадь прямоугольного треугольникаРис. 14 Посколькуa = c cos φ , b = c sin φ , то Доказательство утверждения 8 завершено.

    Справочник по математике для школьников

    • Арифметика
    • Алгебра
    • Тригонометрия
    • Геометрия (планиметрия)
    • Геометрия (стереометрия)
    • Элементы математического анализа
    • Вероятность и статистика

    Геометрия (планиметрия)

    • Основные фигуры планиметрии
      • Фигуры, составляющие основу планиметрии
      • Углы на плоскости
      • Теорема Фалеса
      • Углы, связанные с окружностью
      • Признаки параллельности прямых
      • Типы треугольников. Признаки равенства треугольников
      • Свойства и признаки равнобедренного треугольника
      • Свойства и признаки прямоугольного треугольника
      • Свойства сторон и углов треугольника
      • Подобие треугольников
      • Теорема Пифагора. Теорема косинусов
      • Биссектриса треугольника
      • Медиана треугольника
      • Высота треугольника. Задача Фаньяно
      • Средние линии треугольника
      • Теорема Чевы
      • Теорема Менелая
      • Описанная окружность. Теорема синусов
      • Формулы для стороны, периметра и площади правильного треугольника
      • Площадь треугольника
      • Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
      • Вневписанные окружности
      • Четырехугольники
      • Параллелограммы
      • Трапеции
      • Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
      • Описанные четырехугольники
      • Площади четырехугольников
      • Многоугольники
      • Правильные многоугольники
      • Углы, связанные с окружностью
      • Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
      • Две окружности на плоскости. Общие касательные к двум окружностям
      • Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
      • Окружность, описанная около треугольника. Теорема синусов
      • Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
      • Вневписанные окружности
      • Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
      • Описанные четырехугольники
      • Площади четырехугольников
      • Площадь треугольника
      • Вывод формул Герона и Брахмагупты
      • Средние линии
      • Геометрические места точек на плоскости
      • Движения плоскости. Теорема Шаля. Аффинные преобразования плоскости

      Учебные пособия для школьников

      • Задачи на проценты
      • Квадратный трехчлен
      • Метод координат на плоскости
      • Прогрессии
      • Решение алгебраических уравнений
      • Решение иррациональных неравенств
      • Решение логарифмических неравенств
      • Решение логарифмических уравнений
      • Решение показательных неравенств
      • Решение показательных уравнений
      • Решение рациональных неравенств
      • Решение тригонометрических уравнений
      • Степень с рациональным показателем
      • Системы уравнений
      • Тригонометрия в ЕГЭ по математике
      • Уравнения и неравенства с модулями
      • Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами

      Демоверсии ЕГЭ

      • Демонстрационные варианты ЕГЭ по английскому языку
      • Демонстрационные варианты ЕГЭ по биологии
      • Демонстрационные варианты ЕГЭ по географии
      • Демонстрационные варианты ЕГЭ по информатике
      • Демонстрационные варианты ЕГЭ по испанскому языку
      • Демонстрационные варианты ЕГЭ по истории
      • Демонстрационные варианты ЕГЭ по китайскому языку
      • Демонстрационные варианты ЕГЭ по литературе
      • Демонстрационные варианты ЕГЭ по математике
      • Демонстрационные варианты ЕГЭ по немецкому языку
      • Демонстрационные варианты ЕГЭ по обществознанию
      • Демонстрационные варианты ЕГЭ по русскому языку
      • Демонстрационные варианты ЕГЭ по физике
      • Демонстрационные варианты ЕГЭ по французскому языку
      • Демонстрационные варианты ЕГЭ по химии
      • Итоговое сочинение (изложение) в 11 классе

      Демоверсии ОГЭ

      • Демонстрационные варианты ОГЭ по английскому языку
      • Демонстрационные варианты ОГЭ по биологии
      • Демонстрационные варианты ОГЭ по географии
      • Демонстрационные варианты ОГЭ по информатике
      • Демонстрационные варианты ОГЭ по испанскому языку
      • Демонстрационные варианты ОГЭ по истории
      • Демонстрационные варианты ОГЭ по литературе
      • Демонстрационные варианты ОГЭ по математике
      • Демонстрационные варианты ОГЭ по немецкому языку
      • Демонстрационные варианты ОГЭ по обществознанию
      • Демонстрационные варианты ОГЭ по русскому языку
      • Демонстрационные варианты ОГЭ по физике
      • Демонстрационные варианты ОГЭ по французскому языку
      • Демонстрационные варианты ОГЭ по химии
      • Итоговое собеседование по русскому языку в 9 классе
  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *