Как найти площадь петли кривой
Перейти к содержимому

Как найти площадь петли кривой

  • автор:

Площадь петли кривой

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Длина петли кривой
Вычислить длину петли кривой x=3^0,5*t^2 y=t — t^3 пожалуйста помогите.

Вычисление длины петли кривой
На изображении имеется часть решения, полученный интеграл не вычисляется. Где ошибки? Подобного.

4444 / 2448 / 227
Регистрация: 20.08.2011
Сообщений: 3,108

ЦитатаСообщение от ShanTE Посмотреть сообщение

Помогите плз найти площадь петли
1) Нарисовать петлю
2) Вычислить интеграл
Проверьте вычисления! Отсутствие ошибок не гарантируется !
Помогите, пожалуйста, найти площадь петли x = 1 + t — t 3 , y = 1 — 15t 2 .
4444 / 2448 / 227
Регистрация: 20.08.2011
Сообщений: 3,108

ЦитатаСообщение от joke Посмотреть сообщение

Помогите, пожалуйста, найти площадь петли x = 1 + t — t 3 , y = 1 — 15t 2 .
Начните с графика
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь

площадь и длина кривой
Вычислить площадь и длину кривой r = \alpha ^ \frac<\phi > от 0 до П. как это делать?

площадь под кривой
Рассчитайте значения площадей под кривой описываемой функцией f(x)=x^2-7*x+5 при x, меняющемся от 0.

Найти площадь, ограниченную кривой r
Решаю, ответ отрицательный. r=2(1-cos\varphi ), -\pi \leq \varphi \leq -\frac<\pi > .

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
Кривая: x^4+y^4=a^2(x^2+y^2) Просят перейти к полярным координатам. Перешёл, но возникли.

Или воспользуйтесь поиском по форуму:

Как вычислить площадь фигуры и объём тела вращения,
если линия задана параметрически?

На занятиях Вычисление площади с помощью определённого интеграла и Объем тела вращения мы рассмотрели два самых важных приложения определённого интеграла, в которых демонстрационная криволинейная трапеция ограничена осью абсцисс, отрезками прямых и графиком функции , которая непрерывна и не меняет знак на отрезке «а-бэ». Но в некоторых практических заданиях функция может быть задана в параметрическом виде , и наша сегодняшняя задача – научиться считать площадь и объем, если вышла такая незадача =) Понятие параметрической формы я достаточно подробно раскрыл в статье о производной параметрически заданной функции, и в курсе аналитической геометрии на уроках об уравнении прямой на плоскости и уравнениях прямой в пространстве.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной параметрически заданной линией

Встречайте старую знакомую:

Криволинейную трапецию гордо венчает график , и, как вы знаете, её площадь рассчитывается с помощью определённого интеграла по элементарной формуле или, если короче: .

Рассмотрим ситуацию, когда эта же функция задана в параметрическом виде .

Как найти площадь в этом случае?

При некотором вполне конкретном значении параметра параметрические уравнения будут определять координаты точки , а при другом вполне конкретном значении – координаты точки . Когда «тэ» изменяется от до включительно, параметрические уравнения как раз и «прорисовывают» кривую . Думаю, на счёт пределов интегрирования стало всё понятно. Теперь в интеграл вместо «икса» и «игрека» подставляем функции и раскрываем дифференциал:

Примечание: подразумевается, что функции непрерывны на промежутке интегрирования и, кроме того, функция монотонна на нём.

Формула объёма тела вращения получается так же просто:

Объём тела, получаемого вращением криволинейной трапеции вокруг оси , рассчитывается по формуле или: . Подставляем в неё параметрические функции , а также пределы интегрирования :

Пожалуйста, занесите обе рабочие формулы в свой справочник.

По моим наблюдениям, задачи на нахождение объёма встречаются довольно редко, и поэтому значительная часть примеров данного урока будет посвящена нахождению площади. Не откладываем дело в долгий ящик:

Вычислить площадь криволинейной трапеции , если

Решение: используем формулу .

Сначала найдём производную. Дифференцирование осуществляется, само собой, по переменной «тэ», для краткости записи я не буду рисовать подстрочный индекс:
.

Ответ:

И сразу проанализируем важный вопрос:

Нужно ли в рассматриваемом типе задач выполнять чертёж?

Отвечу так: если повезёт с заданием, то можно и не выполнять. Как, например, в только что решенном примере, где само условие «заточено» под формулу, и чертёж с фигурой, площадь которой необходимо рассчитать, по существу, и не нужен.

Однако даже в очень простых случаях нас могут поджидать неожиданные сюрпризы. Так… сейчас придумаю что-нибудь… вот: вычислить площадь криволинейной трапеции , давайте с теми же пределами изменения параметра «тэ» от 1 до 4.

Найдём производную:
Площадь:

Но площадь не может быть отрицательной! Где ошибка?

В подобной ситуации, прежде всего, нужно проверить само решение. Выполняем тщательную проверку и убеждаемся, что с техникой всё в порядке. А может быть фигура расположена под осью , и поэтому изначально следовало поставить знак «минус» перед интегралом? Анализируем функцию , «отвечающую за игреки». Нет – она вообще неотрицательна при любом допустимом значении параметра, а значит, фигура расположена выше оси абсцисс. Так почему же площадь получилась со знаком «минус»?!

Разгадка в следующем: параметр «тэ» изменяется в пределах , но при его увеличении функция убывает. Что это значит геометрически? Это значит, что мы двигаемся по оси влево, и соответственно, параметрические уравнения «прочерчивают» линию справа налево. Но площадь криволинейной трапеции традиционно рассчитывается слева направо! Отсюда и «минус».

В этой связи корректное решение оформляется примерно так: «нижнему пределу интегрирования соответствует значение , а верхнему пределу интегрирования – значение , таким образом: ». Здесь мы «заставили убывать сам параметр», чтобы интегрирование проходило в «правильном» направлении.

Но на практике распространён и другой вариант: перед исходным интегралом изначально ставится «минус»: с предварительным комментарием, что функция убывает на промежутке (а то и без всяких пояснений ;-)).

Как видите, даже в таком простом примере волей-неволей пришлось прибегнуть к анализу (пусть и устному) геометрической информации, а во многих случаях без чертежа и вовсе обойтись очень трудно. Но беда в том, что изобразить график функции, заданной параметрически, не так-то просто и не так-то быстро, поэтому я рекомендую пользоваться программными средствами, например, моим графопостроителем.

Классическая задача по теме, которая разбирается всегда и везде:

Вычислить площадь эллипса

Решение: для определённости полагаем, что параметрические уравнения задают канонический эллипс с центром в начале координат, большой полуосью «а» и малой полуосью «бэ». То есть, по условию нам предложено не что иное, как

найти площадь эллипса

Очевидно, что параметрические функции периодичны, и . Казалось бы, можно заряжать формулу, однако не всё так прозрачно. Выясним направление, в котором параметрические уравнения «вычерчивают» эллипс. В качестве ориентира найдём несколько точек, которые соответствуют наиболее простым значениям параметра:

Параметрические уравнения «вычерчивают» эллипс против часовой стрелки

Легко уловить, что при изменении параметра «тэ» от нуля до «двух пи» параметрические уравнения «вычерчивают» эллипс против часовой стрелки:

В силу симметричности фигуры, вычислим часть площади в 1-й координатной четверти, а результат умножим на 4. Здесь мы наблюдаем принципиально такую же картину, которую я комментировал чуть выше: параметрические уравнения «прорисовывают» дугу эллипса «в противоход» оси , но площадь фигуры считается слева направо! Поэтому нижнему пределу интегрирования соответствует значение , а верхнему пределу – значение .

Как я уже советовал на уроке Площадь в полярных координатах, учетверить результат лучше сразу же:

Интеграл (если у кого-то вдруг обнаружился такой невероятный пробел) разобран на уроке Интегралы от тригонометрических функций.

Ответ:

По сути, мы вывели формулу для нахождения площади эллипса. И если на практике вам встретится задача с конкретными значениями «а» и «бэ», то вы легко сможете выполнить сверку/проверку, поскольку задача решена в общем виде.

Площадь эллипса рассчитывается и в прямоугольных координатах, для этого из уравнения необходимо выразить «игрек» и решить задачу точь-в-точь по образцу Примера №4 статьи Эффективные методы решения определённых интегралов. Обязательно посмотрите на этот пример и сравните, насколько проще вычислить площадь эллипса, если он задан параметрически.

И, конечно же, чуть не забыл, параметрические уравнения могут задавать окружность либо эллипс в неканоническом положении.

Вычислить площадь одной арки циклоиды

Чтобы решить задачу, нужно знать, что такое циклоида или хотя бы чисто формально выполнить чертеж. Примерный образец оформления в конце урока. Впрочем, не буду вас отправлять за тридевять земель, на график этой линии можно посмотреть в следующей задаче:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями

Фигура ограничена первой аркой циклоиды и прямой

Решение: параметрические уравнения задают циклоиду, и ограничение указывает на тот факт, что речь идёт о её первой арке, которая «прорисовывается», когда значение параметра изменяется в пределах . Заметьте, что здесь «правильное» направление этой «прорисовки» (слева направо), а значит, не возникнет заморочек с пределами интегрирования. Но зато появится куча других прикольных вещей =) Уравнение задаёт прямую, параллельную оси абсцисс и дополнительное условие (см. линейные неравенства) сообщает нам о том, что нужно вычислить площадь следующей фигуры:

Искомую заштрихованную фигуру я буду ассоциативно называть «крышей дома», прямоугольник – «стеной дома», а всю конструкцию (стена + крыша) – «фасадом дома». Хотя это сооружение больше напоминает какой-то коровник =)

Чтобы найти площадь «крыши» необходимо из площади «фасада» вычесть площадь «стены».

Сначала займёмся «фасадом». Для нахождения его площади нужно выяснить значения , которые задают точки пересечения прямой с первой аркой циклоиды (точки и ). В параметрическое уравнение подставим :

Тригонометрическое уравнение легко решить, банально взглянув на график косинуса: на промежутке равенству удовлетворяют два корня: . В принципе, всё понятно, но, тем не менее, перестрахуемся и подставим их в уравнение :

– это «иксовая» координата точки ;

– а это «иксовая» координата точки .

Таким образом, мы убедились в том, что значение параметра соответствует точке , а значение – точке .

Вычислим площадь «фасада». Для более компактной записи функция часто дифференцируется прямо под интегралом:

Площадь «стены» можно вычислить «школьным» методом, перемножив длины смежных сторон прямоугольника. Длина очевидна, осталось найти . Она рассчитывается как разность «иксовых» координат точек «цэ» и «бэ» (найдены ранее):

Разумеется, её не стыдно найти и с помощью простейшего определённого интеграла от функции на отрезке :

В результате, площадь «крыши»:

Ответ:

И, конечно же, при наличии чертежа прикидываем по клеточкам, похож ли полученный результат на правду. Похож.

Следующая задача для самостоятельного решения:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями

Кратко систематизируем алгоритм решения:

– В большинстве случаев придётся выполнить чертёж и определить фигуру, площадь которой требуется найти.

– На втором шаге следует понять, каким образом рассчитывается искомая площадь: это может быть одиночная криволинейная трапеция, может быть разность площадей, может быть сумма площадей – короче говоря, все те фишки, которые мы рассматривали на уроке Вычисление площади с помощью определённого интеграла.

– На третьем шаге надо проанализировать, целесообразно ли пользоваться симметрией фигуры (если она симметрична), после чего узнать пределы интегрирования (начальное и конечное значение параметра). Обычно для этого необходимо решить простейшее тригонометрическое уравнение – здесь можно использовать аналитический метод, графический метод или бесхитростный подбор нужных корней по тригонометрической таблице.

! Не забываем, что параметрические уравнения могут «прорисовывать» линию и справа налево, в этом случае делаем соответствующую оговорку и поправку в рабочей формуле.

– И на завершающем этапе проводятся технические вычисления. Правдоподобность полученного ответа всегда приятно оценить по чертежу.

А сейчас долгожданная встреча со звёздой:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями

Фигура ограничена астроидой и прямой

Решение: кривая, заданная уравнениями является астроидой, и линейное неравенство однозначно определяет заштрихованную на чертеже фигуру:

Найдём значения параметра, которые определяют точки пересечения прямой и астроиды. Для этого подставим в параметрическое уравнение :

Способы решения подобного уравнения уже перечислены выше, в частности, эти корни легко подбираются по тригонометрической таблице.

Фигура симметрична относительно оси абсцисс, поэтому вычислим верхнюю половинку площади (синяя штриховка), а результат удвоим.

Подставим значение в параметрическое уравнение :
В результате получена «игрековая» координата верхней (нужной нам) точки пересечения астроиды и прямой.

Правой вершине астроиды, очевидно, соответствует значение . Выполним на всякий случай проверку:
, что и требовалось проверить.

Как и в случае с эллипсом, параметрические уравнения «прорисовывают» дугу астроиды справа налево. Для разнообразия оформлю концовку вторым способом: при изменении параметра в пределах функция убывает, следовательно (не забываем удвоить!!):

Интеграл получился довольно громоздкий, и чтобы «не таскать всё за собой» тут лучше прервать решение и преобразовать подынтегральную функцию отдельно. Стандартно понижаем степень с помощью тригонометрических формул:

Ответ:

Да, тяжеловато приходится со звёздами =)

Следующее задание для продвинутых студентов:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями

Для его решения будет достаточно материалов, которые мы уже рассмотрели, но привычный путь весьма долог, и сейчас я расскажу ещё об одном эффективном методе. Идея на самом деле знакома из урока Вычисление площади с помощью определённого интеграла – это интегрирование по переменной «игрек» и использование формулы . Подставляя в неё параметрические функции , получаем зеркальную рабочую формулу:

Действительно, ну а чем она хуже «стандартной»? В этом состоит ещё одно преимущество параметрической формы – уравнения способны исполнять роль не только «обычной» , но одновременно и обратной функции .

В данном случае предполагается, что функции непрерывны на промежутке интегрирования и функция монотонна на нём. Причём, если убывает на промежутке интегрирования (параметрические уравнения «прорисовывают» график «в противоход» (внимание!!) оси ), то следует по уже рассмотренной технологии переставить пределы интегрирования либо изначально поставить «минус» перед интегралом.

Решение и ответ Примера №7 в конце урока.

Заключительный мини-раздел посвящен более редкой задаче:

Как найти объем тела вращения,
если фигура ограничена параметрически заданной линией?

Актуализируем формулу, выведенную в начале урока: . Общая методика решения точно такая же, как и при нахождении площади. Выдерну немногочисленные задачи из своей копилки:

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной линией , если .

Решение: всё подано в лучшем виде, осталось не оплошать в вычислениях:

Ответ:

Теперь ваш черёд:

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси эллипса

Данная поверхность вращения называется эллипсоидом вращения или сфероидом.
А в случае равенства получится в точности сфера и, соответственно, объём ограниченного ей шара. Кстати, объём данного тела вращения довольно легко вычислить и в декартовых координатах, поскольку подынтегральная функция в формуле ликвидирует квадратный корень. Желающие могут выразить «игрек» из уравнения и решить задание вторым способом.

Помимо простейших примеров вполне могут встретиться задачи, где придётся выполнить чертёж и находить объём тела вращения как разность объемов тел вращения (или наоборот, сумму), то есть использовать уже знакомые из статьи Объем тела вращения приёмы. Кроме того, по аналогии с предыдущим параграфом, легко вывести вторую формулу: , с помощью которой рассчитывается объём тела вращения вокруг оси ординат. Но вероятность встретить такие вещи крайне мала, по крайне мере, лично я не припоминаю, что решал такие задания – вся надежда на вас =)

Решения и ответы:

Пример 3: Решение: вычислим площадь первой арки циклоиды. Значение параметра изменяется в пределах .
Найдём производную: .
По формуле:

Ответ:

Фигура ограничена окружностью и прямой

Пример 5: Решение: уравнения задают окружность с центром в начале координат, радиуса . Уравнение определяет прямую, параллельную оси ординат. Поскольку , то необходимо вычислить площадь заштрихованной на чертеже фигуры:

Найдём пределы изменения параметра, для этого подставим в параметрическое уравнение :

Нижней точке соответствует значение , верхней точке – значение .
Так как фигура симметрична относительно оси , то вычислим площадь в верхней полуплоскости (синяя штриховка), а результат удвоим.
Функция убывает на промежутке , поэтому:

Рациональное вычисление площади части эллипса с помощью «зеркальной» формулы

Пример 7: Решение: выполним чертёж:

Фигура симметрична относительно оси ординат, вычислим часть площади в правой полуплоскости, результат удвоим. Найдём значения параметра, при которых эллипс пересекается с прямой . Для этого подставим в параметрическое уравнение :

(решения быстро отыскиваются по графику синуса либо тригонометрической таблице).
Подставим в параметрическое уравнение :
– таким образом, значение задаёт правую (нужную нам) точку (поскольку получена именно её «иксовая» координата).
Проверим, что очевидное значение задаёт верхнюю точку:
, что и требовалось проверить.
По формуле:

Примечание: в данном случае при изменении параметра от до направление «прорисовки» дуги совпадает с направлением оси ординат (так как растёт), поэтому дополнительного вопроса с модификацией формулы не возникло.
Ответ:

Пример 9: Решение: в силу симметрии эллипса, вычислим объём тела вращения в правой полуплоскости, результат удвоим. При изменении параметра в пределах функция убывает, поэтому:

Ответ:

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Примеры решений задач с помощью интегралов

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач на тему Применение определенных интегралов: вычисление площади плоской фигуры, длины дуги кривой, объема тела вращения, поверхности тела вращения для функций и областей, заданных различным образом.

  • Площадь плоской фигуры
  • Площадь поверхности вращения
  • Объем тела вращения
  • Длина дуги кривой

Понравилось? Добавьте в закладки

Площадь плоской фигуры: примеры онлайн

Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Задача 2. Вычислить площадь фигуры, заключенной между графиками функций:

Задача 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

$$ \rho=4\cos 2\varphi, \rho=2, \rho \geq 2. $$

Задача 4. Найти площадь петли кривой

Решения задач: площадь поверхности

Задача 5. Найти площадь поверхности, образованной вращением петли кривой $ y^2=\frac(3a-x)^2$ вокруг оси $OX$, $a>0$.

Решения задач: объем тела вращения

Задача 6. На координатной плоскости $XOY$ построить площадь, ограниченную линиями $y = 2x — x^2$ и $y = 4x — 2x^2$ , и найти объем тела, образованного вращением этой площади вокруг оси $OX$.

Задача 7. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси $Ox$ фигур, ограниченных линиями $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = 0$.

Трудности с задачами? МатБюро поможет с интегралами.

Длина дуги кривой: примеры решений

Задача 8. Найти длину дуги кривой $l$.

Задача 9. Найти длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями:

$$ x=3(1-\cos t)\cos t, \quad y=3(1-\cos t)\sin t, \quad 0\leq t \leq \pi. $$

Задача 10. Найти длину дуги кривой.

$$ \rho=2\varphi, \quad 0 \leq \varphi \leq 1. $$

Задача не поддается? Поможем быстро и качественно!

Другие примеры

  • Двойные интегралы — примеры решений
  • Тройные интегралы — примеры решений
  • Криволинейные интегралы — примеры решений
  • Поверхностные интегралы — примеры решений

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *