Как найти образ множества при отображении
Перейти к содержимому

Как найти образ множества при отображении

  • автор:

Отображения

[math] f: A \rightarrow B [/math] — отображение из [math]A[/math] в [math]B[/math] .

Определение:
Если A и B состоят из чисел, f называется функцией.

Отображение состоит из трех объектов: множества A(откуда), множества B(куда) и правила f(как).

Связанные понятия

[math] f : A \rightarrow B [/math] [math] C \subset A [/math] [math] g : C \rightarrow B [/math] [math] \forall c \in C : g(c) = f(c) [/math]

Тогда, g — сужение f на C, [math] g = f \big|_C [/math]

[math] A = D(f) [/math] — область определения f

[math] R(f) = \ < b | b = f(a), a \in A \>[/math] — область значений f

[math] C \subset A ; f(C) = \ [/math] — образ множества C при отображении f

[math] D \subset B ; f^(D) = \ < a| a \in A, f(a) \in D \>[/math] — прообраз множества D при отображении f

Определение:
Отображение [math]f^: B \rightarrow A[/math] называется обратным отображением для f.

Термины «прямое» и «обратное» отображения взаимны.

Свойства отображений

Инъективное отображение — переводит разные элементы A в разные элементы B:

[math] \forall a_1, a_2 \in A: a_1\ne a_2 \Rightarrow f(a_1) \ne f(a_2) [/math]

Сюръективное отображение(на множестве B) — каждый элемент множества B является образом хотя бы одного элемента множества A:

[math] \forall b \in B: \exists a : b = f(a) [/math]

Биективное отображение — инъекция + сюръекция — взаимно однозначное соответствие, обладает двумя предыдущими свойствами.

См. также

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

ТФКП: как найти образ области при отображении

На страницу 1 , 2 , 3 След.

ТФКП: как найти образ области при отображении
03.04.2010, 11:44

Последний раз редактировалось PAV 26.05.2011, 15:36, всего редактировалось 1 раз.
уточнил заголовок

Подскажите пожалуйста, каков ход действий в задачах такого типа :
найти образ множества $E:|z|<1; imZ>0$» /> при отображении <img decoding=
или что мне конкретно здесь следует сделать.

Re: ТФКП
03.04.2010, 11:54
Re: ТФКП
03.04.2010, 12:00
ээ, ну мне же задачу надо научиться решать, а не дать имя функции.
Re: ТФКП
03.04.2010, 12:01

Да там всё просто. Распишите комплексное число в тригонометрической форме. Ну и вспомните, как решаются квадратные уравнения

— Сб апр 03, 2010 15:02:17 —

$E = \< z : \mathrm<Im></p>
<p>Ответ такой: образ (z) < 0 \>$» />.</p><div class='code-block code-block-4' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 4theinternet -->
<script src=

Re: ТФКП
03.04.2010, 12:13

$w=\frac 1 2 (pe^i^t+\frac 1 p e^-^i^t) ; p<1; 0<t<\pi$

это приблизило меня к решению? а что дальше?

Re: ТФКП
03.04.2010, 12:21

Заслуженный участник

$p$

Вам фактически достаточно найти образ границы. Поэтому просто замените на единицу. Ну а образ горизонтального отрезка — и совсем уж очевиден.

Re: ТФКП
03.04.2010, 12:23

Ну. надеюсь, из написанного Вам очевидно, что при $z \in E$выполнено $\mathrm<Im>(z+1/z) < 0$.

Теперь осталось показать, что для произвольного $a \in \mathbb<C>$» /> с отрицательной мнимой частью уравнение <img decoding=имеет решение с $z \in E$. Уравнение сводится к квадратному, такие в школе пачками решают 🙂

Re: ТФКП
03.04.2010, 12:29
ewert в сообщении #305896 писал(а):

$p$

Вам фактически достаточно найти образ границы. Поэтому просто замените на единицу. Ну а образ горизонтального отрезка — и совсем уж очевиден.

$w=cos(t),$

тогда вышло , тоесть горизонтальный отрезок от единицы до минус единицы. Это и есть образ? А Профессор Снейп другое написал. Я что-то упускаю?

Re: ТФКП
03.04.2010, 12:31

Последний раз редактировалось Профессор Снэйп 03.04.2010, 12:32, всего редактировалось 1 раз.

$[-1,1]$

Не знаю, что там у вас всех вышло. Образ единичной окружности равен отрезку . Но надо-то ведь не образ окружности, а образ внутренности полукруга!

— Сб апр 03, 2010 15:31:54 —

ewert в сообщении #305896 писал(а):
Вам фактически достаточно найти образ границы.

Зачем? Я, честно говоря, не понял, зачем образ границы надо искать. Но, если что, он будет равен действительной прямой (в границу входит не только полуокружность, но ещё и отрезок)

Re: ТФКП
03.04.2010, 12:32

Заслуженный участник

Профессор Снэйп в сообщении #305897 писал(а):
Уравнение сводится к квадратному,

$\dfrac<i></p><div class='code-block code-block-8' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 8theinternet -->
<script src=

Ой не надо этого. Достаточно взять любую точку внутри области (скажем, $» />) и посмотреть, по какую сторону вещественной прямой окажется её образ.

— Сб апр 03, 2010 12:34:10 —

Ven0m104 в сообщении #305901 писал(а):

$w=cos(t),$

тогда вышло , тоесть горизонтальный отрезок от единицы до минус единицы. Это и есть образ? А Профессор Снейп другое написал. Я что-то упускаю?

Да, но Вы забыли, что кроме полуокружности есть ещё один отрезок границы — горизонтальный. Он ведь тоже во что-то переводится.

Re: ТФКП
03.04.2010, 12:34
ewert в сообщении #305904 писал(а):
Профессор Снэйп в сообщении #305897 писал(а):
Уравнение сводится к квадратному,

$\dfrac<i></p>
<p>Ой не надо этого. Достаточно взять любую точку внутри области (скажем, $» />) и посмотреть, по какую сторону вещественной прямой окажется её образ.</p>
<p>И что? Нам ведь надо доказать, что образ равен всей нижней полуплоскости. Чем Вам образ границы поможет?</p>
<p>Хотя, возможно, на этот счёт в ТФКП есть специальная теорема, мне неизвестная</p>
<p><b>Re: ТФКП</b><br />
03.04.2010, 12:37</p><div class='code-block code-block-10' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 10theinternet -->
<script src=

Заслуженный участник

Профессор Снэйп в сообщении #305903 писал(а):
Зачем? Я, честно говоря, не понял, зачем образ границы надо искать.

Затем, что это универсальный подход. Найти образ границы — и почти всё. И не надо возиться ни с какими неравенствами.

Re: ТФКП
03.04.2010, 12:39
ewert в сообщении #305906 писал(а):
Профессор Снэйп в сообщении #305903 писал(а):
Зачем? Я, честно говоря, не понял, зачем образ границы надо искать.

Затем, что это универсальный подход. Найти образ границы — и почти всё. И не надо возиться ни с какими неравенствами.

Ну. Тогда с целью просвещения меня сформулируйте, пожалуйста, теорему, из которой следует, что вычисления образа границы будет достаточно

Re: ТФКП
03.04.2010, 12:46

а что собой представляет горизонтальный отрезок, оставшийся? почему он не учитывался в образе границы полукруга? он точно присутствует, ведь мнимая часть Z строго больше нуля?

Re: ТФКП
03.04.2010, 12:49
Ven0m104 в сообщении #305915 писал(а):

а что собой представляет горизонтальный отрезок, оставшийся? почему он не учитывался в образе границы полукруга? он точно присутствует, ведь мнимая часть Z строго больше нуля?

Бр-р-р. Это в $E$мнимая часть $z$строго больше нуля. А на одном из участков границы $E$(которая сама не входит в $E$) мнимая часть $z$равна нулю

— Сб апр 03, 2010 15:51:24 —

И почему это он не учитывается? Ещё как должен учитываться!

Образ полукруга равен $[-1,1]$. А образ горизонтального участка границы равен $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.

Страница 1 из 3 [ Сообщений: 37 ] На страницу 1 , 2 , 3 След.

Образы и прообразы множеств при отображениях

Пусть задана функция и задано множество. Образом множества А при отображении f называется множество всех, являющихся значениями функцииfв точках. Обозначается . В частности, , то есть образом множества задания функции является множество ее значений. Если множество, то множество всех значений аргументах, для которых, называетсяпрообразом множества В при отображении f. Записать кратко определение прообраза можно так: . Пример 4 (образы и прообразы множеств при различных отображениях) 1) Множество является образом множествапри отображении функцией Дирихле; множество является прообразом множествапри отображении той же функцией; 2)

В — это образ множестваА при отображении функцией, A — это прообраз множества B при этом отображении функцией ;

2) найдем образ множества при отображении функцией:

, то есть

—это образ множествапри отображении функцией ; 3) найдем образ множества при отображении функцией.

или— это образ множестваАпри отображении функцией;

4) найдем прообраз множества при отображении функцией:

— это прообраз множестваВпри отображении функцией.

Понятие многозначного отображения

Отображениеназываетсямногозначным отображением, еслитакие, что им соответствуют более одного элемента(рис. 32). Рис. 32 Многозначные функции рассматривать будем пока только в исключительных случаях, поэтому по умолчанию любая функция считается задающей однозначное отображение.

        Обратное отображение

Пусть , причем, где(рис. 33). Рис. 33 Функцияназываетсяобратным отображением по отношению к отображению, или— этообратная функция по отношению к функции. Обратная функция является, вообще говоря, многозначной. Если отображение является взаимно однозначным, т.е. биективным, то отображениеявляется также взаимно однозначным отображением множестваYна множествоX (рис. 34).

Рис. 34 если — биекция, то— тоже биекция.

В этом случае функцияявляется обратной по отношению к функции, а обе эти функцииfиназываютсявзаимно обратными функциями. Пример 5 (взаимно обратные функции)

1) и ;
2) и .

Суперпозиция отображений (сложная функция)

Если заданы два отображенияи, то отображение, ставящее в соответствие любому элементуединственный элемент, называетсясуперпозицией отображений f и g (другие названия:композиция отображений,сложное отображение). Обозначение суперпозиции отображений: или. Иллюстрация к сложному отображению приведена на рис. 35. Рис. 35 Пример 6 (сложные отображения)

1)

; 2) Запись сложных отображений как сложных функций: . Сложное отображение (сложная функция) может получаться суперпозицией любого количества отображений. Пример 7 (составление сложных функций) 1) — сложная функция ; 2) 3) ,

      Упражнения для самостоятельной работы

1. Найдите образ множествапри отображении функцией: 1),; 2),; 3),; 4),; 5) , ; 6) , ; 2. Найдите прообраз множества при отображении функцией: 1),; 2),; 3),; 4),; 5),. 6) 3. Составьте суперпозиции идля заданныхии укажите множество задания и множество значений каждого из составленных отображений: 1),; 2),. 4. Запишите суперпозиции ,,, если,,; укажите отображения множеств, которые они задают. Ответы к упражнениям для самостоятельной работы 1. 1) ; 2); 3) ; 4); 5) ; 6). 2. 1) ,; 2); 3); 4); 5); 6). 3. 1) ;; 2); . 4.fsdfsfsdfsdfsdfsdfsdfsdfsdfsdfsdfs

Найти образ и прообраз функции

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Найти прообраз линии
Добрый вечер. Помогите, пожалуйста, с задачей: Найти прообраз линии L^(-1) при отображении.

Построить график функции и найти образ
Дана функция f : →Q(рац), f(x) = x +|2x−1|. Постройте её график и найдите образ

Как найти в столбце одновременно группу ячеек. (Прообраз Подбор шифра)
Здравствуйте! У кого есть время и может помочь! Благодарен всем за помощь . Есть в книге.

Образ Фурье функции
Найти образ Фурье функции: f(x)=\begin 1, \text < if >0<x\leq 1 \\ 0, \text < if >x>1 .

Эксперт JS

6279 / 3518 / 1050
Регистрация: 07.09.2019
Сообщений: 5,671
Записей в блоге: 1

Образ множества [-1, 4] при этом отображении — отрезок [3, 7]. Множество B обозначено некорректно. В нём три элемента?

Регистрация: 05.04.2020
Сообщений: 26

А какой прообраз для 1 элемента ?

Условие правильное, во множестве B 3 элемента

Эксперт JS

6279 / 3518 / 1050
Регистрация: 07.09.2019
Сообщений: 5,671
Записей в блоге: 1
Значит , так правильно. Его прообраз равен
Регистрация: 05.04.2020
Сообщений: 26
А образ для B <8,12,13>?

Эксперт JS

6279 / 3518 / 1050
Регистрация: 07.09.2019
Сообщений: 5,671
Записей в блоге: 1
Регистрация: 05.04.2020
Сообщений: 26

Эксперт JS

6279 / 3518 / 1050
Регистрация: 07.09.2019
Сообщений: 5,671
Записей в блоге: 1

А Вы знаете что такое образ множества при отображении? Я исхожу из такого определения: образ множества при отображении есть множество состоящее из всех таких для которых существует такое что . То есть образ множества состоит из образов всех элементов этого множества (и только из них).
Соответственно прообраз множества состоит из всех таких , для которых .
(В нашем случае ).

Регистрация: 07.02.2022
Сообщений: 1

Как это решается?
Соответствие G определено графически:
Найти образы и прообразы:
1) чисел 1, 2, 3, 4
2) отрезка [2,3], [1,2], [3,4].
Каковы свойства соответствия?

Изображения

Эксперт C

27706 / 17322 / 3812
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 38,979

ЦитатаСообщение от СоняВи Посмотреть сообщение

Соответствие G определено графически:
Как я ни пыжился, так определения и не понял

Эксперт по математике/физике

4957 / 3575 / 1151
Регистрация: 01.09.2014
Сообщений: 9,676
Наверное, бинарное отношение G состоит из координат точек внутри трапеции.
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь

Записать прообраз для каждого из первых шести натуральных чисел
Пусть X — множество неупорядоченных троек (a, b, c) натуральных чисел и N — множество натуральных.

Найти образ множества
Найти образ множества D=\left< z| |z-\frac|=\frac \right> при отображении.

Найти образ области
Помогите справиться с заданием или хотя бы натолкните с чего начать. Задание: Найти образ.

Найти образ плоскости
Помогите, пожалуйста! В аффинном пространстве А4 задано аффинное преобразование y1=x2-x3-x4+1.

Найти образ прямой
помогите пожалуйста решить: Найдите образ прямой y=x при отображении w=z2.

Или воспользуйтесь поиском по форуму:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *