Как найти наименьший период функции
Перейти к содержимому

Как найти наименьший период функции

  • автор:

как найти наименьший положительный период тригонометрической функции

Ранее было показано, что число 2π является периодом функций y=cos(x) и y=sin(x). Остается доказать, что число, меньшее 2π, не может являться периодом этих функций.

Если Т — произвольный период косинуса, то cos(a+t)- cos(a) при любом a. Пусть a=0, следовательно cos(T)=cos(0)=1. Наименьшее положительоне число Т, для которого cos(x)=1, есть 2π

Пусть T — произвольный период синуса. Тогда sin(a+T)=sin(a) для любого a. Пусть a=π/2, получаем sin(T+π/2)=sin(π/2)=1. Но sin(x)=1 только при x=π/2+2πn, где n — целое. Следовательно T=2πn. Наименьшее положительное число вида 2πn есть 2π.

Если T — положительный период тангенса, то tg(T)=tg(0+T)=tg(0)=0. Так как на интервале (0;π) тангенс нулей не имеет, следовательно, T ≥ 2π. Ранее было доказано, что π — период функции тангенса, и, значит, π — наименьший положительный период тангенса. Аналогичное доказательство можно привести и для функции котангенса.

Обычно слова «наименьший положительный период» опускают и говорят просто «период».

Остальные ответы
если функция состоит из суммы 2х тригонометрических функций.?
если функция состоит из суммы 2х тригонометрических функций.?

Если функция состоит из произведении двух тригонометрических функции, то как найти найменьший положительный период функции

Узнать ещё

где T — период функции y=f(x). Эта формула позволяет быстро найти период тригонометрических функций такого вида. Для функций y=sin x и y=cos x наименьший положительный период T=2п, для y=tg x и y=ctg x T=п. Рассмотрим на конкретных примерах, как найти период функции, используя данную формулу.

Найти период функции:

Здесь А=5, k=3, b=-п/8. Для нахождения периода нам нужно только k — число, стоящее перед иксом. Поскольку период синуса T=2п, то период данной функции

\[{T_1} = \frac{T} k \right} = \frac{{2\pi }}{\left} = \frac{{2\pi }}{3}.\]

\[2)y = \frac{2}{7}\cos (\frac{\pi }{5} - \frac{x}{{11}})\]

А=2/7, k=-1/11, b=п/5. Поскольку период косинуса T=2п, то

\[{T_1} = \frac{T} k \right} = \frac{{2\pi }}{\left{{11}}} \right|}} = 2\pi \cdot 11 = 22\pi .\]

\[3)y = 0,3tg(\frac{{5x}}{9} - \frac{\pi }{7})\]

А=0,3, k=5/9, b=п/7. Период тангенса равен п, поэтому период данной функции

\[{T_1} = \frac{T} k \right} = \frac{\pi }{\left{9}} \right|}} = \frac{{9\pi }}{5}.\]

\[4)y = 9ctg(0,4x - 7)\]

А=9, k=0,4, b=-7. Период котангенса равен п, поэтому период данной функции есть

Найти наименьший положительный период функции

Зарегистрирован:
08 фев 2011, 16:57
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Определить, является ли данная функция периодической, и найти наименьший положительный период функции, если он существует:

Заголовок сообщения: Re: Найти наименьший положительный период функции
Добавлено: 08 фев 2011, 19:39

Beautiful Mind

Зарегистрирован:
24 янв 2011, 11:30
Сообщений: 1752
Откуда: Мамазия
Cпасибо сказано: 130
Спасибо получено:
595 раз в 479 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Функция периодична с периодом [math]T[/math] если [math]f(x)=f(x+T)[/math]

1) [math]\operatorname(4x)=\operatorname(4x+4T)[/math] тогда когда аргументы синуса отличаются на [math]2\pi n\to T=\frac<\pi>[/math]

2) [math]\operatorname^2(5x)=\frac<1+\operatorname(10x)>=\frac<1+\operatorname(10x+10T)>[/math] . точно так же косинусы равны когда их аргументы отличаются на [math]2\pi n\to T=\frac<\pi>[/math]

3) Тангенсы равны когда их аргументы отличаются на [math]\pi[/math] , следовательно [math]T=3\pi[/math]

4) [math]\operatorname(2x)+\operatorname(3x)=\operatorname(2x+2T)+\operatorname(3x+3T)[/math] , здесь получается 2 периода [math]T_1=\pi,T_2=\frac\pi[/math]

5) [math]x^2=(x+T)^2\to T(T+2x)=0\to T=0[/math] или [math]T=-2x[/math] последнее равенство отпадает (период должен быть постоянной величиной), следовательно функция не периодична.

Заголовок сообщения: Re: Найти наименьший положительный период функции
Добавлено: 08 фев 2011, 22:04

Начинающий

Зарегистрирован:
08 фев 2011, 16:57
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Спасибо огромное!
Заголовок сообщения: Re: Найти наименьший положительный период функции
Добавлено: 08 фев 2011, 23:32

Light & Truth

Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

В четвёртой задаче период равен [math]2\pi[/math]
Заголовок сообщения: Re: Найти наименьший положительный период функции
Добавлено: 09 фев 2011, 04:41

Beautiful Mind

Зарегистрирован:
24 янв 2011, 11:30
Сообщений: 1752
Откуда: Мамазия
Cпасибо сказано: 130
Спасибо получено:
595 раз в 479 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Prokop почему [math]2\pi[/math] ?
Заголовок сообщения: Re: Найти наименьший положительный период функции
Добавлено: 09 фев 2011, 09:17

Light & Truth

Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Сразу ничего толкового в голову не приходит. Поэтому следуем определению периода (и, далее, как получится ).
Пусть [math]T>0[/math] – период. Тогда для всех [math]x[/math] выполнено тождество
[math]\sin 2x + \cos 3x = \sin \left( \right) + \cos \left( \right)[/math]
Дважды продифференцировав, получим
[math]4\sin 2x + 9\cos 3x = 4\sin \left( \right) + 9\cos \left( \right)[/math]
Исключив из этих равенств косинус (умножим на 9 первое равенство и вычтем из него второе), выводим справедливость тождества
[math]\sin 2x = \sin \left( \right)[/math]
Поэтому [math]T[/math] — период , если [math]2T = 2\pi n[/math]
Аналогично, исключая из равенств синус, получим, что [math]T[/math] — период , если [math]3T = 2\pi k[/math]
Следовательно, должно выполняться равенство
[math]\pi n = \frack[/math]
Это равенство выполняется при [math]n=2[/math] и [math]k=3[/math] . При этом получаем наименьшее значение периода [math]T=2\pi[/math] .

Найти наименьший положительный период функции

Известно, что и Найдите все возможные значения выражения если известно, что их не менее двух.

На складе имеется 20 аккумуляторов, причем 15 из них изготовлены Тюменским аккумуляторным заводом. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых пяти аккумуляторов – 3 аккумулятора Тюменского завода б) Петя купил по одному лотерейному билету трех

Найдите поток векторного поля a через часть плоскости P, расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz)

Кампус Библиотека

  • Материалы со всех ВУЗов страны
  • 1 000 000+ полезных материалов
  • Это примеры на которых можно разобраться
  • Учись на отлично с библиотекой

Экосистема Кампус

Набор самых полезных инструментов, работающих на искусственном интеллекте для студентов всего мира.

Экосистема сервисов для учебы в удовольствие

Твой второй пилот в учебе, быстрые ответы на основе ИИ-шки

ТОП-эксперты помогут решить и объяснят тебе любой вопрос по учебе онлайн

Сообщество, где ты найдешь знакомства и получишь помощь

Мультифункциональный умный бот, который всегда под рукой

База знаний из 1 000 000+ материалов для учебы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *