Как найти косинус зная все стороны треугольника
Перейти к содержимому

Как найти косинус зная все стороны треугольника

  • автор:

Теорема косинусов (ЕГЭ 2022)

Представь себе, это такая… теорема Пифагора для произвольного треугольника. Она однажды тебя спасёт!

Дальше смотри рисунки и ты все поймешь. Один рисунок лучше тысячи слов ��

Разберёшься в ней – будь уверен, что любая задача с треугольником окажется тебе под силу!

Теорема косинусов — коротко о главном

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

\( \displaystyle ^>=<^>+^>-2ab\cos \gamma \)

Почему теорема косинусов это… теорема Пифагора

И причем тут теорема Пифагора? Сейчас поясню.

Согласно теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов.

\( \displaystyle ^>=<^>+^>\)

А что будет, если угол \( \displaystyle \angle C\), скажем, острый?

Вроде ясно, что величина \( \displaystyle ^>\) должна быть меньше, чем \( \displaystyle <^>+^>\). Но вот на сколько меньше?

А если угол \( \displaystyle \angle C\) – тупой?

Ну, тогда величина \( \displaystyle ^>\) больше, чем \( \displaystyle <^>+^>\)?

Но, опять же, на сколько? И как это связано с величиной \( \displaystyle \angle C\)?

Обрати внимание на вот эту добавку к теорему Пифагора: \( \displaystyle «-2ab\cos \gamma »\).

Вот она и «адаптирует» теорему Пифагора под острые и тупые углы треугольника. Сейчас мы докажем теорему косинусов и ты увидишь в теореме косинусов теорему Пифагора своими глазами.

Доказательство теоремы косинусов

Итак, для всякого (и остроугольного, и тупоугольного и даже прямоугольного!) треугольника верна теорема косинусов.

Теорема косинусов гласит: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

\( \displaystyle ^>=<^>+^>-2ab\cos \gamma \)

Рассмотрим три случая:

  • угол С острый,
  • угол С тупой,
  • угол С прямой.

И убедимся, что для всех трех случаев теорема косинусов работает!

Угол С острый

\( \displaystyle \angle C^>\)

Проведем высоту \( \displaystyle AH\) из точки \( \displaystyle A\) и рассмотрим треугольник \( \displaystyle AHB\).

Он прямоугольный, можно пользоваться теоремой Пифагора:

Что такое \( \displaystyle AH\) и \( \displaystyle HB\) ?

\( \displaystyle AH\) можно выразить из треугольника (прямоугольного!) \( \displaystyle AHC\).

\( \displaystyle AH=b\sin \gamma \)

А вот \( \displaystyle BH=a-CH=a-b\cos \gamma \) (снова из \( \displaystyle \Delta AHC\) ).

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

Угол С тупой

\( \displaystyle \angle C>^>\)

Начинаем точно также: опускаем высоту из точки \( \displaystyle A\).

А теперь, внимание, отличие!

\( \displaystyle AH=b\sin \left( ^>-\gamma \right)\) — это из \( \displaystyle \Delta AHC\) , который теперь оказался снаружи \( \displaystyle \Delta ABC\), а

\( \displaystyle BH=a+b\cos \left( ^>-\gamma \right)\).

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

Угол С прямой

Но тогда \( \displaystyle \cos \gamma =0\) и теорема косинусов просто превращается в теорему Пифагора:

В каких же задачах бывает полезна теорема косинусов?

Ну, например, если у тебя даны две стороны треугольника и угол между ними, то ты прямо сразу можешь найти третью сторону.

Или, если тебе даны все три стороны, то ты тут же найдешь косинус любого угла по формуле:

И даже, если тебе даны две стороны и угол НЕ между ними, то третью сторону тоже можно найти, решая квадратное уравнение. Правда, в этом случае получается иногда два ответа и нужно соображать, какой же из них выбрать, или оставить оба.

Попробуй применять и не бояться – теорема косинусов почти также легка в обращении, как и теорема Пифагора.

И приходи к нам на бесплатные вебинары и занятия ( о них ниже).

Бонус: Вебинар на решение задач по теореме косинусов и синусов

Теорема косинусов (и синусов) — универсальный инструмент при решении треугольников — это теоремы косинусов и синусов.

А как мы уже знаем, почти любая задача в планиметрии сводится именно к треугольникам.

Этот вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике (о нем ниже). Вы выучите сами теоремы и научитесь применять их при решении задач первой части.

Берите ручку и бумагу и решайте вместе с Алексеем Шевчуком.

стороны треугольника 5м, 6м, 7м, Найти косинусы углов треугольника. помогите плиз! нужно решение ответы есть!

Это теорема косинусов. Если известны все стороны (как в этой задачке) , то все косинусы находятся из соотношения c&#178 = a&#178 + b&#178 -2abcos (угол между b, c). Ну и просто по очереди все стороны сюда поподставлять.

Остальные ответы
c2 = a2 + b2 – 2abcosC
cosC=(a2 + b2-c) /2ab
и так далее
VladУченик (178) 16 лет назад
ой сорри очепятка там с2 во второй формуле
cosC=(a2 + b2-c2) /2ab

a^2 = b^2 + c^2 — 2 bc cos A

cos A = ( b^2 + c^2 — a^2 ) / ( 2 bc )

Опускаем высоту на сторону, длиной 7м. Получаем два прямоугольных треугольника. С общей высотой. Сторона в 7м разбивается на два отрезка. Длина одного Х, другого (7-Х) . Используешь теорему Пифагора для обоих прямоугольных треугольников, выражая высоту в квадрате через разность гипотенузы в квадрате и катета в квадрате. Эти выражения приравниваем между собой, там Х в квадрате взаимно уничтожается и получается красивый ответ. Х=19/7
Тогда отношение Х/5 — есть cos одного из углов, отношение (7-Х) /6 — косинус второго, а третий можно найти как разность 180- arccos первого угла — арккосинус второго, тогда его косинус тоже можно найти. Нужно ли подробное решение?

Ну вот, зря старался. Я думал, что теоремой косинусов пользоваться нельзя, а нужно самому выводить формулы. В противном случае — это задача для детей.

Теорема косинусов

Математика

Теоре́ма ко́синусов, теорема геометрии , утверждающая, что в любом треугольнике квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos ⁡ A . a^2=b^2+c^2-2bc\cos. a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A . Здесь a , b , c a, b, c a , b , c – стороны треугольника, A A A – угол между сторонами b b b и c c c (рис.).

Теорема синусов. Треугольник

Теорема косинусов позволяет по заданным трём сторонам a , b , c a, b, c a , b , c треугольника найти косинус любого из трёх углов A A A , B B B , C C C : cos ⁡ A = b 2 + c 2 − a 2 2 b c , cos ⁡ B = a 2 + c 2 − b 2 2 a c , cos ⁡ C = a 2 + b 2 − c 2 2 a b . \cos=\frac, \quad \cos=\frac, \quad \cos=\frac. cos A = 2 b c b 2 + c 2 − a 2 ​ , cos B = 2 a c a 2 + c 2 − b 2 ​ , cos C = 2 ab a 2 + b 2 − c 2 ​ . Теорема Пифагора является следствием теоремы косинусов для прямого угла A A A : A = π 2 ⟹ a 2 = b 2 + c 2 . A=\frac<\pi>\implies\ a^2=b^2+c^2. A = 2 π ​ ⟹ a 2 = b 2 + c 2 .

Опубликовано 21 мая 2022 г. в 12:00 (GMT+3). Последнее обновление 21 мая 2022 г. в 12:00 (GMT+3). Связаться с редакцией

Информация

Математика

Области знаний: Тригонометрия

  • Научно-образовательный портал «Большая российская энциклопедия»
    Создан при финансовой поддержке Министерства цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации.
    Свидетельство о регистрации СМИ ЭЛ № ФС77-84198, выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) 15 ноября 2022 года.
    ISSN: 2949-2076
  • Учредитель: Автономная некоммерческая организация «Национальный научно-образовательный центр «Большая российская энциклопедия»
    Главный редактор: Кравец С. Л.
    Телефон редакции: +7 (495) 917 90 00
    Эл. почта редакции: secretar@greatbook.ru
  • © АНО БРЭ, 2022 — 2024. Все права защищены.
  • Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
    Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.
  • Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
    Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.

Теорема косинусов

Теорема косинусов и теорема Пифагора. В этой статье мы рассмотрим теорему косинусов и как она используется для нахождения элементов треугольника. А так же разберём её взаимосвязь с теоремой Пифагора.

Знать эту теорему НЕОБХОДИМО. Что мы можем найти, используя её?

Если нам будут известны две стороны и угол между ними, мы без труда найдём третью сторону. Для этого нужно просто подставить в формулу известные величины. Для других сторон всё то же самое:

Можно ли использовать теорему косинусов для нахождения третьей стороны, если известны любые две стороны и угол, не лежащий между этими сторонами? Например, нам известны стороны a и b и угол альфа. Тогда из формулы

мы можем найти сторону «с». Приводим к виду:

То есть, мы получаем квадратное уравнение с переменной «с» (все остальные величины нам известны). Решив его, получим искомую сторону.

Мы можем найти любой угол, если нам известны все три стороны треугольника:

Разумеется, что учить все эти формулы не нужно, так как достаточно понимать сам смысл Теоремы косинусов. А косинус любого угла не трудно выразить используя простые алгебраические преобразования.

*Если вы вычисляете косинус тупого угла, то имейте ввиду, что должно получиться отрицательное значение, так как косинус угла от 90 до 180 градусов отрицателен. Если при решении в задачах получите положительное значение, то ищите ошибку.

Следующий вопрос: а если нам дана сторона и любые два угла, что делать? В этом случае теорема косинусов не используется, а на помощь приходит теорема синусов, её мы рассмотрим в одной из следующих статей, не пропустите!

Если вы будете в совершенстве владеть теоремами Пифагора, косинусов, синусов и свойствами подобия треугольников , то для вас не возникнет никаких сложностей с решением треугольников (в большинстве задач).

Следующий факт знают все, но всё же о взаимосвязи теоремы косинусов с теоремой Пифагора сказать стоит. Посмотрите на исходный рисунок, если угол альфа равен 90 градусов, то получим:

То есть, по сути, теорема Пифагора это как бы частный случай теоремы косинусов.

Рассмотрим прямоугольный треугольник . Покажем то же самое, но с другими обозначениями:

По теореме косинусов:

Так как угол С равен 90, то

Напомню, что зная любые две стороны в прямоугольном треугольнике, мы всегда можем найти третью. А далее без труда можем найти значение любой тригонометрической функции острого угла в нём. Можете изучить статью об этом.

Получить материал статьи в формате PDF

На этом всё. Успехов вам.

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *