Как найти экстремаль функционала
Перейти к содержимому

Как найти экстремаль функционала

  • автор:

Как найти экстремаль функционала

Алгоритм нахождения экстремума функционала, как и в ситуации с функциями (ССЫЛКА), состоит из двух шагов:
А) необходимое условие экстремума
Б) достаточное условие экстремума.
Вот что на эту тему говорит Лев Эрнестович Эльсгольц (часть таблицы, условия, применяемые наиболее часто):
Пусть дан функционал вида с условиями ,

Слабый минимум Сильный минимум
1. Необходимое условие.
Функционал может достигать своего экстремального значения только на функциях, являющихся решением уравнения Эйлера:
.
Решения этого уравнения называются допустимыми экстремалями.
1. Необходимое условие.
Функционал может достигать своего экстремального значения только на функциях, являющихся решением уравнения Эйлера:
.
2. Необходимые условия
Если на допустимой экстремали
А) выполняется условие Якоби (см. после таблицы),
Б) (Условие Лежандра),
то на этой экстремали функционал достигает слабого минимума.
2. Необходимые условия
Если на допустимой экстремали
А) выполняется условие Якоби (см. после таблицы),
Б) для точек , близких к точкам на исследуемой экстремали и для произвольных значение . При этом предполагается, что функция трижды дифференцируема по для любых ,
то на этой экстремали функционал достигает сильного минимума.

Замечание 1: Условия для максимума аналогичны, следует лишь заменить знаки неравенств на противоположные.
Замечание 2:
Уравнение Якоби: ,
где являются известными функциями переменной .
Условие Якоби выполнено, если решение уравнения Якоби обращаются в ноль при и более не обращаются в ноль ни в одной точке отрезка .

Все эти замечательные условия лучше всего понимать на примерах.
Задача: Исследовать функционал на экстремум и вычислить экстремальное значение.

1) Необходимое условие экстремума.

Составим и решим уравнение Эйлера.

Определим константы из условий

Тогда допустимая экстремаль имеет вид:

2) Достаточные условия экстремума
А) Условие Якоби.
Запишем и решим уравнение Якоби для

Пусть решение уравнения при обращается в ноль: , тогда соотношение констант:

и решение уравнения Якоби можно записать в виде: .
На отрезке эта функция в ноль более не обращается, т.е. условие Якоби для этой допустимой экстремали (а так получилось, что она тут и не рассматривалась, т.е. оно выполнилось бы для любой экстремали) выполнено.
Замечание: при составлении уравнения Якоби «ушли» и и оно получилось очень простое. Если они не уходят, то следует поставить вместо функцию допустимой экстремали, мы ж её исследуем.
Б) Условие Лежандра.
, это неравенство не зависит от .
Вывод: на экстремали функционал достигает сильного минимума.

Найдем экстремальное значение функционала:

Ответ: Функционал достигает сильного минимума на экстремали и принимает на ней экстремальное значение

Пример 1. .


.

Уравнение Эйлера .

Условие трансверсальности

т.к. то

C + (-1- C) 2 C = 0,

C 0 +C =0,

Cx + C = – x – 1.

Их системы находим C = -2 , C =0, x = 1.

Ответ:
.

Пример 8. .

.

Уравнение Эйлера , тогда

,

тогда .

Условия трансверсальности совместно с уравнениями связи, учитывая, что и :

+ (2x – C)C/ =0,

+1(1- C ) C/=0,

Cx +C = x,

Cx + C = x – 5.

Решаем совместно и получаем

.

Ответ: .

Пример 9. Найти экстремали функционала

.

1. Уравнение Эйлера ,

.

Естественное краевое условие в точке
.

Получаем систему
2(0/2 +C) = 0,
1/4 + C 1 + C = 0.

.
Задачи для самостоятельного решения
1. .
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

ЗАДАНИЕ 4

Дано: и .
Найти экстремаль и концы отрезка , (если , тогда ).
ЗАДАНИЕ 5
Дано: и . Найти экстремаль (Таблица 2).
Таблица 2- Исходные данные для задания 4 и 5

N А
1 2 3 4 5 6
1. 4
2. 5
3. 1
4. 3
5. 5
6. 1
7. 0
8. 4
9. 6
10. 1
11. 2
12. 3
13. 7
1 2 3 4 5 6
14. 2
15. 3
16. 6
17. 8
18. 9
19. 3
20. 5
21. 2
22. 7
23. 5
24. 7
25. 3

Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление. – М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. – 488 с.

Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. – М.: Физматгиз, 1984. – 228 с.

Краснов М. Л., Макаренко Г. И., Киселёв А.И. Вариационное исчисление(задачи и упражнения). – М.: Наука, 1984. – 191 с.

Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах в 2 т. – М.: Высшая школа, 1986. – т. 2. – 414 с.

Как найти экстремаль функционала

Если функция F в (2) имеет непрерывные производные

и существует функция y(·), доставляющая экстремум этому функционалу, то она удовлетворяет уравнению Эйлера

Пример 1. Найти минимум функционала


Это линейное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами имеет общее решение

Определяя постоянные c1. c4 из граничных условий, получаем y0(x) = sh (x).
Нетрудно проверить, что эта функция доставляет глобальный минимум функционалу.

Пример 2. Найти минимум функционала

Составляем систему уравнений Эйлера

Решая эту систему с учетом граничных условий, получаем

Непосредственной подстановкой в приращение функционала

Как найти экстремаль функционала

в классе функций y(·), для которых функционал

(2)

Для решения этой задачи используется метод множителей Лагранжа. Определяется вспомогательная функция (функция Лагранжа)

(3)

где λ — постоянная.
При некотором λ функция y (x), доставляющая минимум функционалу J (y) при условии, что K (y) = l, удовлетворяет уравнению Эйлера для функции F:

(4)

Решение этого уравнения зависит от двух произвольных постоянных c1, c2 и значения λ, то есть y = y (x; c1, c2; λ).

Постоянные c1, c2 и λ находятся из условий

y (a) = A, y (b) = B, K (y) = l. (5)

Задача 2. Найти экстремум функционала

в классе функций y(·), для которых

Решение этой задачи проводится аналогично решению задачи 1 для функции

Задача 3. Найти экстремум функционала

в классе функций y (x), z (x), удовлетворяющих дифференциальному уравнению

(7)

и граничным условиям

(8)

Задача 3 также решается с помощью метода функций Лагранжа. Функция Лагранжа в данном случае имеет вид

и отличается от функций Лагранжа в задачах 1 и 2 тем, что множитель Лагранжа λ является функцией, зависящей от x.
Решение задачи находится из системы уравнений Эйлера

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *