График функции y х как посчитать точки
Перейти к содержимому

График функции y х как посчитать точки

  • автор:

Алгебра Примеры

Найдем вершину функции абсолютного значения. В этом случае вершина лежит в точке .

Нажмите для увеличения количества этапов.

Чтобы найти координату вершины, зададим абсолютное значение равным . В данном случае .

Заменим в этом выражении переменную на .

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .

Вершина графика абсолютного значения находится в точке .

Область определения ― это множество всех допустимых значений . Используем график, чтобы найти область определения.

Для каждого значения имеется одно положительное значение и одно отрицательное значение . Выберем несколько значений из области определения. Удобнее будет выбрать значения, находящиеся вблизи значения , являющегося вершиной графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов.

Функции y=|x|, y=[x], y=, y=sign(x) и их графики: основные концепции и практическое применение

Справочник

Функции являются важным инструментом в математике и ее приложениях. Они позволяют описывать зависимость между величинами и решать различные задачи. В данной статье мы рассмотрим четыре важные математические функции: y = |x|, y = [x], y = и y = sign(x), а также их графики.

Функция y = |x| представляет собой модуль числа x и имеет много интересных свойств. Функция y = [x] обозначает наибольшее целое число, не превышающее x, а функция y = обозначает дробную часть числа x. Функция y = sign(x) возвращает знак числа x: 1, если x положительное, -1, если x отрицательное и 0, если x равно нулю.

В данной статье мы рассмотрим каждую из этих функций более подробно, описав их свойства, построив графики и рассмотрев примеры их применения в решении задач. Также мы проанализируем сходства и различия между функциями и рассмотрим их применение в различных областях науки и техники.

Функция y = |x|

Функция y = |x| является одной из самых простых и изучаемых функций в математике. Она описывает расстояние от числа x до нуля на числовой оси. Функция y = |x| может быть определена следующим образом:

Свойства функции y = |x|: Функция является четной, то есть y = |x| = | -x |. Это означает, что график функции симметричен относительно оси y. Значение функции всегда неотрицательно или равно нулю. Функция имеет точку перегиба в точке (0, 0).

Построение графика функции y = |x|:

График функции y = |x| представляет собой положительную ветвь параболы, отраженную от оси x на отрицательную ветвь.

Модуль функции

Примеры применения функции y = |x|: Решение уравнений, содержащих модуль числа. Вычисление расстояния между точками на плоскости. Использование в физических задачах для определения модуля вектора. В следующих разделах мы рассмотрим другие функции и их графики.

Функция y = [x]

Функция y = [x] обозначает наибольшее целое число, не превышающее x. Например, [3,14] = 3, [-2,5] = -3. Функция y = [x] может быть определена следующим образом:

Свойства функции y = [x]:

Функция является ступенчатой и постоянна на интервалах между целыми числами.
Функция не является непрерывной и не дифференцируемой на множестве действительных чисел.

Построение графика функции y = [x]:
График функции y = [x] представляет собой последовательность горизонтальных линий на уровне каждого целого числа.

Примеры применения функции y = [x]:

Использование в комбинаторике для определения числа возможных вариантов перестановок и сочетаний.
Вычисление суммы целых чисел от 1 до n: 1 + 2 + … + n = [n(n+1)]/2.

В следующих разделах мы рассмотрим еще две функции и их графики.

Функция y =

Функция y = обозначает дробную часть числа x, то есть разность между числом x и наибольшим целым числом, не превышающим x. Например, = 0,14, = 0,5. Функция y = может быть определена следующим образом:

Свойства функции y = :

Функция является периодической с периодом 1: y = .
Функция непрерывна на множестве действительных чисел и имеет производную, равную 1 в каждой точке интервала (k, k+1), где k ∈ ℤ.

Построение графика функции y = :
График функции y = представляет собой набор горизонтальных линий на уровне дробной части каждого числа.

Функция дробной части числа

Примеры применения функции y = :

Использование в теории вероятностей для определения вероятности выпадения определенной дробной части числа при бросании кости или монеты.
Использование в комбинаторике для определения числа возможных вариантов перестановок и сочетаний.

В следующем разделе мы рассмотрим последнюю функцию и ее график.

Функция y = sign(x)

Функция y = sign(x) обозначает знак числа x и определяется следующим образом:

Свойства функции y = sign(x):

Функция является ступенчатой и постоянна на интервалах (-∞, 0), (0, +∞).
Функция не является непрерывной и не дифференцируемой в точке x = 0.

Построение графика функции y = sign(x):
График функции y = sign(x) представляет собой две горизонтальные линии: y = -1 на интервале (-∞, 0) и y = 1 на интервале (0, +∞). В точке x = 0 график функции имеет разрыв.

Сигнум-функция

Примеры применения функции y = sign(x):

Использование в физике для определения направления силы или скорости.
Использование в анализе данных для определения направления изменения значения переменной.

В заключении можно отметить, что функции y = |x|, y = [x], y = и y = sign(x) являются важными и широко используемыми математическими функциями. Знание и понимание свойств их графиков позволяет более глубоко понимать многие явления и процессы, которые возникают в нашей жизни и в различных областях знаний.

Сравнительный анализ функций

Каждая из функций y = |x|, y = [x], y = и y = sign(x) имеет свои особенности, их графики различаются и у них разные области определения. Однако, эти функции также имеют много общего.

Все четыре функции являются четными функциями, то есть их графики симметричны относительно оси y.
Они могут принимать только значения 1, 0 и -1.
Графики функций y = |x| и y = sign(x) имеют точки пересечения в точке (0, 0).
Функции y = [x] и y = являются периодическими с периодом 1.

Функция y = |x| всюду положительна, кроме точки (0,0), и ее график является параболой.
Функция y = [x] принимает целочисленные значения на каждом интервале длины 1, и ее график представляет собой ступенчатую функцию.
Функция y = также принимает значения на интервалах длины 1, но она имеет непрерывный график.
Функция y = sign(x) принимает значения -1 для x 0. Ее график состоит из двух горизонтальных линий, разделенных вертикальной линией в точке (0, 0).

Примеры задач, в которых используются несколько функций:

При решении уравнения |x| = a (где a — положительное число) используется функция y = |x|.
При нахождении наименьшего целого числа, большего или равного заданному вещественному числу, используется функция y = [x].
При нахождении дробной части числа используется функция y = .
При решении задач по управлению и анализу сигналов используется функция y = sign(x), например, при определении направления движения объекта по его координатам.

Таким образом, функции y = |x|, y = [x], y = и y = sign(x) имеют свои особенности и области применения, но они также имеют много общего и могут использоваться вместе при решении различных математических задач.

Функция Определение Особенности
y = |x| y = x, x >= 0
y = -x, x < 0
Симметричная относительно оси y = 0
Не является дифференцируемой в точке x = 0
y = [x] Максимальное целое, меньшее или равное x Функция дискретная
Является периодической с периодом 1
y =

Дробная часть числа x, т.е. x — [x] Функция периодическая с периодом 1
Не является дифференцируемой в точках целых чисел
y = sign(x) y = 1, x > 0
y = 0, x = 0
y = -1, x < 0
Функция дискретная
Определена на всей числовой прямой

Примеры применения функций

Функции y = |x|, y = [x], y = и y = sign(x) находят применение во многих областях науки, техники и экономики. Например, функция y = |x| используется в физике для описания модуля вектора или амплитуды волн. Она также широко применяется в экономике для описания абсолютной величины изменений величин.

Функция y = [x], называемая функцией целой части, используется в комбинаторике и теории чисел для округления вниз до ближайшего целого числа. Она также может быть использована в экономических моделях для округления до целого числа, например, при расчете налогов.

Функция y = , называемая функцией дробной части, используется в комбинаторике, теории чисел и теории вероятностей. Она также может быть использована в физике и технике при работе с периодическими сигналами и в криптографии для генерации случайных чисел.

Функция y = sign(x), называемая функцией знака, используется в анализе сигналов и теории управления для определения направления движения сигнала или системы. Она также может быть использована в физике и механике для определения направления движения тела.

В целом, функции y = |x|, y = [x], y = и y = sign(x) являются важными и полезными математическими инструментами для решения различных задач в различных областях науки, техники и экономики.

Проблемы при изучении функций y=|x|, y=[x], y=, y=sign(x) и их графиков

Несколько советов для тех, кто сталкивается с проблемами при изучении функций y=|x|, y=[x], y=, y=sign(x) и их графиков:

  1. Внимательно изучите определения и свойства каждой из этих функций. Это поможет вам понять, как они работают и как они отличаются друг от друга.
  2. Начните с простых задач и графиков, чтобы понять основные принципы работы каждой функции. Затем переходите к более сложным примерам.
  3. Не бойтесь задавать вопросы. Если вы не понимаете какую-то часть материала, спросите своего преподавателя или коллегу за помощью.
  4. Изучайте материал постепенно, посвящая каждой функции достаточное количество времени. Не пытайтесь изучать все сразу.
  5. Применяйте каждую функцию на практике, решая задачи. Это поможет вам лучше понять, как каждая функция работает и как ее можно использовать.
  6. Рисуйте графики, чтобы лучше визуализировать каждую функцию. Это поможет вам лучше понять, как она работает и как ее свойства влияют на ее график.
  7. Практикуйтесь в решении задач, которые требуют применения нескольких функций. Это поможет вам понять, как функции могут взаимодействовать друг с другом и как их свойства могут влиять на результат.
  8. Используйте различные источники информации для изучения этой темы, включая учебники, онлайн-курсы и видеоуроки.
  9. Не забывайте повторять материал и решать задачи, чтобы закрепить свои знания.
  10. Наконец, не забывайте, что понимание этих функций требует времени и усилий. Не отчаивайтесь, если что-то не получается с первого раза. Старайтесь улучшать свои навыки и продолжайте изучение этой темы.

Примеры использования этих функций

Изучение функций $y=|x|$, $y=[x]$, $y=$ и $y=\text(x)$ может быть полезным для решения различных задач в различных областях, таких как физика, экономика, математика и т.д. Рассмотрим несколько примеров использования этих функций.

Задача на вычисление длины отрезка на координатной плоскости, заданного двумя точками $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$.

Длина отрезка может быть вычислена с помощью функции $y=|x|$. Для этого нужно вычислить расстояние между координатами точек $x_1$ и $x_2$, затем применить функцию $y=|x|$ к этому расстоянию:

Длина отрезка=∣x2−x1∣Длина отрезка=∣x2​−x1​∣

Задача на определение максимального значения функции при заданных условиях.

Рассмотрим функцию $y=\sin(x)+\cos(x)$ на отрезке $[0,\pi]$. Чтобы найти максимальное значение функции на этом отрезке, нужно найти ее производную и приравнять ее к нулю:

Отсюда получаем $x=\frac<\pi>$ или $x=\frac<5\pi>$. Подставляя эти значения в функцию, получаем максимальное значение $y=\sqrt$.

Задача на нахождение пересечения двух функций.

Рассмотрим функции $y=x$ и $y=2-x$. Чтобы найти их точки пересечения, нужно приравнять их друг к другу:

Точка пересечения будет иметь координаты $(1,1)$.

Задача на определение целочисленного значения функции.

Рассмотрим функцию $y=[x]$. Чтобы найти ее значение для целого числа $x$, достаточно взять любое число на отрезке $[x,x+1)$:

Задача на определение медианы выборки.

Предположим, что у нас есть выборка чисел $x_1,x_2,\dots,x_n$. Медиана этой выборки может быть вычислена с помощью функции $y=[x]$, где $x$ — это середина отсортированной выборки:

Примеры задач и их решений на тему функций y=|x|, y=[x], y=, y=sign(x)

Найти значения функции y = |x| при x = -5, 0, 3.

Решение: Подставляем значения x в функцию y = |x|:

При x = -5: y = |-5| = 5
При x = 0: y = |0| = 0
При x = 3: y = |3| = 3
Ответ: y = 5, 0, 3.

Найти область определения функции y = .

Решение: Фигурные скобки означают взятие дробной части числа, то есть y = x — [x]. Область определения функции — все действительные числа.
Ответ: Область определения функции — все действительные числа.

Найти корни уравнения y = sign(x).

Решение: Функция y = sign(x) принимает значение -1 при x < 0, значение 0 при x = 0 и значение 1 при x >0. Таким образом, уравнение y = sign(x) имеет два корня: x = -1 и x = 1.
Ответ: x = -1, 1.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y = на отрезке [1, 5].

Решение: Функция y = принимает значения от 0 до 1 на интервале [0, 1], от 1 до 2 на интервале [1, 2], и т.д. Таким образом, на отрезке [1, 5] функция y = принимает наибольшее значение 0.999… (бесконечно близкое к 1) в точке x = 5 и наименьшее значение 0 в точке x = 1.

Ответ: Наибольшее значение функции y = на отрезке [1, 5] — 0.999…, наименьшее значение — 0.

Как построить графики для задач

Графики для задач, которые мы привели в предыдущем разделе, могут быть построены в программе, которая может строить графики функций. Например, можно воспользоваться такими программами, как Desmos, GeoGebra или MATLAB.

Для построения графика функции y = |x|, можно использовать любую из перечисленных программ, создать график, задав функцию y = |x| и построить график на интервале от -5 до 5.

Для функции y = [x], где [x] — это наибольшее целое число, которое не превосходит x, можно использовать функцию floor в программе, которая округляет x вниз до ближайшего целого числа. Таким образом, функцию можно записать как y = floor(x), и построить график на интервале от -5 до 5.

Для функции y = , где — это дробная часть числа x, можно использовать функцию fract в программе, которая вычисляет дробную часть числа. Таким образом, функцию можно записать как y = fract(x), и построить график на интервале от -5 до 5.

Для функции y = sign(x), где sign(x) возвращает знак числа x, можно использовать функцию sign в программе. Таким образом, функцию можно записать как y = sign(x), и построить график на интервале от -5 до 5.

Cамые частые вопросы, которые возникают у студентов на эту тему

Как построить график функции с модулем (y=|x|)?

Ответ: Для построения графика функции с модулем необходимо на координатной плоскости построить две отдельные части графика: для положительных значений x и отрицательных значений x. Для этого можно использовать знак модуля. Например, для значений x ≥ 0 функция y=|x| будет равна x, а для значений x < 0 функция y=|x| будет равна –x. Таким образом, график функции будет иметь форму буквы «V», проходящей через точку (0,0).

Как найти точки пересечения графиков функций?

Ответ: Для нахождения точек пересечения графиков двух функций необходимо решить уравнение, полученное из их равенства. Для этого можно приравнять выражения, содержащие переменные в обеих функциях, и решить полученное уравнение. Каждый корень уравнения соответствует точке пересечения графиков.

Как находить область определения функций y=[x], y=, y=sign(x)?

Ответ: Область определения функции y=[x] — все целые числа; функции y= — все действительные числа; функции y=sign(x) — все действительные числа, кроме нуля.

Каким образом функции y=[x], y= и y=sign(x) округляют аргументы x?

Ответ: Функция y=[x] округляет аргумент x до ближайшего целого числа; функция y= округляет аргумент x до ближайшего целого числа вниз (если x положительно) или вверх (если x отрицательно); функция y=sign(x) не округляет аргумент x, а возвращает его знак (1, если x положительно, –1, если x отрицательно, и 0, если x равен нулю).

Как использовать функции y=[x], y=, y=sign(x) в задачах на практике?

Ответ: Функции y=[x], y= и y=sign(x) могут использоваться для решения задач, связанных с округлением, отбрасыванием дробной части и определением знака числа. Например, функция y=[x] может использоваться для округления количества товаров до целого числа, функция y= может использоваться для определения количества пакетов, необходимых для упаковки заданного количества товаров.

Как определить, какой знак имеет функция y=sign(x)?

Ответ: Функция y=sign(x) имеет знак «1», если x>0, «0», если x=0, и «-1», если x

Какие преобразования можно применять к графикам функций y=[x], y=, y=sign(x)?

Ответ: К графикам функций y=[x], y=, y=sign(x) можно применять различные преобразования, такие как горизонтальное и вертикальное смещение, растяжение или сжатие по осям координат, отражение относительно осей координат или произвольной прямой, поворот и т.д.

Как связаны графики функций y=[x], y=, y=sign(x) с графиком функции y=f(x-a)+b?

Ответ: Графики функций y=[x], y=, y=sign(x) можно получить из графика функции y=f(x-a)+b путем применения соответствующих преобразований, таких как горизонтальное и вертикальное смещение, растяжение или сжатие по осям координат, отражение относительно осей координат или произвольной прямой, поворот и т.д.

Каким образом функции y=[x], y= и y=sign(x) округляют аргументы x?

Ответ: Функция y=[x] округляет аргумент x до ближайшего целого числа; функция y= округляет аргумент x до ближайшего целого числа вниз (если x положительно) или вверх (если x отрицательно); функция y=sign(x) не округляет аргумент x, а возвращает его знак (1, если x положительно, –1, если x отрицательно, и 0, если x равен нулю).

Как использовать функции y=[x], y=, y=sign(x) в задачах на практике?

Ответ: Функции y=[x], y= и y=sign(x) могут использоваться для решения задач, связанных с округлением, отбрасыванием дробной части и определением знака числа. Например, функция y=[x] может использоваться для округления количества товаров до целого числа, функция y= может использоваться для определения количества пакетов, необходимых для упаковки заданного количества товаров.

Как найти точки пересечения графиков функций?

Ответ: Для нахождения точек пересечения графиков двух функций необходимо решить уравнение, полученное из их равенства. Для этого можно приравнять выражения, содержащие переменные в обеих функциях, и решить полученное уравнение. Каждый корень уравнения соответствует точке пересечения графиков.

Какие преобразования можно применять к графикам функций y=[x], y=, y=sign(x)?

Ответ: К графикам функций y=[x], y=, y=sign(x) можно применять различные преобразования, такие как горизонтальное и вертикальное смещение, растяжение или сжатие по осям координат, отражение относительно осей координат или произвольной прямой, поворот и т.д.

Как связаны графики функций y=[x], y=, y=sign(x) с графиком функции y=f(x-a)+b?

Ответ: Графики функций y=[x], y=, y=sign(x) можно получить из графика функции y=f(x-a)+b путем применения соответствующих преобразований, таких как горизонтальное и вертикальное смещение, растяжение или сжатие по осям координат, отражение относительно осей координат или произвольной прямой, поворот и т.д.

Заключение

Функции y = |x|, y = [x], y = и y = sign(x) являются важными и широко применяемыми функциями в математике и ее приложениях. Каждая из них имеет свои особенности и свойства, которые мы рассмотрели в данной статье.

Графики функций являются важным инструментом для анализа и понимания свойств функций. При решении задач и проблем из разных областей знания, часто требуется построение графиков функций. Знание свойств и форм графиков функций y = |x|, y = [x], y = и y = sign(x) может помочь нам лучше понимать различные явления и процессы, которые происходят в нашей жизни.

В целом, изучение математических функций очень важно для развития мышления и расширения кругозора в различных научных и технических областях. Более того, знание и понимание математических функций может помочь в повседневной жизни при принятии решений, анализе данных и решении различных задач.

Источники

Для подготовки данной статьи были использованы следующие источники:

Бевз Г. С., Линник П. А. Математический анализ. — Москва: Издательский центр «Академия», 2004.
Александров А. Д. Введение в теорию функций действительного переменного. — Москва: Издательство Московского университета, 1976.
Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Москва: Наука, 1985.
Абрамов В. М. Математический анализ. — Москва: Физматлит, 2003.
Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. — Москва: Физматлит, 2003.

Кроме того, в подготовке статьи были использованы материалы из различных учебников и онлайн-ресурсов.

Исследование функции и построение графика

На этой странице мы постарались собрать для вас наиболее полную информацию об исследовании функции. Больше не надо гуглить! Просто читайте, изучайте, скачивайте, переходите по отобранным ссылкам.

Что будет дальше?

  • Общая схема исследования
  • Полный пример исследования функции
  • Примеры решений для разных типов функций
  • Сервисы построения графиков онлайн
  • Теория и практика: ссылки
  • Решебник
  • Видео

Исследование функции и построение графика

Общая схема исследования

график функции с точками и асимптотами

Для чего нужно это исследование, спросите вы, если есть множество сервисов, которые построят график онлайн для самых замудренных функций? Для того, чтобы узнать свойства и особенности данной функции: как ведет себя на бесконечности, насколько быстро меняет знак, как плавно или резко возрастает или убывает, куда направлены «горбы» выпуклости, где не определены значения и т.п.

А уже на основании этих «особенностей» и строится макет графика — картинка, которая на самом-то деле вторична (хотя в учебных целях важна и подтверждает правильность вашего решения).

Начнем, конечно же, с плана. Исследование функции — объемная задача (пожалуй, самая объемная из традиционного курса высшей математики, обычно от 2 до 4 страниц с учетом чертежа), поэтому, чтобы не забыть, что в каком порядке делать, следуем пунктам, описанным ниже.

Алгоритм

  1. Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
  2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
  3. Найти точки пересечения с осями координат.
  4. Установить, является ли функция чётной или нечётной.
  5. Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций).
  6. Найти точки экстремума и интервалы монотонности.
  7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
  8. Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
  9. Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты.
  10. Построить график и асимптоты.

В разных источниках (учебниках, методичках, лекциях вашего преподавателя) список может иметь отличный от данного вид: некоторые пункты меняются местами, объединяются с другими, сокращаются или убираются. Учитывайте требования/предпочтения вашего учителя при оформлении решения.

Схема исследования в формате pdf: скачать.

Полный пример решения онлайн

Спасибо за ваши закладки и рекомендации

Провести полное исследование и построить график функции $$ y(x)=\frac. $$

1) Область определения функции. Так как функция представляет собой дробь, нужно найти нули знаменателя. $$1-x=0, \quad \Rightarrow \quad x=1.$$ Исключаем единственную точку $x=1$ из области определения функции и получаем: $$ D(y)=(-\infty; 1) \cup (1;+\infty). $$

2) Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва. Найдем односторонние пределы:

Так как пределы равны бесконечности, точка $x=1$ является разрывом второго рода, прямая $x=1$ — вертикальная асимптота.

3) Определим точки пересечения графика функции с осями координат.

Найдем точки пересечения с осью ординат $Oy$, для чего приравниваем $x=0$:

Таким образом, точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0;8)$.

Найдем точки пересечения с осью абсцисс $Ox$, для чего положим $y=0$:

Уравнение не имеет корней, поэтому точек пересечения с осью $Ox$ нет.

Заметим, что $x^2+8>0$ для любых $x$. Поэтому при $x \in (-\infty; 1)$ функция $y>0$ (принимает положительные значения, график находится выше оси абсцисс), при $x \in (1; +\infty)$ функция $y\lt 0$ (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Функция не является ни четной, ни нечетной, так как:

5) Исследуем функцию на периодичность. Функция не является периодической, так как представляет собой дробно-рациональную функцию.

6) Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Для этого найдем первую производную функции:

Приравняем первую производную к нулю и найдем стационарные точки (в которых $y’=0$):

Получили три критические точки: $x=-2, x=1, x=4$. Разобьем всю область определения функции на интервалы данными точками и определим знаки производной в каждом промежутке:

При $x \in (-\infty; -2), (4;+\infty)$ производная $y’ \lt 0$, поэтому функция убывает на данных промежутках.

При $x \in (-2; 1), (1;4)$ производная $y’ >0$, функция возрастает на данных промежутках.

При этом $x=-2$ — точка локального минимума (функция убывает, а потом возрастает), $x=4$ — точка локального максимума (функция возрастает, а потом убывает).

Найдем значения функции в этих точках:

Таким образом, точка минимума $(-2;4)$, точка максимума $(4;-8)$.

7) Исследуем функцию на перегибы и выпуклость. Найдем вторую производную функции:

Приравняем вторую производную к нулю:

Полученное уравнение не имеет корней, поэтому точек перегиба нет. При этом, когда $x \in (-\infty; 1)$ выполняется $y» \gt 0$, то есть функция вогнутая, когда $x \in (1;+\infty)$ выполняется $y» \lt 0$, то есть функция выпуклая.

8) Исследуем поведение функции на бесконечности, то есть при .

Так как пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.

Попробуем определить наклонные асимптоты вида $y=kx+b$. Вычисляем значения $k, b$ по известным формулам:

Получили, у что функции есть одна наклонная асимптота $y=-x-1$.

9) Дополнительные точки. Вычислим значение функции в некоторых других точках, чтобы точнее построить график.

10) По полученным данным построим график, дополним его асимптотами $x=1$ (синий), $y=-x-1$ (зеленый) и отметим характерные точки (фиолетовым пересечение с осью ординат, оранжевым экстремумы, черным дополнительные точки):

Примеры решений по исследованию функции

Разные функции (многочлены, логарифмы, дроби) имеют свои особенности при исследовании (разрывы, асимптоты, количество экстремумов, ограниченная область определения), поэтому здесь мы пострались собрать примеры из контрольных на исследование функций наиболее часто встречающихся типов. Удачи в изучении!

Задача 1. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график.

Задача 2. Исследовать функцию и построить ее график.

Задача 3. Исследовать функцию с помощью производной и построить график.

Задача 4. Провести полное исследование функции и построить график.

Задача 5. Исследовать функцию методом дифференциального исчисления и построить график.

Задача 6. Исследовать функцию на экстремумы, монотонность, выпуклость и построить график.

Поможем с исследованием функции: быстро, подробно

Задача 7. Проведите исследование функции с построением графика.

Задача 8. Построить график функции $y=y(x)$, заданной параметрически

Задача 9. Исследовать функцию и построить ее график $r=1+tg \phi$.

Задача 10. Исследовать функцию и построить ее график $(x^2+y^2)^3=4x^2y^2$.

Задача 11. Провести полное исследование периодической функции $y = \cos 3x – 2 \sin 6x$ и построить её график.

Задача 12. Провести полное исследование и построить график функции $y=f(x)$ с помощью Excel. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-3; -1]$.

Задача 13. Провести полное исследование и построить график функции.

Как построить график онлайн?

Даже если преподаватель требует вас сдавать задание, написанное от руки, с чертежом на листке в клеточку, вам будет крайне полезно во время решения построить график в специальной программе (или сервисе), чтобы проверить ход решения, сравнить его вид с тем, что получается вручную, возможно, найти ошибки в своих расчетах (когда графики явно ведут себя непохоже).

Ниже вы найдете несколько ссылок на сайты, которые позволяют построить удобно, быстро, красиво и, конечно, бесплатно графики практически любых функций. На самом деле таких сервисов гораздо больше, но стоит ли искать, если выбраны лучшие?

Графический калькулятор Desmos

Desmos.com
Невероятно гибкий и функциональный графический калькулятор. Интутивно понятно вводятся формулы (прямо на ходу преобразуются), автоматически подбираются масштаб и цвета графика для максимальной наглядности. Например, для функции $y(x)=\frac$ буквально за минуту построены основной график и асимптоты, вот что получилось:

ввод функций в Desmos
график функции в Desmos

При этом сайт сам пометил важные точки на графике (см. серым): локальный экстремум, пересечение с осями.

Вы можете менять масштаб, цвета, вид линий; добавлять на график точки, линии, кривые, табличные данные и даже анимацию!

Посмотрите, какую красоту Desmos умеет рисовать (точнее, его пользователи):

художественные графики в Desmos

Сайт для построения графиков y(x).ru

y(x).ru
Это уже наш продукт, возможно, не такой красивый и интерактивный, но вполне подходящий для учебных целей. Можно строить онлайн несколько графиков одновременно, при этом выбирать и обычный, и параметрический вид, и даже задание в полярных координатах. Цвет и масштаб можно менять вручную. Вот так вводятся графики:

ввод функций в yotx.ru

И такой график получается в итоге:

график функции в yotx.ru

Из минусов можно заметить, что вводить, например, горизонтальные асимптоты не так просто: если в Desmos мы просто написали $x=2$, то здесь пришлось вводить параметрическую функцию $x(t)=2, y(t)=t$. Цвета и масштаб тоже пришлось подбирать вручную (иначе все графики оказались бы красными и мелкими).

Другие сайты

Еще несколько сервисов, которые обладают меньшим удобством/функциональностью, но тоже достойны внимания:

  • ru.numberempire.com Можно построить сразу несколько функций, цвета подбираются автоматически, график интерактивный (положение и масштаб меняются мышкой).
  • mathsolution.ru Можно строить несколько графиков, выбирая толщину линий и цвет, скрывать/отображать сетку, менять масштаб, сохранять картинки в файл.
  • easyto.me При построении нескольких графиков на одном поле предыдущие не редактируются. В остальном функции как у прежних: выбор цвета, толщины линии, масштаба чертежа.
  • grafikus.ru Кроме обычных графиков можно также строить трехмерные (3d). Можно построить несколько графиков разного типа (обычный,параметрический, в полярных координатах). Цвет и толщину линии выбрать нельзя. Интерактивности нет

Больше знаний: теория и практика

Еще немного ссылок для тех, кто хочет углубиться в тему. Первая ссылка на теоретический материал, где вы найдете и подробные примеры, и отсылки к предыдущим разделам теории (а исследовать функцию не зная пределов, производных, понятия непрерывности и т.п. нельзя) с не менее подробным объяснением. Все это сдобрено порцией юмора, отчего очень «съедобно» даже для полного чайника в математике: Исследование функций от Александра Емелина.

Вторая ссылка практическая, для тех, кто хочет научиться строить красивые графики в Desmos.com (см. выше описание): Полная инструкция по работе с Desmos. Эта инструкция довольно старая, с тех пор интерфейс сайта поменялся в лучшую сторону, но основы остались неизменными и помогут быстро разобраться с важными функциями сервиса.

Официальные инструкции, примеры и видео-инструкции на английском можно найти тут: Learn Desmos.

Решебник

Срочно нужна готовая задача? Более сотни разных функций с полным исследованием уже ждут вас. Подробное решение, быстрая оплата по SMS и низкая цена — около 50 рублей. Может, и ваша задача уже готова? Проверьте!

Полезные видео-ролики

Вебинар по работе с Desmos.com. Это уже полноценный обзор функций сайта, на целых 36 минут. К сожалению, он на английском языке, но базовых знаний языка и внимательности достаточно, чтобы понять большую часть.

Классный старый научно-популярный фильм «Математика. Функции и графики». Объяснения на пальцах в прямом смысле слова самых основ.

График функции y х как посчитать точки

График квадратичной функции `y=ax^2+bx+c` (где `a!=0`) — парабола. Абсцисса вершины этой параболы задаётся формулой `x_B=-b/(2a)`. Если `a>0`, то ветви параболы направлены вверх, если `a

Если дискриминант квадратного трёхчлена положителен, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках (абсциссы этих точек — корни квадратного уравнения `ax^2+bx+c=0`); если дискриминант меньше нуля — то не имеет с осью абсцисс ни одной общей точки; если равен нулю — парабола имеет с осью абсцисс ровно одну общую точку (в этом случае говорят, что парабола касается оси абсцисс). В последнем случае квадратный трёхчлен имеет вид `a(x-x_0)^2`.

Постройте график функции `y=-2x^2+8x-5`.

Выделим полный квадрат:

График функции `y=-2(x-2)^2+3` — парабола, полученная из параболы `y=2x^2` с помощью симметрии относительно оси абсцисс, затем параллельного переноса на `2` единицы вправо вдоль оси абсцисс и, наконец, параллельного переноса на `3` единицы вверх вдоль оси ординат (см. рис. 10).

При помощи построения графика квадратичной функции можно решать квадратные неравенства.

а) График квадратного трёхчлена `y=x^2-x-2` — парабола, её ветви направлены вверх (коэффициент при `x^2` положителен), абсциссы точек пересечения с осью `Ox:` `x_1=-1`, `x_2=2` (корни квадратного уравнения `x^2-x-2=0`). Все точки оси абсцисс, для которых парабола находится выше этой оси (т. е. решения данного неравенства), расположены вне промежутка между корнями `x_1` и `x_2`. Значит, множество решений данного неравенства — объединение открытых лучей:

в) График квадратного трёхчлена `y=3x^2-2x+1` — парабола, её ветви направлены вверх (коэффициент при `x^2` положителен), она не пересекает ось абсцисс, т. к. уравнение `3x^2-2x+1=0` не имеет решений (его дискриминант отрицателен). Поэтому все точки параболы расположены выше оси `Ox`. Следовательно, данное неравенство истинно для всех `x`.

Заметим, что эти неравенства могли быть решены также с помощью метода интервалов, изложенного выше (см. §2).

Парабола `y=2016x^2-1941x-76` — пересекает ось абсцисс в точках `x_1` и `x_2`. Определите, где на этой прямой расположены точки `1`; `–1`; `–5` (т. е. вне промежутка между `x_1` и `x_2` или внутри него?).

Так как `a>0` и `c0` и данное уравнение имеет корни.

График функции `f(x)=2016x^2-1941x-76` — это парабола, ветви которой направлены вверх. Видно, что точка лежит в промежутке между корнями тогда и только тогда, когда `f(x)0` (см. рис. 11).

Определите знаки коэффициентов квадратного трёхчлена `y=ax^2+bx+c`, график которого изображён на рис. 12.

1) Заметим, что `y(0)=c`, откуда `c>0`.

2) Ветви параболы направлены вниз `=>a

3) Ось симметрии параболы — это прямая `x_B=-b/(2a)`, по рисунку видно, что `-b/(2a)>0`, откуда `b>0`.

Найти все значения `l`, при которых неравенство

верно для всех значений `x`.

Рассмотрим значения `l!=0`. Для них данное неравенство квадратное. Видно, что все числа являются его решениями только в одном случае: во-первых, если старший коэффициент отрицателен, (т. е. ветви параболы направлены вниз), и во-вторых, если дискриминант отрицателен, (т. е. парабола не пересекает ось абсцисс).

Получаем систему неравенств

Перейдём к графикам, содержащим знак модуля.

Постройте график функции:

а) Рассмотрим графики функций `f(x)=|x|` и `g(x)=|x+3|`. Заметим, что при подстановке значения `x_0` в функцию `f(x)` и значения `(x_0-3)` в функцию `g(x)` получается одно и то же число. Это означает, что если графику функции `y=f(x)` принадлежит точка с координатами `A(x_0;|x_0|)`, то графику функции `y=g(x)` принадлежит точка `B(x_0-3;|x_0|)`, расположенная на `3` единицы слева от точки `A`.

Таким образом, график функции `g(x)` получается из графика функции `f(x)` сдвигом на `3` единицы влево (рис. 13).

б) Рассмотрим функции `f(x)=-|x|` и `g(x)=4-|x|`. При любом `x` значение функции `g(x)` на `4` больше, чем значение функции `f(x)`, а это означает, что график функции `g(x)` получается из графика функции `f(x)` сдвигом на `4` единицы вверх (рис. 14).

в) `y=|4-2x|-1=|2x-4|-1=2|x-2|-1`.

Построим сначала график функции `y=|x|` (рис. 15а).

График функции `y=2|x|` получается из него «растяжением» в два раза (рис. 15б); график `y=2|x-2|` получается из предыдущего сдвигом на `2` единицы вправо (рис. 15в);

график `y=2|x-2|-1` получается из последнего сдвигом на единицу вниз (рис. 15г).

График функции `y=af(x-b)+c` получается из графика функции `y=f(x)` следующим образом.

1) Проводится «растяжение» в `|a|` раз; при этом если `a относительно оси абсцисс.

2) График сдвигается на `|b|` влево (если `b<0`) или на `|b|` вправо (`b>0`).

3) График сдвигается на `|c|` вверх при `c>0` и на `|c|` вниз при `c

г) Отметим на числовой прямой точки, в которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в ноль (рис. 16а). Эти три точки делят числовую прямую на четыре части, причём на каждой из частей знаки выражений, стоящих под модулями, не меняются.

Возможны 4 случая.

Получаем луч (часть прямой `y=2x-2`, лежащую слева от прямой `x=-4`).

Получаем отрезок (часть прямой `y=6x+14`, лежащая между прямыми `x=-4` и `x=-1`).

Получаем отрезок (часть прямой `y=8`, заключённая между прямыми `x=-1` и `x=3`).

4) `ul(x>3)`. Тогда `x+4>0`, `x-3>0`, `x+1>0`, поэтому

Получаем луч (часть прямой `y=2x+2`, находящуюся справа от прямой `x=3`). График см. на рис. 16б.

Укажем второй способ построения. На каждом из четырёх участков `(-oo;-4]`, `[-4;-1]`, `[-1;3]`, `[3;+oo)` после раскрытия модулей получим линейную функцию, графиком которой является прямая. Чтобы построить прямую, достаточно знать две её точки. Отсюда вытекает следующий способ построения. Вычислим значения функции в точках `x=-4`, `x=-1` и `x=3`, а также в каких-либо точках, лежащих на промежутках `(-oo;-4)` и `(3;+oo)`, например, `x=-5` и `x=4`. Получаем пять точек, принадлежащих графику:

Проводим отрезки `AB` и `BC`, лучи `AD` и `CE` и получаем график.

д) Построим сначала график функции `f_1(x)=|x|-3` (рис. 17а).

График `f_2(x)=||x|-3|` получается из графика функции `f_1(x)` так: точки, лежащие выше оси `Ox` и на оси `Ox` сохраняются, а все точки, лежащие ниже оси `Ox`, отражаются относительно оси `Ox` в верхнюю полуплоскость (рис. 17б). Действительно, если `f_1(x)>=0`, то `f_2(x)=|f_1(x)|=f_1(x)`, а если `f_1(x)=0`, то точки на графике для `f_1(x)` и `f_2(x)` совпадают. Если же `f_1(x)

График функции `f_4(x)=|||x|-3|-1|` получается из `f_3(x)` отражением всех точек, лежащих ниже оси `Ox`, относительно оси `Ox` наверх (рис. 17 г).

График функции `y=|f(x)|` получается из графика функции `y=f(x)` следующим образом. Все точки, лежащие выше оси `Ox` и на оси `Ox`, сохраняются, а все точки, лежащие ниже оси `Ox`, отражаются относительно оси `Ox` и попадают в верхнюю полуплоскость.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *