Что такое сопряженное пространство
Перейти к содержимому

Что такое сопряженное пространство

  • автор:

Сопряжённое пространство

Сопряжённое пространство или двойственное пространство — пространство линейных функционалов на данном линейном пространстве.

Линейно-сопряжённое пространство — определение

Пространство всех линейных функционалов, определённых на линейном пространстве E, также образует линейное пространство. Это пространство называется сопряжённым к E, оно обычно обозначается E^*.

Свойства

  • В конечномерном случае сопряжённое пространство E^*имеет ту же размерность, что и пространство Eнад полем F: любому базису \< e^i \>_^n» width=»» height=»» /> из <img decoding=можно поставить в соответствие т.н. двойственный базис\< e_i \>_^n» width=»» height=»» /> из <img decoding=, где функционал e_i\,— проектор на вектор \,e^i:  e_i(x) = e_i(\alpha_1e^1 + \ldots + \alpha_ne^n) = \alpha_i, \quad\forall x\in E
  • Если пространство Eевклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то существует канонический изоморфизм между Eи E^*.
  • Если пространство Eгильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между Eи E^*.
  • В конечномерном случае верно также, что пространство, сопряжённое к сопряжённому E^<**>» width=»» height=»» />, совпадает с <img decoding=(точнее, существует канонический изоморфизм между Eи E^<**>» width=»» height=»» />).</li>
</ul>
<h3>Обозначения</h3>
<p>В конечномерном случае обычно элементы пространства <img decoding=обозначают вектором-столбцом, а элементы E^*— вектором-строкой [источник не указан 581 день] . В тензорном исчислении применяется обозначение x^kдля элементов E(верхний, или контравариантный индекс) и x_kдля элементов E^*(нижний, или ковариантный индекс).

    Вариации и обобщения

    • В функциональном анализе, под сопряжённым пространством обычно понимают пространство непрерывных линейных функционалов.
    • Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для линейных пространств над полем комплексных чисел: пространство \bar E, совпадающее с Eкак вещественное линейное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа: <\bar c>= \overline» width=»» height=»» />
<ul>
<li>При наличии в пространстве эрмитовой метрики (например, в гильбертовом пространстве) линейно-сопряжённое и комплексно-сопряжённое пространства совпадают.</li>
</ul>
</li>
</ul>
<h3>Ссылки</h3>
<ul>
<li>Функциональный анализ</li>
<li>Теории двойственности</li>
</ul>
<p> <em>Wikimedia Foundation . 2010 .</em> </p>
<h2>Сопряженное пространство</h2>
<p><b>Определение 10.1.</b> Отображение f: L → R которое опрелено на <i>линейном пространстве</i> L и принимает действительные значения, называют <b><i>линейной функцией (также линейной формой, линейным функционалом)</i></b>, если оно у довлев творяет двум условиям:</p>
<p>а) f(x + у) = f(x) + f(x), х,у ∈ L;</p><div class='code-block code-block-2' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 2theinternet -->
<script src=

б) f(λx) = λf(x), х ∈ L,λ ∈ R.

Сравнив данное определение с определением 4.1 линейного оператора, увидим много общего. Бели рассматривать множе-ство действительных чисел как одномерное линейное простран-ство, то можно сказать, что линейная функция — это линейный оператор, пространство образов которого одномерно.

Выберем в линейном пространстве L некоторый базис е = (e1 . еn). Тогда для любого вектора х ∈ L с координатами х = (х1; . хn) T

где a = (ai . an), a* = /(e*), i = 1, n. Поэтому линейная функция однозначно определяется своими значениями на базисных векторах. Наоборот, если функция /(ж) через координаты х вектора ж выражается в виде /(ж) = аж, то эта функция ли-нейная, а строка а составлена из значений этой функции на базисных векторах. Таким образом, между множеством линей-ных форм, заданных на линейном пространстве £, и строками длины п установлено взаимно однозначное соответствие.

Линейные формы можно складывать и умножать на действительные числа согласно правилам:

Введенные таким способом операции превращают множество линейных форм в пространстве L в линейное пространство. Это линейное пространство называют сопряженным пространством по отношению к линейному пространству L и обозначают L*.

Опираясь на базис е, выбранный в пространстве L, построим базис в сопряженном пространстве L*. Для каждого вектора ei из базиса е рассмотрим линейную форму f i , для которой f i (еi) = 1 и f i (еj)= 0 для всех векторов ej, кроме еi. Мы получим систему линейных форм f1, . /” е С*. Покажем, что это линейно независимая система. Пусть некоторая линейная комбинация этих форм равна нулевой линейной форме / = aif1 +. + anfn = 0. Форма / на всех базисных векторах принимает нулевые значения. Но

Сопряженное пространство

Нулевые значения f на базисных векторах эквивалентны равенствам αi = 0, i = 1,n , и поэтому система линейных форм f 1 , . f n линейно независима.

Система линейных форм f 1 , . f n является базисом в сопряженном пространстве. Действительно, так как это линейно независимая система линейных форм, то достаточно доказать, что любая линейная форма из L* является их линейной комбинацией. Выберем произвольную линейную форму f из L* и пусть а1 . аn — значения формы f на базисных векторах. Эти значения однозначно определяют линейную форму. Но линейная комбинация f’ = a1fi +. + anfn также является линейной формой, которая на базисных векторах принимает те же значения a1, . аn. Значит, эти две линейные формы совпадают, и мы получаем равенство f = f’ = a1f 1 +. + anf n , т.е. разложение произвольно выбранной линейной формы по системе форм f 1 , . f n

Приведенное рассуждение показывает, что сопряженное пространство L* имеет ту же размерность, что и L. Построенный нами базис f 1 , . f n зависит от выбора базиса е в пространстве L.

Определение 10.2. Базисы e1, . еn и f 1 , . f n линейного пространства L и сопряженного пространства L* называют биортогоналъными, или взаимными, если

Сопряженное пространство

Если базисы e1, . еn и f 1 , . f n взаимны, то координатами произвольной формы f в базисе f 1 , . f n являются значения этой формы на векторах взаимного базиса e1, . еn. При совместном рассмотрении линейного пространства L и сопряженного пространства L* элементы каждого из этих пространств называют векторами, но элементы сопряженного пространства L* именуют ковариантными векторами (ковекторами), а элементы из линейного пространства L — контравариантными векторами (или просто векторами). Координаты тех и других определяются преимущественно во взаимных базисах, при этом у координат контравариантных векторов индекс ставится вверху, а у ковариантных — внизу.

На запись f(x) можно смотреть двояко. Зафиксировав форму f, мы варьируем вектор x, получая всевозможные значения линейной формы. Но если мы зафиксируем вектор х и будем варьировать линейную форму f, то получим функцию, определенную на сопряженном пространстве L*. Нетрудно убедиться, что эта функция линейная, так как, согласно определению сум-мы линейных форм и произведения линейной формы на число,

(f + g)(x) = f(x) + g(x), (λf)(x) = λf(x)•

Итак, каждому вектору x ∈ L соответствует линейная форма на сопряженном пространстве L, или элемент двойного сопряженного пространства (L*)* = L**. Мы получаем отображение φ: L → L**. Несложно убедиться, что это отображение линейно и что оно инъективно. Из инъективности следует, что dimimφ = dimL = n. Но сопряженное пространство L* имеет ту же размерность, что и L, a dimL** = dimL* = dimL. Таким образом, размерность линейного подпространства imφ в L** совпадает с размерностью всего двойного сопряженного пространства. Значит, imφ = L** и отображение φ является изоморфизмом. Обратим внимание, что этот изоморфизм не связан с выбором какого-либо базиса. Поэтому естественно отождествить линейные формы, заданные на L*, с элемента-ми пространства L. Это означает, что двойное сопряженное пространство совпадает с исходным линейным пространством: L** = L. Если L* является сопряженным к L, то и L является сопряженным к L*.

Взаимность линейного пространства и сопряженного к нему пространства указывает на симметричность связи между векторами и ковекторами. Поэтому вместо записи f(x) более удобно использовать другую форму записи, симметричную: (f,x). Линейные формы мы также будем теперь обозначать полужирным курсивом: (f,x). Принятое обозначение похоже на обозначение скалярного произведения, но в отличие от последнего аргументы в новом обозначении берутся из разных пространств. Саму запись (f, x) можно рассматривать как запись отображения, определенного на множестве L*×L, которое паре из ковектора и вектора ставит в соответствие действительное число. При этом указанное отображение линейно по каждому из аргументов.

Теорема 10.1. Пусть b и с — два базиса n-мерного линейного пространства L,U — матрица перехода из b в с. Базисы b* и с* сопряженного пространства L*, взаимные с базисами b и с соответственно, связаны между собой соотношениями

c* = b*(U T ) -1 Ь* =c*U T

Координатами f c = (f c 1 . f c n) линейной формы f в базисе с* являются значения этой формы на векторах базиса с = (c1 . cn). Выясним, как связаны координаты формы f в двух базисах с* и b*.

Базисы b и с связаны между собой при помощи матрицы’ перехода матричным соотношением с = bU (см. 1.8). Это соотношение представляет собой равенство строк длины n, составленных из векторов. Из равенства строк векторов следует равенство строк значений линейной формы f на этих векторах:

где f b и f c — обозначения строк координат формы f в базисах Ь* и с* соответственно. Транспонировав это равенство, мы получим принятую форму связи координат элементов линейного пространства, в которой координаты записываются по столбцам:

(f c ) T = U T (f b ) T .

Это соотношение означает, что матрица U T является матрицей перехода из базиса с*, играющего в формуле роль старого, в базис b*, играющий роль нового. Следовательно, b* = c*U T , откуда умножением на матрицу (U T ) -1 получаем с* = b*(U T ) -1 . ►

Бели линейное пространство L евклидово, то скалярное про-изведение порождает изоморфизм между L и l*, не зависящий от базиса, который позволяет отождествить евклидово про-странство с его сопряженным. Действительно, для любого вектора a ∈ L отображение x → (а,x) представляет собой линейную форму в L, так как скалярное произведение линейно по второму из своих аргументов. Возникает отображение ψ, которое вектору a ∈ L ставит в соответствие линейную форму fa(x) — (а,x). Это отображение линейно в силу свойств скалярного произведения и инъективно. Инъективность следует из того, что если (а,x) = 0 для любого x ∈ L, то и (a,а) = 0, т.е. a = 0. Так как линейные пространства L и L* конечномерны и имеют одинаковые размерности, отображение ∈ биективно и реализует изоморфизм этих пространств. Итак, для евклидова пространства L* = L. В этом смысле евклидово пространство есть » самосопряженное » пространство.

Двойственное пространство

Введем понятия двойственного, к пространству [math]\mathbb^2[/math] , пространства. Для того чтобы избежать рассмотрения отдельных случаев, работаем в однородных координатах. Пока в конспекте есть недочеты.

Определение

Определение:
Двойственным пространством называется пространство линейных функционалов на линейном пространстве [math]\mathbb^2[/math] .

Любой линейный функционал [math]f[/math] можно представить как [math]f((x, y)) := ax + b = cy[/math] . Это значит, каждому такому функционалу будет соответствовать точка в двойственном пространстве с однородными координатами [math](a, -b, c)[/math] . Таким образом, мы можем определить дуальное преобразование ( [math]p \mapsto p^\star[/math] ) для прямой, как точку в двойственном пространстве.

Дуальное преобразование от точки [math]p = (p_x, p_y, p_z)[/math] в исходном пространстве дает прямую [math]p^\star := (p_z y = p_x x — p_y)[/math] в двойственном.

Расмотрим все прямые [math]l[/math] , такие что [math]p \in l[/math] . Более формально, пусть [math]L = \[/math] . Для каждой можно выразить [math]b[/math] : [math]b p_z = ap_x — cp_y[/math] , сделаем замену [math]\left[a := x, b := y\right][/math] и получим, что все точки [math]l^\star[/math]

  1. [math]p \in l \Leftrightarrow l^\star \in p^\star[/math]
  2. [math]p[/math] лежит над [math]l[/math] , тогда и только тогда когда [math]l^\star[/math] лежит над [math]p^\star[/math]

1. Пусть [math]p \in l[/math] . Возьмем две точки [math]p_1[/math] и [math]p_2[/math] такие, что [math]p_1, p_2 \in l[/math] . Тогда [math]\text(p_1, p_2, p) = \begin p_ & p_ & p_ \\ p_ & p_ & p_ \\ p_x & p_y & p_z \end = 0[/math] . Воспользуемся леммой о предикате проверки расположения прямых. В двойственном пространстве точкам [math]p, p_1, p_2[/math] будут соответствовать прямые с соответствующими коэффициентами. Так как этот предикат равен нулю, все три прямые пройдут через одну точку — [math]l^\star[/math] , в силу подстановки коэффициентов. Обратное следствие верно в силу того, что второе сопряженное пространство есть исходное.

Отрезок [math]pq[/math] переходит в такое множество: [math]P = \left\(l^\star, p_1^\star, t^\star) \gt 0, \text(l^\star, q_1^\star, t^\star) \lt 0 \right\>[/math] , где [math]l[/math] — прямая на которой лежат [math]p[/math] и [math]q[/math] , а [math]p_1^\star \in p^\star, q_1^\star \in q^\star, \text(l^\star, p_1^\star, q_1^\star) \gt 0[/math] — .

Условие [math]\text(l, p_1, q_1) \gt 0[/math] означает, что прямая [math]q_1[/math] лежит выше точки пересечения [math]p_1[/math] и [math]l[/math] . Зафиксируем [math]p_1[/math] и [math]q_1[/math] . Рассмотрим прямую [math]t[/math] , пересекающую [math]pq[/math] . Так как [math]t[/math] лежит выше точки пересечения [math]p_1[/math] и [math]l[/math] , то

Прикладной смысл двойственного пространства

Двойственной пространство позволяет нам посмотреть на некоторые задачи с другой точки зрения. Ниже приведен список задач:

  1. Построение пересечения полуплоскостей с помощью построения выпуклой оболочки в двойственном пространстве
  2. Set of points to Arrangements of Lines // TODO

Сопряжённое пространство

Для линейных функционалов на линейном пространстве E можно определить операции сложения и умножения на число:

  • f = f 1 + f 2 : f ( x ) = f 1 ( x ) + f 2 ( x )
  • f = α f 1 : f ( x ) = α f 1 ( x )

Эти определения удовлетворяют аксиомам линейного пространства. То есть, совокупность всех линейных функционалов на E также образует линейное пространство. Это пространство называется сопряжённым к E , оно обычно обозначается E ∗ . В конечномерном случае сопряжённое пространство E ∗ имеет ту же E . Обычно элементы пространства E обозначают вектором-строкой, а элементы E ∗ — вектором-столбцом. В x k для элементов E (верхний, или контравариантный индекс) и x k для элементов E ∗ (нижний, или ковариантный индекс).

Верно также что пространство, сопряжённое к сопряжённому E ∗ ∗ > , совпадает с E .

Трудности в бесконечномерном случае [ ]

Попытка прямо применить вышеприведённое определение в случае бесконечномерных линейных пространств приводит к неконструктивным и малополезным алгебраически сопряжённым пространствам. Для важного случая топологических линейных пространств рассматриваются топологически сопряжённые пространства, состоящие только из непрерывных функционалов. Однако, для топологического линейного сопряжения, пространство, сопряжённое к сопряжённому, вообще говоря, с исходным не совпадает. Пространства, для которых E ∗ ∗ = E = E> называются рефлексивными — только для них, строго говоря, можно употреблять термин двойственное пространство.

Комплексно-сопряжённое пространство [ ]

Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для линейных пространств над полем комплексных чисел: пространство E ¯ , совпадающее с E как вещественное линейное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа (см. en:Complex conjugate vector space):

При наличии в пространстве гильбертовом пространстве) линейно- и комплексно-сопряжённые пространства совпадают.

Эта статья является заготовкой. Вы можете помочь проекту, добавив сюда новый материал.

hu:Duális tér pl:Przestrzeń sprzężona

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *