Что такое сложное число
Перейти к содержимому

Что такое сложное число

  • автор:

СЛОЖНЫЕ ЧИСЛА

Нажмите или коснитесь приведенных ниже примеров схем, чтобы вызвать TINACloud, и выберите интерактивный режим DC, чтобы проанализировать их в Интернете.
Получите недорогой доступ к TINACloud для редактирования примеров или создания собственных схем

В этой и следующих главах мы представим очень важную тему: переменный ток или переменный ток. Название переменного тока не очень точное и обычно охватывает цепи с синусоидальными напряжениями и токами; однако переменный ток также может означать любую произвольную форму волны тока. Важность переменного напряжения заключается в том, что этот вид напряжения используется в качестве основного источника электроэнергии в домах и промышленности по всему миру. Это также основа для многих электронных, телекоммуникационных и промышленных приложений.

Для обработки синусоидальных сигналов и связанных с ними цепей мы будем использовать простой и элегантный метод, называемый методом векторов. Векторы основаны на свойствах комплексных чисел, которые идеально подходят для представления синусоидальных величин. В этой главе мы обобщим основные факты о комплексных числах и их действиях. Мы также покажем, как интерпретатор TINA позволяет легко выполнять вычисления с комплексными числами.

Комплексные числа состоят из двух частей: реальная часть (x), который является действительным числом, и так называемый мнимая часть (у), которое является действительным числом, умноженным на , мнимая единица, Комплексное число zСледовательно, можно описать как:

z = х + jy

Примеры комплексных чисел:

z 1 = 1 + j

Комплексные числа были первоначально введены в семнадцатом веке, чтобы представлять корни многочленов, которые не могли быть представлены только действительными числами. Например, корни уравнения х 2 + 2x + 2 = 0 можно описать только как и или используя обозначение , z1= 1 + j и z2= 1- j. Используя новые обозначения для исследования свойств выражений, математики смогли доказать теоремы и решить задачи, которые до этого были трудными, если не невозможными, решать. Это привело к разработке сложной алгебры и сложных функций, которые сейчас широко используются в математике и технике.

Геометрическое представление комплексных чисел

Прямоугольная форма

Поскольку комплексное число всегда можно разделить на его действительные и сложные части, мы можем представить комплексное число в виде точки на двумерной плоскости. Действительная часть комплексного числа — это проекция точки на действительную ось, а мнимая часть числа — это проекция на мнимую ось. Когда комплексное число представляется как сумма действительной и мнимой частей, мы говорим, что оно находится в прямоугольный or алгебраическая форма.

На следующем рисунке показано комплексное число z = 2 + 4j

Полярная и экспоненциальная форма

Как видно из рисунка выше, точка A также может быть представлена ​​длиной стрелки, r (также называемый абсолютным значением, величиной или амплитудой) и его углом (или фазой), φ относительно против часовой стрелки относительно положительной горизонтальной оси. Это полярный форма комплексного числа. Обозначается как r ∠ φ.

Следующий шаг очень важен. Комплексное число в полярной форме также может быть записано в экспоненциальный форма:

Это простое выражение отличается тем, что оно имеет мнимое число в показателе степени вместо обычного действительного числа. Эта сложная экспонента ведет себя совершенно иначе, чем экспоненциальная функция с реальным аргументом. В то время как е x быстро растет по величине при увеличении x> 0 и убывает при x

Формула Эйлера обеспечивает объединяющую связь между прямоугольной, полярной и экспоненциальной формами комплексных чисел:

z = х + jу = ре jφ = r (cos φ + j без φ )

и φ = загар -1 (У / х).

Для нашего примера выше, z = 2 + 4j:

φ = загар -1 (4 / 2) = 63.4 °

Вы должны быть опытными в использовании обеих форм, в зависимости от приложения. Например, сложение или вычитание, очевидно, легче выполнять, когда числа имеют прямоугольную форму, тогда как умножение и деление легче выполнять, когда числа имеют экспоненциальную форму.

Операции с комплексными числами

Операции, которые можно выполнять с комплексными числами, аналогичны операциям с действительными числами. Правила и некоторые новые определения приведены ниже.

Операции с J

Операции с j просто следуйте из определения мнимой единицы,

Чтобы работать быстро и аккуратно, вы должны запомнить следующие правила:

j 3 =-j

1/j знак равноj

Доказательство:

j 2 = -1 просто следует из определения , поскольку

Для 1 /jумножаем 1 /jby j / j = 1 и получить j/ (JJ) = j / (- 1) = —j.

Комплексное сопряжение

Комплексное сопряжение комплексного числа легко выводится и является весьма важным. Чтобы получить комплексное сопряжение комплексного числа в прямоугольной форме, просто измените знак мнимой части. Чтобы сделать это для числа в экспоненциальной форме, измените знак угла комплексного числа, сохраняя его абсолютное значение неизменным.

Комплексное сопряжение комплексного числа z часто обозначается z * .

Учитывая комплексное число z= А + jб, его комплексное сопряжение z * = a- jb.

If z дан в экспоненциальной форме, , его комплексное сопряжение

Используя приведенные выше определения, легко увидеть, что комплексное число, умноженное на его комплексное сопряжение, дает квадрат абсолютного значения комплексного числа:

ZZ * = г 2 = a 2 + b 2

Кроме того, добавляя или вычитая любое комплексное число и его сопряженное, мы получаем следующие отношения:

z + z * = 2a

Re (z) = a = ( z + z * ) / 2

zz * =j2b

Я(z) = b = ( zz * ) / 2j

Доказательство:

или умножая действительные и мнимые части и используя j 2 = -1

ZZ * = (А + jб) (а — jб) = а 2 +a jб — а jб — jbjб = а 2 j2 = a 2 + b 2

z + z * = А + jб + а — jb = 2a

z — z * = А + jб — а + jб =j2b

В прямоугольной форме:

z = 3 + j4

z * = 3- j4

ZZ * = 9 + 16 = 25

В полярной форме

z = 5 ∠ 53.13 °

z * = 5 ∠- 53.13 °

В показательной форме:

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание комплексных чисел является простым — нам нужно только добавить действительные и мнимые части отдельно. Например, если

z1 = 3 — 4j и z2 = 2 + 3j

z1 + z2 = 3 — 4j + 2 + 3j = 3 + 2 — 4j + 3j = 5 — j

z1 z2 = 3 — 4j — 2 — 3j = 3 — 2 — 4j -3j = 1 — j7

Очевидно, мы должны использовать прямоугольную форму для этих операций. Если числа даны в экспоненциальной или полярной форме, мы должны сначала преобразовать их в прямоугольную форму, используя формулу Эйлера, как указано ранее.

Умножение

Есть два метода умножения комплексных чисел:

Умножение комплексных чисел, приведенных в прямоугольной форме

Для выполнения операции просто умножьте действительные и мнимые части одного числа на действительные и мнимые части другого числа и используйте тождество j 2 = -1.

Когда комплексные числа даны численно, нет необходимости использовать формулу выше. Например, пусть

z1 = 3 — 4j и z2 = 2 + 3j

С прямым умножением компонентов:

z1z2 = (3 — 4j) (2 + 3j) = 6- 8j +9j + 12 = 18 + j

z1z2 = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Мы думаем, что вы, скорее всего, ошибетесь, если будете использовать формулу, чем если вы умножите компоненты напрямую.

z1: = 3-4 * J
z2: = 2 + 3 * J
z1 * z2 = [18 + 1 * J]

#Решение от Python:
импортировать математику как m
импортировать cmath как c

z1=комплекс(‘3-4j’)
z2=комплекс(‘2+3j’)
print(«z1*z2=»»,z1*z2)

Умножение комплексных чисел, приведенных в полярной или экспоненциальной форме

Чтобы выполнить эту операцию, умножьте абсолютные значения и сложите углы двух комплексных чисел. Позволять:

Тогда с помощью правила умножения показательных функций:

или в полярной форме

Примечание: мы уже использовали это правило при расчете ZZ * над. Поскольку угол сопряжения имеет противоположный знак исходного угла, комплексное число, умноженное на его собственное сопряжение, всегда является действительным числом; а именно, квадрат его абсолютного значения: ZZ * = г 2

z1 = 5 ∠ 30 ° и z2 = 4 ∠ -60 °

или в показательной форме

Умножение, очевидно, проще, когда числа находятся в полярной или экспоненциальной форме.

Однако, если комплексные числа даны в прямоугольной форме, вам следует рассмотреть возможность выполнения умножения напрямую, как показано выше, поскольку существуют дополнительные шаги, если вы преобразуете числа в полярную форму перед их умножением. Еще один фактор, который необходимо учитывать, — хотите ли вы, чтобы ответы были в прямоугольной форме или в полярной / экспоненциальной форме. Например, если два числа в прямоугольной форме, но вы хотите, чтобы их произведение было в полярной форме, имеет смысл немедленно преобразовать их, а затем умножить.

Есть два метода деления комплексных чисел:

Деление комплексных чисел дано в прямоугольной форме

Для выполнения операции умножьте числитель и знаменатель на сопряжение знаменателя. Знаменатель становится действительным числом, и деление сводится к умножению двух комплексных чисел и делению на действительное число, квадрат абсолютного значения знаменателя.

z1 = 3 — 4j и z2 = 2 + 3j

Давайте проверим этот результат с интерпретатором TINA:

z1: = 3-4 * J
z2: = 2 + 3 * J
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * J]

#Решение от Python:
импортировать математику как m
импортировать cmath как c

z1=комплекс(‘3-4j’)
z2=комплекс(‘2+3j’)
print(«z1/z2=»»,z1/z2)

Деление комплексных чисел, приведенных в полярной или экспоненциальной форме

Чтобы выполнить операцию, разделите абсолютные значения (величины) и вычтите угол знаменателя из угла числителя. Позволять:

затем с помощью правила деления показательных функций

или в полярной форме

z 1 = 5 ∠ 30 ° и z 2 = 2 ∠ -60 °

или в экспоненциальной и прямоугольной форме

Давайте проверим этот результат с интерпретатором TINA:

z1: = 5 * ехр (J * degtorad (30))
z2: = 2 * ехр (J * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * J]

#Решение от Python:
импортировать математику как m
импортировать cmath как c

z1=5*(c.exp(комплекс(0,м.радианы(30))))
z2=2*(c.exp(комплекс(0,м.радианы(-60))))
print(«z1/z2=»»,z1/z2)

Деление, очевидно, проще, когда числа находятся в полярной или экспоненциальной форме.

Однако, если комплексные числа даны в прямоугольной форме, вам следует рассмотреть возможность выполнения деления напрямую, используя метод комплексного сопряжения, как показано выше, поскольку существуют дополнительные шаги, если вы преобразуете числа в полярную форму перед их разделением. Еще один фактор, который необходимо учитывать, — хотите ли вы, чтобы ответы были в прямоугольной форме или в полярной / экспоненциальной форме. Например, если два числа находятся в прямоугольной форме, но вы хотите, чтобы их частное было в полярной форме, имеет смысл немедленно преобразовать их, а затем разделить.

Теперь давайте проиллюстрируем использование комплексных чисел более численными задачами. Как обычно, мы будем проверять наши решения с помощью интерпретатора TINA. Интерпретатор работает с радианами, но у него есть стандартные функции для преобразования радиан в градусы или наоборот.

Пример 1 Найдите полярное представление:

z = 12 — j 48

или 49.48 ∠ — 75.96 °

г: = 12-J * 48;
абс (г) = [49.4773]
дуга (г) = [- 1.3258]
radtodeg (дуга (г)) = [- 75.9638]

#Решение от Python:
импортировать математику как m
импортировать cmath как c

z=12-комплекс(48j)
print(«abs(z) arc(z) градусы(arc(z)) clear:both»>

Пример 2 Найдите прямоугольное представление:

z = 25 e j 125 °

г: = 25 * ехр (J * (degtorad (125)));
г = [- 14.3394 + 20.4788 * J]
Re (г) = [- 14.3394]
Im (г) = [20.4788]

#Решение от Python:
импортировать математику как m
импортировать cmath как c

z=25*c.exp(комплекс(0,м.радианы(125)))
печать(«z real(z)=»»,z.real)
print(«imag(z) clear:both»>

Пример 3 Найти полярное представление следующих комплексных чисел:

z 1 = 12 + j 48 z2 = 12 — j48 z3= -12 + j 48 z4= -12 — j 48

Абсолютные значения всех четырех чисел одинаковы, поскольку абсолютное значение не зависит от знаков. Только углы разные.

z1: = 12 + J * 48;
абс (z1) = [49.4773]
дуги (z1) = [1.3258]
radtodeg (дуга (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-J * 48;
абс (z2) = [49.4773]
дуги (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (дуга (z2)) = [- 75.9638]

z3: = — 12 + J * 48;
абс (z3) = [49.4773]
дуги (z3) = [1.8158]
radtodeg (дуга (z3)) = [104.0362]

z4: = — 12-J * 48:
абс (z4) = [49.4773]
дуги (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (дуга (z4)) = [- 104.0362]

#Решение от Python:
импортировать математику как m
импортировать cmath как c

z1=комплекс(’12+48j’)
print(«abs(z1) arc(z1) градусы(дуга(z1)) abs(z2) arc(z2) градусы(дуга(z2)) abs(z3) arc(z3) градусы(дуга(z3)) abs(z4) arc(z4) градусы(дуга(z4)) clear:both»>

Функция arc () TINA определяет угол любого комплексного числа, автоматически помещая его правильно в один из четырех квадрантов.

Будьте осторожны, используя загар -1 функция для нахождения угла, так как она ограничена возвращением углов только в первом и четвертом квадрантах (–90 °φ

С z1 находится в первом квадранте системы координат, расчет:

α 1 = загар -1 (48 / 12) = загар -1 (4) = 75.96 °

С z4 находится в третьем квадранте системы координат, tan -1 не возвращает угол правильно. Расчет угла составляет:

α 4 = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° или -360 ° + 255.96 ° = -104.04 °, что совпадает с расчетом TINA.

z2 находится в четвертом квадранте системы координат. Расчет угла:

α 2 = загар -1 (-48 / 12) = загар -1 (-4) = -75.96 °

z3, однако, находится в 2-ом квадранте системы координат, поэтому -1 неправильно возвращает угол. Расчет угла составляет:

α 3 = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

Пример 4 У нас есть два комплексных числа: z1= 4 — j 6 и z2 = 5 e j 45 ° .

Сначала мы решаем проблему с помощью интерпретатора TINA.

z1: = 4-J * 6;
z2: = 5 * ехр (J * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * J]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * J]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * J]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * J]

Обратите внимание, как TINA легко обрабатывает два комплексных числа, приведенные в разных формах.

Решение сложнее без переводчика. Чтобы мы могли сравнить различные методы умножения и деления, мы сначала определим полярную форму z1 и прямоугольная форма z2 .

Далее мы находим четыре решения, использующих сначала самые простые формы: прямоугольные для сложения и вычитания и экспоненциальные для умножения и деления:

z 3 = z1 + z2 = 4 — j 6 + 3.535 + j 3.535 = 7.535 — j2.465

z 4 = z1z2 = 4 — j 6 — 3.535 — j 3.535 = 0.465 — j9.535

z 5 = z1 * z2 = 7.21 * 5 * e j (-56.31 ° + 45 °) = 36.05 e –j11.31 ° = 36.03 * (cos (-11.31 °) +j* грех (-11.31 °))

z 5 = 35.33 — j 7.07

z 6 = z1/z2= (7.21 / 5) * e j (-56.31 ° -45 °) = 1.442 e – j 101.31 ° = 1.442 (cos (-101.31 °) +j* грех (-101.31 °))

z 6 = -0.2828 — j 1.414

которые согласны с результатами, полученными от переводчика TINA.

Умножение осуществляется в прямоугольной форме:

z 5 =z1*z2 = (4-j6) * 3.535 * (1 +j) = 7.07 * (2-j3) * (1 +j) = 7.07 * (2-j3+j2 + 3) = 7.07 * (5-j) = 35.35-j7.07

Окончательно деление осуществляется в прямоугольной форме:

которые согласны с предыдущими результатами.

сложные числа это какие числа?

Составное, или сложное, число — такое натуральное число, которые можно разложить на натуральные множители, отличные от 1. Например, 12=2*6.

Остальные ответы

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Составные числа

Из нескольких простых множителей складываются составные числа. О них и пойдет речь материале. Выясняем, какое наименьшее и наибольшее составное число и из каких значений состоит список составных чисел до 100

Счет в жизни человека присутствовал всегда. Для него первобытные люди использовали сначала пальцы рук. Затем – дополнительные приспособления, например узелки или веревочки. Позднее стали применять свойства чисел.

Еще в III веке до н. э. в своем известном труде «Начала» древнегреческий математик Евклид вводит понятие простых и составных чисел. Последним он дает такую характеристику: множество, составленное из единиц. К слову, в XIX веке такие числа называли еще сложными.

В шестом классе, когда ученики изучают признаки делимости числа, они знакомятся с основными свойствами простых и составных чисел. Ведь принципы их образования, главные закономерности ложатся в основу всех арифметических действий и геометрических доказательств. Считается, если ребенок поймет классификацию простых и составных чисел, то дальше все примеры и задачи по математике будут ему понятны.

Определение составных чисел

Составным называется любое натуральное число, которое имеет еще хотя бы один делитель, кроме себя и единицы.

Обратите внимание на примеры, чтобы понять разницу между простыми и составными числами

2 – это простое число. Оно делится на 1 и 2.

6 – это составное число. Оно делится на 1, 2, 3 и 6.

1 – число, которое не является ни простым, ни составным. У него только один делитель – 1.

это интересно
Натуральные числа
Их разряды, классы и свойства

Натуральные составные числа

Его пока нет, и вряд ли оно будет. Числа представляют собой бесконечность различных вариантов, которые можно расчленить на мелкие делители. Математики только выделяют самое большое простое число – здесь есть, за что бороться. Составные числа, будь то число Грэма (обозначают G64) или другие огромные числа, такого интереса не вызывают.

Натуральными составными числами являются все целые положительные числа, которые имеют два множителя больше единицы. При этом каждое составное число раскладывается на простые множители.

12 – составное число. Его можно представить как произведение двух натуральных чисел 3х4 или 6х2. В обеих парах есть простые и составные числа. Если разложить их на простые множители, получится так: 12 = 3х2х2.

77 – составное число. Его можно представить как произведение двух натуральных чисел 7х11. Оба они – простые. Значит, дальше их разложить не получится.

это интересно
Таблица составных чисел
Скачайте таблицу составных чисел и используйте ее при подготовке к урокам

Наименьшее составное число

Наименьшее составное число – 4. Оно имеет три делителя: 1, 2 и 4.

Список составных чисел до 100

Для систематизации использования натуральных чисел разработаны специальные таблицы простых и составных чисел. В частности, в таблицу составных чисел первой сотни входят 74 числа. Открывает ее наименьшее составное число 4. Замыкает число 100 с девятью делителями: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.

4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 20 21
22 24 25 26 27 28 30 32 33 34 35 36
38 39 40 42 44 45 46 48 49 50 51 52
54 55 56 57 58 60 62 63 64 65 66 68
69 70 72 74 75 76 77 78 80 81 82 84
85 86 87 88 90 91 92 93 94 95 96 98
99 100

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Павел Бучко, академический директор по математике онлайн-школы Skysmart.

Как определить, составное число или нет?

Все натуральные числа, которыми мы пользуемся при счете, делятся на три типа: простые, составные и единица. Простые числа – это те, что делятся без остатка только на 1 и на само себя. Например, числа 2, 3, 5, 53 будут простыми. Составные числа – это числа, которые имеют еще делители, помимо 1 и самого себя. Например, число 4 можно разделить без остатка на 2.

Определить, является ли число составным или простым, довольно легко, если оно небольшое. Можно использовать простой перебор: будем делить наше число на все числа меньше искомого и, если мы найдем хотя бы одно, на которое можно разделить без остатка, – значит, наше число является составным, иначе оно простое. Однако этот алгоритм очень громоздкий даже для небольших чисел, поэтому можно использовать перебор простых делителей: когда мы последовательно делим проверяемое число на простые числа от 2 до квадратного корня из проверяемого числа.

Например, мы хотим проверить является ли число 83 простым или составным, тогда мы последовательно делим его на 2, 3, 5, 7 и выясняем, что оно не делится ни на одно из этих чисел, а значит, является простым. При этом число 11 уже можно не брать, потому что 11х11 = 121, что больше 83.

Этот алгоритм не используется в практических задачах из-за большой вычислительной сложности. А для определения простоты очень больших чисел (больше, чем 10 в 100 степени) задача становится крайне сложной и требует больших вычислительных мощностей и времени работы.

Для чего математики используют составные числа?

Составные числа используются в криптографии: при шифровании информации в алгоритмах электронной цифровой подписи. Например, благодаря таким числам, мы можем безопасно делать покупки в интернете.

Можно ли запомнить все составные числа?

Составных чисел, как и простых, бесконечное множество, поэтому запомнить их все невозможно. Однако можно помнить несколько простых чисел (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 и 31), чтобы проверить любое число до 1000 на простоту, пользуясь алгоритмом выше.

Простые и составные числа, определения, примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена

В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.

Простые и составные числа – определения и примеры

Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *