Что такое независимые начальные условия
Перейти к содержимому

Что такое независимые начальные условия

  • автор:

№56 Начальные условия переходного процесса.

Начальными условиями называются мгновенные значения отдельных токов и напряжений, а также их первых, вторых и т.д. производных в начале переходного процесса, т.е. в момент коммутации при t=0. Начальные условия делятся на 2 вида: независимые и зависимые.

К независимым начальным условиям относятся токи в катушках iL(0) и напряжения на конденсаторах uC(0). Независимые начальные условия определяются законами коммутации, они не могут измениться скачкообразно и не зависят от вида коммутации. Их значения определяются из расчета схемы цепи в установившемся докоммутационном режиме на момент коммутации t=0.

Пример. Определить независимые начальные условия iL(0), uC(0) в схеме рис. 56.1 при заданных значениях параметров элементов: R1=50 Ом, L=100 мГн, R2=100 Ом, C=50мкФ, а)для постоянной ЭДС e(t)=E=150 В = const; б)для синусоидальной ЭДС e(t) =150sinωt, f=50 Гц.

а) При постоянной ЭДС источника e(t)=E расчет схемы производится как для цепи постоянного тока: катушка L закорачивается, ветвь с конденсатором С размыкается, учитываются только резистивные элементы R.

Независимые начальные условия: iL(0)=1 A , UС(0)=100 В.

б) При синусоидальной ЭДС источника e(t)=Еmsinωt расчет схемы производится как для цепи переменного тока в комплексной форме для комплексных амплитуд функций.

Независимые начальные условия

К зависимым начальным условиям относятся значения всех остальных токов и напряжений, а так же значения производных от всех переменных в момент коммутации при t=0. Зависимые начальные условия могут изменяться скачкообразно, их значения зависят от вида и места коммутации.

Зависимые начальные условия определяются на момент коммутации t=0 из системы дифференциальных уравнений (уравнений Кирхгофа), составленных для схемы в состоянии после коммутации, путем подстановки в них найденных ранее независимых начальных условий.

Для рассматриваемой схемы рис. 56.1 система дифференциальных уравнений имеет вид:

а) При постоянной ЭДС источника e(t)=E=const зависимые начальные условия будут равны:

Для определения начальных условий для вторых производных исходные дифференциальные уравнения дифференцируют почленно по переменной t и подставляют в них найденные на предыдущем этапе значения зависимых начальных условий, и т.д.

б) При синусоидальной ЭДС источника e(t)=Еmsinωt зависимые начальные условия определяются точно также, как и для цепи с источником постоянной ЭДС.

Начальные условия используются при расчете переходных процессов любым методом.

Независимые начальные условия

Независимые начальные условия — электрические параметры, которые не изменяются скачком в момент коммутации, то есть, остаются неизменными в начале переходного процесса в электрической цепи.

Согласно законам коммутации, скачком не могут изменяться напряжения на ёмкостях и токи в индуктивностях. Поэтому значения этих величин в начале коммутации называются независимыми начальными условиями. Они не зависят от условий коммутации.

Все остальные величины — напряжения и токи на активных сопротивлениях, токи через ёмкости, напряжения на индуктивностях — в момент коммутации могут изменяться скачком (а могут и не изменяться). Значения этих величин в начале переходного процесса называются зависимыми начальными условиями.

Определение начальных независимых условий необходимо осуществить до начала расчёта переходного процесса, например, с помощью законов Ома и Кирхгофа, с помощью метода контурных токов и др.

Литература

  • Бессонов Л.А. Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях // Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: учебник. — 11-е изд., перераб. и доп.. — М .: «Гардарики», 2007. — С. 231, 235-236. — 701 с. — 5000 экз. — ISBN 5-8297-0046-8, ББК 31.21, УДК 621.3.013(078.5)
  • Электрические явления

Wikimedia Foundation . 2010 .

  • Независимая психиатрическая ассоциация
  • Независимый предприниматель Amway

Полезное

Смотреть что такое «Независимые начальные условия» в других словарях:

  • Классический метод расчёта переходных процессов — Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии. Название метода «классический» отражает использование в нем решений дифференциальных уравнений … Википедия
  • Операторные сопротивления — Операторные сопротивления отображение реальных электрических сопротивлений с помощью методов операционного исчисления, применяемое в операторном методе расчёта переходных процессов в электрических цепях. При преобразовании электрической… … Википедия
  • Операторный метод расчёта переходных процессов — Операторный метод это метод расчёта переходных процессов в электрических цепях, основанный на переносе расчёта переходного процесса из области функций действительной переменной (времени t) в область функций комплексного переменного (либо… … Википедия
  • Корреляция — (Correlation) Корреляция это статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин Понятие корреляции, виды корреляции, коэффициент корреляции, корреляционный анализ, корреляция цен, корреляция валютных пар на Форекс Содержание… … Энциклопедия инвестора
  • Коэффициент корреляции — (Correlation coefficient) Коэффициент корреляции это статистический показатель зависимости двух случайных величин Определение коэффициента корреляции, виды коэффициентов корреляции, свойства коэффициента корреляции, вычисление и применение… … Энциклопедия инвестора
  • КАРТОГРАФИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ — задачи, возникающие при построении математич. основы географических и специальных карт, именно, при разработке теории картографических проекций, исследовании их свойств, преобразований, методов изысканий и др. Поверхность Земли при этом принимают … Математическая энциклопедия
  • КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, в к ром изучаются функции при дискретном изменении аргумента, в отличие от дифференциального и интегрального исчислений, где аргумент изменяется непрерывно. Пусть функция y=f(x)задана в точках xk=x0+kh(h постоянная, к целое).… … Математическая энциклопедия
  • Дифференциальное уравнение в частных производных — (частные случаи также известны как уравнения математической физики, УМФ) дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные. Содержание 1 Введение 2 История … Википедия
  • Переходные процессы в электрических цепях — … Википедия
  • Дифференциальные уравнения — I Дифференциальные уравнения уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные. Теория Д. у. возникла в конце 17 в. под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин,… … Большая советская энциклопедия
  • Обратная связь: Техподдержка, Реклама на сайте
  • �� Путешествия

Экспорт словарей на сайты, сделанные на PHP,
WordPress, MODx.

  • Пометить текст и поделитьсяИскать в этом же словареИскать синонимы
  • Искать во всех словарях
  • Искать в переводах
  • Искать в ИнтернетеИскать в этой же категории

8.1.3. Начальные условия

Значения величин при (начальные условия) разделяют на зависимые и независимые. Начальные условия, вытекающие из законов коммутации, называют независимыми начальными условиями. Они получаются из расчета установившегося режима до коммутации. Все остальные начальные условия называют зависимыми. Они вычисляются по законам Кирхгофа из схем замещения, составленных для момента времени .

Правила составления схем замещения кратко можно сформулировать следующим образом. При нулевых начальных условиях в момент коммутации катушка ведет себя как разрыв, а конденсатор – как короткое замыкание (рис. 8.3). При ненулевых начальных условиях в момент коммутации катушку можно рассматривать как источник тока , а конденсатор как источник э.д.с. (рис. 8.4). Все остальные элементы цепи переносятся на схему замещения без изменения.

Далее приведем примеры вычисления зависимых и независимых начальных условий.

Построить эквивалентную схему замещения цепи для расчета зависимых начальных условий в цепи, показанной на рис. 8.5,а.

В момент согласно законам коммутации сохраняются значения тока через катушку и напряжения на конденсаторе . Поэтому в момент коммутации катушка равносильна источнику тока , а конденсатор – источнику э.д.с. .

В схеме замещения (рис. 8.5,б) ключ находится в положении после коммутации . При этом источник тока направляют вдоль тока , а источник , в соответствии с принципом компенсации, навстречу напряжению . Э.д.с. внешнего источника в схеме замещения принимает значение , соответствующее моменту времени .

Необходимо отметить, схема (рис. 8.5,б) справедлива только для момента и поэтому не содержит реактивных элементов. Для расчета схемы замещения можно воспользоваться любым из рассмотренных ранее методов (см. главу 2).

Цепь (рис. 8.6) подключена к источнику постоянного напряжения U. Определить значения токов и напряжение на емкости в момент времени , если заданы сопротивления , .

Считаем, что до коммутации был

установившийся режим, в котором конденсатору соответствует разрыв цепи (рис. 8.7,а). Таким образом, токи

Тогда напряжение на конденсаторе в установившемся режиме до коммутации

По закону коммутации для конденсатора .

Схема замещения для расчета начальных условий показана на рис. 8.7,б. Начальные условия вычисляются из системы уравнений по законам Кирхгофа:

Таким образом, значения токов в момент времени :

Значения токов и напряжений в момент времени не зависят от величин реактивных параметров.

Цепь (рис. 8.8) подключается к источнику постоянного напряжения U. определить значения токов и их первых производных в момент времени , если заданы параметры элементов R, L, C.

Независимые начальные ус-

ловия определяются из установившегося режима до коммутации: , .

Для расчета зависимых начальных условий составим систему уравнений Кирхгофа для момента времени :

Решаем систему с учетом законов коммутации: ; . В результате получаем

Из уравнения (8.6) находим производную

Из дифференциального соотношения , определяем производную напряжения на емкости:

Продифференцируем уравнения (8.5) и (8.7) и запишем их для :

Из полученных соотношений находятся недостающие производные:

К цепи (рис. 8.9,а) приложено синусоидальное напряжение В. Определить начальные значения тока в катушке индуктивности, напряжения на конденсаторе и их производных в момент времени , если параметры элементов цепи: =10 Ом; =20 мГн; =100 мкФ.

1. Для расчета тока через катушку и напряжения на конденсаторе в установившемся режиме до коммутации (рис. 8.9,б) применим символический метод. Индуктивное и емкостное сопротивления:

Комплекс амплитудного значения входного напряжения В. Тогда, применяя закон Ома в комплексной форме, получаем

Временные зависимости тока в катушке и напряжения на конденсаторе имеют вид:

В момент коммутации значения этих функций:

Зависимые начальные условия определяем по схеме замещения (рис. 8.10) для момента времени . Начальные условия для напряжения на конденсаторе нулевые, поэтому конденсатору на схеме замещения соответствует закоротка и . Начальные условия для тока через катушку индуктивности ненулевые и на схеме замещения катушке соответствует источник тока А. Приложенное напряжение

Используя уравнение по второму закону Кирхгофа, получаем напряжение на катушке: . Значения производных тока через катушку и напряжения на конденсаторе легко получить из уравнений элементов:

Переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод расчета переходных процессов.

При всех изменениях в электрической цепи: включении, выключении, коротком замыкании, колебаниях величины какого-либо параметра и т.п. – в ней возникают переходные процессы, которые не могут протекать мгновенно, так как невозможно мгновенное изменение энергии, запасенной в электромагнитном поле цепи. Таким образом, переходный процесс обусловлен несоответствием величины запасенной энергии в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора ее значению для нового состояния цепи.

При переходных процессах могут возникать большие перенапряжения, сверхтоки, электромагнитные колебания, которые могут нарушить работу устройства вплоть до выхода его из строя. С другой стороны, переходные процессы находят полезное практическое применение, например, в различного рода электронных генераторах. Все это обусловливает необходимость изучения методов анализа нестационарных режимов работы цепи.

Основные методы анализа переходных процессов в линейных цепях:

  1. Классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи.
  2. Операторный метод, заключающийся в решении системы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам.
  3. Частотный метод, основанный на преобразовании Фурье и находящий широкое применение при решении задач синтеза.
  4. Метод расчета с помощью интеграла Дюамеля, используемый при сложной форме кривой возмущающего воздействия.
  5. Метод переменных состояния, представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого прядка, записанных в нормальной форме (форме Коши).

Классический метод расчета

Классический метод расчета переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе.

В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдельных элементах цепи соотношениями, приведенными в табл. 1.

Таблица 1. Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах электрической цепи

Резистор (идеальное активное сопротивление)

Катушка индуктивности (идеальная индуктивность)

при наличии магнитной связи с катушкой, обтекаемой током ,

Для последовательной цепи, содержащей линейные резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор С, при ее подключении к источнику с напряжением u (см. рис. 1) можно записать

Подставив в (1) значение тока через конденсатор

получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно

В общем случае уравнение, описывающее переходный процесс в цепи с n независимыми накопителями энергии, имеет вид:

где х – искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и т.п.); — известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии); — к-й постоянный коэффициент, определяемый параметрами цепи.

Порядок данного уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей и соответственно емкостей элементов, соединения между которыми являются последовательными или параллельными.

В общем случае порядок дифференциального уравнения определяется соотношением

где и — соответственно число катушек индуктивности и конденсаторов после указанного упрощения исходной схемы; — число узлов, в которых сходятся только ветви, содержащие катушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа ток через любую катушку индуктивности в этом случае определяется токами через остальные катушки); — число контуров схемы, ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в этом случае определяется напряжениями на других).

Наличие индуктивных связей на порядок дифференциального уравнения не влияет.

Как известно из математики, общее решение уравнения (2) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, получаемого из исходного путем приравнивания его левой части к нулю. Поскольку с математической стороны не накладывается каких-либо ограничений на выбор частного решения (2), применительно к электротехнике в качестве последнего удобно принять решение , соответствующее искомой переменной х в установившемся послекоммутационном режиме (теоретически для ).

Частное решение уравнения (2) определяется видом функции , стоящей в его правой части, и поэтому называется принужденной составляющей. Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников принужденная составляющая определяется путем расчета стационарного режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных ранее методов расчета линейных электрических цепей.

Вторая составляющая общего решения х уравнения (2) – решение (2) с нулевой правой частью – соответствует режиму, когда внешние (принуждающие) силы (источники энергии) на цепь непосредственно не воздействуют. Влияние источников проявляется здесь апосредованно через энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и конденсаторов. Данный режим работы схемы называется свободным, а переменная — свободной составляющей.

В соответствии с вышесказанным, . общее решение уравнения (2) имеет вид

Соотношение (4) показывает, что при классическом методе расчета послекоммутационный процесс рассматривается как наложение друг на друга двух режимов – принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса.

Необходимо подчеркнуть, что, поскольку принцип наложения справедлив только для линейных систем, метод решения, основанный на указанном разложении искомой переменной х, справедлив только для линейных цепей.

Начальные условия. Законы коммутации

В соответствии с определением свободной составляющей в ее выражении имеют место постоянные интегрирования , число которых равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые принято делить на независимые и зависимые. К независимым начальным условиям относятся потокосцепление (ток) для катушки индуктивности и заряд (напряжение) на конденсаторе в момент времени (момент коммутации). Независимые начальные условия определяются на основании законов коммутации (см. табл. 2).

Таблица 2. Законы коммутации

Первый закон коммутации (закон сохранения потокосцепления)

Магнитный поток, сцепленный с катушками индуктивности контура, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .

Второй закон коммутации (закон сохранения заряда)

Электрический заряд на конденсаторах, присоединенных к любому узлу, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .

Доказать законы коммутации можно от противного: если допустить обратное, то получаются бесконечно большие значения и , что приводит к нарушению законов Кирхгофа.

На практике, за исключением особых случаев (некорректные коммутации), допустимо использование указанных законов в другой формулировке, а именно:

первый закон коммутации – в ветви с катушкой индуктивности ток в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

второй закон коммутации – напряжение на конденсаторе в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

Необходимо подчеркнуть, что более общей формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности – потокосцеплений, а для схем с конденсаторами – зарядов на них. В качестве иллюстрации сказанному могут служить схемы на рис. 2, переходные процессы в которых относятся к так называемым некорректным коммутациям (название произошло от пренебрежения в подобных схемах малыми параметрами, корректный учет которых может привести к существенному усложнению задачи).

Действительно, при переводе в схеме на рис. 2,а ключа из положения 1 в положение 2 трактование второго закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе приводит к невыполнению второго закона Кирхгофа . Аналогично при размыкании ключа в схеме на рис. 2,б трактование первого закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения тока через катушку индуктивности приводит к невыполнению первого закона Кирхгофа . Для данных схем, исходя из сохранения заряда и соответственно потокосцепления, можно записать:

Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений, а также производных от искомой функции в момент коммутации, определяемые по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для . Необходимое число начальных условий равно числу постоянных интегрирования. Поскольку уравнение вида (2) рационально записывать для переменной, начальное значение которой относится к независимым начальным условиям, задача нахождения начальных условий обычно сводится к нахождению значений этой переменной и ее производных до (n-1) порядка включительно при .

Пример. Определить токи и производные и в момент коммутации в схеме на рис. 3, если до коммутации конденсатор был не заряжен.

В соответствии с законами коммутации

На основании второго закона Кирхгофа для момента коммутации имеет место

Для известных значений и из уравнения

Значение производной от напряжения на конденсаторе в момент коммутации (см. табл. 1)

Корни характеристического уравнения. Постоянная времени

Выражение свободной составляющей общего решения х дифференциального уравнения (2) определяется видом корней характеристического уравнения (см. табл. 3).

Таблица 3. Выражения свободных составляющих общего решения

Вид корней характеристического уравнения

Выражение свободной составляющей

Корни вещественные и различные

Корни вещественные и

Пары комплексно-сопряженных корней

Необходимо помнить, что, поскольку в линейной цепи с течением времени свободная составляющая затухает, вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными.

При вещественных корнях монотонно затухает, и имеет место апериодический переходный процесс. Наличие пары комплексно сопряженных корней обусловливает появление затухающих синусоидальных колебаний ( колебательный переходный процесс ).

Поскольку физически колебательный процесс связан с периодическим обменом энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, комплексно-сопряженные корни могут иметь место только для цепей, содержащих оба типа накопителей. Быстроту затухания колебаний принято характеризовать отношением

которое называется декрементом колебания, или натуральным логарифмом этого отношения

называемым логарифмическим декрементом колебания, где .

Важной характеристикой при исследовании переходных процессов является постоянная времени t , определяемая для цепей первого порядка, как:

где р – корень характеристического уравнения.

Постоянную времени можно интерпретировать как временной интервал, в течение которого свободная составляющая уменьшится в е раз по сравнению со своим начальным значением. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго. Однако на практике считается, что он заканчивается при

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

  1. Чем обусловлены переходные процессы?
  2. Как определяется порядок дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс?
  3. Для каких цепей применим классический метод расчета переходных процессов?
  4. Доказать законы коммутации: и — с энергетических позиций.
  5. В каких цепях и почему возможен колебательный процесс?
  6. Определить величину токов и напряжений на конденсаторе и на катушке индуктивности в момент коммутации в цепи на рис. 4, если .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *