Что такое непериодическая функция
Перейти к содержимому

Что такое непериодическая функция

  • автор:

Непериодическая функция.

Для непериодической функции спектр становится непрерывным.

При устремлении периода в бесконечность, ряд Фурье переходит в интеграл Фурье, а коэффициенты Фурье переходят в преобразование Фурье по следующей формуле:

(21)

Интеграл Фурье следует понимать, как разложение Фурье x(t) по непрерывным частотам.

Теперь, наконец, покажем, что имеется важнейшая связь между непрерывным спектром (преобразованием Фурье) и преобразованием Лапласа, лежащая в основе известной подстановки p=j. В самом деле, так как x(t)0 при t < 0 (функия является оригиналом для преобразования Лапласа), то:

Вывод: Подстановка p=j в изображение по Лапласу произвольной функции (оригинала) превращает преобразование Лапласа в спектр или, что есть то же самое, в преобразование Фурье. Поэтому от передаточной функции переходим к спектрам входного и выходного сигналов.

Y(p)=W(p)U(p) при подстановке p=j:

W(j) явно описывает изменение спектра при прохождении через блок с передаточной функцией W(p). Формула (23) справедлива для любого входного сигнала. Но, так как произвольный сигнал модет быть разложен по гармоническим составляющим (в ряд или интеграл Фурье, в зависимости от периодичности), особенно важно знать, как преобразуется простейший гармонический сигнал при прохождении через блок с ПФ W(p). Известно, что при поступлении на вход линейного блока с любой передаточной функцией гармонического сигнала после окончания переходного процесса на выходе устанавливается гармонический сигнал той же частоты. Конечно, требуется, чтобы переходный процесс заканчивался, то есть, чтобы решение однородного уравнения в формуле (24) стремилось к 0.

(24)

Из (24) следует, что при подаче на вход блока простого гармонического сигнала u(t)=sin t, выходной сигнал в установившемся режиме будет гармоническим с изменившимися амплитудой и фазой. Воспользуемся комплексным методом для определения амплитуды и фазы y(t). u(t)=Im(e j  t ); y(t)= L -1 W(p)L; Но оператор Лапласа и его обратный переставимы с операцией взятия Im-мнимой части. Поэтому: y(t)=Im(L -1 W(p)L); Соответственно: Y(p)=Im(W(p)L);

Сделаем подстановку p=j: Y(j)=A()L=Im(W(j)L); A()L=A()e j  (  ) L< e j  t >; Теперь можно вычислить АФЧХ:

W(j) = Y(j)/U(j)= A()e j  (  ) e j  t / e j  t = A()e j  (  ) — АФЧХ;

W(j) = |W(j)| e i arg W(j  ) =|W(j)| e i  (  ) ; (25)

Где: |W(j)| — АЧХ — Амплитудно–частотная характеристика;

()=arg W(j) — ФЧХ — Фазочастотная характеристика.

ImW(j)

Частотные характеристики показывают

амплитуду и фазу установившегося

 ReW(j) гармонического сигнала на выходе при

поступлении на вход гармонического

() =0 сигнала единичной амплитуды.

A() АФЧХ удобно изображать в виде

годографа (греч. hodos — путь + «граф»)

 * на комплексной плоскости с координатами ReW() и ImW().

Параметром на кривой годографа является частота, изменяющаяся в интервале от 0 до . Для произвольной частоты  * радиус вектор в точке W( * ) показывает амплитуду выходного сигнала, а угол ( * ) — сдвиг фазы между выходным и входным сигналом. Иногда ещё W(j) называют комплексным коэффициентом передачи, подразумевая, что АФЧХ является обобщением обычного коэффициента усиления К на случай его зависимости от частоты и имеющийся фазовый сдвиг, также зависящий от частоты.

В инженерной практике иногда используются (однако, гораздо реже) графики отдельно АЧХ и ФЧХ (25). В этом случае проще проследить конкретную зависимость от частоты, так как частота является координатой этих графиков. Но чаще всего используют логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ), то есть графики ЛАЧХ и ФЧХ в логарифмических координатах. Удобство их применения станет понятным далее.

ЛАЧХ: L() (дб) = 20lg|W(j)|

ФЧХ:  () = arg W(j) (26)

Доказательства непериодичности функций

Математика, решение онлайн.

Доказательства непериодичности функций

В обычных школьных задачах доказать периодичность той или иной функции обычно нетрудно: так, чтобы убедиться, что функция $y=sin\frac34 x+sin\frac27 x$ является периодической, достаточно просто отметить, что произведение $T=4\times7\times 2\pi$ является ее периодом: если мы прибавим к х число Т, то это произведение «съест» оба знаменателя и под знаком синуса окажутся лишними только целые кратные числа $2\pi$, которые «съест» сам синус.

Но доказательство непериодичности той или иной функции непосредственно по определению периодической функции может оказаться совсем не простым. Так, для доказательства непериодичности рассмотренной выше функции $y=\sin x^2$ можно выписать равенство $sin(x+T)^2=\sin x^2$, но не решать по привычке это тригонометрическое уравнение, а догадаться подставить в него х=0, после чего дальнейшее получится почти автоматически: $\sin T^2=0$, $T^2=k\pi$, где k — некоторое целое число, большее 0, т.е. $T=\sqrt $, а если теперь догадаться подставить в него $x=\sqrt <\pi>$, то получится, что $\sin(\sqrt<\pi>+\sqrt)=0$, откуда $\sqrt<\pi>+\sqrt=n\pi$, $1+\sqrt=n\sqrt<\pi>$, $1+k+2\sqrt=n^2\pi$, $2\sqrt=n^2\pi-1-k=n^2\pi=m$, $4k=n^4<\pi>^2+2mn^2x+m^2$, и таким образом, число р является корнем уравнения $n^4x^2+2mn^2\pi+m^2-4k=0$, т.е. является алгебраическим, что неверно: $\pi$ является, как мы знаем, трансцендентным, т.е. не является корнем никакого алгебраич­ской уравнения с целыми коэффициентами. Впрочем, в будущем мы получим гораздо более простое доказательство этого утверждения — но уже с помощью средств математического анализа.

При доказательстве непериодичности функций часто помогает элементарный логический трюк: если все периодические функции обладают некоторым свойством, а данная функция им не обладает, то она, естественно, не является периодической. Так, периодическая функция всякое свое значение принимает бесконечно много раз, и поэтому, например, функция $y=\frac$ не является периодической, так как значение 7 она принимает только в двух точках. Часто для доказательства непериодичности удобно использовать особенности ее области определения, а для нахождения нужного свойства периодических функций иногда приходится проявлять определенную фантазию.

Заметим еще, что очень часто на вопрос, что же такое непериодическая функция, приходится слышать ответ в стиле, о котором мы говорили в связи с четными и нечетными функциями, — это когда $f(x+T)\neq f(x)$, что, конечно же, недопустимо.

А правильный ответ зависит от конкретного определения периодической функции, и, исходя из данного выше определения, можно, конечно, сказать, что функция является непериодической, если она не имеет ни одного периода, но это будет «плохое» определение, которое не дает направления доказательства непериодичности. А если его расшифровать далее, описав, что значит предложение «функция f не имеет ни одного периода», или, что то же самое, «никакое число $T \neq 0$ не является периодом функции f», то получим, что функция f не является периодической в том и только в том случае, когда для всякого $T \neq 0$ существует число $x\in D(f)$ такое, что либо хотя бы одно из чисел $x+T$ и $x-T$ не принадлежит D(f), либо $f(x+T)\neq f(x)$.

Можно сказать и иначе: «Существует число $x\in D(f)$ такое, что равенство $f(x+T) = f(x)$ не выполняется» — это равенство может не выполняться по двум причинам: или оно не имеет смысла, т.е. одна из его частей не оп­ределена, или — в противном случае, быть неверным. Для интереса добавим, что языковой эффект, о котором мы говорили выше, здесь проявляется тоже: для равенства «не быть верным» и «быть неверным» — не одно и то же — равенство еще может не иметь смысла.

Детальное выяснение причин и последствий этого языкового эффекта в действительности является предметом не математики, а теории языка, лингвистики, точнее, ее особого раздела: семантики — науки о смысле, где, впрочем, эти вопросы являются весьма сложными и не имеют однозначного решения. А математика, в том числе и школьная, вынуждена мириться с этими трудностями и преодолевать языковые «неурядицы» — пока и поскольку она использует, наряду с символическим, и естественный язык.

Материалы по теме:

  • Периодические функции
  • Симметрии графиков функций
  • Функции четные и нечетные
  • Нигде не определенная функция

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

периодичность функции

На страницу 1 , 2 След.

периодичность функции
02.12.2013, 21:45

Последний раз редактировалось newnewnewmath 02.12.2013, 21:51, всего редактировалось 5 раз(а).

подскажите, как доказать в общем случае, что функция непериодична? Допустим, можно взять $x=0$, получить уравнение для $T$, затем взять $x=T$, и получить еще одно уравнение для $T$. А затем, приравняв, если $T=0$— единственный корень, то функция не является периодической, так?
Вот еще — если мы можем найти $T$из этих двух уравнений, то все положительные и не равные нулю $T$будут потенциальными периодами функции? Т. е. чтобы доказать, что функция не периодическая, нам надо доказать, что отношения их представляют нецелые числа?

Re: периодичность функции
02.12.2013, 22:39

Последний раз редактировалось SteelRend 02.12.2013, 23:11, всего редактировалось 1 раз.

написал тут по ошибке
Re: периодичность функции
02.12.2013, 23:21

Заслуженный участник

В принципе, можно и так. Вот, например, для $y=x$достаточно взять $x=0$, чтобы получить $T=0$. Возможно, есть функции, где понадобится именно две точки. Ах да, парабола. Возможно, есть такие, где придётся рассматривать три или больше, хотя примеров не приведу. Можно попробовать решить сразу $f(x+T)=f(x)$, выразить $T=T(x)$и доказать, что это не константа. В общем, способов есть.

Re: периодичность функции
02.12.2013, 23:25

Последний раз редактировалось newnewnewmath 02.12.2013, 23:28, всего редактировалось 2 раз(а).

просто я сделал так, и выяснилось(для уравнения третьей степени), что помимо $T=0$, который встретился дважды, есть еще и некоторый $T<0$. Т.е. если при решении ни один $T$не может быть периодом по определению, то функция непериодическая?
А то, что я написал во втором абзаце — верно?

$x$

насчет константы — я читал насчет этого, но смутился — ведь константа — тот же параметр в уравнении с параметром, который тоже казалось бы, выражается через , но однако же не зависит от него.

Re: периодичность функции
03.12.2013, 00:14

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось arseniiv 03.12.2013, 00:14, всего редактировалось 1 раз.

newnewnewmath в сообщении #795615 писал(а):

$T<0$

есть еще и некоторый

$T></p>
<p>Который после смены иксов местами превращается в 0$» />, так что отрицательность ни о чём не говорит сама по себе.</p>
<p><b>Re: периодичность функции</b><br />
03.12.2013, 07:41<br />
можете пояснить, какие иксы меняются местами? И как тогда делать?<br />
<b>Re: периодичность функции</b><br />
03.12.2013, 12:38</p>
<table cellspacing= Заслуженный участник

Последний раз редактировалось arseniiv 03.12.2013, 12:48, всего редактировалось 3 раз(а).

А как вы находили?

— Вт дек 03, 2013 15:46:09 —

Если вашим методом проверить периодичность сразу всех функций $f,\; f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$, то получится $f(0)=f(T) \Leftrightarrow T(aT^2 + bT + c) = 0$, что не всегда имеет два нулевых корня и отрицательный. Может быть по-всякому. При этом надо иметь в виду, что в частном случае $a=b=c=0$эта функция (получается константа) периодична, но не имеет минимального периода.

— Вт дек 03, 2013 15:48:45 —

Всё же лучше находить корни $f(x) = f(x+T)$, не зависящие от $x$и не равные нулю.

Re: периодичность функции
03.12.2013, 18:30

Последний раз редактировалось newnewnewmath 03.12.2013, 18:33, всего редактировалось 2 раз(а).

а ведь и правда, не подумал.
А какие корни «не зависящие от $x$и не равные нулю» имеются в виду? $T$, так?
А вот еще можно ли так — если не при всех $x$выполняется $f(x) = f(x+T)$, то функция не периодическая?

Re: периодичность функции
03.12.2013, 18:54

Заслуженный участник

$T$

А что такое в последнем равенстве?

Re: периодичность функции
03.12.2013, 19:34

$T$

— период функции, если таковой существует

Re: периодичность функции
03.12.2013, 21:33

Заслуженный участник

$T$

Ну, дык! Вы же его еще не знаете? Более того, подозреваете, что его нет? Как же вы несуществующее в уравнение будете подставлять?

$\forall,\exists$

Подсказка: в логике есть такие кванторы , . Знаете их?

Re: периодичность функции
03.12.2013, 22:36

Последний раз редактировалось newnewnewmath 03.12.2013, 22:39, всего редактировалось 1 раз.

функция-то определена в точке $x=T$.
а значит, можем определить значения функции при некотором $T$

ну, про кванторы знаю, а что?

Re: периодичность функции
03.12.2013, 23:16

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось svv 03.12.2013, 23:16, всего редактировалось 1 раз.

$f(x)=\sin x$

Берем функцию . Хотим узнать, периодическая она или нет.
Если это неизвестно, т.е. неизвестно, есть ли период вообще, — то нет смысла говорить, чему равен период.

Но мне всё равно. Я беру некоторое $T$, например $T=\frac\pi 2$. Беру $x=0$. Подставляю в равенство и вижу:
$f(x)=\sin x=\sin 0=0$
$f(x+T)=\sin(x+T)=\sin (0+\frac \pi 2)=1$
Блин. Не равны.

Вывод? Синус — функция непериодическая?

Re: периодичность функции
04.12.2013, 01:01

Заслуженный участник

newnewnewmath в сообщении #795993 писал(а):

$x=T$

функция-то определена в точке .

Хм. Ну, если функция определена всюду на прямой, вроде, она должны быть определена и в точке . А что, если такого не существует? Определена «в нем» наша функция?

Re: периодичность функции
05.12.2013, 11:50

Последний раз редактировалось newnewnewmath 05.12.2013, 12:48, всего редактировалось 9 раз(а).

функция определена везде, значит, и в точке $x=T$тоже. Другое дело, подходит ли это $T$в качестве значения периода.
Вот, например для функций, содержащих $x$в натуральных степенях, допустим таких, как $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ведь можно сказать, что они вообще пересекают ось $x$определённое число раз, т.е. имеют «небесконечное» число корней, и значит, они непериодические. А верно ли это, если подобные функции имеют лишь комплексные корни?

svv в сообщении #796013 писал(а):

$f(x)=\sin x$

Берем функцию . Хотим узнать, периодическая она или нет.
Если это неизвестно, т.е. неизвестно, есть ли период вообще, — то нет смысла говорить, чему равен период.

Но мне всё равно. Я беру некоторое $T$, например $T=\frac\pi 2$. Беру $x=0$. Подставляю в равенство и вижу:
$f(x)=\sin x=\sin 0=0$
$f(x+T)=\sin(x+T)=\sin (0+\frac \pi 2)=1$
Блин. Не равны.

Вывод? Синус — функция непериодическая?

а зачем брать конкретное $T$? Ведь неизвестно, действительно ли $T=\pi/2$является периодом. Потому и значения могут быть не равны.
$f(x)=\sin x
$f(0) = \sin 0 = 0$
$f(0 + T) = \sin(0 + T) = \sin 0 \cos T + \sin T \cos 0 = f(0) = 0$
И нам нужно такое $T$, при котором при всех $x$равенство выполняется, так?

Свойства функций. График функции

Обозначим буквой X некоторое множество чисел, входящих в область определения D ( f ) функции y = f (x) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функцию y = f (x) называют ограниченной сверху на множестве X , если существует такое число a , что для любого x из множества X выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функцию y = f (x) называют ограниченной снизу на множестве X , если существует такое число b , что для любого x из множества X выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Функцию y = f (x) называют ограниченной на множестве X , если существуют такие числа a и b , что для любого x из множества X выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Функцию y = f (x) называют неограниченной сверху на множестве X , если для любого числа a существует такой x из множества X , для которого выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Функцию y = f (x) называют неограниченной снизу на множестве X , если для любого числа b существует такой x из множества X , для которого выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Функцию y = f (x) называют неограниченной на множестве X , если эта функция или неограничена сверху, или неограничена снизу, или неограничена и сверху, и снизу.

Проиллюстрируем эти определения следующими примерами.

ПРИМЕР 1. Функция y = x 2 (рис. 1) является ограниченной снизу и неограниченной сверху на множестве

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

ПРИМЕР 2. Функция y = – x 2 (рис. 2) является ограниченной сверху и неограниченной снизу на множестве

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

ПРИМЕР 3. Функция y = x (рис. 3) неограничена сверху и неограничена снизу на множестве

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

ПРИМЕР 4. Функция y = arctg x (рис. 4) ограничена на множестве

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

Монотонные и строго монотонные функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Функцию y = f (x) называют возрастающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x1 < x2 , выполнено неравенство

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Возрастающие функции также называют неубывающими функциями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Функцию y = f (x) называют убывающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x1 < x2 , выполнено неравенство

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Убывающие функции также называют невозрастающими функциями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Функцию y = f (x) называют строго возрастающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x1 < x2 , выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Функцию y = f (x) называют строго убывающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x1 < x2 , выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Возрастающие и убывающие функции называют монотонными, строго возрастающие и строго убывающие функции называют строго монотонными.

ПРИМЕР 5. Функция y = x 2 (рис. 1) является строго убывающей функцией на множестве и строго возрастающей на множестве

ПРИМЕР 6. Функция y = – x 2 (рис. 2) является строго возрастающей функцией на множестве и строго убывающей на множестве

ПРИМЕР 7. Функция y = x (рис. 3) является строго возрастающей функцией на множестве

ПРИМЕР 8. Функция y = arctg x (рис. 4) является строго возрастающей на множестве

Четные и нечетные функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12. Функцию y = f (x) , определенную на множестве X , называют четной функцией, если для любого числа x из множества X число – x также принадлежит множеству X и выполняется равенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13. Функцию y = f (x) , определенную на множестве X , называют нечетной функцией, если для любого числа x из множества X число – x также принадлежит множеству X и выполняется равенство

ПРИМЕР 9. Функции y = x 2 и y = – x 2 являются четными функциями (рис. 1 и рис. 2), а функции y = x и y = arctg x являются нечетными функциями (рис. 3 и рис. 4).

ПРИМЕР 10. Примерами функций, которые не являются ни четными, ни нечетными функциями, являются показательные и логарифмические функции.

УТВЕРЖДЕНИЕ. Любую функцию y = f (x) , определенную на симметричном относительно точки x = 0 множестве X , можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим две функции:

свойства функции четная функция нечетная функция разложение функции в сумму четной и нечетной функций гиперболический синус гиперболический косинус примерысвойства функции четная функция нечетная функция разложение функции в сумму четной и нечетной функций гиперболический синус гиперболический косинус примеры

сумма которых равна f (x) , и заметим, что функция g1 (x) является четной функцией, а функция g2 (x) является нечетной функцией. Действительно,

что и завершает доказательство утверждения.

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Раскладывая функцию y = e x в сумму четной и нечетной функций, получаем:

свойства функции четная функция нечетная функция разложение функции в сумму четной и нечетной функций гиперболический синус гиперболический косинус примерысвойства функции четная функция нечетная функция разложение функции в сумму четной и нечетной функций гиперболический синус гиперболический косинус примеры

Функцию g1 (x) называют гиперболическим косинусом и обозначают ch x :

Функцию g2 (x) называют гиперболическим синусом и обозначают sh x :

Таким образом, справедливо равенство

Периодические и непериодические функции. Период функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14. Число свойства функции периодическая функция непериодическая функция период примерыназывают периодом функции y = f (x) , если для любого числа свойства функции периодическая функция непериодическая функция период примерычисла x + T и x – T также принадлежат области определения D ( f ) и справедливы равенства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Если функция имеет период, то ее называют периодической. Если же у функции периода нет, то ее называют непериодической.

ЗАМЕЧАНИЕ 4. Если число T является периодом некоторой функции, то и число kT , где k – любое целое число, отличное от нуля, также является периодом этой функции.

ПРИМЕР 11. Функции y = sin x и y = cos x являются периодическими функциями с периодом 2π , функции y = tg x и y = ctg x являются периодическими функциями с периодом π .

ПРИМЕР 12. Показательные, логарифмические и степенные функции являются непериодическими функциями.

График функции. Свойства графиков четных, нечетных, периодических функций

Рассмотрим плоскость с заданной прямоугольной системой координат Oxy .

график функции примеры

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 16. Графиком функции y = f (x) называют множество всех точек, координаты которых имеют вид (x; f (x)) , где .

ЗАМЕЧАНИЕ 6 . График периодической функции не изменяется при сдвиге вдоль оси абсцисс Ox на период вправо или влево (см., например, раздел «Графики тригонометрических функций» нашего справочника). Поэтому для того, чтобы построить график периодической функции с периодом T , достаточно построить график этой функции на любом отрезке оси абсцисс Ox длины T , а затем сдвигать его влево и вправо на расстояния nT , где n – любое натуральное число.

Близкие по тематике разделы сайта

С материалами, связанными со свойствами функций и их пределами, можно также ознакомиться в учебном пособии «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *