Что такое линейная комбинация
Перейти к содержимому

Что такое линейная комбинация

  • автор:

Линейная комбинация

Линейная комбинация векторов — это сложение векторов, умноженных на действительное число (скалярное умножение). Это создает новый вектор.

$\vec=r_1\cdot\vec+r_2\cdot\vec+$ $. +r_n\cdot\vec$

Коллинеарные вектора

Два вектора с параллельными направлениями называют коллинеарными. Один вектор может быть представлен как линейная комбинация другого.

Компланарные векторы

Векторы, которые могут быть изображены в одной плоскости, являются компланарными. В этом случае, каждый вектор может быть изображен как линейная комбинация другого вектора.

Что такое линейная комбинация

Линейной комбинацией векторов e 1, e 2, . e k линейного пространства L называется выражение С1· e 12 ·e 2+ . +Сk · e k . Числа С1, С2 , . Сk — коэффициенты линейной комбинации

Если все коэффициенты линейной комбинации С1· e 12 ·e 2+ . +Сk · e k равны нулю, то она называется тривиальной линейной комбинацией.

Система e 1, e 2, . e k линейно независима , если равенство С1· e 12 ·e 2+ . +Сk · e k = 0 возможно только для тривиальной линейной комбинации.

Система e 1, e 2, . e k линейно зависима , если существует нетривиальная линейная комбинация, для которой справедливо равенство С1· e 12 ·e 2+ . +Сk · e k = 0 .

Линейная комбинация

Лине́йная комбина́ция — выражение, построенное на множестве элементов путём умножения каждого элемента на коэффициенты с последующим сложением результатов (например, линейной комбинацией x и y будет выражение вида ax + by, где a и b — коэффициенты).

Понятие линейной комбинации является одним из ключевых в линейной алгебре и смежных областях математики. В классическом случае линейная комбинация рассматривается в контексте векторных пространств, но существуют обобщения на произвольные модули над кольцами и бимодули.

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.

Advertisement

Наши ресурсы

В социальных сетях

Обзор

  • Что такое Фэндом?
  • О нас
  • Вакансии
  • В прессе
  • Обратная связь
  • Условия использования
  • Конфиден­циальность
  • Закон о цифровых услугах
  • Общая карта сайта
  • Локальная карта сайта
  • Cookie Preferences

Сообщество

  • Вики Сообщества
  • Поддержка
  • Справка
  • Запретить продажу данных

Реклама на сайте

Приложения Фэндома

Оставайтесь в курсе всего происходящего на ваших любимых сообществах.

Математика — это сообщество Фэндома на портале Увлечения.

Линейная комбинация

Математика

Лине́йная комбина́ция, выражение, равное сумме произведений элементов множества ( векторов , функций и т. д.) на числа.

Пусть R \mathbb R – поле вещественных чисел, V V V – векторное пространство . Линейной комбинацией векторов v ⃗ 1 , v ⃗ 2 , … , v ⃗ n ∈ V \vec v_1,\vec v_2,\ldots,\vec v_n\in V v

n ​ ∈ V с коэффициентами α 1 , α 2 , … , α n ∈ R \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\in\mathbb α 1 ​ , α 2 ​ , … , α n ​ ∈ R называется вектор v = α 1 v ⃗ 1 + α 2 v ⃗ 2 + … + α n v ⃗ n . v=\alpha_1\vec v_1 + \alpha_2\vec v_2 +\ldots + \alpha_n\vec v_n. v = α 1 ​ v

n ​ . Если все коэффициенты линейной комбинации равны нулю, то линейная комбинация называется тривиальной. В этом случае v v v есть нулевой вектор 0 0 0 . Если хотя бы один из коэффициентов α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n α 1 ​ , α 2 ​ , … , α n ​ не равен нулю, то линейная комбинация нетривиальная. Для некоторых систем векторов v ⃗ 1 , v ⃗ 2 , … , v ⃗ n \vec v_1,\vec v_2,\ldots,\vec v_n v

n ​ любая нетривиальная линейная комбинация не равна нулевому вектору, для других систем векторов некоторые нетривиальные линейные комбинации равны нулевому вектору.

Зафиксируем векторы v ⃗ 1 , v ⃗ 2 , … , v ⃗ n \vec v_1,\vec v_2,\ldots,\vec v_n v

n ​ : α 1 ​ , α 2 ​ , … , α n ​ ∈ R > называется линейной оболочкой L L L векторов v ⃗ 1 , v ⃗ 2 , … , v ⃗ n \vec v_1,\vec v_2,\ldots,\vec v_n v

n ​ . Линейная оболочка является подпространством в V V V . Линейная оболочка L L L является наименьшим подпространством, содержащим векторы v ⃗ 1 , v ⃗ 2 , … , v ⃗ n \vec v_1,\vec v_2,\ldots,\vec v_n v

Опубликовано 30 января 2023 г. в 20:51 (GMT+3). Последнее обновление 30 января 2023 г. в 20:51 (GMT+3). Связаться с редакцией

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *