Что такое экспонента простыми словами
Перейти к содержимому

Что такое экспонента простыми словами

  • автор:

Экспонента и число е: просто и понятно

Число e всегда волновало меня — не как буква, а как математическая константа. Что число е означает на самом деле?

Разные математические книги и даже моя горячо любимая Википедия описывает эту величественную константу совершенно бестолковым научным жаргоном:

Математическая константа е является основанием натурального логарифма.

Если заинтересуетесь, что такое натуральный логарифм, найдете такое определение:

Натуральный логарифм, ранее известный как гиперболический логарифм, является логарифмом с основанием е, где е – иррациональная константа, приблизительно равная 2.718281828459.

Определения, конечно, правильные. Но понять их крайне сложно. Конечно, Википедия в этом не виновата: обычно математические пояснения сухи и формальны, составляются по всей строгости науки. Из-за этого новичкам сложно осваивать предмет (а когда-то каждый был новичком).

С меня хватит! Сегодня я делюсь своими высокоинтеллектуальными соображениями о том, что такое число е, и чем оно так круто! Отложите свои толстые, наводящие страх математические книжки в сторону!

Число е – это не просто число

Описывать е как «константу, приблизительно равную 2,71828…» — это все равно, что называть число пи «иррациональным числом, приблизительно равным 3,1415…». Несомненно, так и есть, но суть по-прежнему ускользает от нас.

Число пи — это соотношение длины окружности к диаметру, одинаковое для всех окружностей. Это фундаментальная пропорция, свойственная всем окружностям, а следовательно, она участвует в вычислении длины окружности, площади, объема и площади поверхности для кругов, сфер, цилиндров и т.д. Пи показывает, что все окружности связаны, не говоря уже о тригонометрических функциях, выводимых из окружностей (синус, косинус, тангенс).

Число е является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. Число е позволяет взять простой темп прироста (где разница видна только в конце года) и вычислить составляющие этого показателя, нормальный рост, при котором с каждой наносекундой (или даже быстрее) всё вырастает еще на немного.

Число е участвует как в системах с экспоненциальным, так и постоянным ростом: население, радиоактивный распад, подсчет процентов, и много-много других. Даже ступенчатые системы, которые не растут равномерно, можно аппроксимировать с помощью числа е.

Также, как любое число можно рассматривать в виде «масштабированной» версии 1 (базовой единицы), любую окружность можно рассматривать в виде «масштабированной» версии единичной окружности (с радиусом 1). И любой коэффициент роста может быть рассмотрен в виде «масштабированной» версии е («единичного» коэффициента роста).

Так что число е – это не случайное, взятое наугад число. Число е воплощает в себе идею, что все непрерывно растущие системы являются масштабированными версиями одного и того же показателя.

Понятие экспоненциального роста

Давайте начнем с рассмотрения базовой системы, которая удваивается за определенный период времени. Например:

  • Бактерии делятся и «удваиваются» в количестве каждые 24 часа
  • Мы получаем вдвое больше лапшинок, если разламываем их пополам
  • Ваши деньги каждый год увеличиваются вдвое, если вы получаете 100% прибыли (везунчик!)

И выглядит это примерно так:

Деление на два или удваивание – это очень простая прогрессия. Конечно, мы можем утроить или учетверить, но удваивание более удобно для пояснения.

Математически, если у нас есть х разделений, мы получаем в 2^x раз больше добра, чем было вначале. Если сделано только 1 разбиение, получаем в 2^1 раза больше. Если разбиений 4, у нас получится 2^4=16 частей. Общая формула выглядит так:

Другими словами, удвоение – это 100% рост. Мы можем переписать эту формулу так:

Это то же равенство, мы только разделили «2» на составные части, которыми в сущности и является это число: начальное значение (1) плюс 100%. Умно, да?

Конечно, мы можем подставить и любое другое число (50%, 25%, 200%) вместо 100% и получить формулу роста для этого нового коэффициента. Общая формула для х периодов временного ряда будет иметь вид:

Это просто означает, что мы используем норму возврата, (1 + прирост), «х» раз подряд.

Приглядимся поближе

Наша формула предполагает, что прирост происходит дискретными шагами. Наши бактерии ждут, ждут, а потом бац!, и в последнюю минуту они удваиваются в количестве. Наша прибыль по процентам от депозита магическим образом появляется ровно через 1 год. На основе формулы, написанной выше, прибыль растет ступенчато. Зеленые точки появляются внезапно.

Но мир не всегда таков. Если мы увеличим картинку, мы увидим, что наши друзья-бактерии делятся постоянно:

Зеленый малый не возникает из ничего: он медленно вырастает из синего родителя. После 1 периода времени (24 часа в нашем случае), зеленый друг уже полностью созрел. Повзрослев, он стает полноценным синим членом стада и может создавать новые зеленые клеточки сам.

Эта информация как-то изменит наше уравнение?

Не-а. В случае с бактериями, полусформированные зеленые клетки все же не могут ничего делать, пока не вырастут и совсем не отделятся от своих синих родителей. Так что уравнение справедливо.

Экспоненциальный рост

Журналисты, блогеры и диванные эксперты… Все используют фразы «экспоненциальный рост», а кто попроще «рост по экспоненте». Кое-кто, наверное, даже помнит, что такое экспонента, но вряд ли сможет объяснить простыми словами. Что же, пришла пора разобраться то, чем мы так часто пользуемся. Возможно, все совсем не так…

Экспонента

Здесь все просто (но это только пока). Многие считают, что экспонента это просто число е=2,718281828459045235360287. Конечно, это не так. Это самое число e, называется числом Эйлера, оно трансцендентно и иррационально, что звучит красиво и загадочно, но экспонента, не число, а функция.

Те, кто немного дружил с математикой в школе сразу заметят интересную особенность этой функции. Ее основанием является не отрицательное число, а значит, она будет всегда возрастать.

При х=0 у=1, при х=1, у=2,718, при х=2 y=7,39…. Ну а при х=10, у=22 026,5

Значение функции растет и растет явно очень быстро. Стремительно и неудержимо.

Экспоненциальный рост

Что такое экспоненциальный рост? Простыми словами, это такой рост, при котором, чем больше вырастят какое-либо значение, тем больше ускоряется его рост. То есть, со временем растет не только значение, но и сама скорость его роста.

А это, иными словами, означает, что значение переменной функции и скорость ее роста находятся в прямо пропорциональной зависимости. То есть, если значение увеличиться два раза, скорость роста увеличится тоже в 2 раза.

В конечном итоге, экспоненциальный рост — самый быстрый.

На самом деле, все вышесказанное касается любой показательной функции, а не только экспоненты.

Основанием может быть любое не отрицательное число, хоть два, хоть три, хоть… сколько угодно.

Несколько примеров из жизни

Самым актуальным и наглядным можно назвать ситуацию с распространением вируса (либо любой другой инфекции). Предположим, что каждый человек в течение дня заражает двух других.

Тогда, в первый день у нас будет один инфицированный, во второй — трое. Один старый знакомый и два новых. Каждый из новичков, в свою очередь заразит двух других. В третий день — 7 заразившихся, в четвертый — 1, а пятый — 31…

Стоп, это только при условии, что каждый человек заразит только двоих и, чудесным образом, перестанет это делать на протяжении следующих дней. Но ведь так не будет! Все эти люди и дальше будут заражать по 2 человека в день.

А раз так, то на третий день будет уже 9 разносчиков вируса, на пятый — 81, а через неделю по нашему воображаемому городу будет бродить уже 729 зараженных.

Это и будет экспоненциальный рост количества зараженных. Без учета их лечения, карантина или любых других мер, болезнь будет развиваться именно так. Через 10 дней зараженных людей будет уже 59 тысяч человек. Через 15 дней — более 14 миллионов. Просто математика, но какой яркий пример экспоненциального роста?

Легко вывести формулу: 1, 3, 9, 27, 81… это «три» в степени 2, 3 и 4. То есть, показательная функция с основанием 3.

И, хотя в этой формуле в степень возводится не число Эйлера (2,71828….), такой рост тоже называется экспоненциальным.

Еще один пример из биологии: размножение бактерий.

Бактерии размножаются делением. Каждая делится надвое и так далее… Но, конечно, не бесконечно. Предел есть, но об этом чуть позже.

Экспоненциальный рост в экономике

Есть примеры роста по экспоненте и в экономике. Самый интересный — финансовая пирамида. Самый безопасный — Закон Мура.

Первый закон Мура гласит, что количество транзисторов удваивается каждые 2 года. Таким образом и вычислительные мощности компьютера удваиваются каждые два года.

Второй Закон Мура (который сформулировал уже не Гордон Мур) гласит, что стоимость производства микросхем также возрастает экспоненциально из-за усложнения технологий.

Что же касается финансовых пирамид, то основная идея в том, что их рост обусловлен исключительно ростом количества «сектантов» верящих в огромные прибыли или тех, кто верит, что сумеет вовремя «соскочить». Так или иначе, пирамиды всегда рушатся. И вот вопрос, почему?

Но, конечно, рост не может продолжаться бесконечно. В случае с бактериями (и любыми другими организмами, да хоть мышами), наступит время, когда им не хватит пространства и пищи. В случае с микросхемами наступит физический предел скорости передачи данных (мы вряд ли сумеем превысить скорость света).

Ну а всевозможные волшебные экономические модели в форме пирамид рано или поздно сталкиваются с той же проблемой, питательная среда в виде легковерных последователей

Логистическая кривая

В реальном мире, не таком идеальном как математика, любой процесс может столкнутся с пределом. В примере роста популяции бактерий или даже крупных животных, это количество ресурсов, которое всегда ограничено.

Поэтому, при условии, что ресурсы не бесконечны, процесс развивается по s образной кривой. Сначала стремительно растет, а потом — замедляется.

В пример с вирусом, наступает день, когда большая часть населения уже переболела и выработала антитела (либо была искусственно привита) и вирус больше не может распространяться по экспоненциальному закону. Главный вопрос, можно ли точно предсказать этот день?

Мальтузианская ловушка

С экспонентой связан еще один занимательный экономический эффект — «мальтузианская ловушка». Представьте, что рост населения страны происходит по экспоненциальному закону. Например, каждая пара производит на свет не менее 4 детей, те в свою очередь поступают также.

Рано или поздно, количество людей превысит количество пищи, необходимой для нормальной жизни.

Просто потому, что производительность труда физически ограничена (например, количеством плодородных земель), к тому же развитие технологий чаще всего происходит линейно, а экспонента всегда растет быстрее. Получается, что технологическое развитие общества не успевает за ростом населения.

Чем это заканчивается? Кризисом, голодом, войнами за ресурсы. Население уменьшается и все начинается с начала.

Почему это сложно представить?

Нам, людям, сложно себе представить развитие процесса «по экспоненте» потому, что не свойственно так мыслить. Мы привыкли к линейным и циклическим процессам.

Они чаще встречаются в нашей жизни: циклические изменения дня и ночи и линейные изменения времени. Это просто и привычно. А вот экспоненциальные процессы встречаются реже.

Тем не менее они есть и игнорировать их опасно. Просто потому, что за этой скоростью нашему разуму сложно угнаться. Даже простые объяснения экспоненциального роста кажутся чем-то абстрактным, а ведь это не выдумка, а наша реальность.

Читайте также:
Реактивный двигатель

29 сентября, 2023 Автор: istorii_master · Published 29 сентября, 2023 · Last modified 4 октября, 2023 —>

Термоэлектричество

8 апреля, 2012 Автор: istorii_master · Published 8 апреля, 2012 · Last modified 14 сентября, 2023 —>

Треугольное крыло

25 июня, 2023 Автор: istorii_master · Published 25 июня, 2023 · Last modified 3 октября, 2023 —>

комментариев 6

Крууууууууутооооооое объяснение. Все гениальное — просто. Автор — гений. Пытаюсь реализовать сингулярность в образовании. Пропагандирую экспоненциальное мышление. Правда, в своей интерпретации

очень интересно, спасибо.
story_master :

Спасибо. Автор по основной специальности — авиаинженер. По второй — менеджер. Все очень близко к реальной жизни.

Иван! Да не экспотенциальный, а экспоНенциальный рост!

Автор! Выше всех похвал. Так просто о сложном могут писать только очень талантливые люди. Не рискую даже предположить, кто автор по основной специальности. Респект.

Интересная информация. Большое спасибо! Хотя бы немного понял что такое экспотенциальный рост, а то встретил этот термин в фильме про деньги и не могу понять что имели ввиду.

Добавить комментарий

Следите за нами:

  • Следующая публикацияИмперия и император
  • Предыдущая публикацияРисунки на самолетах

Рубрики

Свежие записи

  • Кому выгодно
  • Реактивный двигатель
  • Горячая вода замерзает…
  • Чему равно число е
  • Инерциальная система

Лучшее

  • Популярные записи
  • Новые записи
  • Новые комментарии
  • Метки

Значение слова экспонента

При записи вещественных чисел используют экспоненту и мантиссу. И дается определение мантисса — это значащая часть числа, а экспонента — показатель степени.
Но, если вбить в гугле слово экспонента, то почти все статьи про показетельную функцию e^x, где е — число Эйлера (2,718..)
Это что совпадение названий?
Получается, и показатель степени в вещественных числах называется экспонентой и показательная функция (число Эйлера в степени х) тоже называется экспонентой?
А как отличать эти понятия? По контексту фразы?

Голосование за лучший ответ

Экспоненциальная зависимость (или функция экспонента) имеет вид

У = а^x, где а — любое число, а не только число е=2,718.
Поэтому число в натуральном виде и записывается как : А*10^x, где |A|
МаксимУченик (218) 4 года назад

Хм.. А почему тогда если говорят «Экспоненциальная зависимость» почти всегда имеют в виду функцию e^x ?
Ну, может и не очень часто имеют в виду, но все равно слово «экспонента» в поиске — это как синоним e^x
А вот если набрать «экспонента мантисса», то сразу выползают на первое место понятие экспоненты как показателя степени в вещественных числах.
Почему такая путаница в понятиях?

Значение слова «экспонент»

Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

  • ЭКСПОНЕ’НТ, а, м. [латин. exponens — выставляющий]. 1. Владелец экспоната, лицо, выставляющее что-н. на выставке (спец.). 2. Показатель степени (мат.).

Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

экспоне́нт I

Делаем Карту слов лучше вместе

Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!

Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.

Вопрос: староверческий — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?

Нейтральное
Положительное
Отрицательное

Синонимы к слову «экспонент»

Предложения со словом «экспонент»

  • Более того, за первые четыре отрезка времени рост экспоненты составляет только малую долю от линейного роста.

Цитаты из русской классики со словом «экспонент»

  • А он рекомендует себя экспонентом и объявляет, что пшеницу выставил.

Сочетаемость слова «экспонент»

  • расти по экспоненте
    идти по экспоненте
    нарастать по экспоненте
  • (полная таблица сочетаемости)

Понятия, связанные со словом «экспонент»

Московское товарищество художников (МТХ) — русское общество художников Москвы, существовавшее в 1893—1924 годах.

Общество художников «Бубновый валет» — русская художественная группа, самое крупное творческое объединение раннего авангарда, существовавшее с 1911 по 1917 год. Художники группы («бубнововалетцы») порвали с традициями реалистической живописи и выступали с формалистических позиций против идейности искусства. Среди её основателей и наиболее выдающихся художников — Петр Кончаловский, Илья Машков, Михаил Ларионов, Аристарх Лентулов, Наталья Гончарова.

Санкт-Петербургское общество художников (1890 —1918) — объединение русских художников академического направления. Оставило заметный след в художественной жизни России конца XIX – начала XX века.

Общество осенних салонов, укороченное название Осенний салон (фр. Société du Salon d’automne, также Salon d’automne) — объединение деятелей искусства во Франции, основанное в 1903 году архитектором Францем Журденом в сотрудничестве с такими художниками, как Жорж Руо, Эдуар Вюйяр, Альбер Марке. В создании общества также принимали участие такие заслуженные мастера живописи, как Сезанн, Ренуар, Одилон Редон, Эжен Каррьер. Ренуар и Каррьер были избраны почётными президентами общества.

«Союз молодёжи» (Общество художников «Союз молодёжи») — первое петербургское общество художников-экспериментаторов и новаторов, и первое столичное творческое объединение русского авангарда; основано в ноябре 1909 года по инициативе М. В. Матюшина и Е. Гуро, развивалось при деятельном участии Волдемара Матвея, В. Д. Бубновой, и многих других художников, — при участии и поддержке Л. Жевержеева, официальную регистрацию после утверждения устава получило 16 февраля 1910 года. Существовало в разных составах.

Отправить комментарий

Дополнительно

  • Как правильно пишется слово «экспонент»
  • Склонение существительного «экспонент» (изменение по числам и падежам)
  • Разбор по составу слова «экспонент» (морфемный разбор)
  • Цитаты со словом «экспонент» (подборка цитат)
  • Перевод слова «экспонент» и примеры предложений (английский язык)
  • Definition of «exhibitor» at WordTools.ai (английский язык)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *