Что такое ядро матрицы
Перейти к содержимому

Что такое ядро матрицы

  • автор:

Ядро и образ линейного оператора

Ядро и образ линейного оператора являются подпространствами линейных пространств [math]X[/math] и [math]Y[/math] соответственно.

[math]\dim Ker\mathcal + \dim Im\mathcal = n = \dim X[/math]

Дополним [math]\_^[/math] до базиса [math]X[/math] , получим базис [math]\_^[/math] , где [math]n = \dim X[/math]

Рассмотрим [math]x = \xi^1 e_1 + \xi^2 e_2 +\ . \ + \xi^n e_n[/math]

Докажем от противного.

Пусть [math]z = \alpha_e_ +\ . \ + \alpha_e_n[/math]

Что такое ядро матрицы и как его найти?

Ядро матрицы A — это множество таких векторов х, что Ax=0. В ядро всегда входит тривиальный вектор x=0. Находится соответственно следующим образом, берётся матрица A, берётся неизвестный вектор x и составляется система линейных уравнений Ax=0.

Остальные ответы

Ну как это лучше сказать.. .
Вот возьмём матрицу 5Х5:
10000
01000
00000
00000
00000
При умножении этой матрицы на любой вектор вида (00авс) в результате получим ноль. Тогда подпространство R3 пространства R5 таких векторов и будет ядром нашей матрицы.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Ядро_(алгебра) — посмотри

Похожие вопросы

Ядро и образ линейного отображения

2. Рассмотрим отображение , которое ставит в соответствие каждому вектору относительно заданного базиса . Ядром этого отображения является нулевой вектор пространства . Образ преобразования , так как это преобразование сюръективно (любой столбец из является координатным столбцом некоторого вектора пространства , которое каждому вектору его проекции на направление, задаваемое единичным вектором — множество векторов, ортогональных , которое каждому многочлену степени не выше ставит в соответствие его производную. Ядром этого отображения является множество многочленов нулевой степени, а образом — все пространство .

Свойства ядра и образа линейного отображения

1. Ядро любого линейного отображения .

В соответствии с определением требуется доказать, что множество

т.е. нулевой вектор отображается в нулевой вектор . Следовательно, ядро любого линейного отображения не является пустым и содержит, по крайней мере, нулевой элемент: . Покажем, что множество

Следовательно, множество 2. Образ любого линейного отображения . Тогда , то есть Дефектом линейного отображения называется размерность его ядра: рангом линейного отображения — размерность его образа: .

3. Ранг линейного отображения равен рангу его матрицы (определенной относительно любых базисов).

В самом деле, если любой базис пространства . Поэтому максимальное число линейно независимых векторов системы (ранг системы векторов) равно максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы .

4. Линейное отображение , другими словами, когда дефект отображения равен нулю: служит нулевой вектор . Поэтому, если отображение инъективно, то ядро содержит только нулевой вектор , иначе два разных вектора имели бы один и тот же образ . Обратно, при условии разные векторы не могут иметь одинаковые образы , так как в этом случае из равенств , следует, что ненулевой вектор (приходим к противоречию).

5. Линейное отображение , другими словами, когда ранг отображения равен размерности пространства образов: .

6. Линейное отображение и одновременно.

Теорема (9.1) о размерностях ядра и образа. Сумма размерностей ядра и образа любого линейного отображения

Действительно, пусть . Выберем в подпространстве и дополним его векторами до базиса всего пространства образуют базис подпространства , так как образ любого вектора линейно выражается через векторы

Во-вторых, образующие линейно независимы. Если их линейная комбинация равна нулевому вектору:

то вектор принадлежит ядру (его образ — нулевой вектор). Однако, по построению этот вектор принадлежит алгебраическому дополнению . Учитывая, что , заключаем: . Получили разложение нулевого вектора по линейно независимой системе векторов, значит, все коэффициенты . Поэтому равенство справедливо только для тривиальной линейной комбинации, т.е. система векторов линейно независимая.

Таким образом, векторы образуют базис подпространства , а его размерность определяется количеством базисных векторов, т.е. Следствие. Линейное отображение

Тогда по теореме 9.1 заключаем, что , что и требовалось доказать.

Обратимые линейные отображения называются также невырожденными (имея в виду невырожденность их матрицы).

Что такое ядро матрицы

Лекция 5. Ядро и образ линейного оператора. Собственные значения и собственные функции

Лекция из курса:

Поделиться:

Лекция 5. Ядро и образ линейного оператора. Собственные значения и собственные функции

1 / Загрузка

Скачать конспект лекции

Предыдущая лекция

Лекция 4. Евклидово пространство

Следующая лекция

Лекция 6. Линейный оператор в евклидовом и унитарном пространстве

Мы в соцсетях:

© 2024 МГУ имени М. В. Ломоносова

Нашли ошибку или баг? Сообщите нам!

Ваши комментарии о найденых ошибках в лекциях, конспектах или о баге

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *