Что такое измеримая функция
Перейти к содержимому

Что такое измеримая функция

  • автор:

Определение измеримой функции

Будем рассматривать пространство [math] (X, \mathcal A, \mu) [/math] , считаем, что мера [math] \mu [/math] — [math] \sigma [/math] -конечная, полная, то есть:

[math] X = \bigcup\limits_p X_p : \mu X_p \lt + \infty [/math]

[math] \mu B = 0 , A \subset B \Rightarrow A \in \mathcal A, \mu A = 0 [/math]

Пусть [math] E \subset X, f: E \rightarrow \mathbb R [/math] , будем обозначать как [math] E (f [/math] обладает свойством [math] P )[/math] совокупность точек из [math]E[/math] , для которых свойство [math] P [/math] верно.

Определение:
[math] a \in \mathbb R [/math] , [math] E(f \lt a), E(f \le a), E(f \gt a), E(f \ge a) [/math] — множества Лебега функции [math] f [/math] .
Определение:
[math] f : E \rightarrow \mathbb R [/math] называется измеримой по Лебегу, если для любого [math] a \in \mathbb R [/math] множества Лебега всех четырех типов измеримы (то есть, принадлежат сигма-алгебре).

Функция измерима по Лебегу на [math] E [/math] [math] \iff [/math] для любого [math] a [/math] измеримо её множество Лебега одного любого фиксированного типа.

Пусть [math] E(f \lt a) [/math] — измеримо для любого [math] a [/math] . Установим измеримость остальных:

Используя ту же технику, легко установить, что из измеримости [math]f[/math] на [math]E[/math] следует и измеримость самого [math]E[/math] , [math]E = \bigcup\limits_^\infty E(f \lt n)[/math]

Пример измеримой функции — [math]f(x) = C[/math] на измеримом [math]E[/math] .

[math]E(f\lt a) = \left\ < \beginE &, C \lt a \\ \varnothing &, C \geq a \end \right. [/math]

Так как [math]E[/math] измеримо, то постоянная функция на нём измерима.

Всё это распространяется на [math]E = \bigcup\limits_p E_p[/math] , [math]E_p \in \mathcal, E_p [/math] — дизъюнктны.

Аналогично, измерима на [math]E[/math] функция [math]f : E \to \mathbb R [/math] , [math]f(x) = a_p, x\in E_p[/math] .

Пусть [math]F \subset \mathbb^n[/math] — замкнутое множество, в [math]\mathbb^n[/math] есть мера [math]\lambda[/math] . Тогда непрерывная функция [math]f : F \to \mathbb[/math] — измерима.

Установим измеримость [math]F(f\leq a)[/math] .

Проверим, что оно замкнуто.

Рассмотрим последовательность [math]\bar x_j \in F(f\leq a)[/math] , пусть она сходится к [math] \bar x [/math] . По определению множества Лебега, [math]f(\bar x_j) \leq a[/math] .

Так как [math] F [/math] — замкнутое, и [math]\bar x_j \in F[/math] , то предел тоже принадлежит [math]F[/math] . Значит, по непрерывности, [math]f(\bar x_j) \to f(\bar x)[/math] .

По непрерывности [math] f [/math] , из того, что [math] f(\bar x_j) \le a [/math] , следует [math]f(\bar x)\leq a [/math] , то есть, [math] \bar x \in F(f\leq a)[/math] .

Вывод: класс непрерывных функций содержится в классе измеримых.

Следует обратить внимание, что столь простые рассуждения проходят по той причине, что мы не интересуемся тем, как устроены множества Лебега. Нас интересует только одно их свойство — принадлежность [math]\mathcal[/math] . Природа этих множеств может быть крайне сложной.

Пусть [math]f[/math] и [math]g[/math] измеримы на [math]E[/math] . Тогда

1) [math]|f|[/math] — измерим
1.5) [math]kf[/math] — измерима ( [math]k \in \mathbb[/math] )
2) [math]f^2[/math] — измерим
3) [math]f + g[/math] — измерима

4) [math]f \cdot g[/math] — измеримо

1 и 2) доказываются одинаково. Рассмотрим, например, [math]E(f^2\lt a)[/math] .

При [math]a\geq 0[/math] оно может быть непустым. Но это равносильно [math]E(-\sqrt \lt f \lt \sqrt) = E(-\sqrt \lt f) \cap E(f\lt \sqrt)[/math] .

Это пересечение двух измеримых множеств Лебега [math]\Rightarrow[/math] измеримо.

1.5) Если [math] k = 0 [/math] , то [math] f = 0 [/math] и она измерима как постоянная.

3) Доказывается чуть сложнее

[math]f(x) + g(x) \gt a \iff g(x) \gt a — f(x)[/math]

Базируясь на том,что [math]\mathbb[/math] всюду плотно на оси, [math]\exists r \in \mathbb : g(x) \gt r \gt a — f(x)[/math]

Тогда [math]E(f + g\gt a) = \bigcup\limits_>(E(g\gt r) \cap E(f \gt a — r))[/math]

Это объединение пересечений измеримых множеств Лебега функций [math]f[/math] и [math]g[/math] , операций — счётное число. Значит, [math]f+g[/math] тоже измеримо.

Измеримая функция

Измери́мые фу́нкции представляют естественный класс функций между пространствами с выделенными алгебрами, в частности измеримыми пространствами.

  • 1 Определение
  • 2 Замечание
  • 3 Вещественнозначные измеримые функции
  • 4 Связанные определения
  • 5 Примеры

Определение [ ]

Пусть ( X , F ) )> и ( Y , G ) )> суть два множества с выделенными алгебрами подмножеств. Тогда функция f : X → Y называется F / G / \mathcal> -измеримой, или просто измеримой, если полный прообраз любого множества из G принадлежит F > , то есть

Замечание [ ]

  • Если X и Y — топологические пространства, и алгебры F > и G явно не указаны, то предполагается, что это борелевские σ-алгебры соответствующих пространств.

Вещественнозначные измеримые функции [ ]

Пусть дана функция f : ( X , F ) → ( R , B ( R ) ) ) \to (\mathbb,\mathcal(\mathbb))> . Тогда данное выше определение измеримости эквивалентно любому из нижеследующих:

где | a , b | обозначает любой интервал, открытый, полуоткрытый или замкнутый.

Связанные определения [ ]

  • Пусть ( X , F ) = ( R , B ( R ) ) ) = (\mathbb,\mathcal(\mathbb))> и ( Y , G ) = ( R , B ( R ) ) ) = (\mathbb,\mathcal(\mathbb))> — две копии вещественной прямой вместе с ее борелевской f : ( R , B ( R ) ) → ( R , B ( R ) ) <\displaystyle f: (\mathbb,\mathcal(\mathbb)) \to (\mathbb,\mathcal(\mathbb))> называется борелевской.
  • Измеримая функция f : ( Ω , F ) → ( Y , G ) ) \to (Y,\mathcal)> , где Ω — множество элементарных исходов, а F > — σ-алгебра случайных событий, называется случайным элементом.

Примеры [ ]

  • Пусть f : R → R \to \mathbb> — непрерывная функция. Тогда она измерима относительно борелевской σ-алгебры на числовой прямой.
  • Пусть f : ( X , F ) → ( R , B ( R ) ) , ) \to (\mathbb,\mathcal(\mathbb)),> и f ( x ) = 1 A ( x ) , x ∈ X _A(x),\;x\in X> — индикатор множества A ∉ F . .> Тогда функция f не является измеримой.

Эта статья содержит материал из статьи Измеримая функция русской Википедии.

ИЗМЕРИМАЯ ФУНКЦИЯ

— 1) В первоначальном понимании И. ф.- функция f(x)действительного переменного, обладающая тем свойством, что для любого амножество Е а точек х, для к-рых f(x)измеримое множество (по Лебегу). И. ф. на отрезке [ х 1, х 2]может быть сделана непрерывной на [x1, x2]путем изменения ее значений на множестве сколь угодно малой меры; это — так наз. С-свойство И. ф. (Н. Н. Лузин, 1913).

2) И. ф. на пространстве Xопределяется относительно выбранной системы измеримых множеств Ав X. Если A есть s-кольцо, то действительная функция f, заданная на пространстве X, наз. измеримой функцией, если

для любого действительного а, где

Это определение равносильно следующему: действительная j функция f измерима, если для любого борелевского В. В случае, когда Аесть s-алгебра, функция f является измеримой, если измеримы множества Е а (или ). Класс И. ф. замкнут относительно арифметических и структурных операций, т. е., если fn, n=1, 2, . измеримы, то f1+f2, f1f1. max(f1, f2), min(f1, f2), af, где адействительно, измеримы; тоже измеримы. Комплексная функция измерима, если измеримы ее действительная и мнимая части. Обобщением понятия И. ф. является понятие измеримого отображения одного измеримого пространства в другое.

Лит.:[1] Xалмош П., Теория меры, пер. с англ.,М. 1953; [2] Данфорд Н., Шварц Д ж. Т., Линейные операторы, пер. с англ., т. 1, М., 1962; [3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976.

В. В. Сазонов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977—1985 .

  • ИЗМЕЛЬЧЕНИЕ,
  • ИЗМЕРИМОЕ МНОЖЕСТВО

Измеримая функция

Математика

Измери́мая фу́нкция, заданная на измеримом по Лебегу множестве E E E действительных чисел функция f ( x ) f(x) f ( x ) , принимающая действительные значения, такая, что для каждого действительного t t t измеримо по Лебегу множество E t E_t E t ​ точек x x x из E E E , для которых f ( x ) ⩽ t f(x)\leqslant t f ( x ) ⩽ t . Измеримыми являются сумма, разность, произведение и частное измеримых функций, а также предел последовательности измеримой функции.

Измеримость характеризует теорема Лузина (1913) о C C C -свойстве: измеримыми являются те и только те функции, которые могут быть сделаны непрерывными после изменения их значений на множестве сколь угодно малой меры.

Редакция математических наук. Первая публикация: Большая российская энциклопедия, 2008.

Опубликовано 17 января 2023 г. в 00:02 (GMT+3). Последнее обновление 17 января 2023 г. в 00:02 (GMT+3). Связаться с редакцией

Информация

Математика

Области знаний: Теория меры

  • Научно-образовательный портал «Большая российская энциклопедия»
    Создан при финансовой поддержке Министерства цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации.
    Свидетельство о регистрации СМИ ЭЛ № ФС77-84198, выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) 15 ноября 2022 года.
    ISSN: 2949-2076
  • Учредитель: Автономная некоммерческая организация «Национальный научно-образовательный центр «Большая российская энциклопедия»
    Главный редактор: Кравец С. Л.
    Телефон редакции: +7 (495) 917 90 00
    Эл. почта редакции: secretar@greatbook.ru
  • © АНО БРЭ, 2022 — 2024. Все права защищены.
  • Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
    Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.
  • Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
    Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *