Что такое фигуры лиссажу
Перейти к содержимому

Что такое фигуры лиссажу

  • автор:

ЛИССАЖУ́ ФИГУ́РЫ

Вид фигур Лиссажу при А1=А2 и различных соотношениях частот ω2:ω1 и разностях фаз Δφ.

ЛИССАЖУ́ ФИГУ́РЫ, замк­ну­тые пло­ские кри­вые, опи­сы­вае­мые точ­кой, дви­же­ние ко­то­рой яв­ля­ет­ся су­пер­по­зи­ци­ей двух вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ных ко­ле­ба­ний с от­но­ше­ни­ем час­тот, рав­ным ра­цио­наль­но­му чис­лу. Впер­вые бы­ли под­роб­но изу­че­ны франц. ма­те­ма­ти­ком Ж. А. Лис­са­жу в 1857–58. Л. ф. опи­сы­ва­ют­ся сис­те­мой па­ра­мет­рич. урав­не­ний (па­ра­метр – вре­мя $t$ ) $$x=A_1\text(ω_1t+φ_1), \;y=A_2\text(ω_2t+φ_2)$$ при от­но­ше­нии час­тот $ω_2:ω_1$ , рав­ном ра­цио­наль­но­му чис­лу. Л. ф. впи­са­ны в пря­мо­уголь­ник со сто­ро­на­ми $2A_1$ и $2A_2$ , па­рал­лель­ны­ми со­от­вет­ст­вен­но осям $x$ и $y$ . Вид Л. ф. за­ви­сит от от­но­ше­ния час­тот $ω_2:ω_1$ и раз­но­сти фаз $Δφ=φ_2-φ_1$ обо­их ко­ле­ба­ний. В слу­чае рав­ных час­тот $(ω_2:ω_1=1:1)$ Л. ф. пред­став­ля­ют со­бой эл­лип­сы, ко­то­рые при $Δφ=0$ или $\pmπ$ выро­ж­да­ют­ся в от­рез­ки пря­мых, а при $Δφ=\pmπ/2$ и $A_1=A_2$ пре­вра­ща­ют­ся в ок­руж­ность (рис.). При не­рав­ных час­то­тах Л. ф. име­ют бо­лее слож­ный вид. От­но­ше­ние чис­ла ка­са­ний Л. ф. го­ри­зон­таль­ной и вер­ти­каль­ной сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка, в ко­то­рый она впи­са­на, да­ёт от­но­шение час­тот $ω_2:ω_1$ . На­прав­ле­ние дви­же­ния точ­ки по Л. ф. оп­ре­де­ля­ет­ся раз­но­стью фаз $Δφ$ .

Фигуры Лиссажу

Физика

Фигу́ры Лиссажу́, замкнутые плоские кривые, описываемые точкой, движение которой является суперпозицией двух взаимно перпендикулярных колебаний с отношением частот , равным рациональному числу . Впервые были подробно изучены французским математиком Ж. А. Лиссажу в 1857–1858 гг. Фигуры Лиссажу описываются системой параметрических уравнений (параметр – время t t ):

x = A 1 cos ⁡ ( ω 1 t + φ 1 ) , _ \cos(< \omega >__), x = A 1 ​ cos ( ω 1 ​ t + φ 1 ​ ) , y = A 2 cos ⁡ ( ω 2 t + φ 2 ) _ \cos(< \omega >__) y = A 2 ​ cos ( ω 2 ​ t + φ 2 ​ ) при отношении частот ω 2 : ω 1 \omega_ : \omega_ ω 2 ​ : ω 1 ​ , равном рациональному числу. Фигуры Лиссажу вписаны в прямоугольник со сторонами 2 A 1 <2A_> 2 A 1 ​ и 2 A 2 _ 2 A 2 ​ , параллельными соответственно осям x x и y y . Вид фигур Лиссажу зависит от отношения частот ω 2 : ω 1 \omega_ : \omega_ ω 2 ​ : ω 1 ​ и разности фаз △ φ = φ 2 – φ 1 \triangle < \varphi>= < \varphi>_ – < \varphi>_ △ φ = φ 2 ​ – φ 1 ​ обоих колебаний.

Фигуры Лиссажу

Фигуры Лиссажу. Фигуры Лиссажу. В случае равных частот ω 2 : ω 1 = 1 : 1 \omega_ : \omega_ = 1:1 ω 2 ​ : ω 1 ​ = 1 : 1 фигуры Лиссажу представляют собой эллипсы , которые при △ φ = 0 \triangle < \varphi>= 0 △ φ = 0 или ± π \pm \pi ± π вырождаются в отрезки прямых, а при △ φ = ± π / 2 \triangle < \varphi>= \pm \pi /2 △ φ = ± π /2 и A 1 = A 2 _ = _ A 1 ​ = A 2 ​ превращаются в окружность (см. рисунок). При неравных частотах фигуры Лиссажу имеют более сложный вид. Отношение числа касаний фигуры Лиссажу горизонтальной и вертикальной сторон прямоугольника, в который она вписана, даёт отношение частот ω 2 : ω 1 \omega_ : \omega_ ω 2 ​ : ω 1 ​ . Направление движения точки по фигуре Лиссажу определяется разностью фаз △ φ \triangle \varphi △ φ .

Фигуры Лиссажу можно наблюдать, например, на экране осциллографа , подав на его вертикально и горизонтально отклоняющие пластины переменные напряжения с отношением частот, равным рациональному числу. Вид фигур Лиссажу позволяет определить соотношения между частотами и фазами напряжений. При небольшом отклонении отношения частот от рационального числа наблюдается медленное изменение разности фаз во времени и плавное изменение вида фигур Лиссажу.

Опубликовано 11 октября 2023 г. в 13:17 (GMT+3). Последнее обновление 11 октября 2023 г. в 13:17 (GMT+3). Связаться с редакцией

Информация

Физика

Области знаний: Взаимодействие колебаний и волн со средой и друг с другом

  • Научно-образовательный портал «Большая российская энциклопедия»
    Создан при финансовой поддержке Министерства цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации.
    Свидетельство о регистрации СМИ ЭЛ № ФС77-84198, выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) 15 ноября 2022 года.
    ISSN: 2949-2076
  • Учредитель: Автономная некоммерческая организация «Национальный научно-образовательный центр «Большая российская энциклопедия»
    Главный редактор: Кравец С. Л.
    Телефон редакции: +7 (495) 917 90 00
    Эл. почта редакции: secretar@greatbook.ru
  • © АНО БРЭ, 2022 — 2024. Все права защищены.
  • Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
    Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.
  • Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
    Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.

Фигуры Лиссажу

Чтобы было более понятно, давайте представим девочку на качели из покрышки:

Фигуры Лиссажу

И вот представьте, что сзади ее раскачивает папа, а сбоку — мама. То есть наша девочка будет одновременно летать вперед-назад, а также влево-вправо. Долго ли она продержится — это уже другой вопрос). Если в солнечный денек посмотреть на землю, то мы увидим, что тень девочки вырисовывает различную траекторию полета.

Почему бы нам не поиграться пучком электронов, отклоняя его одновременно и по вертикали и по горизонтали? Вспоминаем, как выглядит электронно-лучевая трубка осциллографа:

устройство электронно-лучевой трубки

1 — это горизонтальные пластины

2 — вертикальные пластины

ну и остальные детали — это составляющие электронной пушки.

Подаем на вертикальные пластины один синусоидальный сигнал, а на горизонтальные — другой синусоидальный сигнал. В результате точка на осциллографе будет вырисовывать различные линии и кривые, в зависимости от частоты сигналов. Хотя, цифровой осциллограф и аналоговый почти не похожи по внутренней начинке, но принцип действия у них все равно схож.

Как получить фигуры Лиссажу

Итак, для того, чтобы вырисовывать фигуры Лиссажу, нам потребуются два генератора частоты.

Фигуры Лиссажу

и осциллограф с функцией XY-режима. В моем случае это цифровой осциллограф OWON

осциллограф OWON

Думаю, почти во всех современных осциллографах есть режим XY, будь это аналоговый или цифровой осциллограф.

Режим XY-осциллографа

Как вы помните, при простом использовании осциллографа у нас по оси X было время, а по оси Y — напряжение. Поэтому, по умолчанию, мы на осциллографе смотрим изменение напряжения во времени. Но если с помощью нехитрой кнопки переключить в режим XY, то у нас по Y будет напряжение и по X…. тоже напряжение, но уже с другого генератора частоты. Если включить в таком режиме только один генератор, то мы увидим только одну прямую линию либо по вертикали, либо по горизонтали. Это аналогично тому, если бы нашу девочку раскачивал только папа или только мама. Наша девочка летела бы только по одной прямой траектории.

Фигуры Лиссажу

А что будет, если сбоку нашу девочку будет раскачивать мама, а сзади — папа? Тут уже траектория девочки будет хаотичной. Но во всяком хаосе рождается порядок. И первым его заметил французский математик Жюль Антуан Лиссажу.

Строим фигуры Лиссажу на осциллографе

Цепляем на один канал один генератор частоты, а на другой канал — другой генератор частоты:

два канала осциллограф

На осциллографе мы должны увидеть два сигнала с разных генераторов частоты, благо у меня осциллограф двухканальный:

две синусоиды

Теперь переводим осциллограф в режим XY. На моем осциллографе это делается с помощью кнопки Display

Фигуры Лиссажу

Ну а потом с помощью дисплейных клавиш выбираем режим XY

режим XY осциллографа

И получается примерно вот такая хаотическая картинка:

Фигуры Лиссажу

Ну еще бы, один генератор дергает точку по X, другой по Y и у каждого генератора разная частота.

А давайте возьмем один генератор и с него подадим сигнал на два канала сразу. Частота и фаза совпадают и на первом и втором канале, так как мы берем сигнал с одного и то же генератора. В результате у нас будет вот такая картинка:

Фигуры Лиссажу

Если взять 100 Герц на первом генераторе и на втором генераторе, то получим что-то типа этого:

фигуры лиссажу

фигура лиссажу круг

Фигуры Лиссажу

В реальности же получается круг, который все время крутится и превращается то в эллипс, то в прямую, так как очень ровно подобрать частоту на первом и втором генераторе очень сложно. Хотя на практике можно подавать сигнал на один канал напрямую, а на другой — через фазовращатель.

Если увеличить частоту на одном из генераторов вдвое, то можно наблюдать уже другие фигуры:

Фигуры Лиссажу

Фигуры Лиссажу

Фигуры Лиссажу

Эта фигура тоже все время крутится на осциллографе.

Увеличиваем на одном генераторе частоту в кратное число раз, то есть было 100, потом 200, 300 и тд и получаем абсолютно новые 3D фигуры 😉

Различное отношение частот одного генератора к другому дает различные фигуры Лиссажу:

таблица фигуры лиссажу

Вот такие фигуры вы будете видеть на экране своего осциллографа:

А вот такие фигуры Лиссажу получаются, если использовать пилообразный сигнал с обоих генераторов сразу при разных отношениях коэффициентов

фигуры лиссажу пилообразный сигнал Фигуры Лиссажу

Фигуры Лиссажу Фигуры Лиссажу

А вот такие фигуры получаются, если на одном оставить синус, а на втором поставить пилу:

Фигуры Лиссажу Фигуры Лиссажу

В основном фигуры Лиссажу в электронике можно использовать тогда, когда надо узнать частоту неизвестного генератора через образцовый генератор, частоту которого мы знаем, а также узнать сдвиг фаз между двумя одинаковыми сигналами. Ну и второе применение — это чисто визуальный кайф при вращении этих фигур на экранчике вашего осциллографа 😉

Фигуры Лиссажу

В современном мире электронная техника развивается семимильными шагами. Каждый день появляется что-то новое, и это не только небольшие улучшения уже существующих моделей, но и результаты применения инновационных технологий, позволяющих в разы улучшить характеристики.

Не отстает от электронной техники и приборостроительная отрасль – ведь чтобы разработать и выпустить на рынок новые устройства, их необходимо тщательно протестировать, как на этапе проектирования и разработки, так и на этапе производства. Появляются новая измерительная техника и новые методы измерения, а, следовательно – новые термины и понятия.

Для тех, кто часто сталкивается с непонятными сокращениями, аббревиатурами и терминами и хотел бы глубже понимать их значения, и предназначена эта рубрика.

Фигуры Лиссажу

Фигуры Лиссажу – замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Впервые изучены французским учёным Жюлем Антуаном Лиссажу.

Вид фигур зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний. В простейшем случае равенства обоих периодов фигуры представляют собой эллипсы, которые при разности фаз 0 или π вырождаются в отрезки прямых, а при разности фаз π/2 и равенстве амплитуд превращаются в окружность. Если периоды обоих колебаний неточно совпадают, то разность фаз всё время меняется, вследствие чего эллипс всё время деформируется. При существенно различных периодах фигуры Лиссажу не наблюдаются. Однако, если периоды относятся как целые числа, то через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка снова возвращается в то же положение — получаются фигуры Лиссажу более сложной формы. Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и расположены по обе стороны от них на расстояниях, равных амплитудам колебаний.

Пример фигур Лиссажу можно посмотреть в термине «Режим X-Y».

Материалы по теме:

  • Расширение возможностей осциллографов АКТАКОМ серии ADS-6ххх с помощью дополнительных опций
  • Tektronix: analog+digital+RF = неожиданное решение. Один удивительный осциллограф
  • Специалисты FLUKE расскажут о своих осциллографах

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *