Что делать если дискриминант меньше нуля
Перейти к содержимому

Что делать если дискриминант меньше нуля

  • автор:

Дискриминант

Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 (х — переменная; а, b, с — действительные числа, или коэффициенты; а не равно 0) называют квадратным уравнением.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет. Способов решить квадратное уравнение много:

  • выделение полного квадрата;
  • по формуле дискриминанта;
  • по формулам теоремы Виета;
  • разложение квадратного трехчлена на множители;
  • графический и другие.

При выполнении задания можно выбрать для себя любой способ, но, как показывает практика, наиболее востребованными являются формулы теоремы Виета и формулы корней квадратного уравнения.

Что такое дискриминант в алгебре

Дискриминант — это многочлен, составленный из коэффициентов квадратного трехчлена, с помощью которого можно определить, сколько корней имеет данное уравнение, и найти их.

Полезная информация о дискриминанте

\(\frac D4\;=\;m^2\;–\;ac,\;\\x_1\;=\;\;\frac>a;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\x_2\;=\;\frac>a.\)

Формула дискриминанта

Дискриминант квадратного трехчлена ax 2 + bx + c равен D = b 2 – 4ac

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Если дано уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, выполняем следующие шаги:

  1. Находим коэффициенты a=; b=; c=.
  2. Находим дискриминант по формуле D = b 2 – 4ac.
  3. Определяем знак дискриминанта, количество корней.
  4. Находим корни.
  5. Записываем ответ.

Корни, если дискриминант равен нулю

Если дискриминант (D = 0), то квадратное уравнение имеет один корень (вернее, два одинаковых корня):

\(\;x\;=\;\frac<-b>\;=\;-\frac b\)
это интересно
Разложение числа на простые множители
Преподаватель математики – об умножении простых чисел и разложении числа на простые множители

Корни, если дискриминант больше нуля

Если дискриминант больше нуля (D > 0), то квадратное уравнение имеет два корня:

\(x_1\;=\;\frac\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_2\;=\;\frac\)

Корни, если дискриминант меньше нуля

Если дискриминант меньше нуля (D

Задачи и примеры по теме «Дискриминант»

Квадратные уравнения, а также задачи и различные задания, сводящиеся к их решению, занимают большой объем в школьном курсе не только алгебры, а также геометрии и других предметов. Умение решать квадратные уравнения очень востребованы на ОГЭ и ЕГЭ.

Задача 1

Решите квадратное уравнение x 2 – x – 56 = 0.

Задача 2

При каком значении t уравнение 9х 2 – tx+1=0 имеет один корень?

Задача 3

Выберите правильный вариант ответа.

1. Чему равны коэффициенты в уравнении –3х 2 + 4х – 2=0?

а) a = 4; b = 2; c = –3
б) a = –3; b = 4; c = – 2
в) a = 3; b = 4; c = 2

2. При каком значении дискриминанта квадратное уравнение не имеет корней?

а) D < 0
б) D > 0
в) D = 0

Ответы к задачам

Давайте посмотрим, как решаются задачи

Задача 1

Нам дано уравнение x 2 – x – 56 = 0.

ax 2 + bx + c = 0
1x 2 – 1x – 56 = 0

1. a =1; b = – 1; c = – 56
2. D = b 2 – 4ac D = (– 1) 2 – 4 • 1 • (– 56) = 1 + 224 = 225
3. D = 225 > 0, два корня
4.

Ответ: -7; 8

Задача 2

Квадратное уравнение имеет один корень, если дискриминант равен 0. Найдем его:

9х 2 – tx+1=0
a=9 ; b=-t ; c=1
D = b 2 – 4ac
D = (-t) 2 – 4 • 9 • 1 = t 2 – 36

По условию D = 0, значит

При t1= 6
9х 2 –(– 6)x + 1=0
9х 2 + 6x + 1=0
(3х + 1) 2 =0
3х + 1=0

При t2= 6
9х 2 – 6x+1=0
(3х – 1) 2 =0
3х – 1=0

Ответ: при t1= 6 или t2= 6 уравнение 9х 2 – tx+1=0 имеет один корень.

Задача 3

  1. б) a = –3; b = 4; c = – 2
  2. а) D < 0

Популярные вопросы и ответы

Почему дискриминант изучают в 8 классе?

В 8 классе школьники знакомятся с понятием квадратного уравнения и способами его решения. Чтобы найти корни уравнения по формуле с использованием дискриминанта, необходимо знать, что такое арифметический квадратный корень, а с ним ребята знакомятся также в 8 классе.

Сколько корней у уравнения, если дискриминант равен 1?

Если дискриминант равен 1, то квадратное уравнение имеет два различных корня.

В каком задании ЕГЭ по математике проверяется умение находить дискриминант?

Квадратные уравнения часто встречаются при решении логарифмических, показательных, иррациональных, тригонометрических уравнений и неравенств, текстовых задач и других заданий. Для их решения можно применить знание формул с дискриминантом.
В базовом варианте ЕГЭ по математике для выполнения заданий №17, 18, 20, а профильном для заданий №6, 7, 9, 10 нужно уметь решать квадратные уравнения. Это можно сделать с помощью дискриминанта, однако выбор способа решения остается за учеником.

Дискриминант — определение, свойства, геометрический смысл

Дискриминант

8 класс. Алгебра.

На чтение 7 мин. Просмотров 31.3k.

Важная характеристика квадратных уравнений — их дискриминант. По значению этой величины определяют, сколько корней у данного уравнения и есть ли они.

В 8 классе по алгебре начинают изучать квадратные уравнения и самый популярный способ их решения — через дискриминант. Формула вычисления дискриминанта известна

Дискриминант в математике используется чтобы определить сколько корней в уравнении — 1 корень, 2 корня или действительных корней нет. В этой статье определим, что такое дискриминант и выведем формулу дискриминанта.

Определение

Определим что такое дискриминант и зачем он нужен в математике, а также как его рассчитать.

Дискриминантом называют число, описывающее свойство коэффициентов квадратного многочлена. Хотя есть дискриминанты и кубических многочленов.

По этому числу определяют характер корней уравнения, полученному если многочлен приравнять к нулю. Так, если дискриминант больше нуля, то уравнение будет иметь два корня, равен нулю, то 1 корень, а если будет меньше нуля, то корней не будет.

Дискриминант (определение) помогает определить наличие или отсутствие корней квадратного уравнения, не решая его.

Обозначается дискриминант квадратного уравнения буквой или знаком Δ. И находится по формуле:

D=b^2-4ac , где

, и — коэффициенты уравнения:

ax^2+bx+c=0

Корни через дискриминант определяются по формулам:

\displaystyle x_1=\frac> и \displaystyle x_2=\frac>

Пример вычисления дискриминанта:

Вычислим дискриминант в уравнении 6x^2+4x+2=0 .

По формуле находим:

D=b^2-4ac=4^2-4\cdot 6 \cdot 2=16-48=-32

Мы получили отрицательный дискриминант, значит, данное уравнение не имеет действительных корней. Действительно, так как корни квадратного уравнения находят по формулам:

\displaystyle x_1=\frac> и \displaystyle x_2=\frac>

Подставим значения для исходного уравнения:

\displaystyle x_1=\frac> и \displaystyle x_2=\frac>

Как видим, мы никак не сможем посчитать корни — у нас отрицательное число под знаком радикала. И, действительно, если вы построите график функции f (x)=6x^2+4x+2 — он нигде не пересечет ось , то есть ни при каком мы не получим ноль.

график функции

Геометрический смысл дискриминанта

Что означает дискриминант на графике, каков его геометрический смысл? Графически дискриминант квадратного уравнения характеризует расстояние по оси абсцисс между точкой — вершиной параболы (парабола — график квадратичной функции) и точкой пересечения графика с осью абсцисс. Посмотрите на рисунок. На нем видно:

  1. Если дискриминант равен нулю (D=0), это значит, что вершина параболы и является точкой пересечения с осью абсцисс — расстояние между точкой пересечения и вершиной параболы равно нулю.
  2. Когда D>0, то справа и слева от точки абсцисс вершины параболы на одинаковом расстоянии \displaystyle \frac>будут находиться точки пересечения параболы ax^2+bx+c=y , которые являются корнями уравнения ax^2+bx+c=0 .
  3. Когда D Корни квадратного уравнения через дискриминант.

Полное квадратное уравнение

Пусть нам дано уравнение вида ax^2+bx+c=0 . Вычисляем дискриминант по известной формуле. Затем определяем корни уравнения.

  1. Если D>0 получаем два вещественных корня \displaystyle x_1=\frac>и \displaystyle x_2=\frac>.
  2. Если D=0 корни будут совпадать: \displaystyle x_1=x_2=\frac
  3. Если D Неполное квадратное уравнение

Неполным называется такое квадратное уравнение, когда один из коэффициентов такого уравнения равен нулю.

  1. Пусть коэффициент a=0, тогда уравнение сводится к линейному уравнению вида kx+b=0 и уже не будет считаться неполным.
  2. Если равны нулю два коэффициента: и , тогда . Решением такого уравнения будет: .
  3. Если равен нулю коэффициент b, то имеем D=-4ac и \displaystyle x_1= \frac>и \displaystyle x_2= -\frac>.
  4. При равенстве нулю свободного члена c=0 имеем D=b^2 и \displaystyle x_1=\frac>и \displaystyle x_2=\frac>.

Приведенное квадратное уравнение

Приведенным квадратным уравнением называется такое уравнение вида , в котором старший коэффициент равен a=1. Оно решается обычно по теореме Виета.

Дискриминант находится по формуле: .

Если второй коэффициент кратен 2

Если коэффициент b можно разделить на 2 (с четным вторым коэффициентом), то тогда вычисляется не полный дискриминант, а \displaystyle \frac по формуле:

\displaystyle \frac=\left ( \frac \right)^2-ac ,

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *